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Was ist ein regelmäßiges Fünfeck?
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Ein regelmäßiges Fünfeck oder regelmäßiges
Pentagon ist ein Vieleck mit
fünf Ecken,
fünf gleich langen Seiten und
fünf gleich großen Innenwinkeln. |
Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Fünfeck meist
einfach Fünfeck.
Größen des Fünfecks
top
Winkel im Fünfeck
... ... |
Der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks bzw. der Mittelpunktwinkel
ist 360°/5=72°.
Dann sind die Winkel an der Basis 54°.
Der Innenwinkel eines Fünfecks hat folglich die Größe
108°. |
Formeln
Ein regelmäßiges Fünfeck ist im Allgemeinen durch die
Seitenlänge
a gegeben.
Daraus lassen sich der Flächeninhalt A, der Umfang
U,
die Radien R und r von Um- und Inkreis, die Länge
d
der Diagonalen und die Höhe h berechnen.
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Diagonale und Höhe:
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Umkreis und Inkreis:
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Herleitung der Formeln
Diagonale d
... ... |
Mit Hilfe der Winkel erkennt man, dass die beiden gelben Dreiecke gleichschenklig
und ähnlich sind. Dann gilt (d-a):a=a:d oder d(d-a)=a². Diese
quadratische Gleichung in d hat die (positive) Lösung d=[1+sqrt(5)]/2*a. |
Man kann aus der Rechnung ablesen, dass die Diagonalen sich im Verhältnis
des Goldenen Schnittes teilen. Mehr darüber findet man auf meiner
Seite
Sterne. Da wird auch das Pentagramm besprochen,
das von den Diagonalen gebildet wird.
Höhe h
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......
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Es gilt d²=(1/4)[(1+sqrt(5)]²=[(1/4)[6+2sqrt(5)]a².
Nach dem Satz des Pythagoras gilt weiter h²+(a/2)²=d².
Daraus folgt h²=d²-(a/2)²=(1/4)(4d²-a²)=(1/4)[5+2sqrt(5)]a².
Dann ist h=[sqrt(5+2*sqrt(5))]/2*a, wzbw. |
Radius R des Umkreises, Radius r des Inkreises,
Flächeninhalt A
.. .... |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=(a/2)²+(h-R)².
Daraus folgt nach längerer Rechnung R=[sqrt(50+10*sqrt(5))]/10*a.
Weiter gilt r=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/10*a, hergeleitet aus r²=R²-(a/2)².
A=5*Dreieck(ABC)=5*ar/2=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/4*a² (Zeichnung
dazu: Winkel im Fünfeck) |
Vom Vieleck zum Fünfeck top
Das Fünfeck ist der Spezialfall n=5 des Vielecks.
Kennt man also allgemeine Formeln des Vielecks, so kann man die des
Fünfecks berechnen.
Ist für ein
Vieleck die Seite a gegeben, so gilt
i=1,2,...n-1.
In der Rechnung treten für n=5 drei
Werte trigonometrischer Funktionen auf, nämlich tan(36°), sin(36°)
und sin(72°).
Es gilt tan(36°)=sqrt[5-2sqrt(5)], sin(36°)=(1/4)sqrt[10-2sqrt(5)]
und sin(72°)=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].
Damit ergibt sich
r = a/[2tan(36°)] = (1/2)a/sqrt[5-2sqrt(5)]
R = a/[2sin(36°)] = (1/2)a/sqrt[10-2sqrt(5)]
A = 5a²/[4tan(36°)] =(5/4)a²/sqrt/[5-2sqrt(5)]
d2 = d = a sin(72°)/[sin((36°)] =(1/4)a sqrt[10+2sqrt(5)]/sqrt[10-2sqrt(5)]
Formt man die Terme um, so ergeben sich die Werte oben unter der Überschrift
Formeln.
Exemplarisch wird der Radius des Inkreises noch einmal auf diesem Wege
berechnet.
r= (1/2)a/sqrt[5-2sqrt(5)] = (1/2)a sqrt[5-2sqrt(5)]/[5-2sqrt(5)] =
(1/2)a sqrt[5-2sqrt(5)][5+2sqrt(5)]/5
=(1/10)a sqrt[5-2sqrt(5)]sqrt[45+20sqrt(5)] = (1/10)a sqrt{[5-2sqrt(5)][45+20sqrt(5)]}
=(1/10)a sqrt[25+10sqrt(5)]
Erzeugen eines Fünfecks
top
Zeichnen mit Zirkel und Geodreieck
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Das ist die einfachste Methode:
Zeichne 4 (besser zur Kontrolle 5) Winkel von 72° nebeneinander
mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Beginne mit einem vertikalen Schenkel.
- Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt. Die Schnittpunkte des Kreises
mit den Schenkeln sind die Eckpunkte eines Fünfecks. |
Konstruktion
Gegeben sei die Strecke a. Das Fünfeck soll
nur mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden.
Man nutzt in der
folgenden Konstruktion aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich
lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.
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Gegeben sei die Strecke d=AB.
Der Punkt T teilt sie im Verhältnis des
Goldenen Schnittes. Die Beschreibung der Konstruktion findet man auf meiner
Seite
Doppelquadrat. Die Strecke AB wird
die Diagonale eines Fünfecks. |
Die weitere Konstruktion:
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Die Punkte A, B und T sind also gefunden.
Trage die Strecke TB von A aus auf AB ab. Der
Punkt P1 entsteht.
Zeichne um T und P1
Kreise mit dem Radius TB. Der Punkt P2
entsteht.
Verbinde den Punkt P2
mit A und B. Der Winkel AP2B ist
der Innenwinkel von 108° des Fünfecks. |
... ...
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Trage an die gegebene Strecke a den Winkel von 108° beidseitig
an.
Trage die Strecke a auf den freien Schenkeln ab.
Trage wiederum an den neuen Strecken a den Winkel von 108° an.
Die freien Schenkel schneiden sich im fünften Eckpunkt des Fünfecks. |
Basteln
Bindet man mit einem Papierstreifen einen Knoten ("Überhandknoten")
und zieht vorsichtig an den Papierenden, so entsteht erstaunlicherweise
ein Fünfeck.
Zwei Quadrate im Fünfeck
top
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Es gibt zwei Möglichkeiten, ein möglichst großes Quadrat
in das Fünfeck einzupassen. |
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Wie beim gleichseitigen Dreieck sind
die Flächeninhalte nach der Zeichnung in etwa gleich, so dass eine
Rechnung klären muss, welche Größenbeziehung besteht. |
1) Eine Quadratseite liegt parallel zur
Grundseite des Fünfecks.
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Man legt die Figuren in ein kartesisches Koordinatensystem.
Die Eckpunkte A und B des Quadrats liegen auf den Geraden g und
k.
Ihre Gleichungen werden bestimmt.
g:
Es wird die Zwei-Punkte-Darstellung gewählt.
(y-0)/(x-a/2) = (h1-0)/(d/2-a/2) oder y = 2h1/(d-a)(x-a/2)
oder y=2h1/(d-a)x-h1a/(d-a).
h:
Die Gleichung kann man direkt ablesen. y = -2(h-h1)/dx+h |
Die Figur im Fünfeck ist ein Quadrat, wenn die Differenz der y-Werte
von A und B gleich dem doppelten x-Wert ist.
Die Seitenlänge des Quadrates ist dann e=2x.
Das führt zum Ansatz
[-2(h-h1)/dx+h] - [2h1/(d-a)x+ah1/(d-a)]=
2x
<=> [-2(h-h1)/d-2h1/(d-a)-2]x =-h-ah1/(d-a)
<=> [2(h-h1)/d+2h1/(d-a)+2]x =h+ah1/(d-a)
<=> x=[h+ah1/(d-a)]/[2(h-h1)/d+2h1/(d-a)+2)]
Es ist wohl nicht möglich, den Term wesentlich zu vereinfachen. Deshalb
übernimmt ein Computer eine Zahlenrechnung.
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Die Quadratseite ist AB=1,0605a. |
2) Das Quadrat steht auf der Spitze.
... ...
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Man legt die Figuren in ein kartesisches Koordinatensystem.
Der Eckpunkt A und B des Quadrats liegt auf den Geraden g und k. Deshalb
werden ihre Gleichungen bestimmt.
g:
Wie oben gezeigt ist die Gleichung y=2h1/(d-a)x-h1a/(d-a)
m:
Die Gleichung kann man direkt ablesen. y = -x+h. |
Punkt A ist der Schnittpunkt beider Geraden. Dann ist 2h1/(d-a)x-h1a/(d-a)
= x+h oder 2h1/(d-a)x+x = h+h1a/(d-a) oder
x = [(h+h1a/(d-a)]/[2h1/(d-a)+1]
Die Seite des Quadrats ist dann e=sqrt(2)x.
Es ist wohl nicht möglich, den Term wesentlich zu vereinfachen.
Deshalb übernimmt ein Computer eine Zahlenrechnung.
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Die Quadratseite ist AB=1,0674a. |
Ergebnis: Das zweite Quadrat ist größer als das erste, und zwar
nur um 0,65%.
Dreieck und Fünfeck
An Stelle des Quadrates können gleichseitige Dreiecke im Fünfeck
liegen.
Dreiecke um das Fünfeck zu legen ist vielleicht auch interessant.
e=2 [(h+ah1/(d-a)]/([2h1/(d-a)+sqr(3)]
gerundet 1,280a
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e=2h/[2(h-h1)/d+sqrt(3)]
gerundet 1,252a
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e=d+(2/3)sqrt(3)h1
gerundet 2,716a
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e=d+(2/3)sqrt(3)(h-h1)
gerundet 2,297a
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Die Formeln für die Seitenlängen der inneren
Dreiecke leitet man wie bei den Quadraten im Fünfeck her.
Die Formeln der Umdreiecke ergeben sich aus dem zweiten Strahlensatz.
Die Zahlenwerte stammen wieder vom Computer.
Figuren im Fünfeck top
Folgen aus Fünfecken top
Fünfeckszahlen top
Die Folge ist 1, 6, 11, 16, 21, ... allgemein 5n-4 (n=1,2,3,...) |
Die Folge ist 5, 10, 15, 20, ..., allgemein 5n |
Die Folge ist 1, 6, 16,31, 51..., allgemein (5n²-5n)/2+1 |
Die Folge ist 1, 5, 12, 22, 35,... allgemein (3n-1)n/2 |
Körper und Fünfecke top
Deltaeder sind Körper, die nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt
werden. Unter ihnen gibt es zwei konvexe Körper, bei denen das regelmäßige
Fünfeck eine "tragende" Rolle spielt.
Der erste Körper ist die pentagonale Doppelpyramide.
... ...
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Auf ein Fünfeck werden zu beiden Seiten
hin gerade Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
gesetzt. |
Der zweite Körper ist das Ikosaeder.
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Ein Ikosaeder entsteht, wenn man zwei parallel liegende Fünfecke
um einen Winkel von 36° gegeneinander verdreht und mit einem Netz aus
zehn gleichseitigen Dreiecken verbindet. Es entsteht ein Antiprisma.
Schließlich setzt man auf die Fünfecke Pyramiden mit gleichseitigen
Dreiecken als Seitenflächen. |
Mehr über Deltaeder findet man an anderer Stelle.
Zwölf Fünfecke bilden den platonischen Körper Pentagondodekaeder.
Die archimedische Körper Ikosidodekaeder,
kleines
Rhombenikosidodekaeder und abgeschrägtes
Dodekaeder enthalten Fünfecke.
Pentagramm als überschlagenes Fünfeck
top
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Betrachtet man bei einem regelmäßigen Fünfeck ABCDE
nur die Diagonalen, so bilden sie einen Stern, das Pentagramm. |
... ... |
Man kann im Pentagramm auch ein überschlagenes, regelmäßiges
Fünfeck sehen. Man muss dazu nur die Punkte ABCDEA verfolgen. Dann
sind AB, BC, CD, DE, EA die Seiten des überschlagenen Vierecks und
AD, DB, BE, BE, EC, CA die Diagonalen.
Oben wurde die Formel d=(1/2)[1+sqrt(5)]a hergeleitet.
Daraus folgt a=2/[1+sqrt(5)]d=2[1-sqrt(5)]/(1-5)d=(1/2)[sqrt(5)-1]d.
Damit errechnet sich die Diagonale eines überschlagenen Fünfecks
aus der Seite nach der Formel AD=(1/2)[sqrt(5)-1]*AB. |
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Zwölf Pentagramme bilden zwei regelmäßige Körper,
nämlich das Kleine Sterndodekaeder und das Große
Sterndodekaeder.
Sie gehören zu den Keplerschen Körpern,
die an anderer Stelle meiner Homepage behandelt werden. |
Fünfecke
und Pentagramme im Internet top
Deutsch
Claus Schönleber / Frank Klinkenberg-Haaß
Goldene
Schnittmuster
Christian Strutz
Über
die Eigenschaften der Zahlen Phi und phi (Goldner Schnitt,
5-Eck und Dodekaeder)
Joachim Mohr
Die stetige Teilung
oder der goldene Schnitt
Rainer Kaske
Konstruktion eines Fünfecks
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Pentagon,
Dodekaeder
Wikipedia
Fünfeck,
Pentagramm,
Drudenfuß
(Symbol), Formelsammlung
Trigonometrie
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut-the Knot)
Inscribing
a regular pentagon in a circle - and proving it (Scott E. Brodie)
Harvey Heinz
Order 5 Magic
Stars
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pentagon,
Pentagram,
Pentaflake,
Five
Disks Problem, Hoehns
Theorem
G. Korthals Altes
Paper
Model Pentagrammic Prism
Grand Lodge of British Columbia and Yukon A.F. & A.M
The
pentagram, (freemasonry= Freimaurertum)
Tom Gettys
Nonconvex
Prisms and Antiprisms
Wikipedia
Pentagon, Pentagram,
Pentagrammic
prism
Referenzen top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York, London
1997 (ISBN0-393-04002-X)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
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my homepage
http://www.mathematische-basteleien.de/
© 2004
(ergänzt 2010) Jürgen Köller
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