Abgeschrägtes Dodekaeder
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Was ist das abgeschrägte Dodekaeder?
Entstehung
Eigenschaften
Weitere Körper
Größen
Das abgeschrägte Dodekaeder im Internet
Referenzen
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Was ist das abgeschrägte Dodekaeder?
......
Das abgeschrägte Dodekaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Fünfecken und 80 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 
Der Körper heißt auch schiefes Dodekaeder, abgeschrägtes Ikosaeder, schräges Dodekaeder oder dodekaedron simum (Kepler).


Neben den 12+80=92 Seitenflächen hat das abgeschrägte Dodekaeder 150 Kanten und 60 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.
 

durchsichtig

undurchsichtig



Da beim abgeschrägten Dodekaeder (13) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Entstehung   top
Das abgeschrägte Dodekaeder entsteht im Prinzip genau so wie der abgeschrägte Würfel. Bei Würfel   werden die Seitenflächen (die Quadrate) so gedreht und geschrumpft, dass der Zwischenraum zwischen den verkleinerten Quadraten mit gleichseitigen Dreiecken ausgefüllt wird. Dreht man weiter und vergrößert die Dreiecke, entsteht ein Oktaeder. Das zeigt die folgende Bilderreihe.


Beim abgeschrägten Dodekaeder sind es Fünfecke, die gedreht und verkleinert werden. Der Würfel wird durch ein Pentagondodekaeder ersetzt, das Oktaeder durch ein Ikosaeder. 
Die folgende Bildfolge zeigt drei Phasen.

Den hier beschriebenen Vorgang zeigt ein Applet von Geneviève Tulloue (URL unten), allerdings in der umgekehrten Richtung vom Ikosaeder zum Pentagondodekaeder.


Eigenschaften  top
Umgebungen

Jedes Fünfeck ist 
von 5 Dreiecken umgeben.

Ein Dreieck ist von 2 Dreiecken
und einem Fünfeck umgeben.

Oder: Ein Dreieck ist 
von 3 Dreiecken umgeben.


Netz und Schlegel-Diagramm

Ein Netz des abgeschrägten Dodekaeders 

Ein Schlegel-Diagramm 

Diagonalen
60 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Fünfecke sind die Flächendiagonalen des abgeschrägten Dodekaeders. 
Das Fünfeck hat 5 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 12*5=60 Flächendiagonalen.

1560 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 2 Flächendiagonale und 5 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 60-7=53 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*60*52=1560 Raumdiagonalen des abgeschrägten Dodekaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgeschrägte Dodekaeder bedeutet das, dass es (1/2)*60*59=1770 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 150 Kanten, 60 Flächendiagonalen und 1560 Raumdiagonalen.

Weitere Körper     top
Pentagonhexakontaeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des abgeschrägten Würfels, so entsteht der duale Körper, das Pentagonikositetraeder


Spiegelkörper 
Oben wurde schon erwähnt, dass das abgeschrägte Dodekaeder einen Spiegelkörper hat.  Man erhält ihn, wenn man es an einer passenden Ebene spiegelt. 

Das ist kein Stereobild. 

Es gibt nur noch einen zweiten archimedischen Körper, der einen Spiegelkörper hat. Das ist der abgeschrägte Würfel.

Größen   top
Die Oberfläche setzt sich aus 80 Dreiecken und 12 Fünfecken zusammen.
Es gilt O=80*A3+12A5
=80*[(1/4)sqrt(3)]+12*{[(1/4)sqrt[25+10*sqrt(5)]}a²={20sqrt(3)+3sqrt[25+10*sqrt(5)]}a².


Mehr bei MathWorld (URL unten)

Das abgeschrägte Dodekaeder im Internet    top

Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Abgeschrägtes Dodekaeder

Spektrum direkt (Folge 10: Archimedische Körper)
Die schrägen Vögel - links und rechts

Wikipedia
Abgeschrägtes DodekaederArchimedischer KörperCatalanischer KörperPentagonhexakontaeder


Englisch

Eric W. Weisstein
Archimedean SolidSnub Dodecahedron, Pentagonal hexecontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
From Icosahedron to Dodecahedron by softening  (Applet) 

Gijs Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra) 
Snub Dodecahedron

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen) 
Snub Dodecahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Snub dodecahedron, Archimedean solid, Catalan solid,  Pentagonal hexecontahedron


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 114)


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©  2008 Jürgen Köller

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