Ikosaeder
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Was ist das Ikosaeder?
Beschreibungen
Symmetrien
Umhüllender Würfel
Größen
Ikosaeder und Pentagondodekaeder
Vom Ikosaeder zu weiteren Körpern
Zwanzig-Flächner
Ikosaeder im Internet
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Was ist das Ikosaeder?
....... Das Ikosaeder ist der Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Ikosaeder heißt Zwanzig-Flächner.

Das Ikosaeder ist ein platonischer Körper.


Die folgenden Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht.
.

durchsichtig      durchsichtig

undurchsichtig  undurchsichtig

Das Ikosaeder wird nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt und ist somit auch ein Deltaeder.

Kommt man vom Namen Ikosaeder oder Zwanzig-Flächner her, so müsste jeder Körper mit 20 Flächen diesen Namen tragen. So müsste das Ikosaeder von oben näher gekennzeichnet werden, etwa in Anlehnung an das Pentagondodekaeder als Trigonikosaeder (auch im Internet nicht gefunden) oder als regelmäßiges Ikosaeder (selten verwendet). Offenbar verzichtet man auf eine nähere Beschreibung. 
Langer Rede kurzer Sinn: Das Ikosaeder ist gemeinhin der platonische Körper.

Beschreibungen  top
Daten
Das Ikosaeder hat neben f=20 Seitenflächen noch k=30 Kanten und e=12 Ecken.
Es gilt der eulersche Polyedersatz e+f=k+2.
In jedem Eckpunkt treffen fünf Kanten bzw. fünf Flächen aufeinander.


Aufbau
Jede Ecke bildet die Spitze einer fünfseitigen Pyramide. 
...... Je zwei Pyramiden stehen entgegengesetzt einander gegenüber. 

Dabei sind die Grundflächen gegeneinander gedreht.


...... Zwischen den Pyramiden liegt eine Schicht, gebildet aus zwei Fünfecken und zehn gleichseitigen Dreiecken. 
Der Schichtkörper ist ein fünfseitiges Antiprisma, das dadurch entsteht, dass man die Ecken der Fünfecke durch eine Zickzacklinie miteinander verbindet.

Anzahl der Raumdiagonalen
...... Verbindet man die 12 gegenüberliegenden Eckpunkte, entstehen 6 Raumdiagonalen.

Sie legen den Mittelpunkt des Ikosaeders fest.


Dann gibt es noch kürzere Raumdiagonalen.
...... Von einem Punkt gehen immer 5 Diagonalen aus.
Da es 12 Ecken gibt, ergibt das 5*12=60 Diagonalen. 
Dabei wird jede Diagonale doppelt gezählt.

Es gibt also 30 Raumdiagonalen dieser Art.


Auf die Anzahl 6+30=36 Raumdiagonalen kommt man auch auf einem anderen Weg.
Das Ikosaeder hat 12 Eckpunkte. Verbindet man alle Punkte, so erhält man "12 über 2" oder 66 Linien. 
Die Anzahl der Raumdiagonalen ergibt sich, wenn man die Anzahl der Kanten (30) abzieht. 
Das ergibt 36 Linien.

Parallelprojektionen

Ein Eckpunkt 
vorne

Eine Kante 
vorne


Ein Dreieck
vorne

Fünfecke 
als Strecken

Dreiecke 
als Strecken


Netze des Ikosaeders 
Das sind drei von 43380 Netzen. 

Schlegeldiagramm
...... Das Schlegeldiagramm ist eine besondere Darstellung des Ikosaeders in der Ebene.

Es stellt seine topologischen Eigenschaften dar, also mehr die Beziehungen zwischen den Eckpunkten, Kanten und Flächen.


Halbierungen des Ikosaeders
...... Verbindet man die Mittelpunkte von sechs passenden Kanten, erhält man ein regelmäßiges Zehneck.

Eine Ebene durch das Zehneck halbiert das Ikosaeder.


...... Diese Halbierung mit Hilfe von Kanten und Flächenhöhen ermöglicht einen Zugang zu den Formeln des Ikosaeders (s.u.).

Symmetrien   top
Das Ikosaeder hat einen Mittelpunkt. Er ist das Symmetriezentrum. 


...... Schaut man auf eine Ecke des Ikosaeders, so stellt es sich als eine fünfstrahlige, drehsymmetrische Figur dar. Diese Symmetrie überträgt sich auf das Ikosaeder.

Die Drehachse zeigt sich in der Zeichnung als Punkt in der Mitte.


...... Es gibt 12 Eckpunkte und damit 6 Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten. Durch sie verlaufen die Drehachsen.
Es sind also die längeren Raumdiagonalen.

Links ein Beispiel


...... Schaut man so auf das Ikosaeder, dass zwei gegenüberliegende Kanten zusammenfallen, ergibt sich die nebenstehende achsensymmetrische Figur.

Auf das Ikosaeder übertragen heißt das, dass eine Ebene durch diese Kanten Symmetrieebene ist.
 


...... Es gibt 30 Kanten oder 15 Paare von Kanten. 
In der linken Zeichnung wird die Symmetrie-Ebene durch ein Rechteck gekennzeichnet.

Das ist ein Beispiel.


...... Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten, so stehen sie für weitere 15 zweistrahlige Achsensymmetrien. 

Links ein Beispiel


...... Schaut man auf ein Dreieck, so stellt sich das Ikosaeder als eine dreistrahlige oder dreizählige, drehsymmetrische Figur dar.

Die Drehachse ist in der Zeichnung nur ein Punkt.


...... Da es 10 Paare von Dreiecken gibt, gibt es auch 10 Drehachsen.

Sie verlaufen durch die Mittelpunkte der Dreiecke.

Links ein Beispiel


Umhüllender Würfel        top
...... Es gibt einen (grünen) Würfel, den man um das Ikosaeder legen kann. 

Dabei berühren drei gegenüberliegende Kantenpaare den Würfel in Mittellinien der Würfelflächen. 


...... Der Deutlichkeit halber sind nur der Würfel und die sechs Kanten gezeichnet.

...... Man erhält das Ikosaeder, indem man Endpunkte von Kanten passend miteinander verbindet. 

Als Beispiel ist eine Seitenfläche eingezeichnet. 


Goldene Rechtecke
...... Verbindet man die Endpunkte der parallelen Kanten passend, so entstehen drei orthogonale Rechtecke.

...... Es gilt dann, dass die Seiten der eingezeichneten Rechtecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. 

Deshalb heißen die Rechtecke auch Goldene Rechtecke.


Größen  top
Das Ikosaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel und den Radius r der Inkugel.
Ist die Kantenlänge a gegeben, so gilt für die übrigen Größen:


Herleitungen
......
Man verwendet im Folgenden zwei Formeln des gleichseitigen Dreiecks.
Höhe h = (1/2)sqrt(3)a 
Flächeninhalt A3=(1/4)sqrt(3)a² 

Oberfläche O
O=20*A3=20*(1/4)sqrt(3)a²=5sqrt(3)a²

Radius R der Umkugel und Radius r der Inkugel
...... Man legt durch die Mitte des Körpers einen Schnittebene, in der die Kugeln als Kreise erscheinen. 

...... Die Schnittfläche ist ein Sechseck, das aus vier Dreieckshöhen und zwei Kanten des Ikosaeders gebildet wird.

...... Den Radius der Umkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras zunächst die Hilfsstrecke x bestimmt: 
h²=x²+(x-a/2)². Die quadratische Gleichung  wird vereinfacht zu x²-(a/2)x-a²/4=0. Die zutreffende Lösung ist x=(1/4)[1+sqrt(5)]a.
Dann folgt nach dem Satz des Pythagoras R²=a²/4+x² oder R=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a.

...... Den Radius der Inkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung R²=r²+(2h/3)²=r²+a²/3 aufstellt.
Es ergibt sich r²=R²-a²/3=42/144*a²+18sqrt(5)/144*a² und r=(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a.
Dabei verwendet man die Identität sqrt[14+6sqrt(5)]=3+sqrt(5).

Volumen V

Die sechs Hauptdiagonalen zerlegen das Ikosaeder in 20 dreiseitige Pyramiden. 
Eine Pyramide hat die Grundfläche A3 und die Höhe r.
Es gilt V=20*[(1/3)A3*r]= 20*(1/4)sqrt(3)a²*(1/3)(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a=...=(5/12)[3+sqrt(5)]a³.


Winkel zwischen zwei Seitenflächen
...... Der Winkel zwischen zwei Seitenflächen taucht im unregelmäßigen Sechseck oben auf und zwar zwischen den Höhen zweier Dreiecke. Für den halben Winkel gilt 
sin (epsilon) = x/h oder sin(epsilon) = (1/6)[sqrt(3)+sqrt(15)]. Daraus folgt epsilon=69,1°. 
Dann ist der Winkel zwischen zwei Seitenflächen 2*epsilon=138,2°.

Die Formel von de.wikipedia cos(2*epsilon)=-(1/3)sqrt(5) ist einfacher. 

Ikosaeder und Pentagondodekaeder       top
Vom Ikosaeder zum Pentagondodekaeder und zurück

Verbindet man die Mittelpunkte der Seitendreiecke 
eines Ikosaeders, entsteht ein Dodekaeder.

.Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenfünfecke 
eines Dodekaeders, entsteht ein Ikosaeder.


Die beiden Zeichnungen stellte mir Christian Grünwaldner zur Verfügung.
Ikosaeder und Pentagondodekaeder sind also duale Körper.

Dann gibt es folgende Beziehungen.
>Der Ikosaeder hat 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen. 
>Vertauscht man die Zahlen 12 und 20 und behält 30 bei, so erhält man die Daten des Pentagondodekaeders. 
>Das Pentagondodekaeder hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Flächen. 

Rhombentriadodekaeder
Das Rhombentriadodekaeder ist ein konvexer Körper aus 30 kongruenten Rhomben. 
Es hat außerdem 32 Eckpunkte und 60 Kanten. Es ist der duale Körper des Ikosidodekaeders

durchsichtig           durchsichtig

undurchsichtig       undurchsichtig

Das ist das Besondere.
...... Verbindet man gewisse Eckpunkte, entsteht ein Ikosaeder.

In der Zeichnung ist das nur angedeutet.


......
Verbindet man andere Eckpunkte, entsteht ein Pentagondodekaeder.

In der Zeichnung ist das nur angedeutet.


Das Rhombentriadodekaeder ist also ein Körper, der sowohl ein Ikosaeder als auch ein Dodekaeder enthält. Es ist der Hüllkörper des Körpers aus beiden.

...... Es gibt auch eine zweite Annäherung an das Rhombentriadodekaeder.
Man gibt ein Ikosaeder vor und setzt auf die Seitenflächen dreieckige Pyramiden. Man wählt die Höhe der Pyramiden so, dass anstoßende Seitenflächen einen Rhombus bilden.

...... Das gleiche Verfahren führt beim Würfel auf das Rhombendodekaeder.

Vom Ikosaeder zu weiteren Körpern      top
Vom Ikosaeder zum dreiseitigen Antiprisma
...... Je zwei Dreiecke liegen sich gegenüber und sind parallel. 

Verbindet man sie mit einer Zickzacklinie, so entsteht ein dreiseitiges Antiprisma.


Vom Ikosaeder zum Abgestumpften Ikosaeder
Mehr auf meiner Webseite Abgestumpftes Ikosaeder

Vom Ikosaeder zum Ikosidodekaeder
Mehr auf meiner Webseite Ikosidodekaeder

Vom Ikosaeder zum Großen Sterndodekaeder 
Mehr auf meiner Webseite Kepler-Poinsot-Körper

Vom Großen Sterndodekaeder zum Großen Ikosaeder
Mehr auf meiner Webseite Kepler-Poinsot-Körper

Oktaeder im Ikosaeder
...... Verbindet man sechs bestimmte Mittelpunkte von Kanten des Ikosaeders, so entsteht ein Oktaeder
Es gibt fünf Möglichkeiten, ein Oktaeder in das Ikosaeder zu legen. 
Zeichnet man alle Oktaeder ein, so entsteht ein Sternkörper. 
Er ist auf der Webseite von MathWorld (URL unten) unter "Octahedron 5-Compound" dargestellt.

Für den Fall Tetraeder im Pentagondodekaeder beschreibe ich ausführlich die Entstehung eines ähnlichen Sterns.

Fünf Johnson-Körper
Johnson-Körper sind konvexe Körper aus regelmäßigen Vielecken. 
Fünf (von 92) entstehen aus einem Ikosaeder.

J 02 Fünfeckpyramide
...... ...... Der Körper entsteht auch dadurch, dass  man eine Fünfeckpyramide des Ikosaeders isoliert.

J11 Beschnittenes Ikosaeder
...... ...... Der Körper entsteht, indem man vom Ikosaeder eine Fünfeckpyramide (unten) entfernt.

J 62 Doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)
..... ...... Das Ikosaeder enthält innen 12 Fünfecke. 

Man beschneidet es so, dass zwei Fünfecke außen liegen.


J 63 Dreifach beschnittenes Ikosaeder
...... ... ... Das Ikosaeder enthält innen 12 Fünfecke. 

Man beschneidet es so, dass drei Fünfecke außen liegen.


J 64 Erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder
......
......
Auf das dreifach beschnittene Ikosaeder J 63 wird ein  Tetraeder gesetzt.

Zwanzig-Flächner      top
Ein Ikosaeder ist ein Zwanzg-Flächner. 
Es folgt die Aufzählung einiger Körper, die auch von 20 Vielecken gebildet werden. 


20-seitiges Trapezoeder
Mehr über Trapezoeder findet man auf meiner Webseite Bipyramiden

Es folgen sechs Johnson-Körper.
J 22 Verdreht verlängerte 
Dreieckskuppel
J 35 Verlängerte 
Dreiecksdoppelkuppel
J 36 Verlängerte verdrehte 
Dreiecksdoppelkuppel
Mehr über diese Kuppeln findet man auf meiner Webseite Die Kuppeln unter den Johnson-Körpern

J59  Doppelt erweitertes Dodekaeder (para)
......
...... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J60 Doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)
......
......
Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei nicht gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J 92 Dreieckshebosphenorotunde
......
......
Der Körper besteht aus einem Sechseck, drei Fünfecken, drei Quadraten und 13 gleichseitigen Dreiecken.

Weitere Körper mit 20 Flächen findet man auf der Webseite Icosahedron von Mathworld (URL unten).
Darunter sind z.B. die zehnseitige Bipyramide, das achtzehnseitige Prisma, das neunseitige Antiprisma, das große Ikosaeder und das "Rhombic Icosahedron".

Ikosaeder im Internet       top

Deutsch

Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die fünf Platonischen Körper  (.pdf-Datei)

Felix Kiessling
Ikosaeder als Kunstobjekt

Gerd Müller
Platonische Körper in Stereodarstellung

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Ikosaeder

Michael Treiber
Das Ikosaeder (.pdf-Datei)

Udo Hebisch (Mathematisches Café) 
Ikosaeder

Walter Fendt
Das Ikosaeder  (.pdf-Datei)

Wikipedia
Ikosaeder



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Icosahedron, Truncated Icosahedron, Icosahedron StellationsOctahedron5-Compound,
 Rhombic Icosahedron
Gijs Korthals Altes 
Paper Model of an Icosahedron
Mein selbstgebautes Modell
Herman SERRAS
The regular dodecahedron and icosahedron

Jim Loy
Regular Solids

Kenneth James Michael MacLean
THE ICOSAHEDRON 

Linda Stannard
Principles of Virus Architecture

Poly
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem Programm erzeugt.

Robert Webb
Stella: Polyhedron Navigator

Wikipedia
Icosahedron, Rhombic icosahedron

Französisch

Robert FERRÉOL (MathCurve)
ICOSAÈDRE


Dank an Nicolas Kauffmann aus Wuppertal für Unterstützung


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