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Was ist ein abgestumpftes Tetraeder?
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Ein abgestumpftes Tetraeder ist ein Körper,
der von 4 regelmäßigen Sechsecken und 4 gleichseitigen Dreiecken
gebildet wird. |
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Es entsteht aus einem Tetraeder, indem man an den Ecken passend dreiseitige
Pyramiden abschneidet.
Dazu teilt man die Kanten in drei gleiche Teile. |
Da an jeder Ecke regelmäßige
Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen
Körpern.
Aus den Ecken des Tetraeders werden bei
diesem Körper vier gleichseitige Dreiecke.
Die vier Seitenflächen des Tetraeders bleiben als Sechsecke erhalten.
Neben den 4+4=8 Seitenflächen hat der abgestumpfte
Tetraeder
18 Kanten und 12 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Besondere Lagen top
Ein Sechseck liegt vorne.
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Ein Dreieck liegt vorne.
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Die Seite eines Dreiecks liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite zweier Sechsecke liegt vorne.
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Eine Ecke liegt vorne.
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Zwei Sechsecke liegen senkrecht zur Zeichenebene.
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Ein Schlegel-Diagramm
Netz top
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Ein Netz von vielen des abgestumpften Tetraeders. |
Größen top
Das abgestumpfte Tetraeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der
Umkugel, Volumen V ,Oberfläche O und Abstand d3'6
eines Dreiecks vom gegenüberliegenden Sechseck berechnen.
Herleitungen
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten
der vier Sechsecke und der vier Dreiecke zusammen.
Ein gleichseitiges Dreieck hat den Flächeninhalt
(1/4)sqrt(3)a².
Ein Sechseck besteht auch aus sechs gleichen Dreiecken. Also ist die Oberfläche
O=4A6+4A3=6*4A3+4A3=28A3=28*[(1/4)sqrt(3)a².]=7*sqrt(3)a²,
wzbw.
Volumen
Man erhält das Volumen des abgestumpften Tetraeders, indem man
das vierfache Volumen einer Pyramide vom Volumen des Tetraeders subtrahiert.
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Ein Tetraeder der Kantenlänge a' hat
ein Volumen von V'3=(1/12)sqr(2)*a'³ und eine Höhe
von H'=(1/3)sqrt(6)a'.
Sind die entsprechenden Größen des abzuschneidenden Tetraeders
a, H und V, so gilt nach dem ersten Strahlensatz a=a'/3, H=H'/3 und weiter
V3=(1/12)sqrt(2)a³. |
Damit gilt für das Volumen V=V'3 - 4V3=(1/12)sqr(2)*(3a)³
- 4(1/12)sqrt(2)a³=(23/12)sqrt(2)a³, wzbw.
Radius R der
Umkugel
Vorweg: Der Radius der Umkugel des obigen großen
Tetraeders ist R'=(1/4)sqrt(6)a'
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M sei der Mittelpunkt des Tetraeders. In das Tetraeder legt man ein
rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, dem Abstand des Mittelpunkts von
einer Seitenfläche R'-H und 2/3h.
h ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck h=(1/2)sqrt(3)a. - Nach
dem Satz des Pythagoras gilt R²=(R'-H)²+(2/3h)²=[(1/4)sqrt(6)(3a)-(1/3)sqrt(6)a]²+[(2/3)(1/2)sqrt(3)a]²=...=(22/16)a²
oder R=(1/4)sqrt(22)a, wzbw. |
Abstand d3'6
eines Dreiecks vom gegenüberliegenden Sechseck
Es gilt d3'6=H'-H=(1/3)sqrt(6)a'-(1/3)sqrt(6)a=(1/3)sqrt(6)(3a)-(1/3)sqrt(6)a=(2/3)sqrt(6)a
Vom Tetraeder zum Oktaeder
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Aus einem Tetraeder kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden
dreiseitiger Pyramiden entstehen.
Dazu halbiert man die Kanten. Es entsteht ein Oktaeder. |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Abgestumpftes Tetraeder
im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Abgestumpftes
Tetraeder, Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Triakistetraeder
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Tetrahedron, Archimedean
Solid, Small
Triakis Octahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated
Tetrahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper
Models of Truncated Tetrahedron
Poly
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Wikipedia
Truncated
tetrahedron, Archimedean
solid, Catalan
solid
| Triakis
tetrahedron |
Der duale Körper ist ein Tetraeder mit aufgesetzten, dreiseitigen
Pyramiden.
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Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 101)
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http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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