Flexagons
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Was ist ein Flexagon?
Bau eines Trihexaflexagons
Öffnen eines Flexagons
Das Trihexaflexagon
Das Tetrahexaflexagon
Höhere Flexagons
Tetraflexagons
Flexagons im Internet
Referenzen
Kommentar.
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Was ist ein Flexagon?
Ein Flexagon ist ein Sechseck, das man aus einem Streifen aus gleichseitigen Dreiecken faltet. Der Gag besteht darin, dass man das Sechseck in der Mitte öffnen kann. Es erscheint ein neues Sechseck, das vorher verborgen war.

Anleitung zum Bau eines Trihexaflexagons       top
(1) Zeichne mit Hilfe von Zirkel und Lineal einen Streifen aus 10 gleichseitigen Dreiecken.
Wähle als Seitenlänge eines Dreiecks 4 cm. Dann passt der Streifen quer auf ein Blatt DIN A 4.

(2) Nummeriere die Dreiecke wie angegeben.
(3) Zeichne mit Hilfe eines leeren Kugelschreibers die Seiten der Dreiecke nach, damit man das Papier an diesen Stellen später besser falten kann.
(4) Schneide den Streifen aus.
(5) Drehe den Streifen um. Nummeriere die Dreiecke wie angegeben. Setze die beiden Kreuze. Hinter 3 liegt x, hinter 1 liegt 2 usw.. Die beiden angekreuzten Dreiecke werden später  aufeinander geklebt und verschwinden. Knicke das Papier mehrmals an den Linien zwischen den Dreiecken, damit das Flexagon, wenn es später zusammengebaut ist, "elastischer" ist.

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(6) Falte das Papier so, dass ein Haken entsteht. Dann falte an der gestrichelten Linie nach hinten. Achte darauf, dass vorne nur 1 und hinten nur 2 steht. Lege dazu die Dreiecke 3 und 3 aufeinander.
(7) Es entsteht ein Sechseck. Dreieck 2 steht noch über. Es müsste auf der Rückseite ein Kreuz tragen. Klebe die beiden Dreiecke mit den Kreuzen aufeinander. 
Das Trihexaflexagon ist fertig.

Linksdrehendes Flexagon
...... Man kann ein Trihexaflexagon auch erzeugen, wenn man für den Haken die unteren drei Dreiecke nach unten hin wegklappt und dann an der gestrichelten Linie vier Dreiecke nach vorne legt und schließlich die linken, sichtbaren Dreiecke 2 und 3 aufeinander klebt.
Man nennt dieses Flexagon ein linksdrehendes Flexagon. Zeigt nämlich der Daumen der linken Hand (Bild) in Richtung des Streifen, so geben die Finger die Klapprichtung an. 
Oben ist ein rechts drehenden Flexagon, da man dort die rechte Hand nehmen muss.
Nur rechtsdrehende Flexagons sind üblich.

Öffnen eines Flexagons top
Das Öffnen ist beim ersten Mal eine knifflige Angelegenheit.
Fasse mit Zeigefinger und Daumen der rechten Hand zwei Dreiecke von oben. Drücke sie nach unten. Drücke gleichzeitig mit dem Zeigefinger der linken Hand an der gegenüberliegenden Ecke des Sechsecks zwei Dreiecke, die eine Raute bilden, weit nach unten zur räumlichen Achse hin. Das Sechseck lässt sich jetzt "wie eine Blume" öffnen. Es erscheint das Sechseck mit den Dreiecken Nr.3.

Für das systematische Öffnen eines Flexagons kann man zwei Techniken anwenden. 
Bei der "Schaukel" hält man die Begrenzungslinie zweier Dreiecke horizontal und öffnet abwechselnd rechts und links. Bei der "Tuckerman Traverse" dreht man nach jedem Öffnen das Flexagon im oder entgegen dem Uhrzeigersinn weiter.
Im Folgenden soll für das Öffnen auch der Name "Zug" gewählt werden.


Das Trihexaflexagon top
Wie der Streifen zeigt, besteht das Trihexaflexagon aus neun Dreiecksblättern mit Vorder- und Rückseite, also aus insgesamt 18 Dreiecken. Die Dreiecke zum Kleben zählen nicht.
Zusammengefaltet liegen jeweils zwei Dreiecksblätter übereinander, dazwischen liegt ein einzelnes Dreiecksblatt. Die Dreiecke haben also die Verteilung 1+2+1+2+1+2.

Zwei Dreiecksblätter sind zusammenhängend und bilden eine Raute. 
Ein Sechseck besteht aus drei Rauten.

Bei jedem Zug wird eine Raute nach außen weggeklappt und gelangt an gleicher Stelle auf die Rückseite. Bei einem weiteren Zug werden die beiden Dreiecke dieser Raute aufeinander geklappt.
Die Dreiecke wandern um ein Sechstel einer Volldrehung weiter.
........... Man kennzeichnet ein Dreiecksblatt mit einer Büroklammer. Wendet man jetzt die Schaukel an, so wandert die Büroklammer und damit das Dreieck entgegen dem Uhrzeiger im Kreis herum, obwohl man das Flexagon nicht dreht. 
Jedes Dreieck wird an einer Stelle dreimal geklappt und dabei gedreht, ehe es weiterwandert. 
Man braucht insgesamt 18 Züge für einen vollen Umlauf.

Öffnet man das Flexagon nach Art der Schaukel, so folgen die Sechsecke in der Reihenfolge 1/2/3/1/2/3/1/2/3... .Das Zeichen / beschreibt einen Seitenwechsel. Bei jedem Zug gelangt eine Nummer von der Vorderseite auf die Rückseite. Dreht man das Flexagon um und öffnet, so folgen die Sechsecke in der Reihenfolge 1/3/2/1/3/2/1/3/2...


Triflexagon mit einem Muster
Wenn man die gleichseitigen Dreiecke des Streifen mit Hilfe des Mittelpunkts in drei gleiche Teile teilt und passend färbt, so erhält man ein Trihexaflexagon mit drei schönen Mustern. Die Ober- und Unterseite sind jeweils gleich. 
Diese Ausführung des Trihexaflexagons stammt von Krino Hoogestraat aus Emden. 

Das Tetrahexaflexagon top
Das Tetrahexaflexagon hat vier Oberflächen und ist etwas komplizierter als das Trihexaflexagon. 
Zum Bau des Tetrahexaflexagons stellt man nebenstehenden Streifen aus gleichseitigen Dreiecken her. Man nummeriert die Dreiecke auf Vorder- und Rückseite wie angegeben. 

Legt man die Dreiecke mit den Nummern 4 aufeinander, so erhält man den Streifen des Trihexaflexagons von oben mit gleicher Nummerierung. Man faltet ihn entsprechend. Man achtet wieder darauf, dass die Dreiecke Nr.3 aufeinander gelegt werden. Zum Schluss klebt man die beiden angekreuzten Dreiecke aufeinander.


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Öffnet man dieses Flexagon nach Art der Schaukel, so erhält man nacheinander die Sechsecke 1/3/2/1/3/2/1/3... (evtl. das Flexagon umdrehen).
Man muss, um auch an das Sechseck Nr.4 zu gelangen, die Technik der Schaukel erweitern. Man öffnet auf jeder Seite so lange, bis es nicht mehr geht. Auf diese Weise erhält man die Reihenfolge 1/34/1/32/1/34/1/32/..., also auch das fehlende Sechseck 4. Der Schrägstrich gibt jeweils den Wechsel rechts/links oder links/rechts an.
Es wiederholt sich die Folge 1/34/1/32/. Die Zahlen 1 und 3 kommen in dieser Periode zweimal vor, die Zahlen 2 und 4 nur einmal. 


Als mögliche graphische Darstellungen dieser Struktur dienen ein Viereck mit Doppeldiagonale oder zwei Dreiecke, die einen Punkt gemeinsam haben. 
In der (üblichen) Darstellung rechts wird berücksichtigt, dass das Sechseck 3 die Eigenschaft zweier Dreieckspitzen (wie 2 und 4) hat und dass Sechseck 1 Durchlaufstation ist. 

Bei Ausführung der Schaukel umläuft man in der rechten Graphik die Gesamtfigur in Pfeilrichtung entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. 

Zählt man die übereinander liegenden Dreiecksblätter des Tetrahexaflexagons, so haben die Blätter der Sechsecke 2,3 und 4 die Verteilung 1+3+1+3+1+3, nur Sechseck 1 hat die Verteilung 2+2+2+2+2+2. Das bestätigt noch einmal die Eigenschaft einer Durchlaufstation von 1.

Man könnte meinen, das Sechseck Nr.1 sei bevorzugt. Aber dreht man das Flexagon um und öffnet fortwährend, so tauschen 1 und 3 ihre Rollen. Die Symmetrie bleibt bewahrt.

Man kennzeichnet ein Dreiecksblatt mit einer Büroklammer. Wendet man jetzt die Schaukel an, so wandert die Büroklammer und damit das Dreieck im Kreis herum, obwohl man das Flexagon nicht dreht. Jedes Dreieck wird abwechselnd zwei- oder viermal an einer Stelle geklappt, ehe es weiterwandert. Man braucht insgesamt 18 Züge für einen vollen Umlauf. 

Auch bei Anwendung der Tuckerman Traverse zeigt sich die gleiche Struktur. Um alle Oberflächen zu erreichen, muss man - solange es geht - öffnen und dann erst drehen.


Höhere Flexagons top
Neben den beiden beschriebenen Flexagons gibt es Erweiterungen auf  5, 6, ... Oberflächen, die dann entsprechende Namen Pentahexaflexagon, Hexahexaflexagon u.s.w. tragen.


Pentahexaflexagon
horizontal gespiegelt:
134/1/32/15/2/   :||

Legt man die Dreiecke mit den Nummern 5 aufeinander, so erhält man die Form des Tetrahexaflexagon von oben mit gleicher Nummerierung. Man verfährt entsprechend weiter. 

Hexahexaflexagon (sehr bekannt)
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1/236/2/315/3/124/   :||
Legt man die Dreiecke mit den Nummern 6 aufeinander, so erhält man die Form des Pentahexaflexagon von oben mit gleicher Nummerierung. Man verfährt entsprechend weiter. 
Hexahexaflexagon (Variation B)

123/14/3/125/16/5/   :||
Hexahexaflexagon (Variation C)

1256/2/51/23/14/3   :||

Eine ausführliche Beschreibung dieses Flexagons findet man in meiner Seite Hexahexaflexagon.

Heptahexaflexagon


1367/3/61/324/3   :||

Legt man die Dreiecke mit den Nummern 7 aufeinander, so erhält man die Form des linearen Hexahexaflexagons (Variation A) von oben mit gleicher Nummerierung. Man verfährt entsprechend weiter. 

Heptahexaflexagon (Variation B)


1257/2/516/5/123/14/3/   :||

Legt man die Dreiecke mit den Nummern 7 aufeinander, so erhält man die Form des Hexahexaflexagons (Variation B) von oben mit gleicher Nummerierung. Man verfährt entsprechend weiter. 

Tetraflexagons  top
Es gibt auch Flexagons in Quadratform. Das folgende Tritetraflexagon stammt aus Gardeners Buch von 1961, das Tetratetraflexagon aus David Mitchells empfehlenswertem Bastelheft (4).
Ein Tritetraflexagon
...... Zum Bau legt man nacheinander die Quadrate 3 und 3, 2 auf 2 und 1 und 1 aufeinander. Die Quadrate mit den Kreuzen werden aufeinander geklebt.


Ein Tetratetraflexagon
...... Hier faltet man zuerst 4 auf 4, dann folgen der Reihe nach die nächsten Nummern. 

Die Mitte ist horizontal über zwei Quadrate eingeschnitten, die Quadrate mit x liegen am Ende. Das wird in der Zeichnung verdeckt.

Öffnen
...... Man findet normalerweise neue Flächen der Tetraflexagons, indem man sie umdreht und dann wie ein Buch in der Mitte öffnet.
Mehr findet man auf meinen Seiten Tetraflexagon und Hexahexaflexagon.

Flexagons im Internet top

Deutsch

Claus Michael Ringel
Flexagone

Randolf Rehfeld
Flexagone

Wikipedia
Flexagon



Englisch

Antonio Carlos M. de Queiroz
Hexaflexagons

David King
Flexagons

Douglas C. George
Flexagon

Ela Schwartz 
Flexagon Fever

Eric W. Weisstein
Flexagon

Erik Demaine
Flexagon

Infinity12
Hexaflexagons

Jill Britton
Let's Make a Flexagon
Foto-TriHexaFlexagon (THF)  (Description of Fernando G. Sörensen's program, program available) 


Program Foto-THF 1.2 (198Kb - fthf12.zip)
Choose "Opciones/Idioma/English (USA)"!

Kathryn Huxtable's
Flexagon Page

Vi Hart (Khan Academy page)
Hexaflexagons

Kjartan Poskitt
The Fabulous Flexagons

Les Pook
Flexagons

Martin Gardner
Hexaflexagons
Cambridge University Press, Martin Gardner’s First Book of Mathematical Puzzles and Games (Excerpt)

Lee Stemkoski    (Mathematrix)
Flexagons

NN
Flexifier  (Make your own tetra-tetraflexagon.)

Peter Bradshaw
Flexagon Creator!

Robin Moseley
The Flexagon Portal
 
Scott Sherman
Flexagons
Scott Sherman bietet viele Variationen von Flexagonen aus Dreiecken an. 

Dieses ist das "3 sided isosceles octaflexagon" (Tri-oktaflexagon) als ein Beispiel. 
Wenn man es in der Mitte öffnet, muss man wissen, dass das Achteck in 2/3 der Stellungen nicht eben liegt. 

Wikipedia
Flexagon

www.g4g-com.org
Hexaflexagon

Youtube
Flexagon, hexaflexagon-2   ...

Yutaka Nishiyama
GENERAL SOLUTION FOR MULTIPLE FOLDINGS OF HEXAFLEXAGONS   (.pdf file)


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
(2) Martin Gardner: The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1961
(3) Martin Gardner: Mathematische Denkspiele, München 1987 [ISBN 3 88034 323 3]
(4) David Mitchell: The Magic of Flexagons, Norfolk England 1998 [ISBN 1 899618287]
(5) Les Pook: Flexagons Inside Out, Cambridge University Press, 2003[ISBN 0 521 52574 8 paperback]
(6) Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations, Dover Publications Inc., 1979
(7) Les Pook: Serious Fun with Flexagons, Springer-Verlag GmbH, 2009 [ISBN-10: 9048125022], {106,95€}


Kommentar   top

Arthur H. Stone erfand die Flexagons im Herbst 1939. 

Flexagons wurden bekannt, nachdem Martin Gardner sie in der Mathematik-Ecke des Magazins Scientific American Ende der 50er Jahre vorstellte.

In dem Buch (1) von 1959 zieht der Autor auf 14 Seiten Bilanz: Er bekam mehr als 100 Zuschriften.

Buch 3 enthält eine Anleitung zum Bau eines Hexatetraflexagons.

Es ist erstaunlich, dass Flexagons im deutschen Sprachbereich kaum bekannt sind. Vielleicht liegt das auch daran, dass das oben genannte erste Buch von Gardner zwar ins Deutsche übersetzt wurde, dass aber das Kapitel über Flexagons fehlte. 

Es ist kein Zufall, dass Flexagone an der ersten Stelle meiner Homepage stehen. Ich kenne kaum eine andere mathematische Bastelei dieser Qualität. Viel Spaß.



Hier noch ein Hinweis auf "räumliche Flexagone", die Kaleidozyklen. Sie sind auch schön.

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Diese Seite ist auch in Englisch vorhanden.

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  1999 Jürgen Köller

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