Hierarchie der Vierecke
Inhalt dieser Webseite
Was ist die Hierarchie der Vierecke?
Diagramm aus sieben Vierecken
Diagramm aus elf Vierecken
Diagramm aus zwölf Vierecken
Rechtwinklige Vierecke
Mengendiagramme
Zur Definition des Rechtecks
Ist das Quadrat ein Rechteck?
Das Quadrat ist ein Rechteck - gut so
Verschiebbarer Rahmen
Hinweis auf Tetragon
Hierarchie der Dreiecke
Hierarchie der Vierecke im Internet
Referenzen.
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Was ist die Hierarchie der Vierecke?
Die vielfältigen Beziehungen zwischen den Vierecken können durch Diagramme veranschaulicht werden. Bei in Stufen aufgebauten Anordnungen spricht man von der Hierarchie der Vierecke.
...... Links ist ein typisches Beispiel: 
Man geht vom allgemeinen Viereck oben aus, spezialisiert es immer mehr und gelangt schließlich unten zum Quadrat. 
Nebeneinander liegende Vierecke haben vergleichbare Eigenschaften. 
Diese Diagramme heißen auch griffig Haus der Vierecke und beschreiben die Systematik der Vierecke.


Diagramm aus sieben Vierecken top
Es geht zunächst um das eingangs erwähnte Diagramm aus sieben Vierecken und ihren Eigenschaften. 
Tabelle

  Definition

Trapez
Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.
x
x
x
x
 
x
 

Symm. Drachen
Das Viereck ist achsensymmetrisch.
x
x
 x
 
x
   

Parallelogramm
Zwei Paar Gegenseiten sind parallel.
x
x
x
x
     

Rechteck
Alle Winkel sind rechte Winkel.
x
 
x
       

Raute
Die Seiten sind gleich lang. 
x
x
         

Quadrat
Die Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter Winkel.
x
           
In den beiden linken Spalten stehen die Vierecke mit ihren charakteristischen Eigenschaften. In den weiteren Spalten werden die Eigenschaften angekreuzt, die auf die speziellen Vierecke zutreffen. Dabei sind die roten Kreuze trivial.

Diagramm
Die Tabelle kann zum folgenden Graphen führen. 

Zusätzliche Informationen zu den Vierecken erhält man, wenn man sie auf eine bestimmte Eigenschaft hin untersucht. Diese  bestimmen stark die Anordnung der Vierecke in der Horizontalen. 

Viereck und Symmetrie 
...... Das symmetrische Drachenviereck hat eine Symmetrieachse und das Parallelegramm ein Symmetriezentrum. Beide liegen deshalb in einer Zeile. Dann liegen Raute und Rechteck nebeneinander. Beide haben zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum. Das Quadrat hat vier Achsen. Das Trapez passt nicht in diese Anordnung.

Anzahl gegebener Stücke
...... Ein Viereck wird im Allgemeinen eindeutig bestimmt, wenn von den vier Seiten und vier Winkeln fünf gegeben sind. Ein Dreieck erfordert drei Stücke, für den vierten Eckpunkt des Vierecks benötigt man zwei weitere. Hat das Viereck spezielle Eigenschaften, so vermindert sich die Anzahl bis auf 1 beim Quadrat. 
Diese Reihe könnte für weitere Merkmale fortgesetzt werden.

Diagramm aus elf Vierecken top
Will man auch Vierecke mit Um- und Inkreis berücksichtigen, erweitert man das Diagramm wie folgt.
 
Sehnenviereck Die Eckpunkte des Vierecks liegen auf einer Kreislinie. 
Tangentenviereck Die Seiten des Vierecks berühren einen Kreis.


Dann ist es zum Ausfüllen von Lücken sinnvoll, zwei weitere Vierecke bereitzustellen. 
Gleichschenkliges Trapez Es gibt eine Symmetrieachse durch die Mitten der beiden parallelen Seiten.
Schiefer Drachen Eine Diagonale halbiert die andere.

Diagramm

Diagramm aus zwölf Vierecken    top
Das folgende Diagramm weicht vom üblichen Schema ab.

Drei Vierecke tauchen neu auf.
Drachen-Sehnenviereck Der Drachen hat einen Umkreis.
Trapez-Tangentenviereck Das Trapez hat einen Inkreis.
Sehnentangentenviereck Es gibt einen In- und Umkreis.

Quelle: Universität Bayreuth - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik 
(Offenbar ist das Diagramm nur noch bei Google/Bilder vorhanden. Deshalb konnte ich keinen Link setzen.) 

Auf der englischen Wikipedia-Seite „Quadrilateral“ (URL unten) findet man ein Diagramm mit 17 Vierecken, in dem auch überschlagende und konkave Vierecke einbezogen sind.

Rechtwinklige Vierecke top
Definition: Ein Viereck ist rechtwinklig, wenn es mindestens einen rechten Winkel hat.

Dieses ist mehr eine Spielerei. 


Mengendiagramme   top
Man kann die Diagramme auch in Mengendiagramme umwandeln. 
Das ist nicht immer sinnvoll. Das folgende Beispiel zeigt, dass der Sachverhalt evtl. komplizierter dargestellt wird.


Drei Vierecke sind überschaubar. 
...... Das ist der untere Teil des Diagramms. Drei Vierecke bilden ein Dreieck, das auf der Spitze steht. Das Rechteck und die Raute werden zu einem Quadrat, wenn man Eigenschaften vorschreibt. 

...... Das Mengendiagramm dazu eröffnet eine neue Sichtweise: 
Die Menge der Rechtecke und die Menge der Rauten haben eine gemeinsame Schnittmenge, nämlich die Menge der Quadrate.

...... Das Elf-Vierecke-Diagramm zum Beispiel enthält viele Dreiecke, die auf der Spitze stehen. 

Es gibt also viele Dreierbeziehungen wie oben.


Es folgt noch das Beispiel eines interessanten und originellen Mengendiagramms. 

Der Autor ist Peter Jirjahlke. Ich nahm es zum Anlass, um dieses Diagramm herum diese Seite zu machen. 


Verschiebbarer Rahmen   top
In der Sammlung von mathematischen Lehrgeräten meiner bis 2010 existierenden Schule befand sich auch ein Rahmen, mit dem man gängige Vierecke demonstrieren konnte. 
Jede der vier Seiten besteht aus je zwei Holzstäben, die an den Ecken vernietet sind und sich im Inneren mit einer Schlaufe aus Eisenblech umfassen. Jede Diagonale wird von je zwei Eisenstäben gebildet, die auch an den Ecken befestigt sind und nach Art einer Stabantenne in sich verschiebbar sind.


Das pfiffige Gerät stammt aus alten Zeiten und hat den Aufdruck F.W.Günzel Kötzschenbroda, Verschiebbare Rahmen.

Hinweis auf Tetragon       top
Tetragon ist ein Legespiel, bei dem man aus acht ähnlichen Vierecken aus Plexiglas Figuren legt.
Mehr auch meiner Webseite Tetragon


Hierarchie der Dreiecke   top

Die Dreiecke sind geordnet nach dem Merkmal "Anzahl der gegebenen Stücke".


Mehr über Dreiecke findet man auf meinen Seiten: Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, 3-4-5-Dreieck, 30-60-90-Dreieck.

Mehr über Vierecke findet man auf meinen Seiten Quadrat, Quadrate legen, Raute, Gleichschenkliges Trapez, Drachenviereck, Doppelquadrat, Sehnenviereck, Tangentenviereck, Parallelogramm, Rechteck

Hierarchie der Vierecke im Internet    top

Deutsch

Andreas Meier
Besondere Vierecke, Entstehung und Eigenschaften (Online-Programm)

Universität Bayreuth - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik 
Arbeitsblatt Vierecke

Wikipedia
Viereck, Projektive Geometrie, Wer wird Millionär?  (Strittige Fragen)


Englisch

David Birch  (Socks and Puppets) 
Quadrilateral Venn Diagramm  ;-)

Mathforum
Venn Diagram to Classify Quadrilaterals

Mike de Villiers
An Extended Classification of Quadrilaterals  (.pdf file)

Saltire Software (Geometry Atlas)
Subcategories of Quadrilaterals

Wikipedia
Quadrilateral, Projective geometry


Referenzen   top
(1) Der Neue Brockhaus, Allbuch in vier Bänden und einem Atlas, Leipzig 1938
(2) Lambacher Schweizer 8, Stuttgart 1995 [ISBN 3-12-730730-6]


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©  2007 Jürgen Köller

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