Abgestumpftes Ikosaeder

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Was ist ein abgestumpftes Ikosaeder?
Lage der Fünf- und Sechsecke
Besondere Ansichten
Bau des Körpers

Größen
Der duale Körper
Fuß- und Buckyball
Abgestumpftes Ikosaeder im Internet.

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Was ist ein abgestumpftes Ikosaeder?

...... Ein abgestumpftes Ikosaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken gebildet wird. Er entsteht aus einem Ikosaeder, indem man die Ecken passend abschneidet.

Die folgenden nebeneinander liegenden Zeichnungen ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.

undurchsichtig

durchsichtig

Aus den 12 Ecken des Ikosaeders werden bei diesem Körper 12 Fünfecke. 20 Seitenflächen des Ikosaeders bleiben als Sechsecke erhalten. Neben den 12+20=32 Seitenflächen hat das abgestumpfte Ikosaeder 90 Kanten und 60 Ecken.

Lage der Fünf- und Sechsecke top

.... Jedes Fünfeck ist isoliert und von fünf Sechsecken umgeben.
Jeweils fünf Sechsecke bilden einen Ring.

...

Liegen zwei Fünfecke (gelb) oben und unten einander parallel gegenüber und bilden dort die Mitte von Ringen, so laufen "am Äquator" zehn Sechsecke als Zickzacklinie um den Körper herum.

Die beiden Ringe sind gegeneinander gedreht.

Besondere Ansichten top

So wird die Symmetrie des abgestumpften Ikosaeders sichtbar. Seitenflächen und Kanten liegen parallel zur Zeichenebene.

Eine Ecke liegt vorne.

Eine andere Sicht des Körpers ist das Schlegel-Diagramm.

Bau des Körpers top
Die Schönheit dieses Körpers erschließt sich eigentlich erst, wenn man ihn bastelt.

...... Es ist sicherlich viel Arbeit, das abgestumpfte Ikosaeder aus dem Netz zu basteln.
G. Korthals Altes bietet eine Vorlage an (URL unten).

Viel schneller und origineller entsteht der Körper allein mit Hilfe regelmäßiger Sechsecke.
Die Fünfecke erscheinen beim fertigen Körper als Löcher.

Die Bastelvorlage enthält 31 Sechsecke. Für den Körper braucht man aber nur 20. Elf Sechsecke klebt man auf elf Sechsecke und formt so den Körper. - Vielleicht ist es sicherer, vor dem Kleben Büroklammern zu verwenden, wie ich es getan habe. Eine Vorlage findet man bei der Universität Stuttgart, Institut für Geometrie und Topologie (URL unten).

Wer sich in der Flechttechnik auskennt, findet eine Vorlage von H.B.Meyer (URL unten).

Größen top
Das abgestumpfte Ikosaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Oberfläche O, Abstand d₅ gegenüberliegender Fünfecke, Abstand d₆ gegenüberliegender Sechsecke und Volumen V berechnen.
Es gilt:

Wie gesagt entsteht das abgestumpfte Ikosaeder aus dem Ikosaeder. Für die Rechnungen ist es beim Ikosaeder hilfreich, durch eine Kante und den Mittelpunkt des Körpers eine Schnittfläche zu legen.

Überträgt man diesen Schnitt auf das abgestumpfte Ikosaeder, so ergibt sich das blaue Zehneck aus zwei Kanten und je vier Höhen von Fünf- und Sechsecken.
Die Mittelpunkte des Ikosaeders und des abgestumpften Ikosaeders fallen zusammen.

Radius der Umkugel

...

d=[1+sqrt(5)]a'/2 ist beim Ikosaeder (und auch hier) der Abstand paralleler Gegenseiten.
Es gilt a'=3a und somit d=[1+sqrt(5)](3a)/2.

Nach dem Satz des Pythagoras ist R²=(d/2)²+(a/2)².

Daraus folgt R=sqrt[58+18sqrt(5)]/4*a.

...

Verbindet man die Eckpunkte des Fünf- und Sechsecks mit dem Mittelpunkt des Körpers, so entstehen gerade regelmäßige Pyramiden.

Alle Seitenlinien der Pyramiden sind so lang wie der Radius der Umkugel.

Oberfläche
Die Oberfläche wird von Fünfecken und Sechsecken gebildet.
Das Fünfeck hat den Flächeninhalt A₅=sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a², das Sechseck A₆=3sqrt(3)/2*a².
Es ergibt sich O = 12A₅ +20A₆= 3sqrt[25+10sqrt(5)]a²+30sqrt(3)a²

Abstand gegenüberliegender Fünfecke

...

Zunächst wird die Höhe der Fünfeckpyramide bestimmt. Sie ist nach dem Satz des Pythagoras h₅=sqrt(R²-R₅²). Dabei ist R₅=sqrt[50+10*sqrt(5)]/10*a der Radius des Umkreises des Fünfecks.
Mit R=sqrt[58+18sqrt(5)]/4*a erhält man h₅=sqrt[125+41sqrt(5)/40]*a.
Dann ist d₅=2h₅=sqrt[125+41sqrt(5)/10]*a

Abstand gegenüberliegender Sechsecke

...

Zunächst wird die Höhe der Sechseckpyramide bestimmt. Sie ist nach dem Satz des Pythagoras h₆=sqrt(R²-a²). Dabei ist R₆=a der Radius des Umkreises des Sechsecks.
Mit R=sqrt[58+18sqrt(5)]/4*a erhält man h₆=sqrt[21+9sqrt(5)/8]*a.
Dann ist d₆=2h₆=sqrt[21+9sqrt(5)/2]*a.

Volumen
Das Volumen setzt sich aus den Volumina der Fünf- und Sechseckpyramiden zusammen:
V = 12*A₅h₅/3+20*A₆h₆/3 (#).
Die Höhen sind h₅=sqrt[125+41sqrt(5)/40]*a und h₆=sqrt[21+9sqrt(5)/8]*a
und die Grundflächen A₅=sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a² und A₆=3sqrt(3)/2*a².
Setzt man diese Terme in die Gleichung (#) ein, so ergibt sich nach längerer Rechnung
V=sqrt[1035+455sqrt(5)/8]a³+sqrt[3150+1350sqrt(5)/4]a³.
Das Programm Derive von etwa 1990 (noch mit Tastenbedienung) hilft, den Term zu vereinfachen:

Ergebnis: V=(1/4)[125+43sqrt(5)]a³

Inkugel
Das abgestumpfte Ikosaeder hat keine Inkugel. Sein Mittelpunkt ist vom Fünfeck weiter entfernt als vom Sechseck:
Es gilt gerundet h₅=2,33a und h₆=2.27a. Im Vergleich dazu ist der Radius der Umkugel R=2,47a.
Eine Kugel mit dem gleichen Volumen wie das abgestumpfte Ikosaeder hat einen Radius von 2,36a.

Der duale Körper top
Verbindet man die Mittelpunkte der nebeneinanderliegenden Fünf- und Sechsecke, die das abgestumpfte Ikosaeder bilden, so entsteht der duale Körper.
Wenn das abgestumpfte Ikosaeder 60 Kanten, 32 Flächen und 90 Ecken hat, dann hat der duale Körper 60 Kanten, 90 Flächen und 32 Eckpunkte. Die Anzahl der Flächen und Ecken tauschen sich aus.
Der duale Körper wird von Dreiecken begrenzt. Fünf Dreiecke bilden jeweils eine Fünfeckpyramide.
Der Körper heißt Pentakisdodekaeder.

3D-Bild

Fuß- und Buckyball top
Das abgestumpfte Ikosaeder hat Berühmtheit erlangt, weil einmal der Ball des Fußballspiels bis auf die Wölbung, die durch den Innendruck entsteht, diese Form hat. Zum anderen gibt es Makromoleküle aus Kohlenstoffatomen in der gleichen Form. Dieses Molekül heißt das Fulleren (Mehrzahl: die Fullerene) oder der Buckyball.
Weitere Informationen erhält man über die Links im nächsten Kapitel.

Eine Übersicht über alle 13 archimedischen Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.

Abgestumpftes Ikosaeder im Internet top

Deutsch

ChemLin
Fullerene

H.B.Meyer
Abgestumpftes Ikosaeder

Norbert Treitz (Universität Duisburg, Sektion Didaktik der Physik)
Fulleren

Olaf Zelesnik
Seminarvortrag: Fullerene - Buckyballs und Nanotubes

Rolf Langer (Gymnasium St.Mauritz, Münster)
Ein Fußball aus Papier: Anmerkungen, Bauanleitung

Thomas Burmester
Himmelskugel (aus Holz)

Universität Stuttgart, Institut für Geometrie und Topologie
Bastelvorlage für den Fußball (.pdf-Datei)

Werner Brefeld
Fußball, Platonische Körper und Archimedische Körper

Wikipedia
Fulleren, Ikosaeder, Archimedischer Körper

Englisch

Andersen Group (Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, Stuttgart)
A brief history of C60

Ask Dr.Math (The Math Forum)
Volume of a Soccer Ball

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated Icosahedron, Pentakis Dodecahedron, Truncation, Archimedean Solid, Dual Polyhedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated Icosahedron and Icosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Icosahedron (soccer ball)

H.B.Meyer
Truncated Icosahedron

Poly
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)

Wikipedia
Truncated icosahedron, Fullerene, Icosahedron, Football (ball)

Dualer Körper: Pentakis dodecahedron

Auf dieser Seite werden Formeln verwendet, die an anderen Stellen meiner Homepage hergeleitet werden. Man findet sie auf den Seiten Regelmäßiges Fünfeck, Regelmäßiges Sechseck und Ikosaeder.

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