Was ist ein Hyperkubus?
Der Hyperkubus ist der vierdimensionale Würfel.

Unsere Vorstellungskraft reicht nicht aus, um sich die vierte Dimension und speziell den Hyperkubus als Ganzes vorzustellen. 
In Analogie zum Übergang vom Quadrat zum Würfel kann man sich dem Hyperkubus vom Würfel aus von verschiedenen Seiten nähern und wird so mit ihm vertraut.

Er heißt auch Tesserakt, Hyperwürfel oder Achtzell.

Schrägbilder    top

Verschiebt man ein Quadrat parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Würfels.

Verschiebt man einen Würfel parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Hyperkubus.

...	So wie der Würfel von 6 Quadraten begrenzt wird, so bilden 8 Würfel den Hyperkubus.

Wer den 3D-Blick beherrscht, kann den Hyperkubus auch dreidimensional betrachten:

Zentralprojektionen  top
 

.......

In einer Zentralprojektion ist der Würfel verzerrt. Von den sechs Quadraten eines Würfels erscheinen vier als Trapeze, die zwischen dem kleinen und großen Quadrat liegen.

..	Daraus ist eine Darstellung des Hyperkubus entstanden, die auf  Viktor Schlegel (1888) zurückgeht.

Von den 8 Würfeln erscheinen 6 als Pyramidenstümpfe,  die zwischen einem kleinen und großen Würfel liegen.

Netze    top

......

Klappt man den Würfel auf, so entsteht sein Netz. Die 6 Quadrate haben zusammen 6*4=24 Seiten. 2*5=10 Seiten (rot) sind gebunden. Beim Zusammenbau des Würfels müssen die restlichen 14 Seiten paarweise zusammengeklebt werden. Es gibt insgesamt 11 Netze.

...

Klappt man den Hyperkubus auf, so entsteht als Netz ein Würfelkörper aus 8 Würfeln. Die acht Würfel haben zusammen 8*6=48 Quadrate. 2*7=14 Quadrate sind gebunden. Beim Zusammenbau des Hyperkubus müssen die restlichen 34 Quadrate paarweise zusammengeklebt werden. Peter Turney bzw. Dan Hoey haben 261 Netze gezählt.

Schnitte      top

.....

Ein Würfel (genauer: Einheitswürfel) wird durch drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren (rot) erzeugt. Sie bilden ein Koordinatensystem (O,x1,x2,x3). Die Eckpunkte lassen sich dann durch Zahlentripel, gebildet aus den Zahlen 0 und 1, darstellen.

............

Zum Punkt P gehört das Tripel (011). Man gelangt zu P, indem man vom Nullpunkt (000) aus zuerst in Richtung x2 und dann in Richtung x3 geht. Das wird festgehalten mit 011.

...	Auf diese Weise kann man alle acht Eckpunkte mit Koordinaten versehen. Es kommen alle Dreierkombinationen aus 0 und 1 vor.

...............

Addiert man die Koordinaten eines Punktes, so ergeben sich die Summen 0,1,2 oder 3. Den Summen 0 und 3 sind gegenüberliegende Eckpunkte des Würfels zugeordnet. Sie stellen eine Raumdiagonale dar (grün). Verbindet man die Punkte mit den Summen 1 und 2, so ergeben sich Dreiecke (rot).

Entsprechend erzeugen 4 Basisvektoren (rot) den Hyperkubus.  Als Koordinaten kommen alle Viererkombinationen aus 0 und 1 vor.

...

Addiert man die Koordinaten eines Punktes, so ergeben sich die Summen 0,1,2,3 oder 4. Den Summen 0 und 4 sind Eckpunkte zugeordnet. Sie stellen eine Raumdiagonale dar (grün).  Verbindet man die Punkte mit den Summen 1 und 3, so ergeben sich zwei Tetraeder (rot). Für die Summe 2 ergibt sich ein Oktaeder (blau).  Setzt man x1+x2+x3+x4= a und lässt a alle Zahlen von 0 bis 4 durchlaufen, so ergibt sich für jedes a ein Schnittkörper. Der Schnitt erfolgt senkrecht zur Raumdiagonalen von (0000) nach (1111).

Weitere Schrägbilder des Hyperwürfels     top
 
  Auch ein Rhombendodekaeder kann einen Hyperkubus darstellen.

Der n-dimensionale Würfel top
Der Hyperkubus ist ein Gedankengebilde. Man erhält eine plausible "Erklärung" für seine Eigenschaften durch das Permanenzprinzip, das in der Mathematik häufig angewandt wird, um "vom Bekannten zum Unbekannten" zu gelangen. 

"Würfel" mit den Dimensionen 1, 2 und 3 haben folgende Eigenschaften. Es müssten jetzt in der nächsten Zeile die Daten des Hyperwürfels folgen. Dimension=4, Ecken=16 ist klar. Wie die Folge der Kanten und Quadrate fortgesetzt werden muss, beschreibt das folgende Bildungsgesetz.  Setzt man in die Terme n=4, so erhält man für den Hyperkubus folgende Daten. 

Daten des 5-dimensionalen Würfels, eine Zugabe:

Der Hyperkubus im Internet top

Englisch

Amb 
Hyper-Dimensional References (collection of links)

Eric W. Weisstein, (MathWorld) 
Hypercube

Garrett Jones
Fourth Dimension: Tetraspace ,  Links

Google
 Science > Math > Geometry > Higher Dimensional

Peter Turney
Unfolding the Tesseract

Stefan Scheller
Stereoscopic Interactive Hypercube Slicer

Wikipedia
Hypercube, Tesseract,  Fourth dimension

Bernd Grave Jakobi
ein rotierender vierdimensionaler Würfel

Hans Walser
Der n-dimensionale Hyperwürfel   (.pdf-Datei)

Marcus Gossler
Zur Elementargeometrie höherdimensionaler Würfel

Wikipedia
Hyperwürfel, Tesserakt,  4D

Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt am Main, 1975
(2) Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik I (Seite 172), München 1977
(3) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991