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Was ist ein abgestumpftes Ikosaeder?
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Ein abgestumpftes Ikosaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen
Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken gebildet wird.
Er entsteht aus einem Ikosaeder, indem man die Ecken passend abschneidet.
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Die folgenden nebeneinander liegenden Zeichnungen
ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig
durchsichtig
Aus den 12 Ecken des Ikosaeders werden
bei diesem Körper 12 Fünfecke. 20 Seitenflächen des Ikosaeders
bleiben als Sechsecke erhalten. Neben den 12+20=32 Seitenflächen hat
das abgestumpfte Ikosaeder 90 Kanten und 60 Ecken.
Lage der Fünf- und
Sechsecke top
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Jedes Fünfeck ist isoliert und von fünf Sechsecken umgeben.
Jeweils fünf Sechsecke bilden einen Ring. |
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Liegen zwei Fünfecke (gelb) oben und unten einander parallel gegenüber
und bilden dort die Mitte von Ringen, so laufen "am Äquator" zehn
Sechsecke als Zickzacklinie um den Körper herum.
Die beiden Ringe sind gegeneinander gedreht. |
Besondere Ansichten top
So wird die Symmetrie des abgestumpften Ikosaeders sichtbar. Seitenflächen
und Kanten liegen parallel zur Zeichenebene.
Eine Ecke liegt vorne.
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Eine andere Sicht des Körpers ist das Schlegel-Diagramm.
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Bau des Körpers top
Die Schönheit dieses Körpers erschließt sich eigentlich
erst, wenn man ihn bastelt.
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Es ist sicherlich viel Arbeit, das abgestumpfte Ikosaeder aus dem Netz
zu basteln.
G. Korthals Altes bietet eine Vorlage an (URL unten). |
Viel schneller und origineller entsteht
der Körper allein mit Hilfe regelmäßiger Sechsecke.
Die Fünfecke erscheinen beim fertigen Körper als Löcher.
Die Bastelvorlage enthält 31 Sechsecke. Für den Körper braucht
man aber nur 20. Elf Sechsecke klebt man auf elf Sechsecke und formt so
den Körper. - Vielleicht ist es sicherer, vor dem Kleben Büroklammern
zu verwenden, wie ich es getan habe. Eine Vorlage findet man bei der Universität
Stuttgart, Institut für Geometrie und Topologie (URL unten).
Wer sich in der Flechttechnik auskennt,
findet eine Vorlage von H.B.Meyer (URL unten).
Größen top
Das abgestumpfte Ikosaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich die weiteren Größen Radius R der
Umkugel, Oberfläche O, Abstand d5 gegenüberliegender
Fünfecke, Abstand d6 gegenüberliegender Sechsecke
und Volumen
V berechnen.
Es gilt:
Wie gesagt entsteht das abgestumpfte Ikosaeder aus dem Ikosaeder. Für
die Rechnungen ist es beim Ikosaeder hilfreich, durch eine Kante und den
Mittelpunkt des Körpers eine Schnittfläche zu legen.
Überträgt man diesen Schnitt auf das abgestumpfte Ikosaeder,
so ergibt sich das blaue Zehneck aus zwei Kanten und je vier Höhen
von Fünf- und Sechsecken.
Die Mittelpunkte des Ikosaeders und des abgestumpften Ikosaeders fallen
zusammen.
Radius der Umkugel
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d=(1/2)[1+sqrt(5)]a' ist beim Ikosaeder (und auch hier) der Abstand
paralleler Gegenseiten.
Es gilt a'=3a und somit d=(3/2)[1+sqrt(5)]a.
Nach dem Satz des Pythagoras ist R²=(d/2)²+(a/2)².
Daraus folgt R=(1/4)sqrt[58+18sqrt(5]a. |
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Verbindet man die Eckpunkte des Fünf- und Sechsecks mit dem Mittelpunkt
des Körpers, so entstehen gerade regelmäßige Pyramiden.
Alle Seitenlinien der Pyramiden sind so lang wie der Radius der Umkugel. |
Oberfläche
Die Oberfläche wird von Fünfecken und
Sechsecken gebildet.
Das Fünfeck hat den Flächeninhalt A5=(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²,
das Sechseck A6=(3/2)sqrt(3)a².
Es ergibt sich O = 12A5 +20A6= 3{sqrt[25+10sqrt(5)]a²+10sqrt(3)}a²
Abstand gegenüberliegender
Fünfecke
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Zunächst wird die Höhe der Fünfeckpyramide bestimmt.
Sie ist nach dem Satz des Pythagoras h5=sqrt(R²-R5²).
Dabei ist R5=(1/10)sqrt[50+10*sqrt(5)]a der Radius des Umkreises
des Fünfecks.
Mit R=(1/4)sqrt[58+18sqrt(5)]a erhält man h5=sqrt{(1/40)[125+41sqrt(5)]}a.
Dann ist d5=2h5=sqrt{(1/10)[125+41sqrt(5)]}a |
Abstand gegenüberliegender
Sechsecke
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Zunächst wird die Höhe der Sechseckpyramide bestimmt. Sie
ist nach dem Satz des Pythagoras h6=sqrt(R²-a²). Dabei
ist R6=a der Radius des Umkreises des Sechsecks.
Mit R=(1/4)sqrt[58+18sqrt(5)]a erhält man h6=sqrt{(1/8)[21+9sqrt(5)]}a.
Dann ist d6=2h6=sqrt{(1/2)[21+9sqrt(5)]}*a. |
Volumen
Das Volumen setzt sich aus den Volumina der Fünf- und Sechseckpyramiden
zusammen:
V = 12*(1/3)A5h5+20*(1/3)A6h6
(#).
Die Höhen sind h5=sqrt[(1/40)125+41sqrt(5)]*a und
h6=sqrt{(1/8)[21+9sqrt(5)}a
und die Grundflächen A5=(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²
und A6=(3/2)sqrt(3)a².
Setzt man diese Terme in die Gleichung (#) ein, so ergibt sich nach
längerer Rechnung
V=sqrt{(1/8)[1035+455sqrt(5)]}a³+sqrt{(1/4)[3150+1350sqrt(5)]}a³.
Das Programm Derive von etwa 1990 (noch mit Tastenbedienung) hilft,
den Term zu vereinfachen:
Ergebnis: V=(1/4)[125+43sqrt(5)]a³
Inkugel
Das abgestumpfte Ikosaeder hat keine Inkugel. Sein Mittelpunkt ist
vom Fünfeck weiter entfernt als vom Sechseck:
Es gilt gerundet h5=2,33a und h6=2.27a. Im Vergleich
dazu ist der Radius der Umkugel R=2,47a.
Eine Kugel mit dem gleichen Volumen wie das abgestumpfte Ikosaeder
hat einen Radius von 2,36a.
Der duale Körper top
Verbindet man die Mittelpunkte der nebeneinanderliegenden Fünf-
und Sechsecke, die das abgestumpfte Ikosaeder bilden, so entsteht der duale
Körper.
Wenn das abgestumpfte Ikosaeder 60 Kanten, 32 Flächen und 90 Ecken
hat, dann hat der duale Körper 60 Kanten, 90 Flächen und 32 Eckpunkte.
Die Anzahl der Flächen und Ecken tauschen sich aus.
Der duale Körper wird von Dreiecken begrenzt. Fünf Dreiecke
bilden jeweils eine Fünfeckpyramide.
Der Körper heißt Pentakisdodekaeder.
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3D-Bild
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Fuß- und Buckyball top
Das abgestumpfte Ikosaeder hat Berühmtheit erlangt, weil einmal
der Ball des Fußballspiels bis auf die Wölbung, die durch den
Innendruck entsteht, diese Form hat. Zum anderen gibt es Makromoleküle
aus Kohlenstoffatomen in der gleichen Form. Dieses Molekül heißt
das Fulleren (Mehrzahl: die Fullerene) oder der Buckyball.
Weitere Informationen erhält man über die Links im nächsten
Kapitel.
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Abgestumpftes Ikosaeder
im Internet top
Deutsch
H.B.Meyer
Abgestumpftes
Ikosaeder
Rolf Langer (Gymnasium St.Mauritz, Münster)
Ein Fußball aus Papier: Anmerkungen,
Bauanleitung
Thomas Burmester
Himmelskugel (aus Holz)
Universität Stuttgart, Institut für Geometrie und Topologie
Bastelvorlage
für den Fußball (.pdf-Datei)
Werner Brefeld
Fußball,
Platonische Körper und Archimedische Körper
Wikipedia
Abgestumpftes
Ikosaeder, Fulleren,
Ikosaeder,
Archimedischer
Körper, Fußball
(Sportgerät)
Englisch
Andersen Group (Max-Planck-Institut für Festkörperforschung,
Stuttgart)
A
brief history of C60
Ask Dr.Math (The Math Forum)
Volume
of a Soccer Ball
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Icosahedron, Pentakis
Dodecahedron, Truncation,
Archimedean
Solid, Dual
Polyhedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated
Icosahedron and Icosidodecahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper Model Truncated
Icosahedron (soccer ball)
H.B.Meyer
Truncated
Icosahedron
Poly
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Wikipedia
Truncated
icosahedron, Fullerene,
Icosahedron,
Football
(ball)
Auf dieser Seite werden Formeln verwendet, die an anderen Stellen meiner
Homepage hergeleitet werden. Man findet sie auf den Seiten Regelmäßiges
Fünfeck, Regelmäßiges Sechseck
und Ikosaeder.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2006 Jürgen Köller
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