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Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
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Das 3-4-5-Dreieck ist ein Dreieck mit den Seitenlängen
3cm, 4cm und 5cm.
Allgemeiner bezeichnet man jedes Dreieck mit den Seiten
3e, 4e und 5e als 3-4-5-Dreieck, wobei e eine beliebige Einheitsstrecke
ist. Man kann auch fordern: Es muss a:b:c = 3:4:5 gelten. |
Auf dieser Seite werden deshalb zweckmäßigerweise
Maßeinheiten weggelassen.
Da der Satz
des Pythagoras gilt (3²+4²=5²), ist das Dreieck rechtwinklig.
Die folgende Zeichnung veranschaulicht
diesen Sachverhalt.
Größen
des Dreiecks
top
Winkel
... ...
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Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt für die spitzen
Winkel:
sin(alpha)=a/c=4/5 oder alpha=arc sin(4/5), sin(beta)=b/c=3/5
oder beta = arc sin(3/5). |
Angenähert betragen alpha=53,1° und beta=36,9°.
Umkreis und
Inkreis
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Der Umkreis wird durch den Halbkreis des Thales
gegeben. Der Radius ist R=c/2=2,5.
Der Inkreis hat den Radius r=1. Der Mittelpunkt
liegt an der Stelle (1|1), wenn man sich ein Koordinatensystem denkt, das
durch die Katheten erzeugt wird. |
Unten wird allgemeiner die Formel r=(1/2)(a+b-c) hergeleitet,
die beim 3-4-5-Dreieck zu r=1 führt.
Übrigens liegt an der Stelle (6|6) der Mittelpunkt
eines zweiten Kreises (Ankreis). Er berührt die die Hypotenuse von
außen und die Verlängerungen der Katheten.
Hypotenusenabschnitte
und Höhe
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Nach dem Kathetensatz ist cp=a². Daraus folgt p=a²/c=16/5.
Nach dem Kathetensatz ist cq=b². Daraus folgt q=b²/c=9/5.
Nach dem Höhensatz ist h²=pq. Daraus folgt
h=12/5. |
Fläche
und Umfang
Der Flächeninhalt ist A=6, der Umfang
U=12.
Vierecke
und 3-4-5-Dreiecke
top
Quadrat im Dreieck
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In ein Dreieck passt ein Quadrat auf zwei verschiedene
Arten. Im ersten Fall ist die Seitenlänge 12/7 (ungefähr 1,7),
im zweiten Fall 60/37 (ungefähr 1,6). |
Die Rechnungen erfolgen analog zum 30-60-90-Dreieck
an anderer Stelle meiner Homepage..
Vierecke aus vier Dreiecke
top
Vier Kreise im Kreis
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Zeichnet man in einen Kreis nebeneinander zwei halb so
große Kreise ein und füllt die Lücken oben und unten mit
zwei weiteren Kreisen aus, so bilden die vier Mittelpunkte der Kreise eine
Raute.
Diese Raute setzt sich aus vier 3-4-5-Dreiecken zusammen. |
Lösung:
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Es gelten nach der Zeichnung die drei Gleichungen r=x+h,
r=2y und (x+y)²=h²+y².
Daraus ergeben sich nach Umformungen x=(1/3)r, y=(1/2)r
und h=(2/3)r.
Daraus folgt für das Seitenverhältnis: (x+y):h:y=(5/6)r:(2/3)r:(1/2)r
= 5:4:3, w.z.b.w.. |
Satz von Haga top
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Faltet man quadratisches Blatt Papier an der geraden
PQ so, dass die untere Ecke durch Falten oben in den Mittelpunkt einer
Seite gelangt, so entstehen drei rechtwinklige Dreiecke.
Die Dreiecke sind ähnlich und ihre Seiten stehen
im Verhältnis 3:4:5. |
Beweis:
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Wegen des Faltvorgangs sind die roten Strecken gleich.
Es gilt x+y=a und nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+x²=y².
Daraus folgt x=(3/8)a und y=(5/8)a.
Somit ist x:(a/2):y=(3/8)a:(a/2):(5/8)a=3:4:5.
Eine Winkelbetrachtung führt zur Ähnlichkeit
der drei Dreiecke. |
Knotenschnur
top
Das 3-4-5-Dreieck hat eine gewisse Berühmtheit erlangt,
da man auch in Schulbüchern immer lesen kann, dass schon die alten
Ägypter das Dreieck kannten. Sie fertigten eine Knotenschnur mit Knoten
in gleichen Entfernungen an. Wenn nach den Überschwemmungen des Nils
der Fluss wieder zurückgewichen war und die verwüsteten, aber
fruchtbar gewordenen Felder wieder freigab, legten die Bauern die Knotenschnur
in Form von rechtwinkligen Dreiecken aus und konnten so in jedem
Jahr gleich große, rechteckige Felder reproduzieren.
Martin Gardner ist in seinem Buch (2) der Frage nachgegangen,
was da dran ist. Er berichtet, dass nur sicher ist, dass die ägyptischen
Tempelbauer bei der Fundamentlegung Seile verwendeten [Abb. in Buch (3)].
Aber kein einziges Schriftstück unterstützt die Vermutung, dass
dabei 3-4-5-Dreiecke eine Rolle spielten.
Er bemerkt, dass die Geschichte erst um 1900 aufkam und
wohl auf den deutschen Forscher der Geschichte der Mathematik, Moritz Cantor,
zurückgeht. Dieser wies darauf hin, dass den alten Ägyptern möglicherweise
eine Schnur mit Knoten bekannt war.
Nach Buch (4) geht die Legende schon auf den griechischen
Gelehrten Herodot (484 v.Chr. - 430 v.Chr.) zurück.
Darstellung
Pythagoräischer Zahlen top
Das Besondere am 3-4-5-Dreick ist, dass die Seitenlängen
ganzzahlig sind (und dass es rechtwinklig ist). Dreiecke mit diesen Eigenschaften
heißen Pythagoräische Dreiecke und die drei Maßzahlen
der Seiten heißen Pythagoräische Zahlen.
Weitere Pythagoräische Tripel sind 5-12-13, 8-15-17
oder auch 15-112-113.
Über diese Zahlen ist schon viel geschrieben worden,
gehen sie doch auf Euklid (um 300 AC) zurück, der sie in seinen "Elementen"
beschrieb.
Bei der Definition des 3-4-5-Dreiecks wurde schon angemerkt,
dass auch Dreiecke dazugehören, deren Seiten Vielfache von 3-4-5 wie
zum Beispiel 6-8-10 oder 9-12-15 sind. Man kann die Pythagoräischen
Zahlen in Klassen einteilen mit je einem Repräsentanten, der keine
gemeinsamen Teiler mehr hat. Diese Repräsentanten heißen primitive
Tripel.
Will man alle Zahlen a-b-c erfassen,
so gibt man üblicherweise zwei Parameter m und n mit m>n>0 vor und
setzt a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n². Für die ersten
Zahlen m=2 bis m=6 und n<m erhält man die folgenden Ergebnisse.
Man erhält neben den primitiven Tripeln (rot) auch Zahlen,
die gemeinsame Faktoren haben, also eigentlich unerwünscht sind.
Wie kommt man zu der Parameterdarstellung oben und zu
einer Darstellung nur der primitiven Tripel?
Das Tripel a-b-c sei Pythagoräisch und primitiv.
>a, b und c haben keinen gemeinsamen Faktor. Es genügt,
dass z.B. a und b keinen gemeinsamen Faktor haben, denn wegen c²=a²+b²
hat c dann auch diesen Faktor.
>a und b sind nicht beide gerade.
Denn wegen c²=a²+b² ist dann auch c gerade.
Das ist ein Widerspruch zur Aussage, dass das Tripel a-b-c primitiv ist.
>a und b dürfen nicht beide ungerade sein.
Angenommen, sie sind beide ungerade, es gelte also a=2x+1
und b=2y+1.
Dann ist c²=a²+b²=(2x+1)²+(2y+1)²=4(x²+x+y²+y)+2.
Dividiert man c² durch 4, so erhält man den Rest 2.
Andererseits ist c² danach gerade, c²=2z. Dann
muss aber z und damit c gerade sein, das heißt, dass sich der
Rest 0 ergibt, wenn man c² durch 4 dividiert.
Das ist ein Widerspruch.
Angenommen, b sei ungerade (b=2y+1). Dann ist a gerade
(a=2x) und wegen c²=a²+b²=4y²+4x²+4x+1=4z+1 die
Zahl c ungerade.
Aus a²+b²=c² folgt a²=b²-c²=(b+c)(b-c).
Dann ist b+c =2y+4z+2=2(y+2z+1) und b-c = 2y-4z=2(y-2z).
Die Zahl 2 ist der einzige gemeinsame Faktor, sonst wären b und c
gerade.
Danach sind (b+c)/2 und (b-c)/2 ganze Zahlen und wegen
a²=(b+c)(b-c) sogar Quadratzahlen.
Also muss gelten c+b=2m² und c-b=2n².
>Daraus folgt b=m²-n² und c=m²+n²,
weiter a=2mn. Das ist die Darstellung oben.
Einschränkungen für m und n
>m und n sind nicht gleichzeitig gerade.
Angenommen, m=2x und n=2y. Dann sind auch a=2mn=8xy und
b=m²-n²=4(x²-y²) gerade. Das ist ein Widerspruch.
>m und n sind nicht gleichzeitig ungerade.
Angenommen, m=2x+1 und n=2y+1, Dann sind a=2mn und auch
b=m²-n²=4z gerade. Das ist ein Widerspruch.
>a und b dürfen keinen gemeinsamen Faktor haben.
Das gilt auch für m und n.
Ergebnis:
Fordert man also, dass m>n>0 ist und m und n nicht gleichzeitig
gerade oder ungerade sind und keinen gemeinsamen Faktor haben, so werden
durch die Darstellung a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n² alle
primitiven Pythagoräischen Zahlen erzeugt.
Zwei
Eigenschaften Pythagoräischer Zahlen top
Gerade Zahl erzeugt Pythagoräische
Tripel
Gibt man eine beliebige gerade Zahl vor, z.B. 8, so sind
a=2*8, b=8²-1 und c=8²+1 Pythagoräische Zahlen. Das ist
das Tripel 16-63-65. Diese Konstruktion gelingt bei jeder geraden Zahl.
In der Formelsprache heißen die Zahlen 2g, g²-1 und g²+1,
wenn g gegeben wird. Es gilt (2g)²+(g²-1)²=(g²+1)².
Auf diese Weise erhält man nur eine Auswahl Pythagoräischer
Zahlen.
Inkreisradius
ist ganzzahlig
Im 3-4-5-Dreieck ist der Radius des Inkreises gleich
1, also auch ganzzahlig. Das ist kein Zufall. Alle Radien in Pythagoräischen
Dreiecken sind nämlich ganzzahlig.
Beweis:
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Das nebenstehende Dreieck sei ein Pythagoräisches
Dreieck. Der Flächeninhalt ist gleich A=(1/2)ab. Man kann ihn auch
mit Hilfe der farbigen Dreiecke bestimmen: A=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr =(1/2)r(a+b+c).
Daraus folgt r=2A/(a+b+c)=ab/(a+b+c). Setzt man b=sqr(c²-a²)
ein, so ergibt sich nach längerer Umformung r= (1/2)(a+b-c).Im letzten
Kapitel wurde gezeigt, dass eine Kathete immer gerade, die andere ungerade
und die Hypotenuse ungerade ist. Dann ist der Term a+b-c gerade und somit
r ganzzahlig. |
Das 3-4-5-Dreieck
im Internet top
Deutsch
Faust-Gymnasium Staufen (H.B.Meyer )
Pythagoräische
Tripel
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1997, Seite 10
Das
Verfahren von Franz Gnädinger zur Berechung von PI
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Pythagoräische
Zahlentripel
Wikipedia
Pythagoreisches
Tripel
Englisch
Alexander Bogomolny (cut-the-knot)
Pythagorean
Triples, The
Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Pythagorean
Triple, Right
Triangle
Jim Loy
The 3-4-5
Right Triangle In Ancient Egypt
Kelley L. Ross, Ph.D.
Pythagorean
Triplets
L. N. Hammer
How
to Generate Pythagorean Triplets
mathpuzzle.com
The
Pythagoras Figure
Wkipedia
Pythagorean
triple
Referenzen
top
(1) Heinrich Behnke u.a. (Hrsg.): Mathematik 1 (Das Fischer
Lexikon 29/1), Frankfurt a.M. 1964 (Seite 90)
(2) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden,
1979 (ISBN 3-528-08402-2) (Seite 145f.)
(3) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986 (Abbildung
in Anhang, Seite 9)
(4) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig
1998 (Seite 40)
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2003 Jürgen Köller
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