3-4-5-Dreieck
Inhalt dieser Webseite
Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
Größen des Dreiecks
Vierecke und 3-4-5-Dreiecke
3-4-5-Dreiecke bei Sangaku 
Drei-Quadrate-Satz
Satz von Haga
3-4-5-Dreieck im Quadrat 
3-4-5-Dreieck und goldener Schnitt
Knotenschnur
Darstellung pythagoräischer Zahlen
Zwei Eigenschaften pythagoräischer Zahlen
Das 3-4-5-Dreieck im Internet
Lösung
Referenzen.
Zur Hauptseite              "Mathematische Basteleien"

Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
...... Das 3-4-5-Dreieck ist ein Dreieck mit den Seitenlängen 3cm, 4cm und 5cm.
Allgemeiner bezeichnet man jedes Dreieck mit den Seiten 3e, 4e und 5e als 3-4-5-Dreieck, wobei e eine beliebige Einheitsstrecke ist.  Man kann auch fordern: Es muss a:b:c = 3:4:5 gelten. 
Auf dieser Seite werden deshalb zweckmäßigerweise Maßeinheiten weggelassen.


Da der Satz des Pythagoras gilt (3²+4²=5²), ist das Dreieck rechtwinklig. 
Die folgende Zeichnung veranschaulicht diesen Sachverhalt.


Größen des Dreiecks top
Winkel
...... Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt für die spitzen Winkel: 
sin(alpha)=a/c=4/5 oder alpha=arc sin(4/5), sin(beta)=b/c=3/5 oder beta = arc sin(3/5).
Angenähert betragen alpha=53,1° und beta=36,9°.


Umkreis und Inkreis
.... Der Umkreis wird durch den Halbkreis des Thales gegeben. Der Radius ist R=c/2 oder R=2,5.

...... Der Inkreis hat den Radius r=1. 
Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt die Formel r=(ab)/(a+b+c), d.h. r=(3*4)/(3+4+5) oder r=1.

Hypotenusenabschnitte und Höhe
...... Nach dem Kathetensatz ist cp=a². Daraus folgt p=a²/c oder p=16/5.
Nach dem Kathetensatz ist cq=b². Daraus folgt q=b²/c oder q=9/5.
Nach dem Höhensatz ist h²=pq. Daraus folgt h=12/5

Fläche und Umfang
Der Flächeninhalt ist A=6, der Umfang U=12.

Vierecke und 3-4-5-Dreiecke top
Quadrat im Dreieck
...... In ein Dreieck passt ein Quadrat auf zwei verschiedene Arten. Im ersten Fall ist die Seitenlänge 12/7 (ungefähr 1,7), im zweiten Fall 60/37 (ungefähr 1,6).
Die Rechnungen erfolgen analog zum 30-60-90-Dreieck an anderer Stelle meiner Homepage..


Vierecke aus vier Dreiecken


Vier Kreise im Kreis
...... Zeichnet man in einen Kreis nebeneinander zwei halb so große Kreise ein und füllt die Lücken oben und unten mit zwei weiteren Kreisen aus, so bilden die vier Mittelpunkte der Kreise eine Raute. 
Diese Raute setzt sich aus vier 3-4-5-Dreiecken zusammen.
Lösung:
... Es gelten nach der Zeichnung die drei Gleichungen r=x+h, r=2y und (x+y)²=h²+y².

Daraus ergeben sich nach Umformungen x=(1/3)r, y=(1/2)r und h=(2/3)r.
Daraus folgt für das Seitenverhältnis: (x+y):h:y=(5/6)r:(2/3)r:(1/2)r = 5:4:3, w.z.b.w..


3-4-5-Dreiecke bei Sangaku 
Sechs Kreise im Dreieck
...... Gegeben ist ein 3-4-5-Dreieck. Man zeichnet in das Dreieck ein Quadrat und in ihm vier Kreise wie links. In die Dreiecke oben und unten setzt man noch zwei weitere Inkreise.

Es stellt sich die Frage, wie man aus dem Radius r eines gelben Kreises die Radien der übrigen Kreise berechnet.


...... Der Radius t des blauen Kreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras (r+t)²=r²+(2r-t)².
Nach einigen Rechenschritten erhält man t=(2/3)r.

Nach dem Ähnlichkeitssatz gilt y:(4r)=4:3 und x:(4r)=3:4.
Daraus ergibt sich x=3r und y=(16/3)r.
Für den Inkreis des oberen 3-4-5-Dreiecks gilt r'=(3r*4r)/(3r+4r+5r) oder r'=r.

Aus der Proportion (16/3r):R=(4r):r ergibt sich R=(4/3)r.


Ergebnis: Der Radius eines blauen Kreises ist t=(2/3)r, des hellgelben Kreises r'=r und des grünen Kreises R=(4/3)r.
Quelle: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/KidsSangaku.shtml

Kreise im Quadrat mit einem gotischen Bogen 
......
Auf meiner Webseite Sangaku werden die Radien der Kreise in nebenstehenden Figuren berechnet. 

Die Resultate stehen in den Kreisen bzw. Halbkreisen.


In zwei Figuren liegen 3-4-5-Dreiecke.
...... Es gilt 54:72:90 = 72:96:120 = 3:4:5.

Tangente an den Halbkreis im Quadrat
...... Zeichne in das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a den Halbkreis mit dem Mittelpunkt F und dem Radius (1/2)a.
Zeichne vom Eckpunkt C aus die Tangente an den Halbkreis. Der Berührpunkt sei H und der Schnittpunkt mit der Seite AD Punkt G.
Bei zahlenjagd.at  (Das aktuelle Rätsel) Mai 2013 heißt die Aufgabe: Berechne die Länge der Strecke CG.

Passend zu dieser Webseite soll die Aufgabe lauten: Zeige, dass das Dreieck CDG ein 3-4-5-Dreieck ist.
 


1.Beweis
...... Man zeichnet in die mittlere Figur oben die Tangente ein.
Das gelbe und das blaue Dreieck sind ähnlich, da Tangente und Sekante aufeinander senkrecht stehen.

Deshalb ist das blaue Dreieck ein 3-4-5-Dreieck.


2.Beweis
...... Ergänzt man die Zeichnung wie links, so erkennt man zwei Tangenten, die von Punkt C aus an den Halbkreis gelegt werden, ebenso von Punkt G aus. Es gilt AG=GH und CH=BC.
Die beiden Winkel mit dem Scheitelpunkt E werden durch die Strecken EG und CE halbiert. Da sie zusammen einen gestreckten Winkel bilden, stehen EG und CE aufeinander senkrecht. Das Dreieck CGE ist rechtwinklig. 
Nach dem Höhensatz ist EH²=GH*CH oder (a/2)²=GH*a. Dann ist GH=(1/4)a und weiter CG=(5/4)a.
Nach dem Satz des Pythagoras ist DG²=[(5/4)a]²-a² = (9/16)a². Dann ist DG=(3/4)a.

...... Das Dreieck CDG ist ein 3-4-5-Dreieck, denn es gilt:

DG=(3/4)a, , CD=a, CG=(5/4)a und DG:CD:CG = [(3/4)a]:a:[(5/4)a] = 3:4:5, wzbw.

Quelle: (5), Aufgabe 5.6, Seite 105

3.Beweis
...... Man geht vom 3-4-5-Dreick mit dem Inkreis aus.

Dann kann man in die Figur das Quadrat mit dem Inkreis einzeichnen.

Die Eigenschaft des Dreiecks OFN, ein 3-4-5-Dreieck zu sein, ergibt sich wie von selbst.

Hinweis von Torsten Sillke

Satz von Haga  top
...... Faltet man quadratisches Blatt Papier an der geraden PQ so, dass die untere Ecke durch Falten oben in den Mittelpunkt einer Seite gelangt, so entstehen drei rechtwinklige Dreiecke. 
Die Dreiecke sind ähnlich und ihre Seiten stehen im Verhältnis 3:4:5.


Beweis:
...... Wegen des Faltvorgangs sind die roten Strecken gleich.
Es gilt x+y=a und nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+x²=y². 
Daraus folgt x=(3/8)a und  y=(5/8)a.
Somit ist x:(a/2):y=(3/8)a:(a/2):(5/8)a=3:4:5.
Eine Winkelbetrachtung führt zur Ähnlichkeit der drei Dreiecke.

Drei-Quadrate-Satz top
...... Gegeben sind drei nebeneinander liegende Quadrate.
Verbindet man den Eckpunkt oben rechts mit den Eckpunkten der Quadrate unten links, so entstehen drei Winkel.
Es gilt der Satz: Die Summe der beiden linken Winkel ist genau so groß wie der Winkel rechts.


Beweis: 
Es muss gezeigt werden, dass arc tan(1) = arc tan(1/2)+arc tan(1/3) gilt.
Das gelingt mit Hilfe des Inkreises im 3-4-5-Dreieck.
...... In der Zeichnung kann man ablesen: tan(alpha/2)=1/3, tan(beta/2)=1/2. 
Dann ist alpha/2=arc tan(1/3) und beta/2=arc tan(1/2).
Es gilt weiter alpha+beta=2*45° oder 2*arc tan(1/3)+2*arc tan(1/2)=2*arc tan(1) oder 
arc tan(1/3)+arc tan(1/2)=arc tan(1), wzbw..

Quelle: (6), Seite 145
Bei Gardner kann man nachlesen, dass er nach Veröffentlichung dieses Problems in Scientific American ein Fülle von Zuschriften mit unterschiedlichen Beweisen erhielt. - Charles Trigg veröffentlichte 54 Beweise in Journal of Recreational Mathematics, Band 4, April 1971, Seite 90-99.

Hinweis von Torsten Sillke

3-4-5-Dreieck im Quadrat    top
...... In einem Quadrat entsteht ein 3-4-5-Dreieck, wenn man den Mittelpunkt einer Seite mit zwei gegenüber liegenden Eckpunkten verbindet und dann noch einen  Eckpunkt mit der freien Seitenmitte. 


Beweis
...... Die Eckpunkte des Quadrates sollen A,B,C, D, die Mittelpunkte der Seiten E, F und der Schnittpunkt im Inneren Punkt G heißen.
Der Einfachheit halber sei die Seitenlänge des Quadrates 1.
In einem Koordinatensystem mit dem Nullpunkt in A haben die Punkte die Darstellungen
A(0|0), B(1|0), C(1|1), D(0|1), E(1/2|0) und F(0|1/2).
Punkt G muss berechnet werden. Er ist der Schnittpunkt der Geraden BF und CE. 
Die Geradengleichnung von BF ist y=-(1/2)x+1/2. Die Geradengleichnung von CE ist y=2x-1.
Für den Schnittpunkt gilt -(1/2)x+1/2 = 2x-1 oder -x+1 = 4x-2 oder 5x=3. Dann ist x=3/5, y=1/5 und G(3/5|1/5).
Die Seitenlängen ergeben sich aus folgenden Rechnungen.
Aus CF²=(1-4/5)²+(1-1/5)²=5/4 folgt CF=(1/2)sqrt(5)=(5/10)sqrt(5).
Aus CG²=(1-3/5)²+(1-1/5)²=20/25 folgt CG=(2/5)sqrt(5)=(4/10)sqrt(5).
Aus FG²=(0-3/5)²+(1/2-1/5)²=45/100 folgt FG=(3/10)sqrt(5).
Damit gilt FG:CG:CF =[(3/10)sqrt(5)]:[(4/10)sqrt(5)]:[(5/10)sqrt(5)]=3:4:5, wzbw..

...... Verbindet man jeden Eckpunkt des Quadrates mit den beiden Seitenmitten, entsteht im Inneren ein gleichseitiges Achteck. 

Es wird auf der Webseite Regelmäßiges Achteck untersucht.


Hinweis von Torsten Sillke

3-4-5-Dreieck und goldener Schnitt    top
Man kommt über den Inkreis des 3-4-5-Dreiecks auf eine Strecke, die im Goldenen Schnitt geteilt wird. 
Man erhält den Inkreis, indem man die Winkelhalbierende eines Innenwinkels wie links einzeichnet und den Schnittpunkt mit der Seite zum Mittelpunkt des Kreises macht.

Es gilt dann PQ:BP = (1/2)[sqrt(5)+1] = Phi.
 


Beweis:
Es gilt in einem beliebigen Dreieck der Satz: "Jede Winkelhalbierende (eines Innenwinkels) im Dreieck teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten". Ein Beweis befindet sich auf meiner Webseite Allgemeines Dreieck.

Danach gilt AM:CM = 5:3 oder AM = (5/3)CM. 
Aus AM+CM = 4 folgt (5/3)CM+CM = 4 und CM = 4:(8/3) oder CM = 3/2 und PQ = 3. Weiter ist AM = 4-CM = 5/2.

Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz ist BP*BQ = BC².
Das heißt (BM-3/2)*(BM+3/2) = 3². Daraus folgt BM²-3/2 = 9 oder BM² = 45/4 oder BM = (3/2)sqrt(5). 
Dann ist PB = BM-3/2 = (3/2)sqrt(5)-3/2.  

Schließlich ist PQ:BP = 3:[(3/2)sqrt(5)-3/2] = (1/2)[sqrt(5)+1], wzbw.


Quelle: Alexander Bogomolny (cut-the-knot) (URL unten)

Knotenschnur  top

Das 3-4-5-Dreieck hat eine gewisse Berühmtheit erlangt, da man auch in Schulbüchern lesen kann, dass schon die alten Ägypter das Dreieck kannten. Sie fertigten eine geschlossene Knotenschnur mit 12 Knoten in gleichen Entfernungen an. Wenn nach den Überschwemmungen des Nils der Fluss wieder zurückgewichen war und die verwüsteten, aber fruchtbar gewordenen Felder wieder freigab, legten die Bauern die Knotenschnur in Form von rechtwinkligen Dreiecken aus und konnten so in jedem Jahr gleich große, rechteckige Felder reproduzieren. 

Martin Gardner ist in seinem Buch (2) der Frage nachgegangen, was da dran ist. Er berichtet, dass nur sicher ist, dass die ägyptischen Tempelbauer bei der Fundamentlegung Seile verwendeten [Abb. in Buch (3)]. Aber kein einziges Schriftstück unterstützt die Vermutung, dass dabei 3-4-5-Dreiecke eine Rolle spielten. 
Er bemerkt, dass die Geschichte erst um 1900 aufkam und wohl auf den deutschen Forscher der Geschichte der Mathematik, Moritz Cantor, zurückgeht. Dieser wies darauf hin, dass den alten Ägyptern möglicherweise eine Schnur mit Knoten bekannt war.

Nach Buch (4) geht die Legende schon auf den griechischen Gelehrten Herodot (484 v.Chr. - 430 v.Chr.) zurück.


Darstellung pythagoräischer Zahlen      top
Das Besondere am 3-4-5-Dreick ist, dass die Seitenlängen ganzzahlig sind (und dass es rechtwinklig ist). Dreiecke mit diesen Eigenschaften heißen pythagoräische Dreiecke und die drei Maßzahlen der Seiten heißen pythagoräische Zahlen. 
Weitere pythagoräische Tripel sind 5-12-13, 8-15-17 oder auch 15-112-113.
Über diese Zahlen ist schon viel geschrieben worden, gehen sie doch auf Euklid (um 300 AC) zurück, der sie in seinen "Elementen" beschrieb. 



Bei der Definition des 3-4-5-Dreiecks wurde schon angemerkt, dass auch Dreiecke dazugehören, deren Seiten Vielfache von 3-4-5 wie zum Beispiel 6-8-10 oder 9-12-15 sind. Man kann die pythagoräischen Zahlen in Klassen einteilen mit je einem Repräsentanten, der keine gemeinsamen Teiler mehr hat. Diese Repräsentanten heißen primitive Tripel.

Will man alle Zahlen a-b-c erfassen, so gibt man üblicherweise zwei Parameter m und n mit m>n>0 vor und setzt a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n². Für die ersten Zahlen m=2 bis m=6 und n<m erhält man die folgenden Ergebnisse.
Man erhält neben den primitiven Tripeln (rot) auch Zahlen, die gemeinsame Faktoren haben, also eigentlich unerwünscht sind. 

Wie kommt man zu der Parameterdarstellung oben und zu einer Darstellung nur der primitiven Tripel?

Das Tripel a-b-c sei pythagoräisch und primitiv.

>a, b und c haben keinen gemeinsamen Faktor. Es genügt, dass z.B. a und b keinen gemeinsamen Faktor haben, denn wegen c²=a²+b² hat c dann auch diesen Faktor.

>a und b sind nicht beide gerade. 
Denn wegen c²=a²+b² ist dann auch c gerade. Das ist ein Widerspruch zur Aussage, dass das Tripel a-b-c primitiv ist.

>a und b dürfen nicht beide ungerade sein. 
Angenommen, sie sind beide ungerade, es gelte also a=2x+1 und b=2y+1. 
Dann ist c²=a²+b²=(2x+1)²+(2y+1)²=4(x²+x+y²+y)+2. Dividiert man c² durch 4, so erhält man den Rest 2. 
Andererseits ist c² danach gerade, c²=2z. Dann muss aber z und damit c  gerade sein, das heißt, dass sich der Rest 0 ergibt, wenn man c² durch 4 dividiert. 
Das ist ein Widerspruch. 

Angenommen, b sei ungerade (b=2y+1). Dann ist a gerade (a=2x) und wegen c²=a²+b²=4y²+4x²+4x+1=4z+1 die Zahl c ungerade. 
Aus a²+b²=c² folgt a²=b²-c²=(b+c)(b-c).
Dann ist b+c =2y+4z+2=2(y+2z+1) und b-c = 2y-4z=2(y-2z). Die Zahl 2 ist der einzige gemeinsame Faktor, sonst wären b und c gerade. 
Danach sind (b+c)/2 und (b-c)/2 ganze Zahlen und wegen a²=(b+c)(b-c) sogar Quadratzahlen. 
Also muss gelten c+b=2m² und c-b=2n². 
>Daraus folgt b=m²-n² und c=m²+n², weiter a=2mn. Das ist die Darstellung oben. 

Einschränkungen für m und n

>m und n sind nicht gleichzeitig gerade.
Angenommen, m=2x und n=2y. Dann sind auch a=2mn=8xy und b=m²-n²=4(x²-y²) gerade. Das ist ein Widerspruch. 

>m und n sind nicht gleichzeitig ungerade.
Angenommen, m=2x+1 und n=2y+1, Dann sind a=2mn und auch b=m²-n²=4z gerade. Das ist ein Widerspruch.

>a und b dürfen keinen gemeinsamen Faktor haben. Das gilt auch für m und n. 

Ergebnis:
Fordert man also, dass m>n>0 ist und m und n nicht gleichzeitig gerade oder ungerade sind und keinen gemeinsamen Faktor haben, so werden durch die Darstellung a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n² alle primitiven pythagoräischen Zahlen erzeugt.


Zwei Eigenschaften pythagoräischer Zahlen   top
Gerade Zahl erzeugt pythagoräische Tripel
Gibt man eine beliebige gerade Zahl vor, z.B. 8, so sind a=2*8, b=8²-1 und c=8²+1 pythagoräische Zahlen. Das ist das Tripel 16-63-65. Diese Konstruktion gelingt bei jeder geraden Zahl. In der Formelsprache heißen die Zahlen 2g, g²-1 und g²+1, wenn g gegeben wird. Es gilt (2g)²+(g²-1)²=(g²+1)². 
Auf diese Weise erhält man nur eine Auswahl pythagoräischer Zahlen. 


Inkreisradius ist ganzzahlig
Im 3-4-5-Dreieck ist der Radius des Inkreises gleich 1, also auch ganzzahlig. Das ist kein Zufall. Die Radien in pythagoräischen Dreiecken sind nämlich ganzzahlig. 

Das 3-4-5-Dreieck im Internet    top

Deutsch

Faust-Gymnasium Staufen (H.B.Meyer )
Pythagoräische Tripel

Spektrum der Wissenschaft, Mai 1997, Seite 10
Das Verfahren von Franz Gnädinger zur Berechung von PI

Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Pythagoräische Zahlentripel

Wikipedia
Pythagoreisches Tripel



Englisch

Alexander Bogomolny (cut-the-knot)
Pythagorean TriplesThe Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean TriplesGolden Ratio and the Egyptian Triangle

Eric W. Weisstein  (World of Mathematics)
Pythagorean TripleRight Triangle

Jim Loy
The 3-4-5 Right Triangle In Ancient Egypt

Kelley L. Ross, Ph.D.
Pythagorean Triplets

L. N. Hammer
How to Generate Pythagorean Triplets

mathpuzzle.com
The Pythagoras Figure

Torsten Sillke
Halving the angles in the right 3-4-5 triangle

Wikipedia
Pythagorean triple


Referenzen   top
(1) Heinrich Behnke u.a. (Hrsg.): Mathematik 1 (Das Fischer Lexikon 29/1), Frankfurt a.M. 1964 (Seite 90)
(2) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden, 1979 [ISBN 3-528-08402-2] (Seite 145f.)
(3) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986 (Abbildung in Anhang, Seite 9)
(4) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig 1998 (Seite 40)
(5) Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise, Berlin Heidelberg 2013 [ISBN 978-3-642-34792-4]
(6) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Ullstein Berlin Frankfurt Wien 1988 [USBN 3 550 07692 4] 


Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2003, erweitert 2013, Jürgen Köller

top