Ikosaeder

Inhalt dieser Seite

Was ist ein Ikosaeder?
Fünfseitige Pyramiden
Ikosaeder und Würfel
Größen
Netz des Ikosaeders

Besondere Lagen
Goldene Rechtecke
Dualität von Ikosaeder und Pentagondodekaeder
Ikosaeder im Internet
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Was ist ein Ikosaeder?
Ein Ikosaeder ist ein Körper aus 20 gleichseitigen Dreiecken.

Ikosaeder heißt Zwanzigflächner.

Das Ikosaeder gehört zu den fünf Platonischen Körpern.
Es wird nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt und ist somit auch ein Deltaeder.

Die Bildpaare auf dieser Seite ermöglichen eine dreidimensionale Sicht der Körper.

Fünfseitige Pyramiden top
Das Ikosaeder hat neben den 20 Seitenflächen noch 30 Kanten und 12 Ecken.
Jede Ecke bildet die Spitze einer fünfseitigen Pyramide.

Je zwei Pyramiden stehen entgegengesetzt einander gegenüber. Dabei sind die Grundflächen gegeneinander gedreht.
Man erhält das Ikosaeder, wenn man die Ecken der Grundflächen der Pyramiden durch eine Zickzacklinie miteinander verbindet.

Zwei regelmäßige Fünfecke - gegeneinander gedreht - begrenzen die mittlere Schicht oben und unten.
Der Schichtkörper ist ein Antiprisma. Das erkennt man noch einmal in der folgenden Ansicht.

Ikosaeder und Würfel top
Es gibt einen (gelben) Würfel, den man um das Ikosaeder legen kann. Dabei berühren drei gegenüberliegende Kantenpaare den Würfel in Mittellinien der Würfelflächen.

Der Deutlichkeit halber sind nur der Würfel und die sechs Kanten gezeichnet.

Man erhält das Ikosaeder, indem man die Kantenenden passend miteinander verbindet. Als Beispiel ist eine Seitenfläche eingezeichnet.

Auf diese Weise sind die Zeichnungen des Ikosaeders auf dieser Seite entstanden.

Größen top
Das Ikosaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel und den Radius r der Inkugel.
Ist die Kantenlänge a gegeben, so gilt für die übrigen Größen:

Herleitungen

...

Man verwendet im Folgenden zwei Formeln des gleichseitigen Dreiecks
h = (1/2)sqrt(3)a
A₃=(1/4)sqrt(3)a²

Oberfläche O
O=20*A₃=20*(1/4)sqrt(3)a²=5sqrt(3)a²

Radius R der Umkugel und Radius r der Inkugel
1 Man legt durch die Mitte des Körpers eine Schnittfläche, die dann die Kugeln als Kreise zeigt.

2 Die Schnittfläche ist ein Sechseck, das aus vier Dreieckshöhen und zwei Kanten des Ikosaeders gebildet wird.

3 Den Radius der Umkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras zunächst die Hilfsstrecke x bestimmt:
h²=x²+(x-a/2)². Die quadratische Gleichung wird vereinfacht zu x²-(a/2)x-a²/4=0. Die zutreffende Lösung ist x=(1/4)[1+sqrt(5)]a.
Dann folgt nach dem Satz des Pythagoras R²=a²/4+x² oder R=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a.

4 Den Radius der Inkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung R²=r²+(2h/3)²=r²+a²/3 aufstellt.
Es ergibt sich r²=R²-a²/3=42/144*a²+18sqrt(5)/144*a² und r=(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a.
Dabei verwendet man die Identität sqrt[14+6sqrt(5)]=3+sqrt(5).

Volumen V

Die sechs Hauptdiagonalen zerlegen das Ikosaeder in 20 dreiseitige Pyramiden.
Eine Pyramide hat die Grundfläche A_d und die Höhe r.
Es gilt V=20*A₃ *r/3= 20*(1/4)sqrt(3)a²*(1/3)(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a=...=(5/12)[3+sqrt(5)]a³.

Winkel zwischen zwei Seitenflächen

...

Der Winkel taucht im unregelmäßigen Sechseck, das das Ikosaeder halbiert, auf und zwar zwischen den Höhen zweier Dreiecke.
Für den halben Winkel gilt sin (epsilon) = x/h. Daraus folgt epsilon=arc sin (x/h) oder ungefähr 69°06'=69,1°.
Dann ist der "Neigungswinkel" 2*epsilon=138°11'=138,2°.

In Formelsammlungen findet man 2*epsilon=arc cos[-(1/3)sqrt(5)].

Netz des Ikosaeders top

Das sind zwei von 43380 Netzen.
(nach MathWorld)

Besondere Lagen top

Vorne sind eine Seitenfläche, eine Kante und eine Ecke bei Parallelprojektionen des Ikosaeders.

Goldene Rechtecke top
Je zwei Kanten haben den Abstand d=2x=(1/2)[1+sqrt(5)]a. Das ist die Länge der Diagonale in einem Fünfeck der Seitenlänge a. Und da gilt, dass Diagonale und Seite im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen.

Dualität von Ikosaeder und Pentagondodekaeder top

Verbindet man die Mittelpunkte der Seitendreiecke
eines Ikosaeders, entsteht ein Dodekaeder.
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenfünfecke
eines Dodekaeders, entsteht ein Ikosaeder.