Gleichseitiges Dreieck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein gleichseitiges Dreieck?
Formeln zum Dreieck
Ein Punkt im Dreieck
Quadrat und Dreieck
Dreiecke im Dreieck
Kreis und Dreieck
Das Dreieck auf drei Parallelen
Zwei Fraktale
Erzeugen eines Dreiecks
Das Hasenfenster in Paderborn
Gleichseitiges Dreieck im Internet
Referenzen.
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Was ist ein gleichseitiges Dreieck? 
...... Wie der Name sagt, ist das gleichseitige Dreieck ein Dreieck mit gleich langen Seiten. 
Die Aussage, dass die Innenwinkel die Größe 60° haben, ist damit gleichwertig. 
Wenn auf dieser Seite vom Dreieck die Rede ist, so ist das gleichseitige Dreieck gemeint.


Formeln zum Dreieck    top
Größen des Dreiecks sind die Seite a, die Höhe h, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises r, der Umfang U und der Flächeninhalt A.


Ist die Seite a gegeben, so lassen sich die übrigen Größen aus ihr errechnen. 
...... Es gilt nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+h² = a². Daraus folgt h = (1/2)sqrt(3)a.
Für den Flächeninhalt A = (1/2)ah ergibt sich A = (1/4)sqrt(3)a². - Der Umfang ist 3a.

...... Im Dreieck fallen die Höhen, die Winkelhalbierenden (r), die Seitenhalbierenden und die Mittelsenkrechten (R) zusammen. Sie schneiden sich im Mittelpunkt M des Dreiecks. 
Die Mittellinien (Verbindungslinie zweier Seitenmitten) liegen parallel zu einer Seite und sind halb so groß wie sie. 

...... Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis 1:2. 
Beweis: ED ist Mittellinie und parallel zu AB. Es gilt nach dem zweiten Strahlensatz: MA:MD=AB:ED. Daraus folgt mit AB=a und ED=a/2 die Beziehung MA:MD=2:1, qed.

...... Der Radius des Umkreises und der des Inkreises sind Abschnitte der Höhe. 
Es gilt damit R = (2/3)h = (1/3)sqrt(3)a und r = (1/3)h=(1/6)sqrt(3)a.

Ein Punkt im Dreieck   top
Invarianz der Summe der Abstände
...... Der Satz von Viviani lautet: Ist P ein beliebiger Punkt im Inneren des gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant.
Dieser Satz gilt auch für den Mittelpunkt des Dreiecks, also für P=M. In diesem Falle sind die Abstände gleich den Radien r des Inkreises. 
Also heißt der Satz von Viviani in der Formelsprache: s + t + u = 3r. Es gilt auch 3r = h.


Beweis
...... Der Beweis ergibt sich, wenn man den Punkt P mit den Eckpunkten des Dreiecks verbindet und eine Flächenbilanz zieht.

Gleiche Flächen
Für die Figur gibt es noch einen Satz.
...... Zeichnet man von einem Punkt im Dreieck aus die Lote auf die Seiten und die Verbindungslinien zu den Eckpunkten, so entstehen sechs Dreiecke. 
Die Summe der Flächeninhalte dreier voneinander getrennter Dreiecke ist gleich.

Beweis
...... Zum Beweis zeichnet man durch den Punkt P die drei Parallelen zu den Dreiecksseiten. Dann entstehen an den Ecken Parallelogramme und in der Mitte gleichschenklige Dreiecke. Beide werden halbiert, woraus sich die Flächengleichheit ergibt. 

3-4-5-Punkt
...... Gegeben ist ein Punkt P, der in einem gleichseitigen Dreieck ABC liegt und der von den Eckpunkten die Entfernungen 3,4 und 5 hat. Wie groß ist die Seitenlänge des Dreiecks?
Lösung: a = sqrt[25+12sqrt(3)]

Quadrat und Dreieck   top
Quadrat im Dreieck 1
...... Man kann in ein gleichseitiges Dreieck ein auf der Spitze stehendes Quadrat legen, so dass es die Seiten berührt. 


...... Es sei a die Seite des Dreiecks und b die Seite des Quadrates. 
Dann gilt: b = (1/4)[3sqrt(2)-sqrt(6)]a (ungefähr 0,448a).
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Strahlensatzes (blau) und den Beziehungen 
h = (1/2)sqrt(3)a und b = sqrt(2)x her.
Quadrat im Dreieck 2
...... Dieses ist ein anderes Quadrat, das in das Dreieck passt. Es steht auf der Grundseite. Es hat die Seitenlänge x=[2sqrt(3)-3]a oder gerundet x=0,464a. 
Es ist etwas größer als das Quadrat oben mit 0,448a.

Herleitung der Formel
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt h:(a/2)=(h-x):(x/2) oder h:a=(h-x):x. Die Produktgleichung ist hx=a(h-x). Dann ist hx=ah-ax oder (h+a)x=ah oder x=(ah)/(h+a).
Setzt man h=(1/2)sqrt(3)a, so erhält man x=[(1/2)sqrt(3)a]/[(1/2)sqrt(3)+1] oder x=[sqrt(3)a]/[sqrt(3)+2)].
Der Nenner wird rational, wenn man den Bruch mit 2-sqrt(3) erweitert. Das führt zu x=[2sqrt(3)-3]a.

Dreieck im Quadrat 1
....... Man kann ein gleichseitiges Dreieck in ein Quadrat  legen, so dass es eine Ecke mit dem Quadrat gemeinsam hat und zwei Seiten berührt. 

...... Es sei a die Seite des Quadrates und b die Seite des Dreiecks. Dann gilt: b = [sqrt(6)-sqrt(2)]a (ungefähr 1,035a).
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (blau und grün) her. Man gelangt zu einer quadratischen Gleichung, deren positive Lösung man nehmen muss.

Quadrat im Dreieck 2
...... Dieses ist ein anderes Dreieck, das in das Quadrat passt. Seine Grundseite ist die  Quadratseite. Es hat eine Seitenlänge von a und ist deshalb ein wenig kleiner als das Dreieck oben mit 1,035a.

Dreiecke im Dreieck    top
Gedrehtes und gestauchtes Dreieck
...... Sucht man Punkte, die die Seiten im Verhältnis 1:2 teilen, und verbindet sie, 
erhält man ein kleineres (gleichseitiges) Dreieck der Seitenlänge x = (1/3)sqrt(3)a.


Beweis
...... Man berechnet die Dreiecksseite x im gelben Dreieck nach dem Kosinussatz. In der Zeichnung ist k=1/3.
Man erhält allgemein die Dreiecksseite als x = sqrt(3k²-3k+1)a.

Das innere Dreieck
...... Verbindet man die Punkte, die die Seiten im Verhältnis 1:2 teilen, mit den gegenüber liegenden Eckpunkten, entsteht in der Mitte ein (gleichseitiges) Dreieck der Seitenlänge x = sqrt(7)/7a. (3, Seite 67ff.)

Ersetzt man die Zahl 1/3 durch k, so ist die Seitenlänge x=(1-2k)/sqrt(1-k+k²)a.

Beweis des allgemeinen Falles, zugesandt von Erhard Schuller
Es sei AB=a. Dann ist BD=ka.
Nach dem Kosinussatz ist CD²=BC²+BD²-2BC*BD*cos(60°) oder 
CD²=a²+(ka)²-2a(ka)(1/2)=a²+k²a²-ka² oder CD=sqrt(1-k+k²)a.
Die Dreiecke BCD und BED sind ähnlich, da sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
Es gelten zwei Proportionen, nämlich
BC:CD=BE:BD oder a:[sqrt(1-k+k²)a]=BE:ka oder BE=(ka)/sqrt(1-k+k²) und
BC:BD=BE:DE oder a:ka=[(ka)/sqrt(1-k+k²)]:DE oder DE=(k²a)/sqrt(1-k+k²).
x=CD-DE-FC=AE-BE-TE=sqrt(1-k+k²)a-(ka)/sqrt(1-k+k²)-(k²a)/sqrt(1-k+k²)=(1-2k)/sqrt(1-k+k²)*a, wzbw.

Napoleons Dreieck 
Die folgende interessante Figur wird Napoleon zugeschrieben.
...... Zeichne ein beliebiges Dreieck (schwarz). 
Zeichne über den drei Seiten gleichseitige Dreiecke.
Suche ihre Mittelpunkte.
Verbinde die Mittelpunkte dieser Dreiecke.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden.
Die Dreiecke können auch nach innen gelegt werden. 
Die Umkreise der gleichseitigen Dreiecke schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt (3, Seite 67ff.).


Morleys Dreieck 
... Zeichne ein beliebiges Dreieck
Teile die drei Innenwinkel in drei gleiche Teile.
Verbinde passende Schnittpunkte der Teilungslinien.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden.

......
Man erhält schöne Muster, 
wenn man das Dreieck 
in gleiche Dreiecke aufteilt.
......

...... Zeichnet man in das Dreieck alle Höhen ein, so entstehen sechs 30-60-90-Dreiecke. Man kann sie als Tangram-Steine benutzen.(2)

......
Lässt man den kürzeren Abschnitt einer Höhe weg, so entstehen drei 30-120-30-Dreiecke. 
Die Figur links kann als Aufsicht auf ein Tetraeder gedeutet werden.
Setzt man an das Dreieck noch zwei 30-120-30-Dreiecke, so erhält man ein Dreieck aus fünf ähnlichen Dreiecken.

Kreis und Dreieck    top
Kreisfiguren
Es gibt eine Reihe von Kreisfiguren, die zu einem gleichseitigen Dreieck in Beziehung stehen.

...................................
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.

Malfattis Problem
......
...
Es geht darum, in einem Dreieck drei sich berührende Kreise zu finden, die zusammen einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Ein Sonderfall ist: Die Kreise sind gleich groß. 

...... Es gilt h=2r+sqrt(3)r+r. Mit h=(1/2)sqrt(3)a ergibt sich r=(1/4)[sqrt(3)-1]a.

Malfatti glaubte, dass dies die Lösung ist. Das ist nicht richtig. 
Näheres siehe z.B. bei de.wikipedia unter Malfatti-Kreis (URL unten)

Das Dreieck auf drei Parallelen        top
...... Sind drei Parallelen mit den Abständen a, b und a+b gegeben, so ist es leicht, ein Dreieck zu finden, dessen Eckpunkte auf den Parallelen liegen. Es ist gar nicht so einfach, ein oder besser das gleichseitige Dreieck zu finden. 


Beweis 
x sei die Seitenlänge des gesuchten Dreiecks.
...... Man kann zweimal die Sinusformel anwenden und erhält zwei Gleichungen in x und alpha. 
Löst man sie auf, erhält man x=(2/3)sqrt(3)sqrt(a²+ab+b²)..

Zwei Fraktale     top
Koch-Kurve (Schneeflockenkurve) 
Ausgangsfigur für die Koch-Kurve ist ein gleichseitiges Dreieck der Seite a (1.Figur). Teilt man die Seiten des Dreiecks in drei gleiche Teile und setzt auf die mittlere Strecke ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a/3, so entsteht Figur 2. Man wiederholt diese Regel: Man teilt jede der 12 Strecken mit der Länge a/3 in drei gleiche Teile und setzt in die Mitte wieder ein Dreieck, dieses Mal mit der Länge a/9, so entsteht Figur 3. Figur 4 entsteht durch den nächsten Schritt. Man muss sich vorstellen, dass die Regel beliebig oft wiederholt wird.

Begleitet man die Bilder mit Rechnungen, so gelangt man zu zwei merkwürdigen Aussagen: Der Umfang U(n) wächst über alle Grenzen, der Flächeninhalt A(n) nähert sich der Zahl 8/5A.
Der Name Koch-Kurve geht auf den schwedischen Mathematiker Helge von Koch  (1870-1924) zurück, der sie 1904 als erster beschrieb.


Sierpinski-Dreieck
Ausgangspunkt für das Sierpinski-Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck (Figur 1). Man schneidet das Mittendreieck aus (Figur 2). Es bleiben drei (rote) Dreiecke zurück. Aus ihnen schneidet man wiederum die Mittendreiecke heraus. Es entsteht Figur 3. In Figur 4 werden nochmals die Mittendreiecke herausgenommen. Diese Prozedur wiederholt man beliebig oft, so dass das Ausgangsdreieck immer mehr durchlöchert wird.
Die Rechnung führt zu merkwürdigen Aussagen: Der Umfang der Dreiecke wächst über alle Grenzen, der Flächeninhalt geht gegen 0.
Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969) war ein polnischer Mathematiker, der sich mit (mengentheoretischer) Topologie beschäftigte. 

Erzeugen eines Dreiecks     top
Es ist üblich, ein gleichseitiges Dreieck mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
...... Man zeichnet eine Strecke, die später Seite des Dreiecks wird, dann je eine Kreislinie  um ihre Endpunkte mit dem Radius der Strecke. Einen Schnittpunkt der Kreise verbindet man mit den Endpunkten der Strecke. 


Ein Dreieck kann man auch durch Falten erzeugen.
1 Gegeben ist ein Streifen Papier. 
2 Man halbiert den Streifen.
3 Man legt die obere linke Ecke auf die Mittellinie und sorgt gleichzeitig dafür, dass die Faltlinie durch die untere linke Ecke geht. 
4 Man faltet weiter an der roten Linie und macht die beiden Faltungen wieder rückgängig.
5 Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. (4)
Bliebe noch der Beweis dafür, dass das Dreieck gleichseitig ist. Die blaue Hilfslinie liefert ihn: 
...... Gibt man den Winkel alpha vor, so ist alpha1 = alpha wegen des Faltens an der Geraden AB und alpha2 = alpha wegen des Faltens an der Mittellinie m. Zusammen bilden die drei Winkel einen gestreckten Winkel von 180°. Also bleibt für jeden Winkel 60°. 
Übrigens kann man nach dieser Methode einen Streifen aus gleichseitigen Dreiecken falten. Den Streifen braucht man für Flexagons.

Man kann ein Dreieck basteln
>Drei Streichhölzer, Zahnstocher oder Schaschlikstäbe, verbunden mit Kleber, Kitt- oder Knet- oder Bostikkügelchen, bilden ein Dreieck.
>Man steckt drei Trinkhalme mit einem "Gelenk" ineinander. Die inneren Halme schneidet man längs ein.
>Man lötet drei Drähte zusammen oder man biegt einen Draht zu einem Dreieck. Dann muss man nur einmal löten.
>Man verbindet drei gleich lange Stabmagnete mit Kugeln.

Das Hasenfenster in Paderborn      top
Das Hasenfenster befindet sich im Kreuzgang des Paderborner Doms. Es ist das Maßwerk eines gotischen Fensters aus dem 16.Jahrhundert.


"Drei Hasen und der Löffel drei - und dennoch hat ein jeder zwei"
Die Ohren bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Gleichseitige Dreiecke auf meiner Homepage
Ebene Figuren


Dreiteilung eines Dreiecks



Figuren in einem Dreieck


Sechseck

Neuneck

Sterne

Asymmetrische Propeller 


Homogene Parkettierungen

Puzzles

Trihexaflexagon

Hexahexaflexagon


Polyiamonds

Kaleidozyklen

Cube One

Tetra One

Tetraeder Puzzles


Triominos-Puzzles

Körper
Platonische Körper

Archimedische Körper



Konvexe Deltaeder


Bipyramide

Antiprisma

Hyperprisma in 3D

Gleichseitiges Dreieck im Internet    top

Englisch

Alexander Bogomolny  (Cut The Knot)
Napoleon's TheoremMorley's Miracle

Ask Dr. Math   (The Math Forum)
Triangle Formulas

efg's Computer Lab
Sierpinski Triangle

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Equilateral triangleNapoleon triangleRouth's Theorem,  MalfattisProblem

Kevin Brown (mathpages.com)
Napoleon's Theorem

Torsten Sillke
grid-triangles

Wikipedia
Equilateral triangleViviani's theoremNapoleon's theorem, Morley's trisector theorem
Koch snowflake, Sierpinski triangle, Malfatti circles



Deutsch

Jürgen Kummer
Gleichseitiges-Dreieck-Rechner

Wikpedia
Gleichseitiges DreieckSatz von Viviani, Napoleon-Dreieck, Morley-Dreieck, Koch-Kurve, Sierpinski-Dreieck,Malfatti-Kreis


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig 1971 (ISBN 3-528-08402-2)
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (ISBN 3-7701-2097-3)
(3) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988 (ISBN 3550076924)
(4) Kunihiko Kasahara, Origami - figürlich und geometrisch, München 2000 (ISBN 3-8043-0664-0)


Ich bedanke mich bei Torsten Sillke für Unterstützung.

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©  2003 Jürgen Köller

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