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Was ist Tetra One?
Tetra One ist nach Cube One ein weiteres
Puzzle des Grafik-Designers, Malers und Zeichners Dieter A.W. Junker aus
Kassel.
Das Ziel ist es, aus zwei 12-gliedrigen Kaleidozyklen (Ketten von
Dreieckspyramiden) ein Tetraeder zu bauen.
Erste Beschreibung
top
Beide Kaleidozyklen bestehen aus je 12 dreieckigen Pyramiden, vier
großen und acht kleinen. Sie bilden sechs Paare zueinander spiegelbildlicher
Pyramiden.
Die großen Pyramiden sind in Rottönen gehalten, die kleinen
Pyramiden tragen die Farben rot, blau, hell- und dunkelgrau.
Die beiden Kaleidozyklen unterscheiden sich nur in der Anordnung der
Pyramiden. Einmal liegen zwischen den großen Pyramiden je vier kleine,
einmal sechs und zwei.
Mathematischer
Hintergrund top
Das gelöste Tetraeder zeigt, dass die folgende Aufteilung des
Tetraeders dem Puzzle zugrunde liegt.
Das Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale Sicht.
Durch die Verbindungslinien der Kantenmitten entstehen in der Mitte
ein Oktaeder und in den vier Ecken vier Tetraeder mit halber Kantenlänge.
Zeichnet man in das Oktaeder die drei Raumdiagonalen ein, so ergibt sich
eine Aufteilung des Oktaeders in acht Viertelpyramiden.
Somit ist das Gesamttetraeder in 4+8=12 Pyramiden aufgeteilt. Bei Tetra
One kommt man auf insgesamt 24 Pyramiden, weil jede Pyramide noch halbiert
wird.
Halbierungen
der Dreieckspyramiden top
Ecktetraeder
Von einer Kantenmitte aus werden die Verbindungslinien zu zwei Eckpunkten
gezeichnet. Es ergeben sich zwei halb so große Halbtetraeder.
Das gemeinsame Dreieck ist bei Tetra One rot.
Viertelpyramiden
Hier ist noch einmal das zentrale Oktaeder in der Aufteilung in acht
Viertelpyramiden.
... ...T |
Die Viertelpyramide wird halbiert, indem man wieder von einer Kantenmitte
aus die Verbindungslinien zu zwei Eckpunkten zeichnet. Es ergeben sich
zwei halb so große Achtelpyramiden.
Das gemeinsame Dreieck ist bei Tetra One rot. |
Die oben genannten großen und kleinen Pyramiden der Kaleidozyklen
heißen also treffender Halbtetraeder und Achtelpyramiden.
Netze top
Das sind die Netze der Pyramiden, die die Ketten bilden.
Halbtetraeder
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Achtelpyramide
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Vergleich
der Volumina top
Das Tetraeder hat
allgemein das Volumen VT=(1/12)sqrt(2)a³, das Oktaeder
VO=(1/3)sqrt(2)a³.
Dabei ist a die Kantenlänge dieser Körper.
Für das Halbtetraeder
heißt das V1=(1/2)(1/12)sqrt(2)(a/2)³=(1/192)a³
Für die Achtelpyramide heißt das V2=(1/16)(1/3)sqrt(2)(a/2)³=(1/384)a³.
Damit ist das Halbtetraeder doppelt so groß
wie die Achtelpyramide.
Eine
Spitze für Tetra One top
... ... |
Bei Betrachtung des gelösten Tetraeders fällt auf, dass die
Ecktetraeder und auch die Viertelpyramiden, die außen blau gefärbt
sind, in unregelmäßiger Weise halbiert sind.
Um die Lage der Halbierungslinien besser beschreiben zu können,
soll für
Tetra One eine Spitze definiert werden. |
... ... |
Alle Eckpyramiden sind mit einem Scharnier mit dem Oktaeder verbunden.
Eine Eckpyramide wurde links entfernt. Eingezeichnet ist nur das Scharnier
als rote Strecke. Man kann nun in Pfeilrichtung eine Viertelpyramide (oder
zwei Achtelpyramiden) hochheben. Das ist nur an einer Ecke möglich.
Diese Ecke soll die Spitze von Tetra One sein. |
Lage der
Halbierungen top
Die Skizze zeigt die Lage der Halbierungslinien der Ecktetraeder.
Das blaue Dreieck gehört zum "Deckel", der Viertelpyramide, die man
hochheben kann.
Halbierungslinien der Viertelpyramiden
Die Ecktetraeder werden weggelassen.
Das blaue Dreieck ist wieder der Deckel der Viertelpyramide.
Die roten Linien sind die Halbierungslinien, die man außen sehen
kann.
Lage
des Kaleidozyklus II in Tetra One top
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Klappt man die Spitze nach vorne rechts und die Viertelpyramide nach
hinten rechts, so kann man das Kaleidozyklus I herausheben. |
... ... |
Dann ergibt sich das nebenstehende Bild, wenn man die obere Viertelpyramide
wieder zurückklappt.
So liegt Kaleidozyklus II in Tetra One. |
Vielleicht wird die Lage dieses Kaleidozyklus
deutlicher, wenn man wieder alle Ecktetraeder weglässt und das Oktaeder
in der Aufsicht zeigt.
... ... |
Das Dreieck ABF gehört zum Deckel von Tetra One.
Die restlichen Viertelpyramiden liegen unten wie auch zwei Ecktetraeder,
die hier nicht eingezeichnet sind. |
Kaleidozyklus I ergänzt dann II zu Tetra One.
Viel Spaß beim Lösen von Tetra One. Trotz meiner Beschreibung
bleibt die Lösung eine Herausforderung.
Weitere Puzzles mit Tetraedern findet man auf meiner Seite Tetraeder-Puzzles.
Tetra One
im Internet top
Dieter A.W. Junker
Flyping Games (Deutsch/Englisch)
Feedback: Emailadresse auf
meiner Hauptseite
Diese
Seite ist bald auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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