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Was ist ein regelmäßiges Neuneck?
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Das regelmäßige Neuneck ist ein Vieleck mit
neun Ecken
neun gleich langen Seiten und
neun gleich großen Innenwinkeln. |
Das Neuneck heißt auch Nonagon oder seltener Enneagon.
Im Englischen sind die Namen Nonagon oder Enneagon gebräuchlich.
Auf dieser Seite heißt das regelmäßige
Neuneck meist einfach Neuneck.
Größen des Neunecks
top
Winkel im Neuneck
Formeln
Seite und Diagonalen
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Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe
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Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r
des Inkreises, der Radius
R des Umkreises, die Diagonalen
d1,d2
und
d3 und die Höhe h, der Flächeninhalt
A
und der Umfang U errechnen. Wie beim regelmäßiges Siebeneck
gibt es hier kaum Wurzelterme. Man muss bis auf die Ausnahme sin60°
die Zahlenterme trigonometrischer Funktionen stehen lassen.
Herleitung der Formeln
Radius des Um- und Inkreises
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Es gilt sin20°=(a/2)/R oder R=a/(2sin20°)
Es gilt cot20°=r/(a/2) oder r=(a/2)cot20°=(a/2)(cos20°/sin20°) |
Höhe
... ...
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Nach dem Mittelpunktssatz ist der Umfangswinkel oben halb so groß
wie der Mittelpunktswinkel (rote Kennzeichnung).
Es gilt im gelben Dreieck cot10°=h/(a/2) oder h=(a/2)cot10°=(a/2)(cos10°/sin10°) |
Erste und zweite Diagonale
... ...
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Es gilt sin40°=(d1/2)/R oder d1=2Rsin40°=(sin40°)/(sin20°)a
Es gilt sin60°=(d2/2)/R oder d2=2Rsin60°=(sin60°)/(sin20°)a
R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt. |
Dritte Diagonale
... ...
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Es gilt sin80°=(d3/2)/R oder d3=2Rsin80°=(sin80°)/(sin20°)a
R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt. |
Flächeninhalt und Umfang
A=9*[(1/2)ar] = 9*[(1/2)a(a/2)cot20°]=(9/4)a²(cos20°/sin20°)
U=9a
Diagonalen top
Alle Diagonalen
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Das Neuneck hat 27 Diagonalen. |
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Neun Diagonalen verbinden jeden zweiten, neun jeden dritten und neun
jeden vierten Eckpunkt. Die Diagonalen bilden drei voneinander unabhängige
Sterne, die Nonagramme.
Zwei Sterne können in einem Zug gezeichnet werden. Der mittlere
Stern besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken. Er entsteht aus einem
Dreieck, wenn man es um 40° und 80° weiterdreht. |
Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 100°, 60° und 20°.
Eine weitere Figur
aus Diagonalen
endlos
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Vierecke und Dreiecke
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Enneagramm
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Die nebenstehende Figur besteht nur aus Diagonalen des Neunecks.
Da staunte ich: Sie ist wohl die am häufigsten vertretene Figur
im Internet im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Neuneck. Näheres
findet man bei Google mit dem Stichwort Enneagramm bzw. Enneagram zum Beispiel
bei Wikipedia (URL unten). Dabei verlässt man die Mathematik. |
Beziehungen zwischen
den Diagonalen top
Im Neuneck liegen verschiedene gleichschenklige Trapeze.
Nach dem Satz des Ptolemäus gibt es Beziehungen zwischen der Seite
und den Diagonalen:
(1) d3²=ad1+d2²
(2) d2²=ad3+d1²
(3) d1²=ad2+a² (4) d3²=d2d3+a²
(5) d2²=ad3+d1²
(6) d3²=d1d2+d1²
Der Satz des Ptolemäus wird auf der Seite Sehnenviereck
erklärt und bewiesen.
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Nach dem Satz des Ptolemäus kann man eine einfache Beziehung zwischen
zwei Diagonalen und der Seite herleiten:
d2d3=ad2+d1d2
oder d3=a+d1
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Dieser Satz ergibt sich auch anschaulicher.
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Wegen der Symmetrie des Neunecks sind die roten Diagonalen parallel.
Sie bilden ein gelbes Parallelogramm mit den Seiten d1 und a.
Da im grünen Dreieck die Winkel 60° groß sind, ist es gleichseitig
und die Seite a tritt auch noch neben d1 auf.
Es ist also d1+a=d3. |
Zeichnen eines Neunecks top
Nicht konstruierbar
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Bekanntlich ist die Dreiteilung eines Winkels allgemein nicht mit Zirkel
und Lineal möglich.
Das gilt auch für den Winkel von 60°.
Der dritte Teil dieses Winkels, und das sind 20°, ist auch nicht
konstruierbar.
Dann ist auch ein Winkel von 40° und damit das Neuneck nicht konstruierbar. |
Zeichnung
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(1) Zeichne einen Winkel von 40°.
(2) Zeichne einen beliebigen Kreis um den Scheitelpunkt.
(3) Zeichne die Sehne.
(4) Trage sie neunmal auf dem Kreisbogen ab. Zeichne alle Sehnen.
Es ist ein Neuneck entstanden. |
Näherungskonstruktion
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Eine Näherungskonstruktion findet man auf dem gleichen Wege wie
beim Siebeneck.
>Man zeichnet einen Winkel von 40° auf kariertes Papier.
>Man stellt fest, dass der freie Schenkel eine Kästchenecke bei
[7 nach rechts, 6 nach oben] schneidet. Das macht man sich zunutze,
um den Winkel von 40° näherungsweise zu konstruieren.
>Die weitere Konstruktion wird oben beschrieben. |
Die Gleichung tan(alpha)=6/7 führt zu einen Winkel von 40,60°.
Dieser Winkel ist nur um 1,5% größer als 40°.
Regelmäßiges
Neuneck im Internet top
Deutsch
Udo Hebisch (Mathecafé)
Regelmäßige
n-Ecke bei Albrecht Dürer
Wikipedia
Neuneck, Enneagramm,
Palmanova
Englisch
Dr.Math (The Math Forum)
Nonagon
or Enneagon?
Eric W. Weisstein
Nonagon, Nonagram,
Trigonometry
Angles--Pi/9, Star
of Goliath
John Fudjack
Taking the Mandala
Literally - The 'Couette System' in Chaos Science, the Mandala, and
the Enneagram
John Page
Nonagon
Nick Hobson
Puzzle 91.
Nonagon diagonals, Solution
(Ein weiterer Beweis von d3=a+d1 )
Wikipedia
Nonagon, Enneagon,
Enneagram, Nonagonal
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©
2005 Jürgen Köller
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