Abgeschrägter Würfel
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Was ist der abgeschrägte Würfel?
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Der abgeschrägte Würfel im Internet
Referenzen
.
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Was ist der abgeschrägte Würfel?
......
Der abgeschrägte Würfel ist ein Körper, der von 6 Quadraten und 32 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch abgeschrägtes Hexaeder, schräger Würfel oder Cubus simus.


Neben den 6+32=38 Seitenflächen hat der abgeschrägte Würfel 60 Kanten und 24 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.
 

durchsichtig

undurchsichtig


Da beim abgeschrägten Würfel (10) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Entstehung   top
Der Körper entsteht aus einem Würfel, indem man seine Seitenflächen (die Quadrate) dreht und gleichzeitig verkleinert. Man verbindet dabei jeden Eckpunkt der Quadrate mit drei anderen Eckpunkten. Es entstehen so zwischen den Quadraten Dreiecke. Man dreht und verkleinert bis zu einem Drehwinkel, bei dem die Dreiecke gleichseitig sind.
Die folgende Bilderreihe zeigt diesen Vorgang an einer Seitenfläche. 

In der Zeichnung erkennt man bei 0° das Quadrat des Ausgangswürfels. Nach einer Drehung von etwa 16,4° und gleichzeitiger Schrumpfung ist der abgeschrägte Würfel entstanden.


...... Dreht und verkleinert man weiter, so zieht sich bei 30° das Quadrat zu einem Punkt zusammen. Es ist ein Oktaeder entstanden. 
Der abgeschrägte Würfel kann danach auch durch eine Drehung von 30° auf 16,4° aus einem Oktaeder entstehen. 

Das Quadrat wird entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. 
Am Ende wird noch ein Spiegelkörper erwähnt, bei dem das Quadrat im Uhrzeigersinn gedreht wird.
Die hier beschriebenen Vorgänge zeigen zwei Applets von Geneviève Tulloue (URL unten).

Beschreibungen  top
Umgebungen

Jedes Quadrat ist 
von 4 Dreiecken umgeben.

(I) Ein Dreieck ist von 2 Dreiecken
und einem Quadrat umgeben.

Oder: (II) Ein Dreieck ist 
von 3 Dreiecken umgeben.


Besondere Ansichten

Ein Quadrat liegt vorne.

(I) Ein Dreieck liegt vorne.

(II) Ein Dreieck liegt vorne.


Die gemeinsame Seite 
zweier Dreiecke liegt vorne.

Die gemeinsame Seite von
Dreieck/Quadrat liegt vorne.

 Ein Eckpunkt liegt vorne.
Die drei letzten Bilder sind Schätzungen.

Netz und Schlegel-Diagramm 

Diagonalen
12 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Quadrate sind die Flächendiagonalen des abgeschrägten Würfels. 
Das Quadrat hat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 6*2=12 Flächendiagonalen.

204 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 24 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind eine Flächendiagonale und 5 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 24-6=18 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*24*17=204 Raumdiagonalen des abgeschrägten Würfels.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für den abgeschrägten Würfel bedeutet das, dass es (1/2)*24*23=276 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 60 Kanten, 12 Flächendiagonalen und 204 Raumdiagonalen.

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Vorweg: Tribonacci-Konstante
Die Formeln des abgeschrägten Würfels sind eng verknüpft mit der Tribonacci-Konstanten t, der reellen Lösung der Gleichung x³ - x² - x - 1 = 0.

Der Name der Konstanten t erschließt sich über die "Tribonacci-Folge", einer Varianten der bekannten Fibonacci-Folge. 
Das Bildungsgesetz der Folge ist T1=1, T2=1, T3=2 mit der Rekursionsformel Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3 (n>3).
Das führt konkret zur Folge 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, ... (Sloane's A000073).
Der Quotient aufeinander folgender Glieder nähert sich zunehmend der Tribonacci-Konstanten t.


Formeln
Der abgeschrägte Würfel sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich die Größen Volumen V, Oberfläche O, Radius R der Umkugel, Abstand der Dreiecke d3 =2r3 und Abstand der Quadrate d4 =2r4 berechnen.

Quelle: MathWorld

Zur Herleitung der Formeln
Die Oberfläche setzt sich aus 32 Dreiecken und 6 Vierecken zusammen.
O=32*A3+6*A4=32[(1/4)sqrt(3)]+6a²=8sqrt(3)a²+6a²=[6+8sqrt(3)]a², wzbw.

Weitere Herleitungen dürften schwierig sein.

Weitere Körper    top
Pentagonikositetraeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des abgeschrägten Würfels, so entsteht der duale Körper, das Pentagonikositetraeder


Spiegelkörper
Oben wurde schon erwähnt, dass der abgeschrägte Würfel einen Spiegelkörper hat.  Man erhält ihn, wenn man den abgeschrägten Würfel an einer passenden Ebene spiegelt. 

Das ist kein Stereobild. 

Es gibt nur noch einen zweiten archimedischen Körper, der einen Spiegelkörper hat. Das ist das abgeschrägte Dodekaeder.

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Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen) 
Abgeschrägter Würfel

Wikipedia
Abgeschrägtes HexaederArchimedischer KörperCatalanischer KörperPentagonikositetraeder


Englisch

Eric W. Weisstein
Archimedean SolidSnubCube, Pentagonal IcositetrahedronTribonacci ConstantTribonacci Number

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Snub Cube (1) (Applet), The Snub Cube (2) (Applet)

Gijs Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra) 
Snub cube

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen) 
Snub Cube

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Snub cube, Archimedean solid, Catalan solidPentagonal icositetrahedron


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 107)


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©  2008 Jürgen Köller

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