Ikosidodekaeder
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Ikosidodekaeder?
Lage der Drei- und Fünfecke
Besondere Ansichten
Größen
"Abgestumpftes Pentagondodekaeder"
Weitere Körper
Ein Leuchtstern
Ikosidodekaeder im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Ikosidodekaeder?
......
Ein Ikosidodekaeder ist ein Körper, der von und 20 gleichseitigen Dreiecken und 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird. 

Neben den 20+12=32 Seitenflächen hat es 60 Kanten und 30 Ecken.


Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das Ikosidodekaeder räumlich.
 

durchsichtig

undurchsichtig


Entstehung
Das Ikosidodekaeder entsteht aus einem Ikosaeder, wenn man an den Ecken passend fünfseitige Pyramiden abschneidet. Dazu halbiert man die Kanten des Ikosaeders.
...... An den Ecken des Ikosaeders entstehen Fünfecke. 
Die Dreiecke des Ikosaeders werden auf kleinere Dreiecke reduziert. 

Einordnung
Da beim Ikosidodekaeder (9) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibungen  top
Umgebungen der Drei- und Fünfecke
....... Auf jeder Fünfeckseite liegt ein Dreieck. Es entsteht ein Stern.

Der gleiche Stern liegt auf der entgegengesetzten Seite. 

Die beiden Fünfecke liegen parallel und sind gegeneinander um 180° gedreht. 


....... Zu jeder Dreieckseite gehört ein Fünfeck. 

Die gleiche dreistrahlige Figur liegt auf der entgegengesetzten Seite. 

Die beiden Dreiecke sind parallel und gegeneinander um 180° gedreht.


...... Jedes Dreieck ist nur von Fünfecken und jedes Fünfeck nur von Dreiecken umgeben. 

Zehneck
...... Es gibt Kanten im Ikosidodekaeder, die ein ebenes, regelmäßiges Zehneck bilden. - Es gibt 6 verschiedene Zehnecke.

Die Ebene durch ein Zehneck ist Symmetrieebene und halbiert das Ikosidodekaeder.


Parallelprojektionen

Ein Fünfeck liegt vorne.

Ein Dreieck liegt vorne.

Eine Kante liegt vorne.

Eine Ecke liegt vorne.

Netze
......

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
60 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der 12 Fünfecke bilden die Flächendiagonalen des Ikosidodekaeders.  Jedes Fünfeck hat 5 Diagonalen. 

Das führt zu insgesamt 12*5=60 Flächendiagonalen.


315 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 30 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 4 Flächendiagonalen und 4 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 30-8=22 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*30*21=315 Raumdiagonalen des abgestumpften Ikosaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das Ikosidodekaeder bedeutet das, dass es (1/2)*29*30=435 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 60 Kanten, 60 Flächendiagonalen und 315 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das Ikosidodekaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand der Dreiecke  d3 und Abstand der Fünfecke d5 berechnen.
Es gilt:


Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Gleichseitiges Dreieck
Flächeninhalt A3 = (1/4)sqrt(3)a² 
Höhe h = (1/2)sqrt(3)a
Regelmäßiges Fünfeck:
Flächeninhalt A5 = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a², 
R5 = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]a
Ikosaeder: (hier: a' = 2a)
Volumen V' = (5/12)[3+sqrt(5)]a'³ 
Radius der Inkugel: r' = (1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a'
...
Radius der Umkugel: R' = (1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'
Abstand gegenüberliegender Kanten 
2x' = (1/2)[1+sqrt(5)]a' 

Radius der Umkugel
Auf meiner Seite Ikosaeder wird ein Würfel betrachtet, der das Ikosaeder umhüllt. Die Kantenlänge dieses Würfels ist der Durchmesser der Umkugel. 
Es gilt x' = R = (1/2)[sqrt(5)+1]a.

Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus 20 Dreieckflächen und 12 Fünfeckflächen zusammen. 
Es gilt O = 20*[sqrt(3)/4]a²+12*{(1/4)sqrt[25+10*sqrt(5)]}a² = ...
= {5sqrt(3)+3sqrt(5)sqrt[5+2sqrt(5)]}a².

Abstand der Fünfecke
...... Zur Orientierung: M ist der Mittelpunkt des Ikosaeders bzw. des Ikosidodekaeders, M5 ist der Mittelpunkt des Fünfecks. Der dritte Punkt A ist (auch) eine Kantenmitte des Ikosaeders. Das Dreieck ist rechtwinklig und gestattet es, den halben Abstand der Fünfecke zu berechnen. Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: (d5/2)² = x'²-R5² 

Also ist (d5/2)² = x'²-R5² = {(1/2)[1+sqrt(5)]a'}²-{R5 = (1/10)[sqrt[50+10sqrt(5)]a}² =...
= [1-(2/5)sqrt(5)]a²
Dann ist d5 = (2/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a, wzbw..

Volumen
Man erhält das Volumen, wenn man vom Volumen des erzeugenden Ikosaeders die Volumina der 12 fünfeckigen Pyramiden abzieht. Es gilt V = V'-12*V5
Es gilt V = V' = (5/12)[3+sqrt(5)]a'³ = (10/3)[3+sqrt(5)]a³

Die Berechnung von A5 ist mühsam und an zwei Stellen trickreich. 
V5 = (1/3)*A5*(R'-d5/2)
= (1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*{(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'-(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a}
= (1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]a'-(1/3)*(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²*(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]a
V5/a³ = (1/3)(1/4)(1/4)2sqrt[25+10sqrt(5)]sqrt[10+2sqrt(5)]-(1/3)(1/4)(1/5)sqrt[25+10sqrt(5)]sqrt[25+10sqrt(5)]
= (1/24)sqrt{[25+10sqrt(5)][10+2sqrt(5)]}-(1/60)sqrt{[25+10sqrt(5)][25+10sqrt(5)]}
= (1/24)sqrt[350+150sqrt(5)]-(1/60)sqrt[1125+500sqrt(5)]
= (5/24)sqrt[14+6sqrt(5)]-(1/12)sqrt[45+20sqrt(5)]
= [(5/24)sqrt(2)]sqrt[7+3sqrt(5)]-[(1/12)sqrt(5)]sqrt[9+4sqrt(5)]
Derive hilft weiter.

sqrt[7+3sqrt(5)]=(1/2)[sqrt(10)+3sqrt(2)]

sqrt[9+4sqrt(5)]=2+sqrt(5)
V5/a³ = [(5/24)(1/2)sqrt(2)][7+3sqrt(2)]-[(1/12)sqrt(5)][2+sqrt(5)]
= (5/48)[sqrt(20)+6]-[(1/12)[2sqrt(5)+5]
= (1/24)sqrt(5)+5/24 oder V5={(1/24)sqrt(5)+5/24}a³

V = V'-12*V5
= (10/3)[3+sqrt(5)]a³-12*{(1/24)sqrt(5)+5/24}a³
= 10+(10/3)sqrt(5)-(1/2)sqrt(5)-5/2}a³
= [(15/2+(17/6)sqrt(5)]a³
= (1/6)[45+17sqrt(5)]a³  wzbw..


Abstand der Dreiecke
Dieser Abstand ist gleich dem Durchmesser des Inkreises des Ikosaeders.
d3 = 2r' = 2*(1/12)sqrt(3)[3+sqrt(5)]a' = (1/3)[3sqrt(3)+sqrt(15)]a.

Ein Winkel
Ferner gilt nach (1): Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Fünfeckfläche ist 142°37'.

"Abgestumpftes Pentagondodekaeder"    top
...... Das Ikosidodekaeder entsteht auch aus einem Pentagondodekaeder, indem man die Ecken passend abschneidet. 
Dazu halbiert man die Kanten des Pentagondodekaeders und schneidet an den Ecken dreieckige Pyramiden ab.
> Geht man vom Ikosaeder aus, so kann man es durch dreieckige Pyramiden zu einem Pentagondodekaeder ergänzen. 
> Oben wurde gezeigt, dass man es auch durch Aufsetzen von Fünfeckpyramiden zu einem Ikosaeder erweitern kann. 
Das Ikosidodekaeder ist sozusagen der Kern von Ikosaeder und Pentagondodekaeder. 
Diese Überlegung erklärt den Namen Ikosidodekaeder.


Unter einem abgestumpften Pentagondodekaeder versteht man offiziell einen anderen Körper.
Er heißt kürzer abgestumpftes Dodekaeder.
...... Zur Herstellung wird jede Kante so aufgeteilt, dass regelmäßige Zehnecke entstehen. Die entstehenden Dreieckspyramiden werden dann entfernt. Es entsteht ein Körper aus 20 Dreiecken und 12 Zehnecken. 

Weitere Körper 
Abgestumpftes Ikosaeder
...... Es gibt einen zweiten archimedischen Körper, der durch Abschneiden der Ecken aus einem Ikosaeder hervorgeht. 
Das ist das abgestumpfte Ikosaeder. Man erhält es, wenn man nicht so tief wie oben abschneidet. Die Kante an einer Ecke wird nur um ein Drittel gekürzt. 


Rhombentriakontaeder 
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des Ikosidodekaeders, so entsteht der duale Körper, das Rhombentriakontaeder

Fünfecksrotunde
......
...... Halbiert man ein Ikosidodekaeder, so entsteht ein Körper, der nur von regelmäßigen Vielecken gebildet wird, nämlich von einem Zehneck, 6 Fünfecken und 10 Dreiecken. Das ist die Fünfecksrotunde, der Johnson-Körper J6.

Die Fünfecksrotunde ist Bestandteil weiterer Johnson-Körper.

 

Oktaeder im Ikosidodekaeder
...... Verbindet man 6 bestimmte Eckpunkte des Ikosidodekaeders, so entsteht ein Oktaeder. - Es gibt 5 verschiedene Oktaeder.

Alle Oktaeder zusammen bilden das "octahedron 5-compound", das man sich auf der Webseite Icosidodecahedron von MathWorld (URL unten) ansehen kann. 


Ein Leuchtstern top
Im November 2006 erwarb ich für einen Euro in einem Billigladen einen Leuchtstern. Er hat keinen Namen und nur die Angabe "Made in China". Er veranlasste mich, diese Seite zu machen. 
...... Der dreidimensionale Stern besteht aus sechs fünfzackigen, ebenen Sternen, die ineinander verwoben sind. 

Sie schließen eine Plastikkugel ein, die für kurze Zeit in drei Farben blinkt, wenn man den Stern vorher fallen lässt.

......


Ich konnte nicht umhin, ihn auseinander zu nehmen.
...... Auf diesem Foto sind die Sterne isoliert. 

So ist die Kugel aus der Mitte freigelegt. 

......

Und was hat der Leuchtstern mit dem Ikosidodekaeder zu tun?
Verbindet man die Spitzen des Sterns, so entsteht ein Ikosidodekaeder.

...... Schaut man senkrecht auf ein Fünfeck des Ikosidodekaeders, so liegt - wie schon oben angemerkt - hinten ein zweites Fünfeck parallel und um 180° gedreht.

Dazwischen liegt in der Mittelebene ein regelmäßiges Zehneck, das von Kanten des Ikosidodekaeders gebildet wird. 


...... Verbindet man in diesem Zehneck jeden vierten Eckpunkt, so entstehen die fünfzackigen Sterne, aus denen der Leuchtstern aufgebaut ist. 

Es gibt sechs Sterne und somit sechs Schnittebenen, die den Körper halbieren.


Ikosidodekaeder im Internet top

Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Ikosidodekaeder

Wikipedia
Ikosidodekaeder, Archimedischer KörperRhombentriakontaeder

Englisch

Eric W.Weisstein (MathWorld)
Icosidodecahedron, IcosidodecahedralGraph, Archimedean Solid

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Icosahedron and Icosidodecahedron (Applet)
Truncated Dodecahedron and Icosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes 
Paper model Icosidodecahedron

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Icosidodecahedron

Poly 
A program for downloading ("Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra") 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Icosidodecahedron, Icosahedron, Archimedean solidRhombentriakontaeder

Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve)
ICOSIDODÉCAÈDRE


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 108)


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©  2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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