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Was ist ein gleichseitiges Dreieck?
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Wie der Name sagt, ist das gleichseitige Dreieck ein Dreieck mit gleich
langen Seiten.
Die Aussage, dass die Innenwinkel die Größe 60° haben,
ist damit gleichwertig. |
Wenn auf dieser Seite vom Dreieck die Rede ist, so ist das gleichseitige
Dreieck gemeint.
Formeln zum Dreieck top
Das Dreieck hat die Größen: Seite a, Höhe h, Radius
des Umkreises R, Radius des Inkreises r, Umfang U und Flächeninhalt
A.
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Es gilt nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+h² = a².
Daraus folgt h = (1/2)*sqr(3)*a.
Für den Flächeninhalt A = (1/2)*a*h ergibt sich A = (1/4)*sqr(3)*a².
- Der Umfang ist 3*a. |
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Der Radius des Umkreises und der des Inkreises sind Abschnitte der
Höhe.
Es gilt damit R = (2/3)*h = (1/3)*sqr(3)*a und r = (1/3)*h=(1/6)*sqr(3)*a. |
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Im Dreieck fallen die Höhen, die Winkelhalbierenden (r), die Seitenhalbierenden
und die Mittelsenkrechten (R) zusammen. Sie schneiden sich im Mittelpunkt
M des Dreiecks. Die Mittellinien (Verbindungslinie zweier Seitenmitten)
liegen parallel zu einer Seite und sind halb so groß wie sie. |
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Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis 1:2.
Beweis: ED ist Mittellinie und parallel zu AB. Es gilt nach dem zweiten
Strahlensatz: MA:MD=AB:ED. Daraus folgt mit AB=a und ED=a/2 die Beziehung
MA:MD=2:1, qed. |
Ein Punkt im Dreieck top
Invarianz der Summe der Abstände
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Der Satz von Viviani lautet: Ist P ein beliebiger Punkt im Inneren
des gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände dieses
Punktes von den Seiten konstant. |
Dieser Satz gilt auch für den Mittelpunkt des Dreiecks, also für
P=M. In diesem Falle sind die Abstände gleich den Radien r des Inkreises.
Also heißt der Satz von Viviani in der Formelsprache: s + t + u =
3*r. Es gilt auch 3*r = h.
Beweis:
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Der Beweis ergibt sich, wenn man den Punkt P mit den Eckpunkten des
Dreiecks verbindet und eine Flächenbilanz zieht. |
Gleiche Flächen
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Für die Figur gibt es noch einen Satz.
Zeichnet man von einem Punkt im Dreieck aus die Lote auf die Seiten
und die Verbindungslinien zu den Eckpunkten, so entstehen sechs Dreiecke.
Die Summe der Flächeninhalte dreier voneinander getrennter Dreiecke
ist gleich. |
Beweis:
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Zum Beweis zeichnet man durch den Punkt P die drei Parallelen zu den
Dreiecksseiten. Dann entstehen an den Ecken Parallelogramme und in der
Mitte gleichschenklige Dreiecke. Beide werden halbiert, woraus sich die
Flächengleichheit ergibt. |
3-4-5-Punkt
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Gegeben ist ein Punkt P, der in einem gleichseitigen Dreieck ABC liegt
und der von den Eckpunkten die Entfernungen 3,4 und 5 hat. Wie groß
ist die Seitenlänge des Dreiecks?
Lösung: a = sqr[25+12*sqr(3)] |
Quadrat und Dreieck top
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Man kann in ein gleichseitiges Dreieck ein auf der Spitze stehendes
Quadrat legen, so dass es die Seiten berührt.
Es sei a die Seite des Dreiecks und b die Seite des Quadrates.
Dann gilt: b = (1/4)*[3*sqr(2)-sqr(6)]*a (ungefähr 0,49*a).
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Strahlensatzes (blau) und den
Beziehungen h = (1/2)*sqr(3)*a und b = sqr(2)*x her. |
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Dieses ist ein anderes Quadrat, das in das Dreieck passt. Es steht
auf der Grundseite. Es hat die Seitenlänge [2*sqr(3)-3]*a oder gerundet
0,46*a. Es ist etwas kleiner als das Quadrat oben mit 0,49a. |
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Man kann ein gleichseitiges Dreieck in ein Quadrat legen, so
dass es eine Ecke mit dem Quadrat gemeinsam hat und zwei Seiten berührt.
Es sei a die Seite des Quadrates und b die Seite des Dreiecks. Dann
gilt: b = [sqr(6)-sqr(2)]*a (ungefähr 1.03*a).
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (blau und
grün) her. Man gelangt zu einer quadratischen Gleichung, deren positive
Lösung man nehmen muss. |
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Dieses ist ein anderes Dreieck, das in das Quadrat passt. Es liegt
auf der Grundseite. Es hat eine Seitenlänge von a und ist deshalb
ein wenig kleiner als das Dreieck oben mit 1,03*a. |
Dreieck(e) im Dreieck top
Gedrehtes und gestauchtes Dreieck
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Sucht man Punkte, die die Seiten im Verhältnis 1:2 teilen, und
verbindet sie,
erhält man ein kleineres (gleichseitiges) Dreieck der Seitenlänge
x = sqr(3)/3*a. |
Beweis:
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Man berechnet die Dreiecksseite x im gelben Dreieck nach dem Kosinussatz.
In der Zeichnung ist k=1/3. |
Man erhält allgemein die Dreiecksseite als x = sqr(3*k²-3*k+1)*a.
Das innere Dreieck
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Verbindet man die Punkte, die die Seiten im Verhältnis 1:2 teilen,
mit den gegenüberliegenden Eckpunkten, entsteht in der Mitte eine
(gleichseitiges) Dreieck der Seitenlänge x = sqr(7)/7*a. (3, Seite
67ff.)
Allgemein gilt x=(1-2k)/sqr(1-k-k²), wenn k=1/3 durch k ersetzt
wird. |
Beweis:
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Eine Formel für die Dreieckslänge x
kann mit den Mitteln der Vektorrechnung hergeleitet werden.
Dazu bildet man in den Dreiecken ABT und ACS
Vektorketten, die man in Linearkombinationen in den Vektoren zu AB und
AC umwandelt. Die lineare Unabhängigkeit der Seitenvektoren führt
schließlich zu x=(1-2k)/sqr(1-k+k²) |
Napoleons Dreieck
top
Die folgende interessante Figur wird Napoleon zugeschrieben.
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Zeichne ein beliebiges Dreieck (schwarz).
Zeichne über den drei Seiten gleichseitige Dreiecke.
Suche ihre Mittelpunkte.
Verbinde die Mittelpunkte dieser Dreiecke.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. |
Die Dreiecke können auch nach innen gelegt werden.
Die Umkreise der gleichseitigen Dreiecke schneiden sich in einem gemeinsamen
Punkt.(3, Seite 67ff.)
Morleys Dreieck top
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Zeichne ein beliebiges Dreieck
Teile die drei Innenwinkel in drei gleiche Teile.
Verbinde passende Schnittpunkte der Teilungslinien.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. |
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Man erhält schöne Muster,
wenn man das Dreieck
in gleiche Dreiecke aufteilt. |
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Zeichnet man in das Dreieck alle Höhen ein, so entstehen sechs
30-60-90-Dreiecke. Man kann sie als Tangram-Steine benutzen.(2) |
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Lässt man den kürzeren Abschnitt einer Höhe weg, so
entstehen drei 30-120-30-Dreiecke.
Die Figur links kann als Aufsicht auf ein Tetraeder gedeutet werden. |
Setzt man an das Dreieck noch zwei 30-120-30-Dreiecke, so erhält man
ein Dreieck aus fünf ähnlichen Dreiecken.
Kreis und Dreieck top
Kreisfiguren
Es gibt eine Reihe von Kreisfiguren, die zu einem
gleichseitigen Dreieck in Beziehung stehen.
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Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.
Malfattis Problem
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Es geht darum, in einem Dreieck drei sich berührende Kreise zu
finden, die zusammen einen möglichst großen Flächeninhalt
haben. Ein Sonderfall ist: Die Kreise sind gleich groß. Das Dreieck
ist gleichseitig.
Malfatti glaubte, dass dies die Lösung ist. Das ist nicht richtig.
(Siehe Linkliste unten) |
Es gilt für die rechte Zeichnung: h=2r+sqrt(3)r+r. Mit h=sqrt(3)/2*a
ergibt sich r=[sqrt(3)-1]*a.
Das Dreieck auf drei
Parallelen top
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Sind drei Parallelen mit den Abständen a, b und a+b gegeben, so
ist es leicht, ein Dreieck zu finden, dessen Eckpunkte auf den Parallelen
liegt. Es ist gar nicht so einfach, ein oder besser das gleichseitige Dreieck
zu finden. |
Beweis:
x sei die Seitenlänge des gesuchten Dreiecks.
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Man kann zweimal die Sinusformel anwenden und erhält zwei Gleichungen
in x und alpha.
Löst man sie auf, erhält man tan(alpha)=sqr(a)/(a+2*b) und
x=2/3*sqr(3)*sqr(a²+ab+b²).. |
Zwei Fraktale top
Koch-Kurve (Schneeflockenkurve)
Ausgangsfigur für die Koch-Kurve ist ein
gleichseitiges Dreieck der Seite a (1.Figur). Teilt man die Seiten des
Dreiecks in drei gleiche Teile und setzt auf die mittlere Strecke ein gleichseitiges
Dreieck mit der Seite a/3, so entsteht Figur 2. Man wiederholt diese Regel:
Man teilt jede der 12 Strecken mit der Länge a/3 in drei gleiche Teile
und setzt in die Mitte wieder ein Dreieck, dieses Mal mit der Länge
a/9, so entsteht Figur 3. Figur 4 entsteht durch den nächsten Schritt.
Man muss sich vorstellen, dass die Regel beliebig oft wiederholt wird.
Begleitet man die Bilder mit Rechnungen, so gelangt man zu zwei merkwürdigen
Aussagen: Der Umfang U(n) wächst über alle Grenzen, der Flächeninhalt
A(n) nähert sich der Zahl 8/5A.
Der Name Koch-Kurve geht auf den schwedischen Mathematiker Helge von
Koch (1870-1924) zurück, der sie 1904 als erster beschrieb.
Sierpinski-Dreieck
Ausgangspunkt für das Sierpinski-Dreieck ist ein gleichseitiges
Dreieck (Figur 1). Man schneidet das Mittendreieck aus (Figur 2). Es bleiben
drei (rote) Dreiecke zurück. Aus ihnen schneidet man wiederum die
Mittendreiecke heraus. Es entsteht Figur 3. In Figur 4 werden nochmals
die Mittendreiecke herausgenommen. Diese Prozedur wiederholt man beliebig
oft, so dass das Ausgangsdreieck immer mehr durchlöchert wird.
Die Rechnung führt zu merkwürdigen Aussagen: Der Umfang der Dreiecke
wächst über alle Grenzen, der Flächeninhalt geht gegen 0.
Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969) war ein polnischer Mathematiker,
der sich mit (mengentheoretischer) Topologie beschäftigte.
Erzeugen eines Dreiecks top
Es ist üblich, ein gleichseitiges Dreieck mit Zirkel und Lineal
zu konstruieren.
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Man zeichnet eine Strecke, die später Seite des Dreiecks wird,
dann je eine Kreislinie mit dem Radius der Strecke um ihre Endpunkte. Einen
Schnittpunkt der Kreise verbindet man mit den Endpunkten der Strecke. |
Ein Dreieck kann man auch durch Falten
erzeugen.
1 Gegeben ist ein Streifen Papier.
2 Man halbiert den Streifen.
3 Man legt die obere linke Ecke auf die Mittellinie und sorgt gleichzeitig
dafür, dass die Faltlinie durch die untere linke Ecke geht.
4 Man faltet weiter an der roten Linie und macht die beiden Faltungen
wieder rückgängig.
5 Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. (4)
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Bliebe noch der Beweis dafür, dass das Dreieck gleichseitig ist.
Die blaue Hilfslinie liefert ihn:
Gibt man den Winkel alpha vor, so ist alpha1 = alpha wegen des Faltens
an der Geraden AB und alpha2 = alpha wegen des Faltens an der Mittellinie
m. Zusammen bilden die drei Winkel einen gestreckten Winkel von 180°.
Also bleibt für jeden Winkel 60°. |
Übrigens kann man nach dieser Methode einen Streifen aus gleichseitigen
Dreiecken falten. Den Streifen braucht man für Flexagons.
Man kann ein Dreieck basteln.
>Drei Streichhölzer, Zahnstocher oder Schaschlikstäbe, verbunden
mit Kleber, Kitt- oder Knet- oder Bostikkügelchen, bilden ein Dreieck.
>Man steckt drei Trinkhalme mit einem "Gelenk" ineinander. Die inneren
Halme schneidet man längs ein.
>Man lötet drei Drähte zusammen oder man biegt einen Draht
zu einem Dreieck. Dann muss man nur einmal löten.
>Man verbindet drei gleich lange Stabmagnete mit Kugeln.
Das Hasenfenster in Paderborn
top
Das Hasenfenster befindet sich im Kreuzgang des Paderborner Doms. Es
ist das Maßwerk eines gotischen Fensters aus dem 16.Jahrhundert.
"Drei Hasen und der Löffel drei - und dennoch hat ein jeder zwei"
Die Ohren bilden ein gleichseitiges Dreieck.
Gleichseitiges Dreieck
im Internet top
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut The Knot)
Napoleon's
Theorem, Morley's
Miracle
Ask Dr. Math (The Math Forum)
Triangle
Formulas
efg's Computer Lab
Sierpinski
Triangle
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Equilateral
triangle, Napoleon
triangle, Routh's
Theorem
Kevin Brown (mathpages.com)
Napoleon's
Theorem
Torsten Sillke
grid-triangles
Wikipedia
Equilateral
triangle, Viviani's
theorem, Napoleon's
theorem, Morley's
trisector theorem, Koch
snowflake,
Sierpinski
triangle
Deutsch
Norbert Treitz (Uni Duisburg)
Das
innere Dreieck
Wikpedia
Gleichseitiges
Dreieck, Satz
von Viviani, Napoleon-Dreieck,
Morley-Dreieck,
Koch-Kurve,
Sierpinski-Dreieck
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig 1971 (ISBN
3-528-08402-2)
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (ISBN 3-7701-2097-3)
(3) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988 (ISBN 3550076924)
(4) Kunihiko Kasahara, Origami - figürlich und geometrisch, München
2000 (ISBN 3-8043-0664-0)
Auf dieser Seite fehlen Figuren aus Dreiecken, Polyiamonds.
Körper aus Dreiecken findet man unter Deltaeder,
Tetraeder,
Oktaeder,
Ikosaeder
und Platonische Körper .
Abgestumpftes Tetraeder, Abgestumpfter
Würfel, Abgestumpftes Dodekaeder,
Ikosidodekaeder,
Kleines Rhombenkuboktaeder,
Kleines
Rhombenikosidodekaeder,
Abgeschrägter
Würfel,
Abgeschrägtes Dodekaeder,
Archimedische Körper,
Kuboktaeder, Hypertetraeder,
Deltaeder,
Dreiseitiges Prisma, Bipyramiden,
Quadratisches Antiprisma,
Auch auf meinen Seiten Asymmetrischer
Propeller und Napoleon-Dreieck, Flexagon,
Hexahexaflexagon,
Kaleidozyklen, Parkettierung
mit Vielecken und Figuren in einer
Figur zählen geht es auch um gleichseitige Dreiecke.
Ich bedanke mich bei Torsten Sillke für Unterstützung.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
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