Abgestumpftes Dodekaeder
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Was ist ein abgestumpftes Dodekaeder?
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Abgestumpftes Dodekaeder im Internet
Referenzen
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Was ist ein abgestumpftes Dodekaeder?
......
Ein abgestumpftes Dodekaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Zehnecken und 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 
Neben den 12+20=32 Seitenflächen hat das abgestumpfte Dodekaeder 90 Kanten und 60 Eckpunkte.


Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das abgestumpftes Ikosaeder räumlich.
 

durchsichtig

undurchsichtig


Entstehung
Es entsteht aus einem Pentagondodekaeder, indem man an den Ecken passend dreiseitige Pyramiden abschneidet.
...... Dazu teilt man alle Kanten so, dass regelmäßige Zehnecke entstehen. 
An den Ecken des Pentagondodekaeders entstehen gleichseitige Dreiecke. 

Einordnung
Da beim abgestumpften Ikosaeder (3) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibungen  top
Umgebungen von Dreieck und Zehneck
... Jedes Dreieck ist von drei Zehnecken umgeben.


... Jedes Zehneck ist von fünf Dreiecken und fünf Zehnecken umgeben.

Parallelprojektionen
Ein Zehneck, ein Dreieck, eine Kante und eine Kante liegen vorne.

Netz
Ein Netz von vielen des abgestumpften Dodekaeders.

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
420 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der 10 Zehnecke bilden die Flächendiagonalen des abgestumpften Dodekaeders. Jedes Zehneck hat 35 Diagonalen. 

Das führt zu insgesamt 12*35=420 Flächendiagonalen.


1260 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 14 Flächendiagonalen und 3 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 60-17=43 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*60*42=1260 Raumdiagonalen des abgestumpften Ikosaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgestumpfte Ikosaeder bedeutet das, dass es (1/2)*59*60=1770 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 90 Kanten, 420 Flächendiagonalen und 1260 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das abgestumpfte Dodekaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O,  Abstand d3 der Dreiecke und Abstand d10 der Zehnecke berechnen.


Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Gleichseitiges Dreieck
Flächeninhalt A3 = (1/4)sqrt(3)a², Höhe h = (1/2)sqrt(3)a
Zehneck
Radius des Inkreises r10 = (1/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a, Radius des Umkreises R10 = (1/2)[sqrt(5)+1]a, 
Flächeninhalt A10 = (5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²; ferner cos(36°) = (1/4)[1+sqrt(5)]
Pentagondodekaeder
V' = (1/4)[15+7sqrt(5)]a'³, Radius des Inkugel r' = (1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a'
Radius des Inkugel R' = (1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]a'.

Vom Fünfeck zum Zehneck
Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man vom Fünfeck des Dodekaeders zum Zehneck des abgestumpften Dodekaeders gelangt. 
......
Genauer: Um welche Strecken x muss man die Fünfeckseiten kürzen? 
Die Strecke x taucht in einem gelben rechtwinkligen Dreieck als Hypotenuse auf. Eine Kathete ist die halbe Seitenlänge des Zehnecks. Der gekennzeichnete Winkel ist 36°, da seine Schenkel auf dem Mittelpunktwinkel 36° senkrecht stehen und der Winkel von 36° der halbe Winkel des Grunddreiecks des Fünfecks ist.
Es gilt cos(36°) = (a/2):x oder x = (a/2)/cos(36°). Wegen cos(36°) = (1/4)[sqrt(5)+1] ist
x = (1/2)[sqrt(5)-1]a. Die Fünfeckseite ist a' = 2x+a = sqrt(5)a.

Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten der 12 Zehnecke und der 20 Dreiecke zusammen.
Für das Zehneck gilt A10 = (5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a², für das Dreieck A3 = (1/4)sqrt(3)a².
O = 12A10+20A3 = 12*(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²+20*(1/4)sqrt(3)a² = 5{sqrt(3)+6sqrt[5+2sqrt(5)]}a²,
wzbw.

Volumen
Man erhält das Volumen V des abgestumpften Dodekaeders, indem man vom Volumen des Pentagondodekaeders 20x das Volumen der abzuschneidenden dreiseitigen Pyramide subtrahiert. 
...... Nach dem Satz des Pythagoras gilt H² = x²-[(2/3)h]² oder 
H² = {(1/2)[sqrt(5)-1]a}²-{(2/3)[(1/2)sqrt(3)]}² =...
= (7/6)a²-(1/2)sqrt(5)a² = (1/6)[sqrt(7)-3sqrt(5)]a².
Dann  ist H = sqrt(1/6){sqrt[sqrt(7)-3sqrt(5)]}a.

Darauf muss man erst einmal kommen: 
sqrt[sqrt(7)-3sqrt(5)] = (1/2)[3sqrt(2)-sqrt(10)]

Derive half.


Somit ist 
H = sqrt(1/6)(1/2)[3sqrt(2)-sqrt(10)]a
= [sqrt(6)/12][3sqrt(2)-sqrt(10)]a
= [(1/12)[3sqrt(12)-sqrt(60)]a
= (1/12)[6sqrt(3)-2sqrt(15)]a
= (1/6)[3sqrt(3)-sqrt(15)]a
= (1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a.
Das Volumen dieser Dreieckspyramide ist 
V3 = (1/3)[1/4)sqrt(3)a²][(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a = (1/24)[3-sqrt(5)]a³.
Das Volumen des Pentagondodekaeders ist V' = (1/4)[15+7sqrt(5)][5sqrt(5)]a³ = (5/4)[35+15sqrt(5)]a³.
Damit ist V = V'-20V3 = (5/4)[35+15sqrt(5)]-20(1/24)[3-sqrt(5)] =...= (5/12)[99+47sqrt(5)], wzbw..

Radius R der Umkugel 
......
M ist der Mittelpunkt des Pentagondodekaeders. 
In das abgestumpfte Dodekaeder legt man das rechtwinklige Dreieck MM10E. 
M ist der Mittelpunkt des Pentagondodekaeders, M10 ist der Mittelpunkt des Zehnecks.
r' ist der Radius der Inkugel des Pentagondodekaeders, R10 ist der Radius des Umkreises des Zehnecks und R ist der gesuchte Radius der Umkugel des abgestumpften Dodekaeders. 
Nach dem Satz des Pythagoras ist R² = r'²+R10² oder
R² = {(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]sqrt(5)a}²+{(1/2)[sqrt(5)+1]a}² = ... = (1/16){sqrt[74+30sqrt(5)]}a².
Dann ist  R = (1/4){sqrt[74+30sqrt(5)]}a, wzbw..

Abstand d10 der Zehnecke
Der Abstand der Zehnecke ist gleich dem Abstand der Fünfecke des zugehörigen Pentagondodekaeders.
d10 = 2r' = (1/10)sqrt[250+110sqrt(5)]a' = (1/2)sqrt[50+22sqrt(5)]a, wzbw.

Abstand d3 der Dreiecke 
...... Man erhält den halben Abstand der Dreiecke, wenn man vom Radius R' der Umkugel des Pentagondodekaeders die Höhe H der abzuschneidenden Pyramide abzieht.
(1/2)d3 = R'-H 
Es gilt R' = (1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]a' = (1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]sqrt(5)a = [(1/4)sqrt(15)+(5/4)sqrt(3)]a.
Für die Höhe H gilt H = [(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a  (s.o.). 

Weiter ist d3/2 = R'-H = [(1/4)sqrt(15)+(5/4)sqrt(3)]a-[(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a =...
= (1/12)[5sqrt(15)+9sqrt(3)]a.
Dann ist d3 = (1/6)[9sqrt(3)+5sqrt(15)]a, wzbw.. 

Zwei Winkel
Der Winkel zwischen zwei Zehneckflächen ist 116°34'.
Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Zehneckfläche ist 142°37°.
(1)

Weitere Körper    top
Triakisikosaeder 
...... Der duale Körper ist ein Ikosaeder mit auf die Seitenflächen gesetzten, dreiseitigen Pyramiden.


Ikosidodekaeder
...... Aus einem Pentagondodekaeder kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden dreiseitiger Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Der Körper heißt Ikosidodekaeder.

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Deutsch

Wikipedia
Dodekaederstumpf, Triakisikosaeder, Archimedischer Körper, Catalanischer Körper


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated DodecahedronArchimedean SolidTriakis Icosahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Dodecahedron and Icosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Dodecahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programmes.

Wikipedia
Truncated dodecahedron, Triakis icosahedronArchimedean solid, Catalan solid

Französisch

Robert FERRÉOL
DODÉCAÈDRE TRONQUÉ


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 109)


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©  2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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