Was ist die Hierarchie der Vierecke?

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Die vielfältigen Beziehungen zwischen den Vierecken können durch Diagramme veranschaulicht werden. Bei in Stufen aufgebauten Anordnungen spricht man von der Hierarchie der Vierecke. Links ist ein typisches Beispiel: Man geht vom allgemeinen Viereck oben aus, spezialisiert es immer mehr und gelangt schließlich unten zum Quadrat. Nebeneinander liegende Vierecke haben vergleichbare Eigenschaften.

Diese Diagramme heißen auch griffig Haus der Vierecke und beschreiben die Systematik der Vierecke.

Diagramm aus sieben Vierecken top
Es geht zunächst um das eingangs erwähnte Diagramm aus sieben Vierecken und ihren Eigenschaften. 
Tabelle

	Definition
Trapez	Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.	x	x	x	x		x
Symm. Drachen	Das Viereck ist achsensymmetrisch.	x	x			x
Parallelogramm	Zwei Paar Gegenseiten sind parallel.	x	x	x	x
Rechteck	Alle Winkel sind rechte Winkel.	x		x
Raute	Die Seiten sind gleich lang.	x	x
Quadrat	Die Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter Winkel.	x

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Das symmetrische Drachenviereck hat eine Symmetrieachse und das Parallelegramm ein Symmetriezentrum. Beide liegen deshalb in einer Zeile.  Dann liegen Raute und Rechteck nebeneinander. Beide haben zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum.  Das Quadrat hat vier Achsen. Das Trapez passt nicht in diese Anordnung.

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Ein Viereck wird im Allgemeinen eindeutig bestimmt, wenn von den vier Seiten und vier Winkeln fünf gegeben sind.  Ein Dreieck erfordert drei Stücke, für den vierten Eckpunkt des Vierecks benötigt man zwei weitere.  Hat das Viereck spezielle Eigenschaften, so vermindert sich die Anzahl bis auf 1 beim Quadrat.

Diagramm aus elf Vierecken top
Will man auch Vierecke mit Um- und Inkreis berücksichtigen, erweitert man das Diagramm wie folgt.
 

	Sehnenviereck	Die Eckpunkte des Vierecks liegen auf einer Kreislinie.
	Tangentenviereck	Die Seiten des Vierecks berühren einen Kreis.

	Gleichschenkliges Trapez	Es gibt eine Symmetrieachse durch die Mitten der beiden parallelen Seiten.
	Schiefer Drachen	Eine Diagonale halbiert die andere.

Diagramm aus zwölf Vierecken    top
Das folgende Diagramm weicht vom üblichen Schema ab.

	Drachen-Sehnenviereck	Der Drachen hat einen Umkreis.
	Trapez-Tangentenviereck	Das Trapez hat einen Inkreis.
	Sehnentangentenviereck	Es gibt einen In- und Umkreis.

Rechtwinklige Vierecke top

Definition: Ein Viereck ist rechtwinklig, wenn es mindestens einen rechten Winkel hat. Dieses ist mehr eine Spielerei.

Mengendiagramme    top
Man kann die Diagramme auch in Mengendiagramme umwandeln. 
Das ist nicht immer sinnvoll. Das folgende Beispiel zeigt, dass der Sachverhalt evtl. komplizierter dargestellt wird.

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Das ist der untere Teil des Diagramms. Drei Vierecke bilden ein Dreieck, das auf der Spitze steht.  Das Rechteck und die Raute werden zu einem Quadrat, wenn man Eigenschaften vorschreibt.

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Das Mengendiagramm dazu eröffnet eine neue Sichtweise:  Die Menge der Rechtecke und die Menge der Rauten haben eine gemeinsame Schnittmenge, nämlich die Menge der Quadrate.

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Das Elf-Vierecke-Diagramm zum Beispiel enthält viele Dreiecke, die auf der Spitze stehen.  Es gibt also viele Dreierbeziehungen wie oben.

Der Autor ist Peter Jirjahlke. Ich nahm es zum Anlass, um dieses Diagramm herum diese Seite zu machen. 

Verschiebbarer Rahmen   top
In der Sammlung von mathematischen Lehrgeräten meiner bis 2010 existierenden Schule befand sich auch ein Rahmen, mit dem man gängige Vierecke demonstrieren konnte. 
Jede der vier Seiten besteht aus je zwei Holzstäben, die an den Ecken vernietet sind und sich im Inneren mit einer Schlaufe aus Eisenblech umfassen.  Jede Diagonale wird von je zwei Eisenstäben gebildet, die auch an den Ecken befestigt sind und nach Art einer Stabantenne in sich verschiebbar sind.

Hierarchie der Dreiecke   top

Die Dreiecke sind geordnet nach dem Merkmal "Anzahl der gegebenen Stücke".

Hierarchie der Vierecke im Internet    top

Deutsch

Andreas Meier
Besondere Vierecke, Entstehung und Eigenschaften (Online-Programm)

Universität Bayreuth - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik 
Arbeitsblatt Vierecke

Universität Flensburg - Institut für Mathematik und ihre Didaktik - Department IV
Haus der Vierecke

Wikipedia
Viereck, Projektive Geometrie, Wer wird Millionär?  (Strittige Fragen)

David Birch  (Socks and Puppets) 
Quadrilateral Venn Diagramm  ;-)

Mathforum
Venn Diagram to Classify Quadrilaterals

Mike de Villiers
An Extended Classification of Quadrilaterals  (.pdf file)

Saltire Software (Geometry Atlas)
Subcategories of Quadrilaterals

Wikipedia
Quadrilateral, Projective geometry

Referenzen    top
(1) Der Neue Brockhaus, Allbuch in vier Bänden und einem Atlas, Leipzig 1938
(2) Lambacher Schweizer 8, Stuttgart 1995 [ISBN 3-12-730730-6]