Regelmäßiges Neuneck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Neuneck?
Größen des Neunecks
Diagonalen
Beziehungen zwischen den Diagonalen
Zeichnen eines Neunecks
Regelmäßiges Neuneck im Internet.
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Was ist ein regelmäßiges Neuneck?
Das regelmäßige Neuneck ist ein Vieleck mit
    neun gleich langen Seiten und 
    neun gleich großen Innenwinkeln. 
Das Neuneck heißt auch Nonagon oder seltener Enneagon.
Im Englischen sind die Namen Nonagon oder Enneagon gebräuchlich.


Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Neuneck meist einfach Neuneck. 

Größen des Neunecks top
Winkel im Neuneck


Formeln

Seite und Diagonalen

Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe

Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d1, d2 und d3 und die Höhe h, der Flächeninhalt A  und der Umfang U errechnen. Wie beim regelmäßigen Siebeneck gibt es hier kaum Wurzelterme. Man muss bis auf die Ausnahme sin60° die Zahlenterme trigonometrischer Funktionen stehen lassen. 


Herleitung der Formeln
Radius des Um- und Inkreises
Es gilt sin20°=(a/2)/R oder R=a/(2sin20°)

Es gilt cot20°=r/(a/2) oder r=(a/2)cot20°=(a/2)(cos20°/sin20°)


Höhe
......
Nach dem Mittelpunktsatz ist der Umfangswinkel oben halb so groß wie der Mittelpunktwinkel (rote Kennzeichnung).

Es gilt im gelben Dreieck cot10°=h/(a/2) oder h=(a/2)cot10°=(a/2)(cos10°/sin10°)


Erste und zweite Diagonale
......
Es gilt sin40°=(d1/2)/R oder d1=2Rsin40°=(sin40°)/(sin20°)a

Es gilt sin60°=(d2/2)/R oder d2=2Rsin60°=(sin60°)/(sin20°)a

R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt.


Dritte Diagonale
......
Es gilt sin80°=(d3/2)/R oder d3=2Rsin80°=(sin80°)/(sin20°)a

R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt.


Flächeninhalt und Umfang
A=9*[(1/2)ar] = 9*[(1/2)a(a/2)cot20°]=(9/4)a²(cos20°/sin20°)
U=9a

Diagonalen    top
Alle Diagonalen
Das Neuneck hat 27 Diagonalen.


...... Neun Diagonalen verbinden jeden zweiten, neun jeden dritten und neun jeden vierten Eckpunkt. Die Diagonalen bilden drei voneinander unabhängige Sterne, die Nonagramme. 
 
Zwei Sterne können in einem Zug gezeichnet werden. Der mittlere Stern besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken. Er entsteht aus einem Dreieck, wenn man es um 40° und 80° weiterdreht. 
Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 100°, 60° und 20°.

Eine weitere Figur aus Diagonalen

endlos

Vierecke und Dreiecke

Enneagramm
...... Die nebenstehende Figur besteht aus Diagonalen des Neunecks. 
Da staunte ich: Sie ist wohl die am häufigsten vertretene Figur im Internet im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Neuneck. 
Näheres findet man bei Google mit dem Stichwort Enneagramm bzw. Enneagram zum Beispiel bei Wikipedia (URL unten). Dabei verlässt man die Mathematik.

Auf meiner Seite Geobrett findet man eine Übersicht über alle konvexen Figuren, die die Diagonalen bilden können.


Beziehungen zwischen den Diagonalen    top
Im Neuneck liegen verschiedene gleichschenklige Trapeze.

Nach dem Satz des Ptolemäus gibt es Beziehungen zwischen der Seite und den Diagonalen: 
(1) d3²=ad1+d2²     (2) d2²=ad3+d1²   (3) d1²=ad2+a²   (4) d3²=d2d3+a²  (5) d2²=ad3+d1²   (6) d3²=d1d2+d1²

Der Satz des Ptolemäus wird auf der Seite Sehnenviereck erklärt und bewiesen. 


...... Nach dem Satz des Ptolemäus kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Diagonalen und der Seite herleiten:
d2d3=ad2+d1d2 oder d3=a+d1

Dieser Satz ergibt sich auch anschaulicher. 
...... Wegen der Symmetrie des Neunecks sind die roten Diagonalen parallel. Sie bilden ein gelbes Parallelogramm mit den Seiten d1 und a. Da im grünen Dreieck die Winkel 60° groß sind, ist es gleichseitig und die Seite a tritt auch noch neben d1 auf. Es ist also d1+a=d3.

Zeichnen eines Neunecks top
Nicht konstruierbar
...... Bekanntlich ist die Dreiteilung eines Winkels allgemein nicht mit Zirkel und Lineal möglich.
Das gilt auch für den Winkel von 60°. 
Der dritte Teil eines Winkels von 60°, das sind 20°, ist auch nicht konstruierbar. 
Dann sind auch ein Winkel von 40° und damit das Neuneck nicht konstruierbar.


Zeichnung
...... (1) Zeichne einen Winkel von 40°.
(2) Zeichne einen beliebigen Kreis um den Scheitelpunkt.
(3) Zeichne die Sehne.
(4) Trage sie auf dem Kreisbogen ab. 
Zeichne alle Sehnen. 
Es ist das Neuneck entstanden.

Näherungskonstruktion
Eine Näherungskonstruktion findet man auf dem gleichen Wege wie beim Siebeneck.
...... >Man zeichnet einen Winkel von 40° auf kariertes Papier.
>Man stellt fest, dass der freie Schenkel eine Kästchenecke bei [7 nach rechts, 6 nach oben]  schneidet. Das macht man sich zunutze, um den Winkel von 40° näherungsweise zu konstruieren.
>Die weitere Konstruktion wird oben beschrieben.
Die Gleichung tan(alpha)=6/7 führt zu einen Winkel von 40,60°. Dieser Winkel ist nur um 1,50% größer als 40°. 

"Neusis-Konstruktion"
Es gibt keine Konstruktion der Dreiteilung des Winkels von 60°. Lässt man einen Papierstreifen zu mit der Möglichkeit eine Strecke zu markieren, so ergibt sich eine exakte Zeichnung, die auf meiner Seite Dreiteilung erklärt wird.

1 Zeichne den gegebenen Winkel 3*alpha=60° und einen Kreis um den Scheitelpunkt mit einem beliebigen Radius r.
2 Markiere auf einem Papierstreifen eine Strecke der Länge r und passe r zwischen Horizontaler und Kreis außen so ein, dass die Kante des Streifens auch durch B verläuft.
3 Der Winkel MDB ist der gesuchte Winkel alpha/3=20°.
Verdoppele den Winkel noch, um zu 40° zu kommen.

Regelmäßiges Neuneck im Internet      top

Deutsch

Udo Hebisch (Mathecafé)
Nonagonreport, Regelmäßige n-Ecke bei Albrecht Dürer

Wikipedia 
Neuneck, Enneagramm, Palmanova



Englisch

Dr.Math (The Math Forum)
Nonagon or Enneagon?

Eric W. Weisstein
Nonagon, Nonagram, Trigonometry Angles--Pi/9,   Star of Goliath

John Fudjack 
Taking the Mandala Literally

John Page
Nonagon

Nick Hobson
Puzzle 91. Nonagon diagonals,   Solution
(Ein weiterer Beweis von d3=a+d1 )

Wikipedia
Nonagon, Enneagon, Enneagram, Nonagonal number



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©  2005 Jürgen Köller

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