Abgeschrägtes Dodekaeder

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Was ist das abgeschrägte Dodekaeder?
Entstehung
Verschiedenes

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Das abgeschrägte Dodekaeder im Internet
Referenzen.

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Was ist das schiefe Dodekaeder?

...... Das abgeschrägte Dodekaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Fünfecken und 80 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Der Körper heißt auch schiefes Dodekaeder oder abgeschrägtes bzw. schiefes Ikosaeder.

Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen Körpern.

Neben den 12+80=92 Seitenflächen hat das schiefe Dodekaeder 150 Kanten und 60 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.

Undurchsichtig:

Durchsichtig:

Entstehung top
Das abgeschrägte Dodekaeder entsteht im Prinzip genau so wie der abgeschrägte Würfel. Bei ihm werden die Seitenflächen (die Quadrate) eines Würfels so gedreht und geschrumpft, dass der Zwischenraum zwischen den verkleinerten Quadraten mit gleichseitigen Dreiecken ausgefüllt wird. Dreht man weiter und vergrößert die Dreiecke, entsteht ein Oktaeder. Das zeigt die folgende Bilderreihe.

Beim abgeschrägten Dodekaeder sind es Fünfecke, die gedreht und verkleinert werden. Der Würfel wird durch ein Pentagondodekaeder ersetzt, das Oktaeder durch ein Ikosaeder. Die folgende Bildfolge zeigt drei Phasen.

Den hier beschriebenen Vorgang zeigt ein Applet von Geneviève Tulloue (URL unten), allerdings in der umgekehrten Richtung vom Ikosaeder zum Pentagondodekaeder.

Verschiedenes top

Ein Netz des abgeschrägten Dodekaeders
Ein Schlegel-Diagramm

Dualer Körper
Verbindet man die Mittelpunkte der 92 Seitenflächen des abgeschrägten Dodekaeders, so entsteht der duale Körper, das
Pentagonhexakontaeder.

Der Körper besteht aus 60 kongruenten, unregelmäßigen Fünfecken. Er hat 152 Kanten und 92 Ecken.

Spiegelkörper
Oben wurde schon erwähnt, dass das abgeschrägte Dodekaeder einen Spiegelkörper hat. Man erhält ihn, wenn man das abgeschrägte Dodekaeder an einer passenden Ebene spiegelt.

Das ist kein Stereobild.

Es gibt nur noch einen zweiten archimedischen Körper, der einen Spiegelkörper hat. Das ist der abgeschrägte Würfel.

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Die Oberfläche setzt sich aus 80 Dreiecken und 12 Fünfecken zusammen.
Es gilt O=80*A₃+12A₅=80*[(1/4)sqrt(3)]+12*{[(1/4)sqrt[25+10*sqrt(5)]}a²={20sqrt(3)+3sqrt[25+10*sqrt(5)]}a².

Formeln für das Volumen, den Radius des Umkreises und die Abstände der Drei- und Fünfecke sind mir nicht bekannt.
Es gibt Näherungen.
Bei MathWorld (URL unten) findet man die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte.

Eine Übersicht über alle 13 archimedischen Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.

Das abgeschrägte Dodekaeder im Internet top

Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Abgeschrägtes Dodekaeder

Spektrum direkt (Folge 10: Archimedische Körper)
Die schrägen Vögel - links und rechts

Wikipedia
Archimedischer Körper, Catalanischer Körper

Englisch

Eric W. Weisstein
Archimedean Solid, Snub Dodecahedron, Pentagonal hexecontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
From Icosahedron to Dodecahedron by softening (Applet)

Gijs Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra)
Snub Dodecahedron

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Snub Dodecahedron

Poly
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)

Wikipedia
Snub dodecahedron, Archimedean solid, Catalan solid

Dualer Körper: Pentagonal hexecontahedron

Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 114)

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