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Was sind platonische Körper?
Platonische Körper sind konvexe Körper, die von kongruenten,
regelmäßigen Vielecken gebildet werden und bei denen an jeder
Ecke die gleiche Anzahl von Vielecken zusammentrifft.
Obwohl es beliebig viele regelmäßige Vielecke gibt, gibt
es nur fünf regelmäßige Körper:
Tetraeder, Würfel (oder Hexaeder), Oktaeder, Pentagondodekaeder
und Ikosaeder.
... ... |
Ein Körper zum Beispiel, der von zwei Tetraedern gebildet wird,
ist kein platonischer Körper.
Er wird zwar von regelmäßigen Dreiecken begrenzt, aber an
den Ecken treffen sich mal drei, mal vier Dreiecke. |
Platonische Körper heißen auch
regelmäßige
Körper und in Anlehnung an die englische Bezeichnung regular
solids auch reguläre Körper. Statt Körper gibt
es auch die genauere Bezeichnung Polyeder.
Es gibt in meiner Homepage die Einzelseiten
Tetraeder, Würfel,
Oktaeder,
Pentagondodekaeder
und Ikosaeder, ferner Deltaeder.
Bilder der platonischen
Körper top
Stereobilder
Parallelprojektionen
Eine Seitenfläche liegt parallel zur Zeichenebene.
Hier werden noch In- und Umkugel hinzugefügt.
Zentralprojetionen
Das Projektionszentrum wird so gelegt, dass sich
die Kanten nicht überlagern.
... ... |
Man kann sich auch vorstellen, dass zum Beispiel beim Dodekaeder das
grüne Fünfeck vorne gestreckt und das blaue Fünfeck hinten
gezerrt werden, so dass sich das rechte Bild ergibt.
Bei dieser Darstellung ist nicht die Form bestimmend, sondern die Beziehungen
zwischen den Ecken, Kanten und Seitenflächen. |
Die Bilder heißen Schlegel-Diagramme.
Netze
Die Anzahl der verschiedenen Netze ist 2, 11, 11 und (nach MathWorld)
43380 und 43380.
Dualitäten top
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines platonischen
Körpers, so entsteht wieder ein platonischer Körper.
Diese zusammengehörigen Körper heißen duale Körper.
4Ecken, 6Kanten, 4Flächen
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8Ecken, 12Kanten, 6Flächen
6Ecken, 12Kanten, 8Flächen
|
20Ecken, 30Kanten, 12Flächen
12Ecken, 30Kanten, 20Flächen
Beide Zeichnungen von Christian Grünwaldner |
>Das Tetraeder ist selbstdual, der Würfel ist dual zum Oktaeder und
das Dodekaeder dual zum Ikosaeder.
>Auf diese Weise kann man die Körper in drei Klassen einteilen.
>Duale Körper haben die gleiche Kantenzahl, die Anzahl der Ecken
und Flächen tauschen sich aus.
Auf Robert Webbs Seite kann man in einer
Animation beobachten, wie duale Körper ineinander übergehen (URL
unten). Das etwas längere Warten auf die Applets lohnt sich.
Formeln top
Eulersche Polyederformel
Die Eulersche Polyederformel gilt für alle konvexen Körper
und besagt, dass die Summe aus der Anzahl der Ecken e und der Flächen
f um 2 größer ist als die Anzahl der Kanten k.
In der Formelsprache heißt das e + f = k + 2. Hier gilt
sie auch:
.
.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder
|
e
.
04
08
06
20
12
|
f
.
04
06
08
12
20
|
k
.
06
12
12
30
30
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Vier Größen
Ein platonischer Körper wird durch die Kantenlänge a eindeutig
bestimmt. Aus ihr lassen sich u.a. die Größen
Volumen V, Oberfläche O, Radius der Umkugel R und Radius der Inkugel
r berechnen.
| Tetraeder |
|
| Würfel |
|
| Oktaeder |
|
| Pentagondodekaeder |
|
| Ikosaeder |
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Zahlenwerte,
auf drei Stellen gerundet.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder |
V=0,118a³
V=a³
V=0,471a³
V=7,66a³
V=2,18a³ |
O=1,73a²
O=6a³
O=3,46a²
O=20,6a²
O=8,66a² |
R=0,612a
R=0,866a
R=0,707a
R=1,40a
R=0,951a |
r=0,204a
r=0,5a
r=0,408a
r=1,11a
r=0,756a |
Körper in der
Umkugel
Der Anteil des Volumens eines platonischen Körpers am Volumen seiner
Umkugel ist 12,3%; 36,8%; 31,8%; 66,5%; 60,5%.
Der Anteil der Oberfläche eines platonischen Körpers an der
Oberfläche seiner Umkugel ist 36,7%; 63,7%; 55,1%; 83,7%; 76,2%.
Die Zahlen zeigen, wie "kugelig" die Körper sind. Das Pentagondodekaeder
hat die größte Prozentzahl und kommt der Kugel am nächsten.
Gleiche Körper
Will man platonische Körper mit gleichem Volumen bauen, so ist
von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke dann sein
müssen:
|
4,02
|
1,97
|
2,53
|
1 (vorgegeben)
|
1,58
|
Will man platonische Körper mit gleicher Oberfläche bauen,
so ist von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke
dann sein müssen:
|
3,45
|
1,85
|
2,44
|
1 (vorgegeben)
|
1,54
|
Nur fünf platonische
Körper top
Winkelbetrachtung
Man kann nur aus drei, vier oder fünf Dreiecken eine Ecke formen.
Man braucht nämlich mindestens drei Dreiecke für eine Ecke und
sechs Dreiecke haben schon zusammen 360° und liegen somit in einer
Ebene. Also bleiben nur 3, 4 und 5 Dreiecke.
Man kann nur aus drei Quadraten und drei
Fünfecken eine Ecke bilden. Das sind alle Fälle.
Diese Überlegungen gehen schon auf Euklid zurück.
Betrachtung der Eulerschen Formel
Aus der Eulersche Polyederformel e + f = k + 2 folgt, dass
es - wenn überhaupt - höchstens fünf platonische Körper
gibt.
Beweis:
f sei die Anzahl der Flächen des Körpers,
n sei die Anzahl der Ecken eines Vielecks,
m sei die Anzahl der Vielecke, die sich an einer Ecke treffen.
Die n-Ecke haben dann zusammen nf Seiten.
Die Anzahl der Kanten ist k=nf/2. Man muss halbieren, denn an jeder
Kante berühren sich zwei n-Ecke.
Die Anzahl der Ecken ist e=nf/m. Man muss durch die Anzahl der Vielecke
an einer Ecke dividieren.
Also lautet die Eulersche Formel:
fn/m + f = fn/2 + 2
oder 2nf + 2mf -fnm -4m = 0
Diese Gleichung untersucht mein Computer
mit Visual Basic:
Programm (Die Zahl 30 ist willkürlich):
For n = 3 To 30
For m = 3 To 30
For f = 3 To 30
If 2 * n * f + 2 * m * f - n * f *m - 4 *m = 0 Then Print n; f; m
Next f
Next m
Next n |
Es gibt fünf Lösungen:
3 4 3
3 8 4
3 20 5
4 6 3
5 12 3
Das sind die fünf platonischen Körper. |
Das ist aber kein Beweis. Der Beweis kann
so geführt werden.
Dividiert man beide Seiten der Gleichung 2nf + 2mf -fnm -4m = 0 durch
nf, so erhält man 1/m+1/n=1/2+2/nf oder
1/m+1/n=1/2+1/k.
Die Anzahl der Vielecke m und die Anzahl der Ecken n muss gleich oder
größer als 3 sein, damit ein Körper entsteht.
Nach der Gleichung können m und n nicht zugleich größer
als 3 sein, denn es gilt 1/4+1/4=1/2<1/2+1/k.
Also ist entweder m=3 oder n=3.
1. Fall: n=3,
Falls n=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/m+1/3=1/2+1/k oder 1/m-1/6=1/k.
Dann kann m die Werte 3,4 oder 5 annehmen, da der Term 1/m-1/6 positiv
bleiben muss. Für k ergeben sich dann 6,12 oder 30.
Das führt zu den drei platonischen Körpern aus Dreiecken.
2.Fall: m=3
Falls m=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/3+1/n=1/2+1/k oder 1/n-1/6=1/k.
Dann kann n die Werte 3,4 oder 5 annehmen. 1/n-1/6 darf nicht negativ werden.
Das führt zum Tetraeder und den beiden Körpern aus Vierecken
und Fünfecken.
siehe auch
>(5), Seite 62ff.,
>Seite von Michael Rockstroh, auf das Pentagramm klicken. (URL
unten).
> Mathematrix (URL unten).
Keplers kosmischer
Becher top
Johannes Keplers (1571 bis 1630) brachte in einem Frühwerk die
fünf platonischen Körper in Beziehung zu den Planetenbahnen.
Zur Demonstration entwarf er ein Planetarium.
... ... |
Beschreibung:
In der Mitte steht die Sonne. Die Planeten bewegen sich auf Kugelschalen.
> Die große Halbkugel trägt die Bahn des Saturn.
Die übrigen Schalen sind Inkugeln in einem platonischen Körper:
> Im Würfel ist die Kugel des Jupiter.
> Im Tetraeder ist die Kugel des Mars.
> Im Pentagondodekaeder ist die Kugel des Erde.
> Im Ikosaeder ist die Kugel des Venus.
>Im Oktaeder ist die Kugel des Merkur.
Kepler bemerkte, dass die Zahlen nicht genau stimmten. Er verbesserte
das Modell, indem er den Schalen eine gewisse Dicke gab, die er mit den
Monden in Verbindung brachte.
Später verwarf er dieses Modell. (Diese letzte Aussage ignoriert
man häufig.) |
(1), Seite 262ff.
Archimedische Körper
Man erhält neue Körper, indem man an den Ecken eines platonischen
Körpers Schnitte so legt, dass Körper mit regelmäßigen
Vielecke als Seitenflächen entstehen.
... ... |
Links ein Oktaeder.
Man teilt jede Kante in drei gleiche Teile.
So kann ein Körper aus sechs Quadraten und acht regelmäßigen
Sechsecken entstehen.
Er heißt folgerichtig "das abgestumpfte Oktaeder ". |
Alle archimedische Körper
Nummer 8 ist das Kuboktaeder.
Bekannt ist Nummer 4, das abgestumpfte Ikosaeder
wegen der Fußball-Form.
Reguläre
Körper im vierdimensionalen Raum top
Sie heißen auch vierdimensionale reguläre Polytope.
Es gibt sechs Körper dieser Art:
Hypertetraeder (5-Zelle), Hyperwürfel
(8-Zelle), 16-Zelle, 24-Zelle, 120-Zelle, 600-Zelle.
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Polytop
5-Zelle
8-Zelle
16-Zelle
24-Zelle
120-Zelle
600-Zelle
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Anzahl der Ecken
5
16
8
24
600
120
|
Anzahl der Kanten
10
32
24
96
1200
720
|
Anzahl der Flächen
10 Dreiecke
24 Quadrate
32 Dreiecke
96 Dreiecke
720 Fünfecke
1200 Dreiecke
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Anzahl Körper
5 Tetraeder
8 Würfel
16 Tetraeder
24 Oktaeder
120 Dodekaeder
600 Tetraeder
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Die mit gleicher Farbe markierten Polytope sind dual, die schwarzen selbstdual.
In Buch 2 wird versucht, den Weg zu den Polytopen darzustellen. Ausgangspunkt
ist die Fragestellung, welche gleichen platonischen Körper an einer
Kante zusammenstoßen können.
Es müssen mindestens drei Körper sein. Das sind 3, 4 oder
5 Tetraeder, 3 Würfel, 3 Oktaeder und 3 Pentagondodekaeder.
... ...
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In dieser Bildreihe fehlen die drei Dodekaeder an einer Kante und somit
der Hinweis auf die 120-Zelle. |
Man gelangt in dieser Reihenfolge durch "Projektionen" zu den Körpern
5-Zelle, 16-Zelle, 24-Zelle, 8-Zelle, 600-Zelle
(2) Seite 97ff.
Bau der platonischen Körper
top
Papiermodelle
Man verwendet zum Bau von Modellen die Netze der Körper.
Ich biete hier zum Herunterladen eine Vorlage
in A4-Größe als .pdf-Datei an, die mir Benedikt Seidl freundlicherweise
zur Verfügung gestellt hat.
Alle Körper haben die gleiche Kantenlänge.
Vorlagen mit Motiven von Escher findet
man in Buch 3.
Tetraeder, Kuboktaeder, Oktaeder
Kantenmodelle
Mit dem Modespielzeug aus Magnetstäben und
Kugeln lassen sich schnell und einfach Modelle der platonischen Körper
bauen.
Oktaeder, Oktaeder
Für das Dodekaeder und Ikosaeder hätte ich mir noch mehr Magnete
und Kugeln kaufen müssen.
Flechtmodelle
Man kann die platonischen Körper aus Streifen flechten. Vorlagen
findet man in der Homepage von H. B. Meyer (URL unten).
Spielwürfel
kaufen
Heute kann man in jedem gut sortierten Spielzeugladen die platonischen
Körper aus Kunststoff kaufen.
Man benötigt sie für Rollenspiele.
Platonische Körper
im Internet top
Deutsch
Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die
fünf Platonischen Körper
Gerd Müller
Platonische Körper
in Stereodarstellung
Hans Wypior
Vektorgrafik mit Javascript
H. B. Meyer
Flechtseite
Institut für Geometrie, TU Wien
CAD 3D
Michael Rockstroh
Platonische
Körper in der Kunst
NN (Universtät Bremen)
Workshop
„Platonische Körper“ (.pdf-Datei)
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Die
Platonischen Körper
Walter Fendt (Mathematik-Applets)
Die Platonischen
Körper
Wikipedia
Platonischer
Körper, Cluster
(Physik)
Englisch
Bob's Pages
Stellations
a polyhedron generator (Applet)
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Platonic
Solid
G. Korthals Altes
Paper Models of Polyhedra
H. B. Meyer
Polyhedra
plaited with paper strips
Jim Loy
Regular Solids
John O'Connor (University of St Andrews)
Symmetry
groups of Platonic solids
Lee Stemkoski (Mathematrix)
Platonic
Solids
Poly-pro
A program for downloading (Poly is
a shareware program for exploring and constructing polyhedra, 1.4MByte)
Robert Webb
dual morphing
of the regular polyhedra (Be patient during the initialization)
Tom Getty
The Platonic
Solids
Wikipedia
Platonic solid
WolframResearch
Polyhedron
Explorer (Applet)
Referenzen top
(1) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und
Formen, Göttingen 1969
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensionen - Figuren und Körper in geometrischen
Räumen, Spektrum-Bibliothek, Bd.31, 1991 [ISBN 3-89330-817-2]
(3) Doris Schattenschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen,
Köln 1992
(4) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(5) H.Rademacher und O.Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Berlin-Heidelberg-New
York, Nachdruck 1968
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2005 Jürgen Köller
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