30-60-90-Dreieck

Inhalt dieser Seite

Was ist ein 30-60-90-Dreieck?
Größen des Dreiecks
Quadrate im Dreieck
Figuren nur aus 30-60-90-Dreiecken

Zwei Kegel
Eternity Puzzle
30-60-90-Dreieck im Internet
Referenzen.

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Was ist ein 30-60-90-Dreieck?

...... Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck durch eine Höhe, so entsteht ein Dreieck mit den Innenwinkeln 30°, 60° und 90°.
Deshalb nennt man es auch 30-60-90-Dreieck.

Das Besondere an diesem Dreieck ist, dass die Innenwinkel im Verhältnis 1:2:3 stehen.

Wenn auf dieser Seite von einem Dreieck die Rede ist, dann ist es meist das 30-60-90-Dreieck.

Größen des Dreiecks top

...... Ist die Hypotenuse des Ausgangsdreiecks gleich c, so sind die Katheten b=(1/2)c und a=(1/2)sqr(3)c. Für das Seitenverhältnis gilt a:b:c = sqrt(3):1:2.
Der Flächeninhalt ist A=(1/2)ab=(1/8)sqr(3)c².
Der Umfang ist U= a+b+c = (1/2)[(3+sqr(3)]c.

...

Da das 30-60-90-Dreieck rechtwinklig ist, gibt es nur eine Höhe h, die anderen Höhen fallen mit den Katheten zusammen. Die Höhe teilt die Hypotenuse c in die Hypotenusenabschnitte p und q.
Es gilt h=(1/4)sqr(3)c [folgt aus den Flächenformeln (1/2)ab=(1/2)ch]
und p=(3/4)c, q=(1/4)c [folgt aus dem Kathetensatz pc=b² bzw. qc=a²].

...

Wie jedes Dreieck hat das 30-60-90-Dreieck einen Umkreis und einen Inkreis.

Der halbe Umkreis ist der Kreis des Thales mit dem Radius R=c/2.
Der Radius des Inkreises ist r=(1/4)[3 - sqr(3)]c.

Rechnung zum Radius r

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Man betrachte das blaue Dreieck. Es gilt tan(30°) = r/(a-r). Setzt man tan(30°)=1/sqr(3) und a=c/2, so ergibt sich nach einigen Umformungen r = (1/4)[3 - sqr(3)]c.

Quadrate im Dreieck top

...... Man kann ein Quadrat auf zweierlei Weise in ein 30-60-90-Dreieck legen.
Sind die Quadrate gleich groß?

Lösung

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Zur Lösung legt man das Dreieck in ein Koordinatensystem und betrachtet die Geraden g₁ und g₂. Die Gerade g₁ :y=-(b/a)*x+b enthält die Hypotenuse, die Gerade g₂ : y=x ist die 1.Winkelhalbierende und enthält zwei Ecken des Quadrates.

Für den Schnittpunkt der beiden Geraden gilt x = -b/a*x+b oder x=ab/(a+b).

...

Nach dem 2.Strahlensatz (leicht abgewandelt) gilt h:c = (h-x):x. Daraus folgt x=hc/(h+c)

Die Ergebnisse sind bemerkenswert: Die halben Quadratseiten sind in beiden Fällen ein harmonisches Mittel, einmal das von Höhe und Hypotenuse, zum anderen das der beiden Katheten.
Die Aussagen gelten übrigens für beliebige rechtwinklige Dreiecke.

Setzt man die Größen des 30-60-90-Dreiecks ein, so ergibt sich
im ersten Falle x=(1/4)[3-sqr(3)]c (ungefähr 0,32c),
im zweiten Fall x=(1/13)[4sqr(3)-3]c (ungefähr 0,30c).

Figuren aus 30-60-90-Dreiecken top
Quadrate, gleichseitige Dreiecke oder gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke kann man so aneinanderlegen, dass neue Figuren entstehen. Sie heißen dann Polyominos (Pentominos oder Hexominos), Polyiamonds oder Polybolos. Natürlich kann man auch aus 30-60-90-Dreiecken neue Figuren bilden.

...... Man kann zwei Dreiecke schon auf sechs verschiedene Arten zusammensetzen. Als Puzzlestücke sind sie nicht gut geeignet, weil alle Strecken voneinander verschieden sind.

Die Frage ist: Wie viele Figuren kann man aus drei (vier, ...) Dreiecken legen?

Allerdings: Diese Figuren kommen beim Eternity-Spiel vor und heißen Polydrafter (Siehe Linkliste).

Figuren aus sechs Dreiecken

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Zeichnet man in ein gleichseitiges Dreieck alle Höhen ein, so entstehen sechs 30-60-90-Dreiecke. Man kann sie als Tangram-Steine benutzen. (1)

Eine Figur aus acht Dreiecken

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Zeichnet man in ein Rechteck die Diagonalen und die Mittellinien, so entstehen acht rechtwinklige Dreiecke.
Die Figur entspricht der englischen Nationalflagge. Im allgemeinen sind die Dreiecke keine 30-60-90-Dreiecke. Nur wenn die Fahne das Format sqr(3):1 hat, gilt dieses.

Zum Vergleich: Das Din-Format hat das Seitenverhältnis sqr(2):1.

Spirale

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Sechs Geraden treffen sich in einem Punkt und bilden 12 Winkel der Größe 30°.
Gibt man die vertikale Strecke der Länge a vor und führt sie in den Winkelräumen fort, indem man eine Senkrechte zur nächsten Halbgeraden zeichnet, so entsteht eine Folge von immer kleiner werdenden 30-60-90-Dreiecken. Die kürzeren Katheten bilden eine Spirale (rot).
Welchem Grenzwert nähert sich die Länge der Spirale, wenn a gegeben ist?

Lösung

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Gegeben sei a.
Die Folge der Hypotenusen b₁, b₂, b₃, b₄,... bilden eine geometrische Folge.
b₁=2a
b₂ = [(1/2)sqr(3)](2a)
b₃ = [(1/2)sqr(3)]b₂ = [(1/2)sqr(3)]²(2a)
b₄ = [(1/2)sqr(3)]b₃ = [(1/2)sqr(3)]³(2a)
...

Für die kürzeren Katheten, die die Spirale bilden, gilt:
a₁ =a
a₂ = (1/2)b₂ = [(1/2)sqr(3)]a
a₃ = (1/2)b₃ = [(1/2)sqr(3)]²a
a₄ = (1/2)b₄ = [(1/2)sqr(3)]³a
...
Das ist eine geometrische Folge. Die zugehörige Reihe hat den Grenzwert 1/(1-q) = [4+2sqr(3)]a
(ungefähr 7.46a).

Noch zwei Figuren

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Dreiecke in einem 30-60-90-Dreieck

Ein Stern aus neun Dreiecken

Zwei Kegel top

......... Es entstehen zwei Kegel, wenn das Dreieck je um eine der beiden Katheten rotiert.
V(a) sei das Volumen bei Rotation um a, V(b) um b.
Die Volumina der beiden Kegel stehen im Verhältnis V(b):V(a) = sqr(3):1.

Das Dreieck kann sich auch um die Hypotenuse drehen. Dann entsteht ein Doppelkegel mit V(q):V(p)=3:1.

Eternity Puzzle top

...... ...... Bekannt sind Puzzles, bei denen man aus einzelnen Stücken ein rechteckiges Bild zusammensetzen soll.
In diesem Falle gibt es 24 Stücke.

Im Juni 1999 brachte die britische Firma Racing Champions Ltd das sogenannte Eternity Puzzle auf den Markt. Erfinder war Christopher Monckton. Nach (2) wurde das Puzzle mehr 250 000 mal verkauft.

...

Das Puzzle besteht aus 209 Teilen. Jedes Teil besteht aus zwölf 30-60-90-Dreiecken.
Mit diesen Teilen soll ein fast regelmäßiges Zwölfeck ausgelegt werden.
Ist a die Länge der Seite und h die Höhe des gleichseitigen Dreiecks, so hat das Zwölfeck abwechselnd die Seiten 7a und 8h.

Im Mai 2000 lösten zwei Mathematiker aus Cambridge das Puzzle zuerst - mit Computerhilfe.
Mehr findet man über meine Linkliste.

30-60-90-Dreieck im Internet top

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
30-60-90 Triangle, Eternity, Polydrafter

Ed Pegg Jr. (Math Puzzles)
THE ETERNITY PUZZLE

John Page
30°- 60°- 90° Triangle

Lawrence Spector (TheMathPage)
THE 30°-60°-90° TRIANGLE

Stewart T. Coffin
The Puzzling World of Polyhedral Dissections

Wikipedia
Eternity puzzle

Referenzen top
(1) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (ISBN 3-7701-2097-3)
(2) Ingo Althöfer: Eine Million britische Pfund für zwei Mathematiker, Magazin Omega, Spektrum Spezial 4/2003

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