Kaleidozyklen
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Was ist ein Kaleidozyklus?
Der Ring aus acht Tetraedern
Geschlossener Ring aus sechs Dreieckspyramiden
Geschlossener Ring aus acht Dreieckspyramiden
Der umstülpbare Würfel
Der Ring halbes Oktaeder
Doppelkrone
Der halbe geschlossene Ring aus sechs Pyramiden
The Shinsei Miracle
Cube One
Tetra One
Vorlagen
Kaleidozyklen im Internet
Referenzen.
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Was ist ein Kaleidozyklus?
......
K1
Im einfachsten Falle versteht man unter einem Kaleidozyklus einen Ring aus einer geraden Anzahl von Tetraedern. (Tetraeder sind Pyramiden mit gleich langen Kanten und gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen.) 
Die Tetraeder sind an je zwei gegenüberliegenden Kanten verbunden. Diese Kanten sind windschief und verlaufen senkrecht zueinander.
Das Besondere ist, dass man diesen Ring ohne Ende in sich drehen kann und dass sich dabei jede Pyramide von allen Seiten zeigt. 

Es gibt beliebig viele Kaleidozyklen. Die Tetraeder werden dann meist zu Dreieckspyramiden.

Auf dieser Seite werden der Reihe nach besondere Kaleidozyklen vorgestellt und beschrieben. 
Sie werden mit K1 bis K14 bezeichnet.


Der Ring aus acht Tetraedern top


K2

Im einfachsten Falle besteht der Ring aus acht Tetraedern. 
...... In der linken Zeichnung wird die Momentaufnahme eines Ringes dargestellt, in der gemeinsame Kanten horizontal oder vertikal im Raum stehen.

In der rechten Zeichnung wird ein Horizontalschnitt durch die Mitte des Ringes gelegt. a ist die Kante eines Tetraeders, h ist die Höhe eines Seitendreiecks. 
Es gilt h=sqrt(3)/2*a.

Das gestrichelte Quadrat ist die Grundlage des Ringes.

......

Bau des Ringes
Man kann den Ring ohne große Schwierigkeiten aus Papier falten. 

Man stellt aus Papier acht Tetraeder einzeln her und klebt sie mit Tesafilm aneinander. Das ist einfach, aber mühsam. 
Das ist übrigens für die Schule  interessant als Gemeinschaftsarbeit in einer Klasse. 

Es ist geschickter, ein Netz des Ringes zu entwerfen. Dann wird das Falten allerdings etwas knifflig. Aber keine Angst!

(1) Man zeichnet mit Zirkel und Lineal die obenstehende Figur aus gleichseitigen Dreiecken. Die Nummerierung und die Kennzeichnung der Klebestellen mit x dienen nur der Erklärung.
Mit einer Seitenlänge eines Dreiecks von 2,5 cm passt die Figur auf ein Blatt DINA4. 
(2) Man schneidet die Figur aus. 
(3) Damit man das Papier später gut falten kann, muss man alle Linien mit einem leer geschriebenen Kugelschreiber nachziehen und nach oben und unten vorknicken.
(4) Man formt zunächst die Tetraeder 1111 und 2222 gleichzeitig. Die Dreiecke xx oben und die Dreiecke 12 unten klebt man zusammen. 
(5) In der gleichen Weise verfährt man mit den Paaren 3333/4444, 5555/6666 und 7777/8888  in dieser Reihenfolge.
(6) Zum Schluss schließt man den Ring, indem man die Dreiecke 88 links und xx rechts zusammenklebt. 

Will man Ringe mit 10,12,14, ... Tetraedern basteln, muss man weitere Streifen einschieben.


Geschlossener Ring aus sechs Dreieckspyramiden    top


K3
Versucht man, sechs Tetraeder ringförmig anzuordnen, so reicht es nicht zu einem drehbaren Ring (Bild links). Man muss die Tetraeder strecken, damit ein Ring zustande kommt. Der Grenzfall ist ein regelmäßiges Sechseck die Querschnittfläche (Bild Mitte). Das führt zum Ring rechts.
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten b, a und a/2. Nach dem Satz des Pythagoras ist b²=a²+(a/2)² oder b=sqrt(5)/2*a.

Aus den Tetraedern werden Dreieckspyramiden. 
......... Die Tetraeder bestehen dann nicht mehr aus gleichseitigen, sondern aus gleichschenkligen Dreiecken. Das Verhältnis des Schenkels zur Grundseite ist gleich 
b : a = 1,12 : 1. 
Bastelvorlage

M.C.Escher Kaleidozyklen top
..... In dem unten genannten Buch (1) wird ein Ring aus gestreckten oder gestauchten Tetraedern "der Kaleidozyklus" (Mehrzahl die Kaleidozyklen, englisch kaleidocycle) genannt. Wegen der weltweiten Verbreitung des Buches hat sich dieser Name durchgesetzt.
Der Name ist wohl aus dem Wort Kaleidoskop (kaleidoscope) hergeleitet worden.

Das Buch enthält Bastelvorlagen und -anleitungen für 14 Körper, darunter auch für etliche Ringe. 

Die Körper werden mit Motiven aus Bildern des holländischen Malers M.C.Escher geschmückt und werden dadurch originell und ansehnlich.
Die geschlossenen Kaleidozyklen sind besonders faszinierend, da die Rotation durch die Mitte mit viel Bewegung verbunden ist. Die Mitte wird regelmäßig geöffnet und geschlossen. 

Geschlossener Ring aus acht Dreieckspyramiden    top


K4
...... Wenn der Ring aus acht Tetraedern von oben kein Loch mehr haben soll, muss man die Tetraeder so in der Form verändern, dass das Loch wie im rechten Bild geschlossen wird. 

Das führt zu einem Quadrat als Querschnittfläche. Man muss sich den Ring so vorstellen, dass in den Seitenmitten des Quadrates Kanten der Länge a senkrecht zur Zeichenebene liegen, so auch in Punkt P. 

......

......E Klappt man in P die Kante a in die Zeichenebene, so ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem man die Kante b der Pyramide berechnen kann.

Es gilt b²=(a/2)²+h². Mit h=sqrt(2)/2*a ergibt sich b=[sqrt(3)/2]a.


Aus dem gleichseitigen Dreieck des Tetraeders wird ein gleichschenkliges Dreieck.
Das Verhältnis des Schenkels zur Grundseite ist gleich b : a = =0,87 : 1. 

Bastelvorlage

Die Vorlage für einen geschlossenen Ring aus 10 Pyramiden K10 findet man auf der Seite von Peupleur (Le Forum en Papier). 

Der umstülpbare Würfel top

...
K5
Herstellung
(1) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit ihren Mittellinien (z.B. a=5cm)
(2) Spiegele ein Teildreieck an einer Seite.
(3) Errichte auf der Hypotenuse des gespiegelten Dreiecks ein Rechteck. Die markierten Strecken sind gleich. 
(4) Setze an das Rechteck das Teildreieck an. Die kleinere Kathete liegt unten. 
(5) Wiederhole diese Prozedur 5x. Aus den vier rechtwinkligen Dreiecken wird eine Pyramide gefaltet. 
(6) Bilde eine Reihe und bringe an die Dreiecke Klebestreifen an, um die Pyramiden zu bauen und den Ring zu schließen. 

Bastelvorlage

Ergebnis:
Es ist ein Kaleidozyklus aus sechs Pyramiden mit einem dreieckigen Loch entstanden. Das Dreieck ist gleichseitig.

Beschreibung
...... Die Pyramiden stehen entweder auf einem gleichseitigen Dreieck oder dem Rand eines regelmäßigen Sechsecks.
Vier Stellungen sind während des Drehens nach innen bemerkenswert:
(1) Sechs Dreiecke der Pyramiden liegen in einer Ebene. Sie erzeugen vorne ein hohles Sechseck.
(2) Man dreht weiter. Hinten bildet sich das gleiche ebene Sechseck.
(3) Dann bilden sechs Dreiecke hinten ein ebenes Dreieck.
(4) Vorne entsteht danach ein ebenes Dreieck.
Dieser Kaleidozyklus ist bekannt geworden als "umstülpbarer Würfelgürtel nach Paul Schatz".

Es liegt nahe, den Namen Würfelgürtel auf das bekannte Sechseck im Würfel zurückzuführen. Es gelingt auch Dreiecksseiten innen und außen zu erkennen. Aber die Pyramiden selbst kann ich auf diese Weise nicht in Beziehung zum Würfel setzen. 

Wer den Stereoblick beherrscht, sieht sechs Grundflächen der Pyramiden im Sechseck liegen. 

Der Name Würfelgürtel ist so zu erklären. 
Man kann den Ring so drehen, dass die rechten Winkel der Dreiecke Würfelecken bilden:

Man erkennt die sechs Pyramiden des Ringes, die allerdings den Würfel nur zu einem Drittel ausfüllen. 


Rechnung dazu
...... Eine Pyramide wird aus jeweils vier Teildreiecken des gleichseitigen Dreiecks gebildet. Ein Dreieck hat die Seiten a/2, h/3 und 2h/3, wobei die Höhe h des Dreiecks gleich h=[sqrt(3)/2]a ist. Der Würfel hat dann die Kantenlänge a/2 und damit das Volumen V'=a³/8. Die Pyramiden haben zusammen das Volumen 6*(1/3)*Grundfläche*Höhe. 
Das heißt hier V=6(1/3)[(1/2)(a/2)(h/3)][h/3]=(1/24)a³. Also gilt V=V'/3.

Will man den Würfel zu einem Vollwürfel ergänzen, muss man zwei gleiche, dreigliedrige Körper basteln, die man in den Drittelwürfel steckt. Eine Vorlage findet man z.B. in Marcus Engels Homepage unter dem Namen "Riegel".


Der Ring halbes Oktaeder top


K6
Die Öffnung ist ein Quadrat
Den Würfelgürtel kann man weiterentwickeln zu einem Ring mit quadratischer Öffnung.
Herstellung

(1) Zeichne ein Quadrat mit den Diagonalen und den Mittellinien (z.B. a=5cm).
(2) Spiegele ein Teildreieck an einer Seite.
(3) Errichte auf der Hypotenuse des gespiegelten Dreiecks ein Rechteck. Die markierten Strecken sind gleich. 
(4) Setze an das Rechteck das Teildreieck an. 
(5) Wiederhole diese Prozedur 7x.  Falte aus je vier rechtwinkligen Dreiecken eine Pyramide.
(6) Bilde eine reihe und bringe an die Dreiecke Klebestreifen an, um die Pyramiden zu bauen und den Ring zu schließen. 


Bastelvorlage

Dieser Ring heißt hier "halbes Oktaeder".
Man kann nämlich die acht Pyramiden zu einem halben, (roten) Oktaeder zusammenlegen. 

Quelle: Randolf Rehfeld.


Man erhält sicher weitere geschlossene Kaleidozyklen, wenn man in ähnlicher Weise von höheren regelmäßigen Vielecken ausgeht.


Doppelkrone   top


K15
...... ...... Der Kaleidozyklus K6, der zu einem halben Oktaeder gefaltet werden kann, hat eine quadratische Öffnung. Dreht man ihn weiter, so kann man das Quadrat schließen und man erhält eine "Krone". Diese Krone hat ein Quadrat als Grundfläche. 

Da liegt es nahe, die Krone an der Grundfläche zu spiegeln. 


...... Das führt zu dem neuen Kaleidozyklus links, der "Doppelkrone". Ein besserer Name fiel mir nicht ein. In dieser Lage erkennt man, dass es eine Beziehung zu einem umfassenden Würfel gibt. Je zwei Dreieckspyramiden bilden eine Kante des Würfels.
Eine Rechnung zeigt, dass das Kaleidoskop den dritten Teil des Würfels ausfüllt. 

Der Würfel heißt in dieser Aufteilung bei Margarita Ehrlich und Ellen Pawlowski (URL unten) Schneider-Würfel.


durchsichtiger Würfel

eine Dreieckspyramide


4x
Als Vorlage können vier "Schmetterlinge" dienen (a=5cm). 

Aus jeder Figur ergibt sich eine Kante des korrespondierenden Würfels. 

Die Klebestreifen sind rechts nicht eingezeichnet.


...... Der Kaleidozyklus Doppelkrone kann so gedreht werden, dass wieder eine Krone mit quadratischer Grundfläche entsteht. Die vier Zacken sind flacher.

Diese Krone kann man wieder am Quadrat spiegeln und schon erhält man einen neuen Kaleidozyklus...


Der halbe geschlossene Ring aus sechs Dreieckspyramiden top


K7

Entstehung des hier abgebildeten Ringes
...... Der geschlossene Ring aus sechs Dreieckspyramiden von oben hat eine Symmetrieebene. Durch diese Ebene kann man einen Schnitt legen. Es entsteht ein Kaleidozyklus, der sich über einem regelmäßigen Sechseck erhebt. 

Das Besondere ist, dass die gemeinsamen Kanten der Pyramiden nicht mehr gleich lang sind. 

Dreht man den Ring weiter, so ergeben sich zwei besondere symmetrische Stellungen des Ringes. 

Die Öffnung ist ein gleichseitiges Dreieck (rot). 
Die Silhouette ist ein gleichseitiges (nicht regelmäßiges) Sechseck.

Der Silhouette ist ein gleichseitiges Dreieck (rot). 
Der Ring ist fast geschlossen.

In beiden Fällen gibt es Symmetrieebenen durch das rote Dreieck.


Das Netz zum Bau dieses Kaleidozyklus sind sechs Quadrate mit aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken.
Die mit einen Strich gekennzeichneten Strecken haben die Länge a, die mit zwei Strichen die Länge b=sqrt(5)/2*a und die mit drei Strichen a/2. 

Es besteht eine Verwandtschaft zum umstülpbaren Würfel von oben. In beiden Fällen ist bei bestimmten Stellungen die Silhouette ein Dreieck. Jedoch ist bei Schatz die Öffnung geschlossen, in der symmetrischen Position oben rechts nicht: Die gemeinsame Kante, die hier 0,5a lang ist, ist bei Schatz  sqrt(3)/3*a=0,56a lang. 


Dieser Ring soll eine Anregung sein, nach neuen Kaleidozyklen zu suchen und sich mit ihnen zu beschäftigen.
Oben wurde schon erwähnt, dass es beliebig viele Kaleidozyklen gibt. 
Ein "normaler" Kaleidozyklus kommt immer dann zustande, wenn "gegenüberliegende Kanten von Tetraedern und ihr gemeinsames Lot paarweise senkrecht zueinander stehen" (Marcus Engel, kaleidozyklen_theorie.pdf). 

The Shinsei Miracle top
Dieser goldene/silberne Würfel wurde in den 1980er Jahren von Naoki Yoshimoto entwickelt. Man kann ihn so auseinander nehmen, dass man zwei Kaleidozyklen aus 12 Pyramiden erhält.
...

K8

K8
Mehr findet man auf meiner Seite The Shinsei Miracle.


Cube One   top
Cube One ist ein Würfel-Puzzle des Grafik-Designers, Malers und Zeichners Dieter A.W. Junker aus Kassel. 

Aufgabe des Puzzles ist es, aus 2x2 Kaleidozyklen einen Würfel zusammenzusetzen.


Dabei ist schon jeder Kaleidozyklus für sich ein Puzzle. 
Aus dem einem kann man ein Tetraeder, aus dem anderen ein Oktaeder bilden.

K11

K12
Mehr findet man auf meiner Seite Cube One.

Tetra One   top
Tetra One ist ein weiteres Puzzle von Dieter A.W. Junker.

Aufgabe des Puzzles ist es, aus 2 Kaleidozyklen ein Tetraeder zusammenzusetzen. Die beiden Kaleidozyklen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Pyramiden.

K13

K14
Mehr findet man auf meiner Seite Tetra One.


Vorlagen   top
Man findet auf dieser Seite Beschreibungen wie man ein Netz zeichnen kann, um den betreffenden Ring zu basteln. 

Doch es ist einfacher Vorlagen zu benutzen, die netterweise im Internet bereitgestellt werden. Ich füge in der folgenden Linkliste die Namen Ki hinzu, wenn man dort einen Bastelbogen findet.

Viel Spaß beim Basteln und auch bei der Suche nach neuen Formen.


Kaleidozyklen im Internet top

Deutsch

Annemarie Honegger
Kaleidozyklen    K3

Dieter A. W. Junker
flyping-games

Ellen Pawlowski
Umstülpungskörper  (.pdf-Datei)

Franz Zahaurek
Der umstülpbare Würfel nach Paul Schatz

Gymnasium Hechingen (Mathewerkstatt)
Verdrillter Kaleidozyklus K9 u.a.

Gymnasium Königsbrunn
KaleidozyklenK3, K5, K6

Marcus Engel
M.C.Escher Kaleidocycles...  K2, K3, K5 und Riegel

Margarita Ehrlich
Umstülpungen  (.pdf-Datei)

Paul Schatz Stiftung
Der umstülpbare Würfel

Randolf Rehfeld (Wundersames Sammelsurium)
Kaleidozyklen...K2, K3, K4, K5, K6

Wikipedia
Umstülpbarer Würfel


Englisch

Akira Nishihara
Ring of tetrahedrons

ANDREAS HOENIGSCHMID
HyperQBS

Arvind Gupta
PAPER FLEXAGON ENGLISH 20MB     (Video bei Youtube)

Dave Love and Bill Haneberg 
Origami Activities..   K3

David Singmaster 
Cubic Circular (magazine Issue 5 & 6 - #11 -  #13) (Autumn & Winter 1982)

Enchanted Learning online
Make A 3-D Hexaflexagon ...  K2

FoldPlay
MAKE YOUR VERY OWN PHOTO KALEIDOCYCLE

G. Korthals Altes 
Paper Models of Polyhedra 
Kaleidocycles:  Hexagonal Kaleidocycle K3, Octagonal Kaleidocycle K2, Decagonal KaleidocycleK1

Jaap Scherphuis 
Pyrix (Chain of 4 octahedrons + 11 tetrahedrons = 1 large tetrahedron)

Maurice STARCK
a ride through the polyhedra world

Marcus Engel
M.C.Escher Kaleidocycles...  K2, K3, K5 und Riegel

MATHEMATICAL CONCEPTS, inc
Kaleidocycle by the net method    K3

Simon Quellen Field (Science Toys)
A moving sculpture made from paper   K3

YouTube
http://de.youtube.com/watch?v=_0i1ZcphgfA&feature=related


Französisch

Hubert Martineau
Kaléidocycle ou anneau de n tétraèdres (n entier pair)

Peuplier (Le Forum en Papier) 
Kaleïdocycle didactique, le moteur 4 temps K4, Cube magique, Shinsei Mystery (ou Miracle) K8


Referenzen   top
(1) Doris Schattschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen, Köln 1992       K3, K4
......
Verdrillter Kaleidozyklus K9
(2) Gerald Jenkins and Anne Wild, Make Shapes 1, Diss (Norfolk), Tarqin Publications, 1998 K1


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2005 Jürgen Köller

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