Platonische Körper
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Was sind platonische Körper?
Bilder der platonischen Körper
Nur fünf platonische Körper
Dualitäten
Formeln
Nur fünf platonische Körper
Keplers kosmischer Becher
Archimedische Körper
Reguläre Körper im vierdimensionalen Raum
Bau der platonischen Körper
Platonische Körper im Internet
Referenzen.
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Was sind platonische Körper?

Platonische Körper sind konvexe Körper, die von kongruenten, regelmäßigen Vielecken gebildet werden und bei denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Vielecken zusammentrifft.
Obwohl es beliebig viele regelmäßige Vielecke gibt, gibt es nur fünf regelmäßige Körper: 
Tetraeder, Würfel (oder Hexaeder), Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder.

...... Ein Körper zum Beispiel, der von zwei Tetraedern gebildet wird, ist kein platonischer Körper. 
Er wird zwar von regelmäßigen Dreiecken begrenzt, aber an den Ecken treffen sich mal drei, mal vier Dreiecke.

Platonische Körper heißen auch regelmäßige Körper und in Anlehnung an die englische Bezeichnung regular solids auch reguläre Körper. Statt Körper gibt es auch die genauere Bezeichnung Polyeder.

Es gibt in meiner Homepage die Einzelseiten
Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder, ferner Deltaeder.

Bilder der platonischen Körper    top
Stereobilder


 


 


Parallelprojektionen

Eine Seitenfläche liegt parallel zur Zeichenebene.


Hier werden noch In- und Umkugel hinzugefügt. 

Zentralprojetionen
Das Projektionszentrum wird so gelegt, dass sich die Kanten nicht überlagern.



...... Man kann sich auch vorstellen, dass zum Beispiel beim Dodekaeder das grüne Fünfeck vorne gestreckt und das blaue Fünfeck hinten gezerrt werden, so dass sich das rechte Bild ergibt. 
Bei dieser Darstellung ist nicht die Form bestimmend, sondern die Beziehungen zwischen den Ecken, Kanten und Seitenflächen.
Die Bilder heißen Schlegel-Diagramme. 

Netze

Die Anzahl der verschiedenen Netze ist 2, 11, 11 und (nach MathWorld) 43380 und 43380.


Dualitäten  top
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines platonischen Körpers, so entsteht wieder ein platonischer Körper. Diese zusammengehörenden Körper heißen duale Körper. 

4Ecken, 6Kanten, 4Flächen

8Ecken, 12Kanten, 6Flächen
6Ecken, 12Kanten, 8Flächen

20Ecken, 30Kanten, 12Flächen
12Ecken, 30Kanten, 20Flächen

Beide Zeichnungen von Christian Grünwaldner


>Das Tetraeder ist selbstdual, der Würfel ist dual zum Oktaeder und das Dodekaeder dual zum Ikosaeder. 
>Auf diese Weise kann man die Körper in drei Klassen einteilen. 
>Duale Körper haben die gleiche Kantenzahl, die Anzahl der Ecken und Flächen tauschen sich aus. 

Auf Robert Webbs Seite kann man in einer Animation beobachten, wie duale Körper ineinander übergehen (URL unten). 

Formeln   top
Eulersche Polyederformel
Die Eulersche Polyederformel gilt für alle konvexen Körper und besagt, dass die Summe aus der Anzahl der Ecken e und der Flächen f um 2 größer ist als die Anzahl der Kanten k. 
In der Formelsprache heißt das e + f =  k + 2. Hier gilt sie auch:
.
.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder
e
.
04
08
06
20
12
f
.
04
06
08
12
20
k
.
06
12
12
30
30


Vier Größen
Ein platonischer Körper wird durch die Kantenlänge a eindeutig bestimmt. Aus ihr lassen sich u.a. die Größen Volumen V, Oberfläche O, Radius der Umkugel R und Radius der Inkugel r berechnen.
 
Tetraeder

 
Würfel

 
Oktaeder

 
Pentagondodekaeder

 
Ikosaeder

Zahlenwerte, auf drei Stellen gerundet.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder
V=0,118a³
V=a³
V=0,471a³
V=7,66a³ 
V=2,18a³
O=1,73a²
O=6a³
O=3,46a²
O=20,6a²
O=8,66a²
R=0,612a
R=0,866a
R=0,707a
R=1,40a
R=0,951a
r=0,204a
r=0,5a
r=0,408a
r=1,11a 
r=0,756a

Körper in der Umkugel

Der Anteil des Volumens eines platonischen Körpers am Volumen seiner Umkugel ist 12,3%; 36,8%; 31,8%; 66,5%; 60,5%.
Der Anteil der Oberfläche eines platonischen Körpers an der Oberfläche seiner Umkugel ist 36,7%;  63,7%; 55,1%; 83,7%; 76,2%. 
Die Zahlen zeigen, wie "kugelig" die Körper sind. Das Pentagondodekaeder hat die größte Prozentzahl und kommt der Kugel am nächsten.
Gleiche Körper

Will man platonische Körper mit gleichem Volumen bauen, so ist von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke dann sein müssen. 
4,02
1,97
2,53
1 (vorgegeben)
1,58

Will man platonische Körper mit gleicher Oberfläche bauen, so ist von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke dann sein müssen.

3,45
1,85
2,44
1 (vorgegeben)
1,54

Winkel zwischen den angrenzenden Vielecken
Tetraeder
70,5°
Würfel
90°
Oktaeder
109,5°
Dodekaeder
116,6°
Ikosaeder
138,2°
Quelle: (4)

Körper gleicher Höhe
Unter der Höhe H eines platonischen Körpers versteht man beim Tetraeder die Raumhöhe H und bei den übrigen Körpern den Abstand paralleler, gegenüberliegender Seitenflächen H. 
In der Tabelle wird angenähert angegeben, wie groß bei gleicher Höhe H die Kantenlänge a ist.
Tetraeder
a = 1,225H
Würfel
a = H
Oktaeder
a = 1,225H
Dodekaeder
a = 0,449H
Ikosaeder
a = 0,662H

Nur fünf platonische Körper   top
Winkelbetrachtung
Man kann nur aus drei, vier oder fünf Dreiecken eine Ecke formen. Man braucht nämlich mindestens drei Dreiecke für eine Ecke und sechs Dreiecke haben schon zusammen 360° und liegen somit in einer Ebene. Also bleiben nur 3, 4 und 5 Dreiecke. 


Man kann nur aus drei Quadraten und drei Fünfecken eine Ecke bilden. Das sind alle Fälle.

Diese Überlegungen gehen schon auf Euklid zurück. 



Betrachtung der Eulerschen Formel
Aus der Eulersche Polyederformel  e + f =  k + 2 folgt, dass es - wenn überhaupt - höchstens fünf platonische Körper gibt.
Beweis:
f sei die Anzahl der Flächen des Körpers,
n sei die Anzahl der Ecken eines Vielecks,
m sei die Anzahl der Vielecke, die sich an einer Ecke treffen. 

Die n-Ecke haben dann zusammen nf Seiten.
Die Anzahl der Kanten ist k=nf/2. Man muss halbieren, denn an jeder Kante berühren sich zwei n-Ecke. 
Die Anzahl der Ecken ist e=nf/m. Man muss durch die Anzahl der Vielecke an einer Ecke dividieren.
Also lautet die Eulersche Formel:

 fn/m + f = fn/2  + 2
oder 2nf + 2mf -fnm -4m = 0

Diese Gleichung untersucht mein Computer mit Visual Basic:
Programm (Die Zahl 30 ist willkürlich): 
For n = 3 To 30
For m = 3 To 30
For f = 3 To 30
If 2 * n * f + 2 * m * f - n * f *m - 4 *m = 0 Then Print n; f; m
Next f
Next m
Next n
Es gibt fünf Lösungen:
3 4 3
3 8 4
3 20 5 
4 6 3
5 12 3

Das sind die fünf platonischen Körper.


Das ist aber kein Beweis. Der Beweis kann so geführt werden.

Dividiert man beide Seiten der Gleichung 2nf + 2mf -fnm -4m = 0 durch nf, so erhält man 1/m+1/n=1/2+2/nf oder 

1/m+1/n=1/2+1/k.

Die Anzahl der Vielecke m und die Anzahl der Ecken n muss gleich oder größer als 3 sein, damit ein Körper entsteht. 
Nach der Gleichung können m und n nicht zugleich größer als 3 sein, denn es gilt 1/4+1/4=1/2<1/2+1/k.
Also ist entweder m=3 oder n=3.

1. Fall: n=3, 
Falls n=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/m+1/3=1/2+1/k oder 1/m-1/6=1/k. Dann kann m die Werte 3,4 oder 5 annehmen, da der Term 1/m-1/6 positiv bleiben muss. Für k ergeben sich dann 6,12 oder 30.
Das führt zu den drei platonischen Körpern aus Dreiecken.

2.Fall: m=3
Falls m=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/3+1/n=1/2+1/k oder 1/n-1/6=1/k. Dann kann n die Werte 3,4 oder 5 annehmen. 1/n-1/6 darf nicht negativ werden.
Das führt zum Tetraeder und den beiden Körpern aus Vierecken und Fünfecken. 


siehe auch 
>(5), Seite 62ff., 
>Seite von Michael Rockstroh, auf das Pentagramm klicken.  (URL unten).
> Mathematrix (URL unten).

Keplers kosmischer Becher   top
Johannes Keplers (1571 bis 1630) brachte in einem Frühwerk die fünf platonischen Körper in Beziehung zu den Planetenbahnen.
Zur Demonstration entwarf er ein Planetarium.
...... Beschreibung:
In der Mitte steht die Sonne. Die Planeten bewegen sich auf Kugelschalen. 
> Die große Halbkugel trägt die Bahn des Saturn. 
Die übrigen Schalen sind Inkugeln in einem platonischen Körper: 
> Im Würfel ist die Kugel des Jupiter.
> Im Tetraeder ist die Kugel des Mars.
> Im Pentagondodekaeder ist die Kugel des Erde.
> Im Ikosaeder ist die Kugel des Venus.
>Im Oktaeder ist die Kugel des Merkur.
Kepler bemerkte, dass die Zahlen nicht genau stimmten. Er verbesserte das Modell, indem er den Schalen eine gewisse Dicke gab, die er mit den Monden in Verbindung brachte. 
Später verwarf er dieses Modell. (Diese letzte Aussage ignoriert man häufig.)
(1), Seite 262ff.


Archimedische Körper 
Man erhält neue Körper, indem man an den Ecken eines platonischen Körpers Schnitte so legt, dass Körper mit regelmäßigen Vielecke als Seitenflächen entstehen.
...... Links ein Oktaeder. Man teilt jede Kante in drei gleiche Teile. 
So kann ein Körper aus sechs Quadraten und acht regelmäßigen Sechsecken entstehen. 
Er heißt folgerichtig "das abgestumpfte Oktaeder ".
Es gibt 13 archimedische Körper.

Mehr auf meiner Webseite Archimedische Körper.


Reguläre Körper im vierdimensionalen Raum   top
Sie heißen auch vierdimensionale reguläre Polytope.
Es gibt sechs Körper dieser Art: 
Hypertetraeder (5-Zelle), Hyperwürfel (8-Zelle), 16-Zelle, 24-Zelle, 120-Zelle, 600-Zelle.

Polytop

5-Zelle
8-Zelle
16-Zelle
24-Zelle
120-Zelle
600-Zelle

Anzahl der Ecken

5
16
8
24
600
120

Anzahl der Kanten

10
32
24
96
1200
720

Anzahl der Flächen

10 Dreiecke
24 Quadrate
32 Dreiecke
96 Dreiecke 
720 Fünfecke
1200 Dreiecke

Anzahl Körper

5 Tetraeder
8 Würfel
16 Tetraeder
24 Oktaeder
120 Dodekaeder
600 Tetraeder

Die mit gleicher Farbe markierten Polytope sind dual, die schwarzen selbstdual.

In Buch 2 wird versucht, den Weg zu den Polytopen darzustellen. Ausgangspunkt ist die Fragestellung, welche gleichen platonischen Körper an einer Kante zusammenstoßen können. 
Es müssen mindestens drei Körper sein. Das sind 3, 4 oder 5 Tetraeder, 3 Würfel, 3 Oktaeder und 3 Pentagondodekaeder. 
......
In dieser Bildreihe fehlen die drei Dodekaeder an einer Kante und somit der Hinweis auf die 120-Zelle. 
Man gelangt in dieser Reihenfolge durch "Projektionen" zu den Körpern 5-Zelle, 16-Zelle, 24-Zelle, 8-Zelle, 600-Zelle
(2) Seite 97ff.


Bau der platonischen Körper top
Papiermodelle
Man verwendet zum Bau von Modellen die Netze der Körper.

Ich biete hier zum Herunterladen eine  Vorlage in A4-Größe als .pdf-Datei an, die mir Benedikt Seidl freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat.

Alle Körper haben die gleiche Kantenlänge. 

Vorlagen mit Motiven von Escher findet man in Buch 3.

Tetraeder, Kuboktaeder, Oktaeder

Kantenmodelle
Mit dem Modespielzeug aus Magnetstäben und Kugeln lassen sich schnell und einfach Modelle der platonischen Körper bauen.


Oktaeder, Oktaeder

Für das Dodekaeder und Ikosaeder hätte ich mir noch mehr Magnete und Kugeln kaufen müssen.

Flechtmodelle
Man kann die platonischen Körper aus Streifen flechten. Vorlagen findet man in der Homepage von H. B. Meyer (URL unten).

Spielwürfel kaufen
Heute kann man in jedem gut sortierten Spielzeugladen die platonischen Körper aus Kunststoff kaufen. 
Man benötigt sie für Rollenspiele. 

Platonische Körper im Internet      top

Deutsch

Peter Geist/Arno Fehringer
Der Mathematik-Garten

Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die fünf Platonischen Körper

Gerd Müller
Platonische Körper in Stereodarstellung

Hans Wypior
Vektorgrafik mit Javascript

H. B. Meyer
Polyeder aus Flechtstreifen

Michael Rockstroh
Platonische Körper in der Kunst

Natalie Wood
Platonische Körper

Rüdiger Appel
Platonische Körper

Udo Hebisch (Mathematisches Café) 
Die Platonischen Körper

Walter Fendt (Mathematik-Applets)
Die Platonischen Körper

Wikipedia
Platonischer KörperCluster (Physik) 



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Platonic Solid

G. Korthals Altes
Paper Models of Polyhedra

H. B. Meyer
Polyhedra plaited with paper strips 

Jim Loy
Regular Solids

John O'Connor (University of St. Andrews)
Symmetry groups of Platonic solids

Lee Stemkoski (Mathematrix)
Platonic Solids

Poly-pro
A program for downloading 
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)

Robert Webb
Plato's five regular polyhedradual morphing of the regular polyhedra

Tom Getty
The Platonic Solids

Wikipedia
Platonic solid, Ileodictyon cibarium

WolframResearch
Polyhedron Explorer  (Applet)


Referenzen   top
(1) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensionen - Figuren und Körper in geometrischen Räumen, Spektrum-Bibliothek, Bd.31, 1991 [ISBN 3-89330-817-2]
(3) Doris Schattenschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen, Köln 1992 
(4) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(5) H.Rademacher und O.Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Berlin-Heidelberg-New York, Nachdruck 1968


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2005 Jürgen Köller

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