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Was ist der Schwerpunkt einer Figur?
Der Schwerpunkt ist ein besonderer Punkt eines Körpers.
... ...
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Er soll an einer dünnen, starren, homogenen Scheibe in Fünfeckform
erklärt werden.
Homogen heißt, dass die Masse gleichmäßig verteilt
ist, dass also die Masse pro Flächeneinheit an jeder Stelle gleich
ist.
Man kann sich vorstellen, dass die Scheibe aus Pappe ist. |
... ... |
Man balanciert die Scheibe so auf einer spitzen Nadel, dass sie horizontal
schwebt. Der Punkt, in dem die Nadel die Scheibe berührt, heißt
Schwerpunkt.
In der Nadelspitze greift die Gewichtskraft an, hervorgerufen durch
die Schwerkraft. Die gleich große, von der Nadel aufgebrachte Gegenkraft
hält den Körper. Dabei spielt es keine Rolle, welche Form die
Scheibe hat. Man kann sich vorstellen, dass die gesamte Masse in einem
Punkt konzentriert ist. |
Auf dieser Seite geht es um die Bestimmung
von Schwerpunkten flächenartiger Körper.
Sie sind beispielhaft auch für die Bestimmung von Schwerpunkten
linienartiger oder räumlicher Körper.
Indifferentes Gleichgewicht
top
Das Balancieren der Scheibe auf einer Nadelspitze hat seine Tücken.
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1 Setzt man die Scheibe vorsichtig auf die Spitze, so misslingt das.
Die Scheibe kippt, da der Schwerpunkt (rot) über dem Auflagepunkt
liegt und durch die Gewichtskraft leicht ein kippendes Drehmoment entsteht.
2 Man könnte manipulieren und die Spitze in die Scheibe hinein
stechen, wenn sie zum Beispiel aus Pappe ist. Das ist indiskutabel.
3 Eine stabile Lage entsteht dadurch, dass man in die Scheibe von unten
eine Vertiefung anbringt, in die die Spitze dann so weit hineinragt, dass
der Auflagepunkt über dem Schwerpunkt liegt. |
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Theoretisch bleibt die Scheibe in jeder Lage stehen, wenn sie genau
im Schwerpunkt unterstützt wird. Sie ist im indifferenten Gleichgewicht.
Praktisch gelingt es leicht, der Scheibe jede vertikale Lage zu geben.
Man sticht im Schwerpunkt durch die Scheibe und hält sie mit einer
Nadel. |
Experimentelle
Bestimmung des Schwerpunktes top
Der Schwerpunkt liegt immer unter dem Aufhängepunkt eines Körpers.
Wäre das nicht der Fall, so träte ein Drehmoment auf, das den
Körper in diese Lage treibt. - Die Scheibe ist im stabilen Gleichgewicht.
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Das macht man sich zunutze.
Man hängt die Scheibe und einen Faden zweimal an Ecken auf.
An das andere Ende des Fadens klemmt man eine Büroklammer.
Den Verlauf der Fäden markiert man durch Linien.
Sie sind Bestimmungslinien für den Schwerpunkt. |
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Die beiden Schwerlinien treffen sich im Schwerpunkt. |
Dieses Verfahren wird auch auf meiner Seite
Geographischer
Mittelpunkt beschrieben.
Schwerpunkt zweier
Massenpunkte top
Ehe einzelne Figuren untersucht werden, soll vorweg ein grundlegendes
Problem erörtert werden.
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Gegeben seien zwei Massenpunkte m1 und m2 in
der Entfernung a.
Die "Verbindungsstange" sei gewichtslos.
Wo liegt der Schwerpunkt dieser Hantel? |
Der Schwerpunkt sei S.
... ..
 .
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Man stelle sich vor, die Hantel werde im Schwerpunkt unterstützt.
Es herrscht in S ein Gleichgewicht der Kräfte:
Im Auflagepunkt S entsteht die Gegenkraft zu F=F1+F2
nach oben.
Es herrscht ein Gleichgewicht der Drehmomente:
Das linksdrehende Drehmoment sF1 ist genau so groß
wie das rechtsdrehende Drehmoment (a-s)F2.
Aus sF1=(a-s)F2 folgt s=(aF2)/(F1
+F2) oder a-s=(aF1)/(F1 +F2).
Da die Gewichtskräfte proportional zu den Massen sind, gilt auch
s=(am2)/(m1+m2). |
Die letzte Formel kann man einem Zahlenstrahl
anpassen.
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Es gilt a=x2-x1 und s=xs-x1.
Dann ergibt sF1=(a-s)F2 die Gleichung (xs-x1)F1=[(x2-x1)-(xs-x1)]F2.
Daraus folgt xs=(x1F1+x2F2)/(F1
+F2) oder xs=(x1m1+x2m2)/(m1+m2). |
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Wird die Lage der Massepunkte in einem Koordinatensystem angegeben
durch S1(x1|y1) und S2(x2|y2),
liegt der Schwerpunktes an der Stelle xs=(x1m1+x2m2)/(m1+m2)
und ys=(y1m1+y2m2)/(m1+m2). |
Diese Formel wird unten angewandt.
Schwerpunkt
punktsymmetrischer Figuren top
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Die Bestimmung der Lage des Schwerpunktes punktsymmetrischer bzw. drehsymmetrischer
Figuren bereitet keine Mühe, da dieser Punkt mit dem Symmetriezentrum
zusammenfällt. - Der Kreisring ist das Beispiel einer Figur, deren
Schwerpunkt außerhalb der Figur liegt. |
Ist eine Figur achsensymmetrisch, so liegt
ihr Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.
Schwerpunkt eines Dreiecks
top
Vorüberlegung
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Man kann den Schwerpunkt eines Dreiecks wie oben durch Aufhängen
bestimmen. |
1 Man hängt also das Dreieck an einer Ecke auf.
2 Dieses Vorgehen kann ein Gedankenexperiment bleiben. Man muss sich
vorstellen, dass das Dreieck in beliebig viele Streifen aufgeteilt ist.
In der Zeichnung bleibt es bei der Anzahl Fünf. Dann stellt
sich das Dreieck so ein, dass die Mittelpunkte der Streifen unter dem Aufhängepunkt
liegen. - Der Schwerpunkt liegt danach auf einer Seitenhalbierenden.
3 Diese Überlegung gilt für die anderen Ecken auch. Der Schwerpunkt
ist also der gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, also der Verbindungslinien
der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten.
Zeichnerische Bestimmung
Man ermittelt den Schwerpunkt eines Dreiecks
zeichnerisch, indem man den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden sucht.
Rechnerische Bestimmung
Über die Seitenhalbierenden lässt sich der Schwerpunkt auch
berechnen.
Man verwendet dabei die zusätzliche Eigenschaft, dass sich die
Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden.
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Für die Rechnung bieten sich Vektoren an.
Die Eckpunkte eines Dreiecks seien also durch Ortsvektor a,
Ortsvektor
b und Ortsvektor c gegeben.
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Dann gilt für den Ortsvektor s:.
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Das Ergebnis wird auf ein Dreieck, das in einem kartesischen Koordinatensystem
gegeben sein soll, übertragen.
Die Punkte A(ax|ay), B(bx|by)A(cx|cy)
sind gegebenen.
Dann lauten die Formeln für den Schwerpunkt S(xs|ys):
xs=(ax+bx+cx)/3
und
ys=(ay+by+cy)/3.
Zahlenbeispiel
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Die Eckpunkte des Dreiecks sind A(0|0), B(8,5|0), C(2,3|3,8).
Dann ist xs=(0+8,5+2,3)/3=3,6 und ys=(0+0+3,8)/3=3,8/3=19/15=~1,3.
Der Schwerpunkt ist markiert.
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Schwerpunkt von Vierecken
top
Zeichnerische Bestimmung
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Gegeben ist ein beliebiges Viereck. Der Schwerpunkt ist schon eingezeichnet. |
Man findet ihn über Dreiecke.
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Zuerst teilt man das Viereck durch eine Diagonale in zwei Teildreiecke,
bestimmt für jedes Dreieck die Schwerpunkte und verbindet sie. |
.... ..... |
Man teilt das Viereck durch die andere Diagonale in zwei Teildreiecke,
bestimmt wieder die Schwerpunkte und verbindet sie. |
.... ..... |
Der Schnittpunkt der roten Verbindungslinien ist der Schwerpunkt des
Vierecks. |
Rechnerische Bestimmung
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Gegeben ist wieder dasselbe Viereck, jetzt in einem kartesischen Koordinatensystem.
Seine Eckpunkte sind A(0|0), B(6|2), C(5|7), D(0|5). |
Man führt die Schwerpunktbestimmung auf Dreiecke zurück.
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Zuerst teilt man das Viereck durch eine Diagonale in zwei Teildreiecke.
Man bestimmt für jedes Dreieck den Schwerpunkt. Es gilt xS1=(6+5)/3=11/3,
yS1=(2+7)/3=3 und xS2=5/3, yS2=(7+5)/3=4.
Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie a=S1S2,
aber wo? |
Die beiden Dreiecke können als punktförmige Körper mit den
Massen m1 und m2 aufgefasst werden. Für sie
gelten die Formeln xs=(x1m1+x2m2)/(m1+m2)
und ys=(y1m1+y2m2)/(m1+m2).
Bedenkt man noch, dass für eine homogene Figur die Masse m und
der Flächeninhalt A proportional sind, so heißen die Formeln
xs=(x1A1+x2A2)/(A1+A2)
und ys=(y1A1+y2A2)/(A1+A2).
Also muss man noch die Flächeninhalte
der Dreiecke bestimmen.
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Man bestimmt sie z.B. nach der Trapezmethode, die am Dreieck ABC erklärt
wird.
Man addiert die Flächeninhalte von Viereck EFBC und Dreieck AEC
und subtrahiert dann das Dreieck AFB.
Es ergibt sich A1=5*7/2+(7+2)/2*1-6*2/2=16. Analog erhält
man A2=(7+5)/2*5-5*7/2=25/2.
Das führt zu s=a(25/57) oder s/a=25/57. |
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Es gilt nach der Zeichnung S1(xS1| yS1),
S1(xS2| yS2) und S(xS| yS).
Somit ist xs=(xS1A1+xS2A2)/(A1+A2)=[(11/3)*16+(5/3)*(25/2)]/(16+25/2)=53/19
und ys=(yS1A1+yS2A2)/(A1+A2)=[3*16+4*(25/2)]/(16+25/2)=196/57 |
Ergebnis: Der Schwerpunkt ist S(53/19|196/57).
Diese Methode kann auf Vielecke erweitert
werden, zum Beispiel auf das Fünfeck oben.
Schwerpunkt eines
Drachens
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Hier sind noch einmal die Stücke eines Drachenvierecks
von einer anderen Stelle meiner Homepage.
Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse, und zwar im unteren Teildreieck
des Drachens. |
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Zur genauen Bestimmung dreht man das Drachenviereck um -90° und
betrachtet zwei Teildreiecke. Sie haben Schwerpunkte rechts und links der
vertikalen Diagonalen in den Entfernungen q/3 und p/3. Ihre Entfernung
ist q/3+p/3. |
... ... |
Es ergibt sich das Bild des gemeinsamen Schwerpunktes zweier Massenpunkte
von oben.
Mit A1= (1/2)f*p/2 und A2=(1/2)f*q/2 ergibt sich
s=a*A2/(A1+A2)=aq/(p+q). |
Schwerpunkt eines
Trapezes
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Man findet den Schwerpunkt durch eine Konstruktion wie oben beim Viereck.
Man zerlegt das Trapez zweimal, und zwar in das Parallelogramm AECD
und das Dreieck EBC und in das Dreieck AED und das Parallelogramm EBCD.
Man bestimmt die Schwerpunkte und verbindet sie paarweise. Der Schnittpunkt
der Verbindungslinien ist der Schwerpunkt. |
... ... |
Der Tabellenwert ist ys=(1/3h)(a+2c)/(a+c). |
Eine weitere Konstruktion findet man auf
der Wikipedia-Seite
Trapez.
Schwerpunktberechnungen
durch Integrale top
Zur Herleitung der Formeln
Oben wurde zum Schwerpunkt zweier Massenpunkte die folgende Aussage
gemacht.
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Wird die Lage der Massepunkte in einem Koordinatensystem angegeben
durch S1(x1|y1) und S2(x2|y2),
liegt der Schwerpunktes an der Stelle xs=(x1m1+x2m2)/(m1+m2)
und ys=(y1m1+y2m2)/(m1+m2). |
Die Formel erweitert man auf eine Anordnung
von n Massenpunkten.
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Die Lage des Schwerpunkts wird durch einen Ortsvektor angegeben. |
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Für das praktische Rechnen sind Koordinatengleichungen vorzuziehen. |
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Lässt man die Anzahl der Massenpunkte über alle Grenzen gehen,
so erhält man ein Kontinuum, einen homogenen Körper. Die Grenzwerte
sind Integrale. |
... ... |
Bedenkt man noch, dass für eine homogene Figur Masse und Flächeninhalt
proportional sind, ergeben sich Formeln, mit denen man wie in den nächsten
Abschnitten z.B. Schwerpunkte eines Parabelabschnittes oder eines Halbkreises
berechnet. |
Schwerpunkt eines
Parabelabschnitts
Gegeben ist ein Parabelabschnitt, begrenzt von y=x², y=h und x=0.
Gesucht ist der Schwerpunkt S.
Erste Koordinate
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Zweite Koordinate
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Ergebnis: Der Schwerpunkt liegt an der
Stelle S[(3/8)a | (3/5)h].
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Betrachtet man den Parabelabschnitt, der von der Parabel und y=h begrenzt
wird, so liegt sein Schwerpunkt einmal auf der y-Achse.
Zum anderen ist die Ordinate 3h/5 wie oben. |
Schwerpunkt eines
Halbkreises
Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Radius r. Gesucht ist der Schwerpunkt
S.
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"dx statt dy" heißt, die Grenzen in sqrt(r²-0²)=r und
sqrt(r²-r²)=0 zu ändern. |
Ergebnis: Die erste Koordinate ist aus
Gründen der Symmetrie xs=0.
Die zweite Koordinate ist ys=(4r)/(3*Pi) oder angenähert
ys=0,42r.
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Mit Hilfe des Halbkreises gelangt man nach nebenstehender Zeichnung
zum Schwerpunkt eines Viertelkreises.
Es gilt cos(45°)=ys/s oder s=ys/cos(45°)=[4*sqrt(2)r]/(3*Pi). |
Schwerpunkt
einer Platte mit Loch top
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Gegeben ist eine Platte der Seitenlänge 10. Ihre Mitte liegt bei
A(5|5). Die Platte hat ein kreisrundes Loch mit dem Durchmesser 2. Der
Mittelpunkt des Kreises liegt an der Stelle M(7|7).
Gesucht ist der Schwerpunkt der Platte.
Lösungsweg: Es geht um den gemeinsamen Schwerpunkt zweier Massenpunkte.
Das Besondere ist, dass die Kreisfläche ein negatives Vorzeichen
bekommt. |
Lösung:
Es gilt xs=(x1m1-x2m2)/(m1-m2)=(x1A1-x2A2)/(A1-A2)
Die Flächeninhalte sind A1=100 und A2=4*Pi,
die Abszissen x1=5 und x2=7.
xs=[5*100-7*(4*Pi)]/(100-4*Pi)=(500-28*Pi)/(100-4*Pi)=(250-14*Pi)/(50-2*Pi)
oder angenähert 4,71.
Es ist ys=xs.
Ergebnis: Der Schwerpunkt liegt angenähert
bei (4,71|4,71).
Schwerpunkt im Internet
top
Deutsch
Arndt Brünner
Der
Schwerpunkt des Dreiecks
Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen
Der
Schwerpunktsatz (eines Dreiecks), Animation
Randolf Rehfeld
Schwerpunkte
Wikipedia
Schwerpunkt,
Massenmittelpunkt,
Schwerpunktsatz,
Standfestigkeit,
Gleichgewicht
(Physik), Erde-Mond-Schwerpunkt
Englisch
eFunda
Common Shapes
Eric W Weisstein (MathWorld)
Geometric
Centroid, Pappus's
Centroid Theorem
Wikipedia
Centroid, Center
of mass, Pappus's
centroid theorem (Guldinus theorem), List
of centroids
Referenzen top
(1) I.N. Bronstein/K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Moskau
Leipzig, 1987
(2) Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker,
München 1965
(3) Mende/Simon: Physik Gleichungen und Tabellen, München 1976
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2007 Jürgen Köller
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