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Was ist der abgeschrägte Würfel?
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Der abgeschrägte Würfel ist
ein Körper, der von 6 Quadraten und 32 gleichseitigen Dreiecken gebildet
wird.
Der Körper heißt auch abgeschrägtes Hexaeder, schräger
Würfel oder Cubus simus. |
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört er zu den archimedischen Körpern.
Neben den 6+32=38 Seitenflächen hat
der abgeschrägte Würfel 60 Kanten
und 24 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.
Undurchsichtig:
Durchsichtig:
Entstehung top
Der Körper entsteht aus einem Würfel, indem man seine Seitenflächen
(die Quadrate) dreht und gleichzeitig verkleinert. Man verbindet dabei
jeden Eckpunkt der Quadrate mit drei anderen Eckpunkten. Es entstehen so
zwischen den Quadraten Dreiecke. Man dreht und verkleinert bis zu einem
Drehwinkel, bei dem die Dreiecke gleichseitig sind.
Die folgende Bilderreihe zeigt diesen Vorgang an einer Seitenfläche.
In der Zeichnung erkennt man bei 0° das Quadrat des Ausgangswürfels.
Nach einer Drehung von etwa 16,4° und gleichzeitiger Schrumpfung ist
der abgeschrägte Würfel entstanden.
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Dreht und verkleinert man weiter, so zieht sich bei 30° das Quadrat
zu einem Punkt zusammen. Es ist ein Oktaeder entstanden.
Der abgeschrägte Würfel kann danach auch durch eine Drehung
von 30° auf 16,4° aus einem Oktaeder entstehen. |
Das Quadrat wird entgegen dem Uhrzeigersinn
gedreht.
Am Ende wird noch ein Spiegelkörper erwähnt, bei dem das
Quadrat im Uhrzeigersinn gedreht wird.
Die hier beschriebenen Vorgänge zeigen zwei
Applets von Geneviève Tulloue (URL
unten).
Beschreibungen top
Umgebungen
Jedes Quadrat ist
von 4 Dreiecken umgeben.
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(I) Ein Dreieck ist von 2 Dreiecken
und einem Quadrat umgeben.
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Oder: (II) Ein Dreieck ist
von 3 Dreiecken umgeben.
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Besondere Ansichten
Ein Quadrat liegt vorne.
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(I) Ein Dreieck liegt vorne.
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(II) Ein Dreieck liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite
zweier Dreiecke liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite von
Dreieck/Quadrat liegt vorne.
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Ein Eckpunkt liegt vorne.
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Die drei letzten Bilder sind Schätzungen.
Größen top
Vorweg: Tribonacci-Konstante
Die Formeln des abgeschrägten Würfels sind eng verknüpft
mit der Tribonacci-Konstanten t, der reellen Lösung der Gleichung
x³ - x² - x - 1 = 0.
Der Name der Konstanten t erschließt sich über die "Tribonacci-Folge",
einer Varianten der bekannten Fibonacci-Folge.
Das Bildungsgesetz der Folge ist T1=1, T2=1,
T3=2 mit der Rekursionsformel Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3
(n>3).
Das führt konkret zur Folge 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149,
... (Sloane's A000073).
Der Quotient aufeinander folgender Glieder nähert sich zunehmend
der Tribonacci-Konstanten t.
Formeln
Der abgeschrägte Würfel sei durch die Kantenlänge a
gegeben.
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der
Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand der Dreiecke
d3
=2r3 und Abstand der Quadrate
d4 =2r4
berechnen.
Zur Herleitung der
Formeln
Die Oberfläche setzt sich aus 32 Dreiecken und 6 Vierecken zusammen.
O=32*A3+6*A4=32[(1/4)sqrt(3)]+6a²=8sqrt(3)a²+6a²=[6+8sqrt(3)]a²,
wzbw.
Weitere Herleitungen dürften schwierig
sein.
Sonstiges top
Ein Netz des abgeschrägten Würfels
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Ein Schlegel-Diagramm
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Spiegelkörper
Oben wurde schon erwähnt, dass der abgeschrägte Würfel
einen Spiegelkörper hat. Man erhält ihn, wenn man den abgeschrägten
Würfel an einer passenden Ebene spiegelt.
Das ist kein Stereobild.
Es gibt nur noch einen zweiten archimedischen Körper, der einen Spiegelkörper
hat. Das ist das abgeschrägte Dodekaeder.
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Der
abgeschrägte Würfel im Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Abgeschrägter
Würfel
Wikipedia
Archimedischer
Körper
Englisch
Eric W. Weisstein
Archimedean
Solid, SnubCube,
Pentagonal
Icositetrahedron, Tribonacci
Constant, Tribonacci
Number
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
The
Snub Cube (1) (Applet), The
Snub Cube (2) (Applet)
Gijs Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra)
Snub cube
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Snub Cube
Wikipedia
Snub cube, Archimedean
solid
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 107)
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http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2008 Jürgen Köller
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