Deltaeder
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Deltaeder?
01 Tetraeder
02 Triangulare Bipyramide
03 Oktaeder
04 Pentagonale Bipyramide
05 Trigondodekaeder
06 Dreifach erweitertes Dreiecksprisma
07 Zweifach erweitertes Antiprisma
08 Ikosaeder
Sonstiges
Weitere Deltaeder
Bau von Deltaedern
Deltaeder im Internet
Referenzen.
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Was ist ein Deltaeder?
Ein Deltaeder ist ein Körper, dessen Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind.
Der Name geht auf den großen griechischen Buchstaben Delta zurück, der die Dreiecksform hat.
... Ein bekannter Körper dieser Art ist das Ikosaeder mit seinen 20 Seitenflächen.

Man sieht es dreidimensional, wenn man den 3D-Blick beherrscht.

Es gibt unendlich viele Deltaeder. Man denke daran, dass man beliebig viele Tetraeder aneinander legen kann. 
Auf dieser Seite beschränke ich mich auf die acht konvexen Deltaeder. Sie sind - anschaulich ausgedrückt - nur nach außen gewölbt. 


Diese Deltaeder werden der Reihe nach besprochen. Sie werden nach der Anzahl der Seitenflächen geordnet.

01 Tetraeder  top
...
...durchsichtig

undurchsichtig

4
Das Tetraeder hat 4 Ecken, 6 Kanten und 4 Seitenflächen und gehört zu den platonischen Körpern
Mehr darüber erfährt man auf meiner Tetraeder-Seite.


02 Triangulare Bipyramide      top
...

6


...... Wie der Name sagt entsteht dieser Körper, indem man das Tetraeder an der Grundfläche spiegelt.

Die triangulare Bipyramide hat 5 Ecken, 9 Kanten und 6 Seitenflächen.
Sie gehört zu den 92 konvexen Körpern mit regulären Flächen, die Norman M. Johnson katalogisiert hat, den Johnson-Körpern.
Sie trägt die Nummer 12 und wird mit J 12 bezeichnet.

03 Oktaeder   top
...

8


Man kann das Oktaeder als quadratische Bipyramide oder als Antiprisma mit gleichseitigen Dreiecken als Grundseiten ansehen.
...
Das Oktaeder mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Seitenflächen gehört zu den platonischen Körpern. 
Mehr darüber erfährt man auf meiner Oktaeder-Seite.

04 Pentagonale Bipyramide      top
...

10


...... Wie der Name sagt entsteht dieser Körper, indem man die regelmäßige fünfseitige Pyramide an der Grundfläche spiegelt.

Er hat 7 Ecken, 15 Kanten und 10 Seitenflächen.
Er gehört zu den 92 Johnson-Körpern und wird mit J 13 bezeichnet.

05 Trigondodekaeder top
...

12


... Zeichnet man eine rote Linie ein, so liegt links ein Oktaeder, rechts lehnen sich drei Tetraeder an. Die Körper sind aber nicht regelmäßig, sondern verbogen. 

Einen anderen Zugang bekommt man so.
... ...
Man geht aus von der fünfseitigen Bipyramide J 13 aus.  Dann öffnet man an der linken Ecke die Bipyramide wie eine Auster, wobei zwei neue Kanten der Bipyramide auftreten. Dann verbindet man die beiden freien Ecken links. 
Dieser Körper hat 8 Ecken, 18 Kanten und 12 Seitenflächen.

Er gehört zu den 92 Johnson-Körpern mit der Bezeichnung J 84.

06 Dreifach erweitertes Dreiecksprisma     top
...

14


...... Der Körper besteht aus einem Dreiecksprisma (grün), auf dessen drei Quadrate quadratische Pyramiden (rot) aufgesetzt werden.
Er hat 9 Ecken, 21 Kanten und 14 Seitenflächen.
Er gehört zu den 92 Johnson-Körpern mit der Bezeichnung J 51.

07 Zweifach erweitertes Antiprisma     top
...

16


......
Der Körper hat acht gleichseitige Dreiecke (rot) , die zu einem Antiprisma gehören. 
Auf das Antiprisma werden zwei quadratische Pyramiden (grün) gesetzt.

Der Körper hat 10 Ecken, 24 Kanten, und 16 Seitenflächen.
Er gehört zu den 92 Johnson-Körpern mit der Bezeichnung J 17.

08 Ikosaeder  top
...

20


...... Man kann das Ikosaeder als fünfseitiges Antiprisma mit zwei aufgesetzten Pyramiden ansehen.

Das Ikosaeder hat 12 Ecken, 30 Kanten, und 20 Seitenflächen und gehört zu den platonischen Körpern.
Mehr über diesen Körper erfährt man auf meiner Ikosaeder-Seite.

Sonstiges   top
Kanten und Seitenflächen 
Es sei k die Anzahl der Kanten und f die der Seitenflächen. Dann gilt für ein Deltaeder die Formel 2k = 3f.


Das sieht man so ein.
- Jedes Dreieck hat drei Kanten. Das führt zu f = 3k. 
- Da zwei nebeneinander liegende Dreiecke eine Kante gemeinsam haben, muss man die Anzahl noch halbieren: f=(2k)/3.

Die Beziehung 2k = 3f findet man in den einzelnen Deltaedern wieder. 
Tetraeder
k=6, f=4 
J12
k=9, f=6 
Oktaeder
k=12, f=8 
J13 
k=15, f=10 
J84 
k=18, f=12 
J51 
k=21, f=14 
J17 
k=24, f=16 
Ikosaeder
k=30, f=20 

Die Gleichung f = (2k)/3 enthält auch die Aussage, dass die Anzahl der Seitenflächen gerade ist. 
Diese Beziehung findet man in der folgenden Tabelle. 

4

6

8

10

12

14

16

20
Es fehlt f=18.

Ecken eines Deltaeders
Man kann nur aus drei, vier oder fünf Dreiecke eine Ecke formen. Man braucht nämlich mindestens drei Dreiecke für eine Ecke und sechs Dreiecke haben schon zusammen 360° und liegen somit in einer Ebene. Also bleiben nur 3, 4 und 5 Dreiecke.

Die Dreiecke bilden eine unten offene Pyramide. 
Ist a die Grundseite, so haben die Pyramiden die folgenden Höhen h. 

Dreiseitige Pyramide
h=(1/3)sqrt(6)a
gerundet h=0,816a
quadratische Pyramide
h=(1/2)sqrt(2)a
gerundet h=0,707a
fünfeckige Pyramide
h=(1/10)sqrt[75-10*sqrt(5)]a
gerundet h=0,726a

Wie oft die drei Pyramiden in den Körpern auftreten, entnimmt man der folgenden Tabelle.
Tetraeder
4*3 Kanten
J12
3*4 und 2*3
Oktaeder
6*4
J13
2*5 und 5*4
J84
4*5 und 4*3
J51
6*5 und 3*4
J17
8*5 und 2*4
Ikosaeder
12*5

Volumen
Es sei a die Kantenlänge eines Deltaeders. In der folgenden Tabelle stehen die Formeln für die Volumina, darunter die gerundeten Werte.
Tetraeder

V = (1/12)sqrt(2)a³
V = 0,118a³

J12

V = (1/6)sqrt(2)a³ 
V = 0,236a³

Oktaeder

V = (1/3)sqrt(2)a³ 
V = 0,471a³

J13

V = (1/12)[5+sqrt(5)]a³ 
V = 0,603a³

Aus der Rolle fällt die Formel für das Volumen des Trigondodekaeder J 84.
Das Volumen ist die positive reelle Lösung der Gleichung 5832V6-1377V4-2160V2-4 = 0.
Gerundet ist der Wert V = 0,859a³.
J51

V = (1/4)[2sqrt(2)+sqrt(3)]a³ 
V = 1,140a³

J17

V = (1/3){sqrt(2)+sqrt[4+3sqrt(2)]}a³ 
V = 1,428a³

Ikosaeder

V = (1/12)[15+5sqrt(5)]a³ 
V = 2,182a³

Quelle: Eric W. Weisstein (MathWorld) (URL unten)

Übersicht
Zum Schluss zeigen sich die acht konvexen Deltaeder noch einmal in der Aufsicht.

Weitere Deltaeder top
Boot
......
Oben wurde schon erwähnt, dass man weitere Deltaeder erhält, wenn man Tetraeder aneinander legt.

Drei Tetraeder bilden ein Boot. Merkwürdig ist, dass es das gleiche Netz wie das Oktaeder hat.


Hypertetraeder
...... Fünf Tetraeder bilden ein "Netz" des vierdimensionalen Tetraeders, des Hypertetraeders.

Sterntetraeder
......

Setzt man auf die Seitenflächen des Oktaeders acht Tetraeder, so entsteht das Sterntetraeder mit acht Zacken. 

Bekrönte Deltaeder
...... Setzt man auf ein Ikosaeder 20 Tetraeder, so entsteht ein Stern mit 60 Seitenflächen.
Die Firma Wolfram Research hat ihn zu ihrem Logo gewählt (URL unten).
Statt des Ikosaeders kann man viele Deltaeder "bekrönen".

Der Stern links hat allerdings schlankere Zacken, da das regelmäßige Fünfeck Grundlage ist. Der Körper heißt Großes Sterndodekaeder und gehört zu den Kepler-Poinsot Körpern


Deltaeder mit Vertiefungen
Verbindet man den Mittelpunkt des Kuboktaeders mit seinen Eckpunkten, kann man Vertiefungen in Form von geraden Pyramiden erkennen. Je nach Sichtweise sind das dreiseitíge oder quadratische Pyramiden. 
...
...Kuboktaeder

Oktahemioktaeder

Kubohemioktaeder

Nach diesem Prinzip gelangt man von vielen Deltaedern zu neuen Deltaedern, indem man Vertiefungen in Form von Tetraedern erzeugt. 
Deltaeder im weiteren Sinne

Das abgestumpfte Tetraeder ist ein Körper, der von 4 regelmäßigen Sechsecken und 4 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Da sich das Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen lässt, wird er aus 4*6+4 = 28 Dreiecken gebildet. Man könnte ihn deshalb auch als Deltaeder im weiteren Sinne bezeichnen.
...
Das abgestumpfte Tetraeder steht für viele Körper dieser Art.

Geodätische Kuppel
Mehr auf Werner Brefelds Seite (URL unten)

Bau von Deltaedern top
Will man sich mit Deltaedern beschäftigen, empfiehlt es sich, sie selbst zu bauen.
...... Da bieten sich Modelle aus Papier an, geklebt mit Hilfe der Netze.
Die nebenstehende Vorlage z.B. zum Ikosaeder - größer - findet man auf meiner Seite Platonische Körper


...... Es gibt die Möglichkeit, z.B. den Körper J 51 sehr einfach aus Zahnstochern als Kanten und Kügelchen aus Knete als Ecken zu bauen. 

...... Es gibt auch die Möglichkeit, den gleichen Körper aus Stabmagneten als Kanten und Eisenkugeln als Ecken zu bauen.

Deltaeder im Internet top

Deutsch

Christoph Pöppe (spektrumdirekt)
Folge 6: Körper aus lauter Dreiecken 

Udo Hebisch  (Mathematisches Café) 
Die Familie der (konvexen) Deltaeder

Werner Brefeld
Geodätische Kuppeln

Wikipedia
Deltaeder, Geodätische KuppelSterntetraeder



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Deltahedron, Boat

George W. Hart
Convex DeltahedraJohnson Solids

mathworld.wolfram 
Spikey

Maurice Starck
the eight convex deltahedra

Poly-pro 1.09
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Die meisten Bilder auf dieser Webseite wurden mit diesem Programm erstellt. 

Tom Gettys
Deltahedra

Wikipedia
Deltahedron, Geodesic dome, Stellated octahedron


Referenzen   top
(1) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München (ISBN 3-924-18349-X)
(2) M.Odier, Y.Roussel: Troiker mathematisch gespielt, Braunschweig, Wiesbaden 1979 (ISBN 3-5 28-08394-8) (Seite 79 ff.)


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