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Was ist ein Deltaeder?
Ein Deltaeder ist ein Körper, der nur von gleichseitigen Dreiecken
begrenzt wird.
Der Name stammt vom griechischen großen Buchstaben Delta, der
die Dreiecksform hat.
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Der einfachste Körper dieser Art ist das Tetraeder.
Man sieht es dreidimensional, wenn man den 3D-Blick beherrscht. |
Es gibt unendlich viele Deltaeder. Man denke daran, dass man beliebig viele
Tetraeder aneinander legen kann.
Auf dieser Seite beschränke ich mich auf die acht konvexen Deltaeder.
Sie sind - anschaulich ausgedrückt - nur nach außen gewölbt.
Die (konvexen)
Ecken eines Deltaeders top
Man kann nur aus drei, vier oder fünf Dreiecken eine Ecke formen.
Man braucht nämlich mindestens drei Dreiecke für eine Ecke und
sechs Dreiecke haben schon zusammen 360° und liegen somit in einer
Ebene. Also bleiben nur 3, 4 und 5 Dreiecke.
Die Dreiecke bilden eine unten offene Pyramide. Die Höhen sind
unterschiedlich. Ist a die Grundseite, so gilt: Die Dreieckspyramide hat
die Höhe a/3*sqr(6), die quadratische Pyramide die Höhe a/2*sqr(2)
und die fünfeckige Pyramide die Höhe a/10*sqr[75-10*sqr(5)].
Aufbau der acht
konvexen Deltaeder top
1) Tetraeder - ein Vierflächner
(Platonischer Körper, englisch: Tetrahedron)
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Das Tetraeder hat 4 Ecken, 6 Kanten und 4 Seitenflächen.
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Mehr über diesen Körper erfährt man auf meiner Tetraederseite.
2) Triangulare Bipyramide,
ein Sechsflächner
(J12, englisch:
Triangular dipyramid)
J12 bedeutet Johnson solid 12. Norman M.Johnson hat die 92 konvexen
Körper mit regulären Flächen katalogisiert.
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Das Tetraeder wird an der Grundfläche gespiegelt. Das Tetraeder
und sein Bild bilden den nächsten Körper.
Er hat 5 Ecken, 9 Kanten und 6 Seitenflächen. |
3) Oktaeder, ein Achtflächner
(Platonischer Körper, englisch: Octahedron)
Das Oktaeder entsteht, wenn man eine quadratische Pyramide an der Grundseite
spiegelt. Die Pyramide und ihr Spiegelbild bilden den Körper.
Man kann das Oktaeder auch so sehen:
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Stellt man es auf eine Dreiecksfläche, so erkennt man, dass es
aus zwei Dreiecken besteht, die übereinander liegen und die um 60°
gegeneinander verdreht sind, und dass jede Ecke mit den Endpunkten der
gegenüberliegenden Kante verbunden wird (rechts). |
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Das Oktaeder hat 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Seitenflächen.
Mehr über diesen Körper erfährt man auf meiner Oktaederseite.
4) Pentagonale Bipyramide
-ein Zehnflächner (J13, englisch: Pentagonal
dipyramid)
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Eine Fünfeckpyramide wird an der Grundfläche gespiegelt.
Die Pyramide und ihr Spiegelbild bilden den vierten Körper.
Dieser Körper hat 7 Ecken, 15 Kanten und 10 Seitenflächen. |
5) Trigondodekaeder - ein
Zwölfflächner (J84, englisch: Snub
diphenoid)
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Der nächste Körper fällt aus der
Rolle, denn er setzt sich nicht aus einfachen Körpern zusammen. Man
könnte meinen, er bestehe aus einem Oktaeder, auf das nebeneinander
drei Tetraeder gesetzt sind. Doch nach innen hin sind diese Körper
verbogen. |
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Man versteht ihn besser, wenn man sich Folgendes vorstellt.
Man geht von einer fünfseitigen Doppelpyramide aus, die oben als
Deltaeder schon vorgestellt wurde. Dann öffnet man an einer Ecke die
Doppelpyramide wie eine Auster und baut drei Kanten ein. Der Körper
muss neu ausgerichtet werden, damit zwei neue Dreiecke Platz haben
und alle Dreiecke außen gleichseitig werden. |
Dieser Körper hat 8 Ecken, 18 Kanten und 12 Seitenflächen.
6) Dreifach gekapptes Prisma
- ein Vierzehnflächner
(J51, englisch:
Triaugmented triangular prism)
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Der sechste Körper besteht aus einem Dreiecksprisma (grün),
auf dessen drei Quadrate quadratische Pyramiden aufgesetzt werden.
Er hat 9 Ecken, 21 Kanten und 14 Seitenflächen. |
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Übrigens ist das der Körper, der schon oben mit Stäben und
Stabmagneten dargestellt ist.
7) Dreifach gekapptes Antiprisma
-ein Sechszehnflächner
(J17, englisch:
Gyroangulalated square Dipyramid)
Beim Oktaeder hat man zwei gegenüberliegende
Dreiecke. Bei diesem Deltaeder stehen sich zwei Quadrate gegenüber.
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Sie liegen parallel und sind gegeneinander um 45° verdreht. Verbindungsstücke
dieser Quadrate sind acht Dreiecke, deren eine Seite auch eine Quadratseite
ist und deren Spitze auf die gegenüberliegende Quadratecke zeigt.
Die Dreiecke hängen oder sie stehen aufrecht. Auf beide Quadrate wird
schließlich eine quadratische Pyramide gesetzt (blau). |
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Der Körper hat 10 Ecken, 24 Kanten, und 16 Seitenflächen.
8) Ikosaeder -ein Zwanzigflächner
(Platonischer Körper, englisch: Icosahedron)
An Stelle der übereinanderliegenden Dreiecke oder Vierecke gibt
man hier übereinanderliegende Fünfecke vor, die um 36° gegeneinander
verdreht sind.
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Verbindungsflächen sind zehn Dreiecke (rot), deren eine Seite
auch Fünfeckseite ist und deren Spitze auf die gegenüberliegende
Fünfeck-Ecke zeigt.
Auf beide Fünfecke wird eine Pyramide gesetzt (blau). |
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Der Körper hat 12 Ecken, 30 Kanten, und 20 Seitenflächen.
Mehr über diesen Körper erfährt man auf meiner Ikosaederseite.
Zum Schluss zeigen sich die acht konvexen Deltaeder
noch einmal in der Aufsicht.
Antiprismen top
Man nennt einen Körper, bei dem zwei regelmäßige n-Ecke
parallel übereinander liegen, ein Prisma. Wenn die n-Ecke um den
Winkel 180/n gegeneinander verdreht sind, entsteht ein Antiprisma. Unter
diesem Gesichtspunkt ist Körper Nr. 3, das Oktaeder, ein Antiprisma
mit n=3. Die Körper Nr.7 und Nr. 8 sind im Grundaufbau auch
Antiprismen (n=4 und n=5). Auf die Gegenflächen werden Pyramiden gesetzt.
Weitere Deltaeder top
Kern zweier Tetraeder
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Modell des Hyperteraeders
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Geodätische Kuppel
Mehr auf Werner Brefelds Seite (URL unten)
Bau von Deltaedern top
Will man sich mit Deltaedern beschäftigen, empfiehlt es sich,
sie selbst zu bauen.
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Da bietet sich ein Modell aus Papier an. Man schneidet eine Vorlage
aus, faltet die Ränder und klebt Klebestreifen an die richtigen Stellen.
Die nebenstehende Vorlage - größer - findet man u.a. auf meiner
Seite Platonische Körper. |
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Gut geeignet sind Zahnstocher und als Verbindungen Kügelchen aus
Bluetack. Das ist das blaue Klebemittel, mit dem z.B. Freunde in England
seit Jahren ihre Ansichtspostkarten an den Küchenschrank kleben. -
Inzwischen gibt es den Kleber auch in Deutschland unter dem Namen Bostik. |
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Durch ein neues Spielzeug (GEOMAG z.B.) hat man die Möglichkeit,
den gleichen Körper sehr einfach aus Stabmagneten als Kanten und mit
Kugeln als Ecken zu bauen. |
Deltaeder im Internet top
Deutsch
Arno Fehringer und Peter Geist (Mathematikgarten )
Schriften
Konvexe Deltaeder (AF), Volumina der 8 konvexen Deltaeder (AF)
(.pdf-Dateien zum Herunterladen)
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Die
Familie der (konvexen) Deltaeder
Werner Brefeld
Geodätische
Kuppeln
Wikipedia
Deltaeder, Geodätische
Kuppel
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Deltahedron,
Boat
George W. Hart
Convex
Deltahedra, Johnson
Solids
Maurice Starck
the
eight convex deltahedra
Poly-pro 1.09
A program for downloading (Poly is
a shareware program for exploring and constructing polyhedra (1.4MByte)
Tom Gettys
Deltahedra
Wikipedia
Deltahedron
Referenzen top
(1) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches
Museum, München (ISBN 3-924-18349-X)
(2) M.Odier, Y.Roussel: Troiker mathematisch
gespielt, Braunschweig, Wiesbaden 1979 (ISBN 3-5 28-08394-8) (Seite 79
ff.)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
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