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Was ist das allgemeine Dreieck?
... ... |
Das allgemeine Dreieck entsteht, wenn man drei beliebige, nicht auf
einer Geraden liegende Punkte A, B und C durch Strecken verbindet.
"Allgemein" soll heißen, dass das Dreieck keine besonderen Eigenschaften
hat und dass sich somit die Aussagen auf beliebige Dreiecke beziehen. |
Ich beschränke mich auf dieser Seite
auf spitzwinklige Dreiecke.
Die Aussagen lassen sich auch auf stumpfwinklige Dreiecke, also Dreiecke
mit einem stumpfen Innenwinkel, übertragen. Die Zeichnungen und Beweise
müssen dann angepasst werden. Das will ich mir ersparen.
Bezeichnungen top
Man bezeichnet üblicherweise aus praktischen Gründen die
Eckpunkte eines Dreiecks mit A, B und C, die Seiten mit a, b und c und
die Innenwinkel mit alpha, beta und gamma.
>Zu Punkt A gehört der Winkel alpha.
>Die Seite a liegt dem Punkt A gegenüber.
>Die Punkte A, B und C sind entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn angeordnet.
Wo z. B. der Punkt A liegt, hängt offenbar vom Kulturbereich ab,
wie aus den entsprechenden Wikipedia-Seiten hervorgeht.
deutsch
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französisch
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italienisch
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... ... |
Im englischsprachigen Bereich werden auch die Winkel manchmal mit A,
B und C bezeichnet (2). |
Besondere Dreiecke top
Die folgenden sechs Dreiecke haben besondere Eigenschaften, die in
den Namen zum Ausdruck kommen.
Übersicht
Formeln zum Dreieck top
Dreiecksungleichung
Für ein Dreieck gilt a+b>c, a+c>b und b+c>a.
...
 ...
a+b<c
|
Die Ungleichungen besagen, dass im Dreieck die Summe der Längen
zweier Seiten stets größer ist als die Länge der dritten
Seite.
Durch diese Bedingungen wird sichergestellt, dass ein Dreieck aus drei
Seiten überhaupt entstehen kann. |
Satz von der Winkelsumme
im Dreieck
Der Satz lautet alpha+beta+gamma=180°.
... ... |
Der Beweis geht aus der Skizze hervor.
Die Formel folgt aus den Aussagen
>Der gestreckte Winkel hat das Winkelmaß 180°.
>Wechselwinkel an Parallelen sind gleich.
>Stufenwinkel an Parallelen sind gleich. |
Sinussatz
Er lautet a:b=sin(alpha):sin(beta), a:c=sin(alpha):sin(gamma) und b:c=sin(beta):sin(gamma).
Herleitung
... ... |
Aus hc=a*sin(beta)und hc=b*sin(alpha) folgt a*sin(beta)=b*sin(alpha)
oder a:b=sin(alpha):sin(beta).
Zeichnet man hb ein, so gelangt man entsprechend zu a:c=sin(alpha):sin(gamma).
Die Höhe ha führt zu b:c=sin(beta):sin(gamma). |
Die drei Formeln fasst man zu a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma)
zusammen.
Kosinussatz
Er lautet a²=b²+c²-2bc*cos(alpha),
b²=a²+c²-2ac*cos(beta)
und c²=a²+b²-2ab*cos(gamma).
Herleitung
... ... |
Es gelten die Formeln a²=(c-q)²+hc²,
q=b*cos(alpha)
und
hc=b*sin(alpha)
und.
Das bedeutet
a²=(c-q)²+hc²=c²-2cq+q²+hc²=c²-2cb*cos(alpha)+b²*cos²(alpha)+b²*sin²(alpha)=b²+c²-2cb*cos(alpha). |
Die Formeln b²=a²+c²-2ac*cos(beta) und c²=a²+b²-2ab*cos(gamma)
erhält man, wenn man die anderen Höhen betrachtet.
Aus dem Sinus- und
dem Kosinussatz gehen drei weitere Formeln hervor.
Mollweidesche Formeln
...
Tangenssatz
...
Halbwinkelsatz
... |
mit 2s=a+b+c |
Da in den Formeln die halben Winkel auftauchen,
sind sie für praktische Dreiecksberechnungen von Dreiecken mit kleinen
Winkeln und Winkeln nahe an 90° geeignet (1).
Einen Beweis der drei Sätze findet man bei Thomas Steinfeld (Wurzelzieher
Mathepedia) (URL unten).
Grundaufgaben top
Übersicht
Will man ein Dreieck festlegen, genügt es, von den sechs Stücken
a, b, c, alpha, beta und gamma nur drei Stücke zu kennen.
Die übrigen findet man durch Rechnung (oder Zeichnung).
Es gibt 20 Möglichkeiten, drei von sechs Stücken herauszugreifen.
Diese Anzahl wird mit Hilfe des Binomialkoeffizienten
C(n,k) bestimmt. Es gilt C(n.k)=n!/[k!(n-k)!] und hier speziell C(6,3)=6!/[3!(6-3)!]=(4*5*6)/(2*3)=20.
Und das sind die 20 Möglichkeiten.
a-b-c,
a-b-alpha, a-b-beta, a-b-gamma,
a-c-alpha, a-c-beta, a-c-gamma,
a-alpha-beta, a-alpha-gamma,
a-beta-gamma |
b-c-alpha, b-c-beta, b-c-gamma,
b-c-beta, b-c-gamma
b-beta-gamma |
c-alpha,-beta, c-alpha-gamma,
c-beta-gamma |
alpha-beta-gamma |
Ordnet man die Tripel nach der Lage der Seiten und Winkel zueinander, so
gelangt man zwangsläufig zu den vier Grundaufgaben SSS, WSW, SWS und
SgSW. Bei ihnen werden durch drei gegebene Größen
die übrigen eindeutig bestimmt, wie die folgenden Überlegungen
zeigen.
1. Grundaufgabe SSS
Gegeben sind die drei Seiten.
... |
Ein Fall
a-b-c
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Zur Lösung
Gegeben sind a, b und c, gesucht sind alpha, beta und gamma.
| ... |
Es gelten die drei Formeln des Kosinussatzes.
a²=b²+c²-2bc*cos(alpha)
b²=a²+c²-2ac*cos(beta)
c²=a²+b²-2ab*cos(gamma)
Aus ihnen berechnet man die Winkel.
|
Es muss die Dreiecksungleichung erfüllt werden, damit es überhaupt
ein Dreieck gibt.
2. Grundaufgabe WSW
Gegeben sind eine Seite und zwei Winkel.
... |
9 Fälle
alpha-c-beta, beta-a-gamma, gamma-b-alpha,
c-beta-gamma, a-gamma-alpha, b-alpha-beta,
c-alpha-gamma, b-gamma-beta, a-beta-alpha
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Der Fall WWS muss nicht gesondert aufgeführt werden, weil man immer
den Winkel zwischen den Seiten aus den gegebenen nach der Winkelsumme im
Dreieck berechnen kann.
Zur Lösung der exemplarischen Aufgabe
Gegeben sind c, alpha und gamma, gesucht sind a,b und beta.
| ...... |
Den Winkel beta berechnet man aus der Formel alpha+beta+gamma=180°.
Die Seite a berechnet man nach dem Sinussatz a:sin(alpha)=c:sin(gamma).
Die Seite b berechnet man nach dem Sinussatz b:sin(beta)=c:sin(gamma). |
3. Grundaufgabe SWS
Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.
... |
3 Fälle
c-beta-a, a-gamma-b, b-alpha-c
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Zur Lösung der exemplarischen Aufgabe
Gegeben sind die Seiten a ,c und beta, gesucht sind b, alpha und gamma.
| ... |
Die Seite b berechnet man nach dem Kosinussatz b²=a²+c²-2ac*cos(beta).
Den Winkel gamma berechnet man nach dem Sinussatz sin(gamma):sin(beta)=c:b.
Den Winkel alpha berechnet man nach alpha+beta+gamma=180°.
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4. Grundaufgabe SgSW
Gegeben sind ein Winkel, eine anliegende und eine zu ihr größere,
dem Winkel gegenüberliegende Seite.
... |
6 Fälle
c-a-gamma, a-b-alpha, b-c-beta,
c-a-alpha, b-a-beta, c-b-gamma
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... ... |
Sind die Stücke a, c und alpha gegeben und gilt a<c, so gibt
es offenbar zwei Dreiecke mit diesen Stücken, nämlich die Dreiecke
ABC und ABC'.
Ein Kreis um Punkt B mit dem Radius a führt zu zwei Schnittpunkten
C und C'.
Deshalb ist die Zusatzbedingung a<c notwendig, um Eindeutigkeit
zu erreichen. |
Zur Lösung der exemplarischen Aufgabe
Gegeben sind a,c und gamma, gesucht sind b, alpha und beta.
| ... |
Den Winkel alpha berechnet man nach dem Sinussatz sin(alpha):sin(gamma)=a:c.
Den Winkel beta berechnet man nach alpha+beta+gamma=180°.
Die Seite b berechnet man nach dem Sinussatz b:c=sin(beta):sin(gamma).
|
| ...... |
Sind a, c und alpha gegeben, so gilt sin(gamma):sin(alpha)=a:c.
Dann ist sin(gamma)=(a:c):sin(alpha). Ist a<c, so
ist a:c>1 und auch (a:c):sin(alpha)<1
sin(gamma)<1 bedeutet, dass es zwei Winkel gamma gibt, eine spitzen
und einen stumpfen. Das zeigt auch die Zeichnung. |
Der Fall WWW
Der Fall, dass nur die drei Winkel gegeben sind, ist zu streichen.
Drei Winkel legen kein Dreieck eindeutig fest.
Dreiecke, die in entsprechenden Winkeln übereinstimmen, sind nur
ähnlich.
Kongruenz-
und Ähnlichkeitssätze top
... ... |
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe
übereinstimmen, also in allen sechs Stücken.
Nach den Überlegungen zu den Grundaufgaben kann man vier Kongruenzsätze
formulieren.
Zwei Dreiecke sind schon kongruent, wenn sie in drei Stücken übereinstimmen,
und zwar wie in den Grundaufgaben SSS, WSW, SWS, SgSW beschrieben. |
... ... |
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in der Form übereinstimmen.
Die Form aber stimmt überein, wenn entsprechende Winkel gleich
sind.
Es gibt drei weitere Ähnlichkeitssätze in Anlehnung an die
Grundaufgaben SSS, SWS, SgSW. |
Flächeninhalt eines
Dreiecks top
Grundformel
..... . |
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A=(1/2)chc=(1/2)ac*sin(beta). |
Beweis
Man zeichnet die Mittellinie MaMc ein, die halb
so groß wie die gegenüberliegende Seite c ist, und ein Rechteck
mit den Seiten c/2 und hc. Wegen der Kongruenz der farbigen
Paare von Dreiecken ist die Dreiecksfläche gleich der Rechteckfläche
(1/2)chc, wzbw.
In Analogie gilt A=(1/2)aha=(1/2)ab*sin(gamma)
und A=(1/2)bhb=(1/2)bc*sin(alpha).
Heronsche Formel
| ...... |
Sind die Seiten a,b und c des Dreiecks gegeben, so errechnet sich der
Flächeninhalt nach der heronschen Formel A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]
mit s=(1/2)(a+b+c).
Einen Beweis findet man bei Arndt Brünner (URL unten) |
Flächeninhalt
über Koordinaten
... ... |
Ist ein Dreieck ABC in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben,
so lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe der Koordinaten der
Punkte über drei Trapeze berechnen.
Es seien A(x1|y1), B(x2|y2)
und C(x3|y3) die Eckpunkte des Dreiecks.
Dann gilt nach der Zeichnung A=(1/2)(y1+y3)(x3-x1)+(1/2)(y2+y3)(x2-x3)-(1/2)(y1+y2)(x2-x1).
Man erhält A=(1/2)[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]. |
Auf der Webseite Area of a triangle
von Henry Bottomley findet man weitere Formeln mit Beweis.
Besondere Linien im Dreieck
top
Übersicht
... ... |
Traditionsgemäß gibt es vier besondere Linien im Dreieck.
>Die Höhe h geht durch einen Eckpunkt und steht senkrecht
auf der Gegenseite.
>Die Winkelhalbierende w halbiert einen Innenwinkel.
>Die Seitenhalbierende s geht durch einen Eckpunkt und halbiert
die Gegenseite.
>Die Mittelsenkrechte m geht durch die Mitte einer Seite und
steht senkrecht auf ihr. |
Jede Transversale einer Art kommt 3x vor.
Zeichnet man sie ein, so schneiden sie sich in einem Punkt.
Seitenhalbierenden
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Winkelhalbierenden
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Mittelsenkrechte
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Höhen
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Seitenhalbierende
im Dreieck
... ... |
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt
des Dreiecks.
Die Figur wird um eine Mittelparallele ergänzt. Man erhält
sie, indem man zwei Seitenmitten miteinander verbindet.
Die Mittelparallele MaMb ist halb so groß
wie die nicht anliegende Seite AB.
Es gilt nun: Die Seitenhalbierenden oder
Schwerlinien teilen sich im Verhältnis 2:1.
Beweis
Nach dem zweiten Strahlensatz ist SA:SMa=AB:MaMb=AB:(AB/2)=2:1,
wzbw.
Entsprechend verfährt man mit den beiden anderen Seitenhalbierenden. |
Die Längen der Seitenhalbierenden
errechnen sich nach den folgenden Formeln.
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sa²=b²/2+c²/2-a²/4
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sb²=a²/2+c²/2-b²/4
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sc²=a²/2+b²/2-c²/4
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Die Formeln sind eine Anwendung des Satzes von Stewart. Er wird auf der
Seite von Peter Andree (URL unten) bewiesen und zur Herleitung dieser
Formeln verwendet.
Winkelhalbierende
im Dreieck
... ... |
Es gilt: Die Winkelhalbierende schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.
Die Winkelhalbierende ist der geometrische Ort aller Punkte, die von
den Schenkeln eines Innenwinkels den gleichen Abstand haben.
Der Schnittpunkt O hat dann von allen Schenkeln den gleichen Abstand. |
Jede Winkelhalbierende (eines Innenwinkels) im Dreieck teilt die gegenüberliegende
Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Das heißt in der
Formelsprache a:b=c2:c1.
... ... |
Beweis
Nach dem Sinussatz ist sin(180°-delta):sin(gamma/2)=a:c2
und sin(delta):sin(gamma/2)=b:c1.
Wegen sin(180°-delta)=sin(delta) ist a:c2=b:c1
oder a:b=c:c1, wzbw. |
Entsprechende Formeln gelten für die beiden übrigen Winkelhalbierenden.
... ... |
Für den Radius des Inkreises gilt r=(2A)/(a+b+c) oder r=2*sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]/s.
Beweis
Man kann den Flächeninhalt eines Dreiecks auch mit Hilfe des Radius
bestimmen.
Es gilt A=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr. Daraus ergibt sich für den
Radius r=(2A)/(a+b+c).
Berücksichtigt man die heronsche Flächenformel A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]
mit s=(1/2)(a+b+c) von oben, so ist r=2*sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]/s, wzbw. |
Die Längen der Winkelhalbierenden
errechnen sich nach den folgenden Formeln.
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walpha=bc{[1-[a/(b+c)]²}
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wbeta=ac{[1-[a/(a+c)]²}
|
wgamma=ab{[1-[a/(a+b)]²}
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Die Formeln sind eine Anwendung des Satzes von Stewart. Er wird auf der
Seite von Peter Andree (URL unten) bewiesen und zur Herleitung dieser
Formeln verwendet.
Mittelsenkrechte
im Dreieck
... ... |
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt
des Umkreises.
Es gelten die Formeln R=(1/2)a/sin(alpha)=(1/2)b/sin(beta)=(1/2)c/sin(gamma). |
Beweis
... ... |
Man verlängert McM über M hinaus und erhält
Punkt C' und verbindet C' mit A und B.
Das gleichschenklige Dreieck ABC' ist entstanden.
Der Winkel an der Spitze ist gamma, da die Winkel ACB und AC'B über
der gleichen Sehne liegen und als Umfangswinkel gleich sind.
Man verbindet M mit A und B.
Das gleichschenklige Dreieck ABM mit den Schenkeln R ist entstanden.
Der Winkel an der Spitze ist als Mittelpunktwinkel über AB gleich
2*gamma.
Im gelben Dreieck kann man sin(gamma)=(c/2)/R ablesen.
Das führt zu R=(1/2)c/sin(gamma). |
Entsprechend beweist man R=(1/2)a/sin(alpha)=(1/2)b/sin(beta).
Höhen im Dreieck
... ...
Höhen im Dreieck
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Bei meinen Recherchen habe ich festgestellt, dass es zum Thema Höhen
im Dreieck viel Material gibt. Deshalb habe ich das Kapitel Höhen
im Dreieck ausgegliedert.
Da findet man auch die Aussage, dass der Höhenschnittpunkt H, der
Umkreismittelpunkt M und den Schwerpunkt S auf einer Geraden liegen. -
Es gilt HS=2*SM. |
Es gibt im Internet eine Online-Liste mit
mehr als 3500 (!) ausgezeichneten Dreieckspunkten. Das ist die Encyclopedia
of Triangle Centers (ETC), betreut von Clark Kimberling, Professor für
Mathematik an der University of Evansville (URL unten).
Die vier besprochenen Punkte bilden die ersten vier: O=X(1), S=X(2),
M=X(3) und H=X(4).
Mittendreieck
... ... |
Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten, so entsteht im Inneren ein
halb so großes, ähnliches Dreieck, das Mittendreieck.
Entsprechende Seiten liegen parallel.
Weiter entstehen drei zum Mittendreieck kongruente Dreiecke in den Ecken
des Ausgangsdreiecks. |
Konstruktion eines Dreiecks
top
Oben wird darauf eingegangen, wie man die Grundaufgaben rechnerisch
löst. Früher nahmen die zeichnerischen Lösungen im Anfangsunterricht
Geometrie viel Raum ein. Die Regel war, für Dreieckskonstruktionen
nur Zirkel und Lineal zu verwenden. Sind nur die Seiten oder Innenwinkel
gegeben, so sind die Konstruktionen einfach. Man geht von einer Seite aus
und findet den dritten Punkt über das Antragen von Winkeln und das
Zeichnen von Kreisen mit einer Seitenlänge als Radius. Anspruchsvoller
und oft nicht ohne Reiz sind Konstruktionen, wenn man weitere Größen
zulässt.
Das sind vier typische Aufgaben aus einem alten Lehrbuch von 1952.
| Gegeben: |
... ... |
Neben den Stücken sind hier auch der Radius des Umkreises, die
Höhe und die Seitenhalbierende gegeben. |
Beim Lösen dieser Aufgaben ist eine
Planfigur hilfreich. Das soll an der letzten Aufgabe gezeigt werden.
... ... |
Gegeben sind also die Seite c, die Höhe hb und die
Seitenhalbierende sc.
Das ist der Lösungsweg.
Man zeichnet zuerst das rechtwinklige Dreieck ABD, sucht den Mittelpunkt
Mc der Seite c und erhält den Punkt C über einen Kreis
mit dem Radius sc um Mc. |
Aufgaben dieser Art können sehr anspruchsvoll sein.
A. Bogomolny von Cut-The-Knot hat eine Sammlung von Dreieckskonstruktionen
angelegt. Den Link auf die Seite The many ways to construct a triangle
findet man unten.
Außerhalb des Dreiecks
top
Außenwinkel
... ... |
Verlängert man wie in der Zeichnung die Seiten, so entstehen als
Nebenwinkel der Innenwinkel drei neue Winkel, die sog. Außenwinkel.
Man kann leicht nachweisen:
>Jeder Außenwinkel ist die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel.
>Die Summe der Außenwinkel ist 360°. |
Es gibt sechs Außenwinkel, da zu jedem Innenwinkel zwei Außenwinkel
gehören.
Ankreise
... ... |
Halbiert man zwei an einer Seite anliegende Außenwinkel, so schneiden
sich die freien Schenkel in einem Punkt, der der Mittelpunkt eines "Ankreises"
ist.
Der Radius des Ankreises, der die Seite b berührt, ist rb=2A/(a+c-b).
Es gibt zwei weitere Ankreise mit den Radien ra=2A/(b+c-a)
und rc=2A/(a+b-c). |
Beweis
... |
Der Flächeninhalt A=A(ABC) des Dreiecks ABC ergibt sich als
A(ABC)=A(ZBMb)+A(MbBX)-A(MbYCX)-A(ZAYMb). |
... .. |
Da die Tangentenabschnitte ZA und AY bzw. YC und CX gleich sind, ist
A(MbYCX)-A(ZAYMb)=2*A(ACMb).
Dann ist A(ABC)=A(ZBMb)+A(MbBX)-2*A(ACMb)
=(1/2)rb(c+AY)+(1/2)rb(a+CY)-2*(1/2)brb
=(1/2)rbc+(1/2)rba+(1/2)rbc(AY+CY)-2brb=(1/2)rb[c+a+b-2b].
Aus A(ABC)=(1/2)rb[a+c-b] folgt rb=2A/(a+c-b),
wzbw. |
Beziehung zwischen
dem Radius des Inkreises und den Radien der Ankreise
Es gilt 1/r = 1/ra+1/rb+1/rc.
(Algebraischer) Beweis:
1/ra+1/rb+1/rc=(b+c-a)/2A+(a+c-b)/2A+(a+b-c)/2A=(a+b+c)/2A=1/r.
Vom Dreieck zum Viereck top
... ... |
Spiegelt man ein Dreieck an einem Mittelpunkt einer Seite, entsteht
ein Parallelogramm. |
... ... |
Spiegelt man ein Dreieck an einer Seite, entsteht ein Drachenviereck. |
Allgemeines Dreieck
im Internet top
Deutsch
Arndt Brünner
Berechnung
von Dreiecken, Herons
Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks
Eckard Specht
Klassische
Transversalen
Peter Andree
Die
Beziehung von Stewart und Anwendungen
Walter Fendt
Das Dreiecks-Labor
Wikipedia
Dreieck, Ausgezeichnete
Punkte im Dreieck, Feuerbachkreis,
Eulergerade,
Höhenfußpunktdreieck,
Kreise
am Dreieck,
Johnson-Kreis,
Dreiecksungleichung,
Satz
von Stewart, Kimberling-Nummer,
Ankreis,
Kongruenzsätze,
Ähnlichkeitssätze,
Mollweidesche
Formeln, Halbwinkelsatz
Thomas Steinfeld (Wurzelzieher Mathepedia)
Die
Mollweideschen Formeln, Halbwinkelsätze
Englisch
Clark Kimberling
Encyclopedia
of Triangle Centers (ETC)
Henry Bottomley
Area of
a triangle
A. Bogomolny (Cut-The-Knot)
The many ways to construct
a triangle, Metric
Relations in a Triangle, Triangle
Classification
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Triangle,
Medial
Triangle, Herons
Formula,
Triangle
Triangle Picking
Wikipedia
Triangle, Triangle
center, Nine-point
circle, Euler line,
Altitude
(triangle), Incircle
and excircles of a triangle,
Johnson
circles, Triangle
inequality, Stewart's
theorem, Encyclopedia
of Triangle Centers,
Incircle
and excircles of a triangle, Congruence
(geometry), Similarity
(geometry), Mollweide's
formula
Referenzen top
(1) Heinz Nickel (Hrsg.): Algebra und Geometrie für Ingenieur-
und Fachschulen, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/M und Zürich, 1966
(2) Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York,
London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
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2010 Jürgen Köller
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