Tetraeder

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Was ist ein Tetraeder?
Größen des Tetraeders
Tetrapod
Tetraederzahlen

Ein Tetraeder im Würfel
Ringe aus Tetraedern
Der Tetraeder von Bottrop
Tetraeder im Internet.

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Was ist ein Tetraeder?

Ein Tetraeder ist ein Körper aus vier gleichseitigen Dreiecken. In der obigen Darstellung (1) kann man drei Dreiecke hochklappen und erhält das Tetraeder in der Aufsicht (2). Es wird im allgemeinen im Schrägbild dargestellt (3).

Wenn man vom Wort Tetraeder her kommt (Tetraeder heißt Vierflächner), könnte man jede Dreieckspyramide Tetraeder nennen. Manchmal wird das Wort auch mit dieser Bedeutung verwendet. Auf dieser Webseite soll das Tetraeder die oben beschriebene gerade, regelmäßige Dreieckspyramide sein.

Größen des Tetraeders top
Höhe und Flächeninhalt des Seitendreiecks
Ein Tetraeder wird von vier kongruenten, gleichseitigen Dreiecken gebildet.

... Ein Dreieck wird herausgegriffen: Wie bei jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt. Das ist der Mittelpunkt des Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras lässt sich die Höhe aus der Seitenlänge a als h=sqr(3)/2*a errechnen.

Die Höhen sind gleichzeitig Seitenhalbierende und schneiden sich im Verhältnis 2:1. Das wird in den folgenden Formelherleitungen verwendet.

Die Fläche des Dreiecks ist gleich A=sqr(3)/4*a².

Raumhöhe

Die Höhe des Tetraeders hat als Fußpunkt den Mittelpunkt des Grunddreiecks (1) und verläuft durch die Spitze (2). Zur Berechnung betrachtet man das sogenannte Stützdreieck (3, gelb), das von einer Seitenkante und zwei Seitenhöhen gebildet wird. Mit dem Satz des Pythagoras berechnet man H=sqr(6)/3*a (4).

Mittelpunkt, Umkugel und Inkugel

Der Mittelpunkt eines Tetraeders ist der Schnittpunkt zweier Raumhöhen (1,2,3). Er ist sowohl Schwerpunkt, Mittelpunkt einer Kugel durch die vier Eckpunkte als auch Mittelpunkt der größten Kugel, die noch in das Tetraeder passt (4).

...	Mit dem Satz des Pythagoras R²=r²+[2/3h]² (1) und H=R+r (2) erhält man zwei Bestimmungsgleichungen für R und r. Setze h=sqr(3)/2*a.

Winkel

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Der Neigungswinkel (Böschungswinkel) einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche taucht im gelben Stützdreieck auf.
Er beträgt 70,5°.

Oberfläche

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Die Grundfläche und die drei Seitenflächen bilden zusammen die Oberfläche.
Es gilt O=4*A(Dreieck) = sqr(3)a².

Volumen

Legt man um das Tetraeder ein Prisma (1) mit dem Volumen A(Dreieck)*H und verschiebt passend dreimal die Spitze des Tetraeders in eine Prismaecke (2,3,4), so entstehen drei schiefe Dreieckspyramiden mit gleichem Volumen. Sie füllen das Prisma aus (5).
Daraus folgt, dass das Volumen eines Tetraeders gleich (1/3)*A(Dreieck)*H ist.
Für ein Tetraeder gilt weiter V=sqr(2)/12*a³.

Tetrapod top

Verbindet man den Mittelpunkt des Tetraeders mit seinen Eckpunkten, so entsteht ein räumliches Gebilde aus vier Strecken.
Baut man nach diesem Vorbild ein Gerät aus vier Stäben, so steht, wie man es auch hinwirft, ein Stab immer vertikal.

Es heißt Caltrop, wenn man es als Waffe verwendet. Es ist dann eine Eisenkugel mit vier scharfen Spitzen, die Fahrzeuge mit Reifen nicht überwinden können. Es heißt Tetrapode, wenn man sie aus Beton, viele Tonnen schwer, herstellt. Man verwendet sie für Seebefestigungen. Die Tetrapoden verhaken sich.

Tetraederzahlen top

...... Man kann Kugeln zu immer größer werdenden Tetraedern aufschichten. Die Anzahl der Kugeln in einer Schicht ist 1,3,6,10,... , allgemein n(n+1)/2.
Bildet man die Summe der Kugeln eines Tetraeders, so erhält man die "Tetraederzahlen" 1,4,10,20,... , allgemein 1+3+6+10+...+n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6.

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Klebt man 20 Kugeln zu zwei Vierergruppen und zwei Sechsergruppen zusammen, so erhält man ein bekanntes Puzzle: Man muss die vier Stücke zu einem Tetraeder zusammensetzen.

Es gibt viele Puzzles dieser Art.

Ein Tetraeder im Würfel top
Sechs Flächendiagonalen bilden im Würfel ein Tetraeder.
Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das Tetraeder auch räumlich.

Das Volumen des Tetraeders ist der dritte Teil des Volumens des Würfels.

Zeichnet man ein zweites Tetraeder und Schnittlinien ein, so gelangt man zu einer Durchdringung zweier Tetraeder.

Die Figur besteht aus den Flächendiagonalen und den Verbindungslinien der Flächenmitten des Ausgangswürfels. Letztere bilden ein Oktaeder.

Der Tetraeder von Bottrop top
Im Ruhrgebiet gibt es an der A42 seit 1996 ein Ausflugsziel: Ein Stahlgebilde in Tetraederform. Es ist der Tetraeder von Bottrop, entworfen vom Architekten Prof. Wolfgang Christ. Der Tetraeder hat eine Kantenlänge von 60m.

...... Er befindet sich weithin sichtbar auf einer Abraumhalde aus den Zeiten des Kohleabbaus, der Halde Beckstraße in Bottrop. - Die nebenstehende Aufnahme wurde im Sommer 2002 von der Halde Schurenbach aus aufgenommen. Hier erinnert ein hoher Stahlquader auch an die Stahlindustrie.

Wer den 3D-Blick beherrscht, kann den Aufbau erkennen.

In ein Tetraeder wird ein Oktaeder gelegt, indem man alle sechs Kantenmitten verbindet. Dabei entstehen in den Ecken vier halb so große Tetraeder. In drei dieser halb so großen Tetraeder wiederholt sich die Struktur: In ihnen liegen wiederum Oktaeder. Ein Tetraeder (unten, hinten) bleibt leer.

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Der Stahlkoloss ruht auf vier 9 m hohen Säulen (dunkelblau), die ein Rechteck bilden. Man erkennt die Lage am besten in der Aufsicht.

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Der Tetraeder ist besteigbar. Dazu sind innen im Kontrast zum strengen Äußeren drei Aussichts-Plattformen (rot) und Treppen eingehängt.
Man gelangt zu der unteren Plattform über eine leicht geneigte Treppe. Die Treppe zur mittleren, ringförmigen Pattform ist etwas steiler. Zur höchsten Plattform gelangt man über eine Spindeltreppe. Die oberste Plattform liegt etwas schräg und ist auch ringförmig.

Anmerkung:
Es gibt in der Mathematik das Problem der vollständigen Raumausfüllung durch Körper. Jeder weiß, dass Packungen von Würfeln ihn ausfüllen. Das gelingt aber nicht mit Tetraedern.

Erst wenn man eine Kombination von Oktaedern und Tetraedern, wie sie beim Tetraeder von Bottrop vorkommen, vorgibt, klappt das. Ein Oktaeder (schwarz) und zwei Tetraeder (rot) bilden ein Parallel-Epiped. Das ist ein gereckter Würfel. So wie die Würfel füllen auch die verbogenen Würfel, die Parallelepipede, den Raum aus.

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