|
Was ist ein Ikosidodekaeder?
... ...
|
Ein Ikosidodekaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen
Fünfecken und 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört er zu den archimedischen Körpern. |
... ... |
Es entsteht aus einem Ikosaeder, wenn man an den Ecken passend fünfseitige
Pyramiden abschneidet. Dazu halbiert man alle Kanten des Ikosaeders. |
Aus den 12 Ecken des Ikosaeders werden
bei diesem Körper 12 Fünfecke.
Die 20 Fünfecke des Ikosaeders werden auf 20 gleichseitige Dreiecke
reduziert.
Neben den 20+12=32 Seitenflächen hat das Ikosidodekaeder 60 Kanten
und 30 Ecken.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig
durchsichtig
Lage der Drei- und Fünfecke
top
. ...
|
Auf jeder Fünfeckseite erhebt sich ein Dreieck. Es entsteht ein
Stern.
Der gleiche Stern liegt auf der entgegen gesetzten Seite.
Die beiden Fünfecke liegen parallel und sind gegeneinander um 180°
gedreht.
|
.. ....
|
Zu jeder Dreieckseite gehört ein Fünfeck.
Die gleiche dreistrahlige Figur liegt auf der entgegen gesetzten Seite.
Die beiden Dreiecke sind parallel und gegeneinander um 180° gedreht. |
... ...
|
Jedes Dreieck ist nur von Fünfecken oder jedes Fünfeck ist
nur von Dreiecken umgeben. |
Besondere Ansichten top
Ein Fünfeck liegt vorne.
|
Ein Dreieck liegt vorne.
|
Eine Kante liegt vorne.
|
Eine Ecke liegt vorne.
|
Eine andere Sicht des Körpers ist das Schlegel-Diagramm.
|
... ...
|
Breitet man den Körper in der Ebene aus, so entstehen zwei sternartige
Figuren. |
Größen top
Das Ikosidodekaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R
der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand der
Dreiecke d3 und Abstand der Fünfecke d5
berechnen.
Es gilt:
Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Gleichseitiges Dreieck:
Flächeninhalt A3=(1/4)sqrt(3)a²
Höhe h=(1/2)sqrt(3)a |
Regelmäßiges Fünfeck:
Flächeninhalt A5=(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²,
R5=(1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]a |
Ikosaeder: (hier: a'=2a)
Volumen V'=(5/12)[3+sqrt(5)]a'³
Radius der Inkugel: r'=(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a' |
...
Radius der Umkugel: R'=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'
Abstand gegenüberliegender Kanten 2x'=(1/2)[1+sqrt(5)]a' |
Radius der
Umkugel
Auf meiner Seite Ikosaeder wird ein Würfel
betrachtet, der das Ikosaeder umhüllt. Die Kantenlänge dieses
Würfels ist der Durchmesser der Umkugel.
Es gilt x'=R=(1/2)[sqrt(5)+1]a.
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus 20 Dreieckflächen und 12 Fünfeckflächen
zusammen.
Es gilt O=20*[sqrt(3)/4]a²+12*{(1/4)sqrt[25+10*sqrt(5)]}a²=
...
= {5sqrt(3)+3sqrt(5)sqrt[5+2sqrt(5)]}a²
Abstand der Fünfecke
... ... |
Zur Orientierung: M ist der Mittelpunkt des Ikosaeders/Ikosidodekaeders,
M5 ist der Mittelpunkt des Fünfecks. Der dritte Punkt A
ist (auch) eine Kantenmitte des Ikosaeders.
Das Dreieck ist rechtwinklig und gestattet es, den halben Abstand der
Fünfecke zu berechnen.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: (d5/2)²=x'²-R5² |
Also ist (d5/2)²=x'²-R5²={(1/2)[1+sqrt(5)]a'}²-{R5=(1/10)[sqrt[50+10sqrt(5)]a}²=...=[1-(2/5)sqrt(5)]a²
Dann ist d5=(2/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a, wzbw..
Volumen
Man erhält das Volumen, wenn man vom Volumen des erzeugenden Ikosaeders
die Volumina der 12 fünfeckigen Pyramiden abzieht. Es gilt V=V'-12*V5.
Es gilt V=V'=(5/12)[3+sqrt(5)]a'³=(10/3)[3+sqrt(5)]a³
Die Berechnung von A5 ist mühsam und an zwei Stellen
trickreich.
V5=(1/3)*A5*(R'-d5/2)
=(1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*{(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'-(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a}
=(1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'-(1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a
V5/a³=(1/3)(1/4)(1/4)2sqrt[25+10sqrt(5)]sqrt[10+2sqrt(5)]-(1/3)(1/4)(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]sqrt[25+10sqrt(5)]
=(1/24)sqrt{[25+10sqrt(5)][10+2sqrt(5)]}-(1/60)sqrt{[25+10sqrt(5)][25+10sqrt(5)]}
=(1/24)sqrt[350+150sqrt(5)]-(1/60)sqrt[1125+500sqrt(5)]
=(5/24)sqrt[14+6sqrt(5)]-(1/12)sqrt[45+20sqrt(5)]
=[(5/24)sqrt(2)]sqrt[7+3sqrt(5)]-[(1/12)sqrt(5)]sqrt[9+4sqrt(5)]
Derive hilft weiter.
sqrt[7+3sqrt(5)]=(1/2)[sqrt(10)+3sqrt(2)]
|
sqrt[9+4sqrt(5)]=2+sqrt(5)
|
V5/a³=[(5/24)(1/2)sqrt(2)][7+3sqrt(2)]-[(1/12)sqrt(5)][2+sqrt(5)]
=(5/48)[sqrt(20)+6]-[(1/12)[2sqrt(5)+5]
=(1/24)sqrt(5)+5/24 oder V5={(1/24)sqrt(5)+5/24}a³
V=V'-12*V5
=(10/3)[3+sqrt(5)]a³-12*{(1/24)sqrt(5)+5/24}a³
=10+(10/3)sqrt(5)-(1/2)sqrt(5)-5/2}a³
=[(15/2+(17/6)sqrt(5)]a³
=(1/6)[45+17sqrt(5)]a³
wzbw..
Abstand der Dreiecke
Dieser Abstand ist gleich dem Durchmesser des
Inkreises des Ikosaeders.
d3=2r'=2*(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a'=(1/3)[3sqrt(3)+sqrt(15)]a.
Ein Winkel
Ferner gilt nach (1): Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Fünfeckfläche
ist 142°37'.
Abgestumpfte Pentagondodekaeder
top
... ... |
Das Ikosidodekaeder entsteht auch aus einem Pentagondodekaeder, indem
man die Ecken passend abschneidet.
Dazu halbiert man alle Kanten des Pentagondodekaeders und schneidet
an allen Ecken dreieckige Pyramiden ab. |
Geht man vom Ikosidodekaeder aus, so kann man ihn durch dreieckige Pyramiden
zu einem Pentagondodekaeder ergänzen. Oben wurde gezeigt, dass man
ihn auch durch Aufsetzen von Fünfeckpyramiden zu einem Ikosaeder erweitern
kann.
Das Ikosidodekaeder ist sozusagen der Kern von Ikosaeder und Pentagondodekaeder.
Diese Überlegung erklärt den Namen Ikosidodekaeder.
Unter einem abgestumpften Pentagondodekaeder
versteht man offiziell einen anderen Körper.
Das ist das sogenannte abgestumpfte
Dodekaeder.
..... . |
Zur Herstellung wird jede Kante so aufgeteilt, dass regelmäßige
Zehnecke entstehen. Die entstehenden Dreieckspyramiden werden dann entfernt.
Es entsteht ein Körper aus 20 Dreiecken und 12 Zehnecken.
Außerdem hat er 90 Kanten und 60 Eckpunkte. |
... ... |
Es gibt einen zweiten archimedischen Körper, der durch Abschneiden
der Ecken aus einem Ikosaeder hervorgeht.
Das ist das abgestumpfte
Ikosaeder. Man erhält es, wenn man nicht so tief wie oben abschneidet.
Die Kante an einer Ecke wird nur um ein Drittel gekürzt. |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Ein Leuchtstern top
Im November 2006 erwarb ich für einen Euro in einem Billigladen
einen Leuchtstern. Er hat keinen Namen und nur die Angabe "Made in China".
Er veranlasste mich, diese Seite zu machen.
... ... |
Der dreidimensionale Stern besteht aus sechs fünfzackigen, ebenen
Sternen, die ineinander verwoben sind.
Sie schließen eine Plastikkugel ein, die für kurze Zeit in
drei Farben blinkt, wenn man den Stern vorher fallen lässt. |
... ... |
Ich konnte nicht umhin, ihn auseinander
zu nehmen.
... ... |
Auf diesem Foto sind die Sterne isoliert.
So ist die Kugel aus der Mitte freigelegt. |
... ... |
Und was hat der Leuchtstern mit dem Ikosidodekaeder
zu tun?
|
Verbindet man die Spitzen des Sterns, so entsteht ein Ikosidodekaeder. |
| ...... |
Schaut man senkrecht auf ein Fünfeck des Ikosidodekaeders, so
liegt - wie schon oben angemerkt - hinten ein zweites Fünfeck parallel
und um 180° gedreht.
Dazwischen liegt in der Mittelebene ein regelmäßiges Zehneck,
das von Kanten des Ikosidodekaeders gebildet wird. |
... ... |
Verbindet man in diesem Zehneck jeden vierten Eckpunkt, so entstehen
die fünfzackigen Sterne, aus denen der Leuchtstern aufgebaut ist.
Es gibt sechs Sterne und somit sechs Schnittebenen, die den Körper
halbieren. |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Ikosidodekaeder im Internet
top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Ikosidodekaeder
Wikipedia
Ikosidodekaeder,
Archimedischer
Körper, Rhombentriakontaeder
Englisch
Eric W.Weisstein (MathWorld)
Icosidodecahedron,
IcosidodecahedralGraph,
Archimedean
Solid
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated
Icosahedron and Icosidodecahedron (Applet)
Truncated
Dodecahedron and Icosidodecahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper
model Icosidodecahedron
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Icosidodecahedron
Poly
A program for downloading
("Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra")
Wikipedia
Icosidodecahedron,
Icosahedron,
Archimedean
solid
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
ICOSIDODÉCAÈDRE
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 108)
Feedback: Emailadresse auf
meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
top |
