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Was ist das abgestumpftes Dodekaeder?
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das abgestumpfte Dodekaeder ist
ein Körper, der von 12 regelmäßigen Zehnecken und 20 gleichseitigen
Dreiecken gebildet wird.
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört es zu den archimedischen Körpern. |
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Es entsteht aus einem Pentagondodekaeder, indem man an den Ecken passend
dreiseitige Pyramiden abschneidet.
Dazu teilt man alle Kanten so, dass regelmäßige Zehnecke
entstehen. |
Aus den acht Ecken des Pentagondodekaeder
werden bei diesem Körper acht gleichseitige Dreiecke.
Die 12 Fünfecke des Pentagondodekaeder bleiben als kleinere Zehnecke
erhalten.
Neben den 12+20=32 Seitenflächen hat der abgestumpfte
Würfel 90 Kanten und 60 Eckpunkte.
Die beiden folgende, nebeneinander liegende
Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Besondere Lagen top
Ein Zehneck liegt vorne
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Ein Dreieck liegt vorne
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Die Seite eines Dreiecks liegt vorne
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Die gemeinsame Seite zweier Zehnecke liegt vorne
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Ein Schlegel-Diagramm
Netz top
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Ein Netz von vielen des abgestumpften Dodekaeders. |
Größen top
Das abgestumpfte Dodekaeder sei durch die Kantenlänge a
gegeben.
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R
der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand
d3
der
Dreiecke und Abstand d10 der Zehnecke berechnen.
Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Gleichseitiges Dreieck:
Flächeninhalt A3=(1/4)sqrt(3)a²,
Höhe h=(1/2)sqrt(3)a
Zehneck:
Radius des Inkreises r10=(1/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a, Radius
des Umkreises R10=(1/2)[sqrt(5)+1]a,
Flächeninhalt
A10=(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²;
ferner cos(36°)=(1/4)[1+sqrt(5)]
Pentagondodekaeder:
V'=(1/4)[15+7sqrt(5)]a'³, Radius des Inkugel r'=(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a'
Radius des Inkugel R'=(1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]a'.
Vom Fünfeck zum Zehneck
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Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man vom Fünfeck
des Dodekaeders zum Zehneck des abgestumpften Dodekaeders gelangt.
Genauer: Um welche Strecke x muss man die Fünfeckseiten kürzen?
Die Strecke x taucht in einem gelben rechtwinkligen Dreieck als Hypotenuse
auf. Eine Kathete ist die halbe Seitenlänge des Zehnecks. Der gekennzeichnete
Winkel ist 36°, da seine Schenkel auf dem Mittelpunkswinkel 36°
senkrecht stehen und der Winkel von 36° der halbe Winkel des Grunddreiecks
des Fünfecks ist.
Es gilt cos(36°)=(a/2):x oder x=(a/2)/cos(36°). Wegen
cos(36°)=(1/4)[sqrt(5)+1] ist
x=(1/2)[sqrt(5)-1]a. Die Fünfeckseite ist a'=2x+a=sqrt(5)a. |
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten
der 12 Zehnecke und der 20 Dreiecke zusammen.
Für das Zehneck gilt A10=(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²,
für das Dreieck A3=(1/4)sqrt(3)a².
O=12A10+20A3=12*(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²+20(1/4)sqrt(3)a²=5{sqrt(3)+6sqrt[5+2sqrt(5)]}a²,
wzbw.
Volumen
Man erhält das Volumen V des abgestumpften Dodekaeders, indem
man das zwanzigfache Volumen der dreiseitigen Pyramide vom Volumen des
Pentagondodekaeders subtrahiert.
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt H²=x²-[(2/3)h]² oder
H²={(1/2)[sqrt(5)-1]a}²-{(2/3)[(1/2)sqrt(3)]}²=...
=(7/6)a²-(1/2)sqrt(5)a²=(1/6)[sqrt(7)-3sqrt(5)]a²
Dann ist H=sqrt(1/6){sqrt[sqrt(7)-3sqrt(5)]}a. |
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Darauf muss man erst einmal kommen:
sqrt[sqrt(7)-3sqrt(5)]=(1/2)[3sqrt(2)-sqrt(10)]
(Derive hilft.) |
Somit ist H=sqrt(1/6)(1/2)[3sqrt(2)-sqrt(10)]a=[sqrt(6)/12][3sqrt(2)-sqrt(10)]a=[(1/12)[3sqrt(12)-sqrt(60)]a
=(1/12)[6sqrt(3)-2sqrt(15)]a=(1/6)[3sqrt(3)-sqrt(15)]a=(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a.
Das Volumen dieser Dreieckspyramide ist V3=(1/3)[1/4)sqrt(3)a²][(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a=(1/24)[3-sqrt(5)]a³.
Das Volumen des Pentagondodekaeders ist V'=(1/4)[15+7sqrt(5)][5sqrt(5)]a³=(5/4)[35+15sqrt(5)]a³.
Damit ist V=V'-20V3=(5/4)[35+15sqrt(5)]-20(1/24)[3-sqrt(5)]=...=(5/12)[99+47sqrt(5)],
wzbw..
Radius R der
Umkugel
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M ist der Mittelpunkt des Pentagondodekaeders.
In das abgestumpfte Dodekaeder legt man das rechtwinkliges Dreieck
MM10E.
M ist der Mittelpunkt des Pentagondodekaeders, M10 ist der
Mittelpunkt des Zehnecks.
r' ist der Radius der Inkugel des Pentagondodekaeders, R10
ist der Radius des Umkreises des Zehnecks und R ist der gesuchte Radius
der Umkugel des abgestumpften Dodekaeders. |
Nach dem Satz des Pythagoras ist R²=r'²+R10²
oder
R²={(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]sqrt(5)a}²+{(1/2)[sqrt(5)+1]a}²=
...
=(1/16){sqrt[74+30sqrt(5)]}a²
Dann ist R=(1/4){sqrt[74+30sqrt(5)]}a, wzbw..
Abstand d10
der
Zehnecke
Der Abstand der Zehnecke ist gleich dem Abstand der Fünfecke des
zugehörigen Pentagondodekaeders.
d10=2r'=(1/10)sqrt[250+110sqrt(5)]a'=(1/2)sqrt[50+22sqrt(5)]a,
wzbw.
Abstand d3
der
Dreiecke
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Man erhält den halben Abstand der Dreiecke, wenn man vom Radius
R' der Umkugel des Pentagondodekaeders die Höhe H der abzuschneidenden
Pyramide abzieht.
d3/2=R'-H
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Es gilt R'=(1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]a'=(1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]sqrt(5)a=[(1/4)sqrt(15)+(5/4)sqrt(3)]a
Für die Höhe H gilt [(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a (s.o.).
d3/2=R'-H=[(1/4)sqrt(15)+(5/4)sqrt(3)]a-[(1/2)sqrt(3)-(1/6)sqrt(15)]a=...=(1/12)[5sqrt(15)+9sqrt(3)]a
Dann ist d3=(1/6)[9sqrt(3)+5sqrt(15)]a, wzbw..
Zwei Winkel
Ferner gilt nach (1):
Der Winkel zwischen zwei Zehneckflächen ist 116°34'.
Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Zehneckfläche ist 142°37°.
Zweites abgestumpftes
Dodekaeder top
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Aus einem Pentagondodekaeder kann ein zweiter Körper auch durch
Abschneiden dreiseitiger Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Der Körper heißt Ikosidodekaeder |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper
findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Abgestumpftes
Dodekaeder im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Dodecahedron, Archimedean
Solid, Triakis
Icosahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated
Dodecahedron and Icosidodecahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper Model Truncated
Dodecahedron
Poly
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Wikipedia
Truncated
dodecahedron, Triakis
icosahedron, Archimedean
solid, Catalan
solid
Dualer Körper:
Triakis icosahedron |
Der Körper ist ein Ikosaeder mit auf die Seitenflächen gesetzten,
dreiseitigen Pyramiden
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Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 109)
Feedback: Emailadresse auf meiner
Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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