Höhen im Dreieck
Inhalt dieser Webseite
Was sind Höhen im Dreieck?
Höhenschnittpunkt
Berechnung der Höhen
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Flächenformeln
Höhenabschnitte
Eulergerade
Feuerbachkreis
Höhenfußpunktdreieck
Doppeltes Höhenfußpunktdreieck
Eine zentrische Streckung
Höhen im Dreieck im Internet
Referenzen
.
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Was sind Höhen im Dreieck?
...... Fällt man von einem Eckpunkt eines beliebigen Dreiecks das Lot auf die gegenüberliegende Seite, so entsteht seine Höhe. 

Die Höhe beschreibt, wie hoch das Dreieck ist.

Da es drei Eckpunkte und drei Seiten gibt, gibt es auch drei Höhen.


Berechnung der Höhen top
Gegeben ist ein Winkel und eine passende Seite.
...... Eine Höhe, zum Beispiel die Höhe hc, teilt ein Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. 
Im rechten Dreieck gilt hc=a*sin(beta), im linken hc=b*sin(alpha).
Es gibt also zwei Möglichkeiten, die Höhe hc zu berechnen.
Entsprechend leitet man die beiden folgenden Formeln her,
ha=b*sin(gamma)=c*sin(beta) und hb=c*sin(alpha)=a*sin(gamma) 


Sinussatz
Aus hc=a*sin(beta)und hc=b*sin(alpha) folgt a*sin(beta)=b*sin(alpha) oder a:b=sin(alpha):sin(beta).
Die Formel erweitert man zu a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma).
Das ist der Sinussatz, der es gestattet, aus drei Stücken eines beliebigen Dreiecks das vierte zu berechnen. 
Die vier Stücke sind zwei Winkel und ihre Gegenseiten.

Gegeben sind die drei Seiten.
... Es gelten die Formeln 
ha=(2/a)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)], 
hb=(2/b)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)],
hc=(2/c)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)].
Darin ist s=(1/2)(a+b+c).
Zum Beweis
Es gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks die Formel von Heron A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)].
Darin ist s=(1/2)(a+b+c).
Einen Beweis findet man z.B. bei Arndt Brünner (URL unten).

Setzt man A=(1/2)chc und löst die Heron-Formel nach hc auf, so ergibt sich die dritte Formel. 
Entsprechend leitet man die beiden anderen Formeln her.

Höhenschnittpunkt  top
Existenz des Höhenschnittpunkts
...... Drei Höhen treffen sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. 
Es folgt der übliche Beweis aus den Lehrbüchern.


...... Man ergänzt das Dreieck, indem man durch die Eckpunkte Parallelen zu den Seiten zeichnet. 

Dann wird das gegebene Dreieck zum Mittendreieck eines größeren Dreiecks. 


...... Verlängert man die Höhen des gegebenen Dreiecks innerhalb des großen Dreiecks, so werden sie zu ihren Mittelsenkrechten. Der Höhenschnittpunkt wird zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. 
Die drei Mittelsenkrechten aber schneiden sich in einem Punkt, da für zwei Mittelsenkrechte  AM=BM und BM=CM gilt und damit für die dritte AM=CM.

Höhenschnittpunkt beim stumpfwinkligen Dreieck
...... ... Ist das Dreieck stumpfwinklig, so liegt der Schnittpunkt der Höhen außerhalb des Dreiecks.
Wegen dieser Besonderheit wird auf dieser Seite nur das spitzwinklige Dreieck betrachtet, obwohl Aussagen meist auch für das stumpfwinklige Dreieck gelten. 
Die Beweise erfordern eine neue Darstellung, die ich mir ersparen will.

Beim rechtwinkligen Dreieck fällt der Höhenschnittpunkt mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen. 

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck     top
Neben den Höhen schneiden sich auch andere Linien des Dreiecks in einem Punkt.
Höhen

Mittelsenkrechte

Seitenhalbierende

Winkelhalbierende
Es gibt zwischen ihnen Zusammenhänge. Einige werden auf dieser Webseite noch gezeigt werden.


Flächenformeln   top
...... Wie bereits erwähnt, lässt sich mit Hilfe einer Höhe der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks bestimmen. 

Es gilt A=(1/2)chc bzw. A=(1/2)aha und A=(1/2)bhb.
Zum Nachweis verwandelt man das Dreieck in ein flächengleiches Rechteck. 


Aus der Flächenformel ergibt sich eine neue Formel.
...... Es gilt die Beziehung  aha =  bhb = chc

Das Produkt aus einer Seite und seiner Höhe ist konstant.



Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich auch aus dem Radius des Inkreises berechnen. 
...... Es gilt A=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr.
Dann ist 2A=ar+br+cr oder 1/r=[1/(2A)](a+b+c) oder 1/r=a/(2A)+b/(2A)+c/(2A).
Wegen A=(1/2)aha, A=(1/2)bhb und A=(1/2)chc ist 1/r=1/ha +1/hb+1/hc.
Das ist eine weitere Formel.

Höhenabschnitte   top
Durch die Höhen wird das Dreieck in sechs Teildreiecke aufgeteilt, von denen je drei Paare ähnlich sind. 
Das gelbe Dreieck existiert sechsmal. Das bedeutet, dass es insgesamt 6*3=18 Paare ähnlicher Dreiecke gibt.
Damit gibt es auch zahlreiche Formeln zwischen den 6 Höhen- und 6 Seitenabschnitten, denn bei ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis.


Von Interesse ist der folgende Fall.
...... Ein Beispiel ähnlicher Dreiecke sind die Dreiecke AHHc und CHHa

Für die gekennzeichneten Seiten gilt die Proportion CH:HHa = AH:HHc.
Die zugehörige Produktgleichung ist CH*HHc = AH*HHa.

Bezieht man die dritte Höhe BHb mit ein, so ist  CH*HHc = AH*HHa = BH*HHb
Das Produkt aus den beiden Höhenabschnitten einer Höhe ist konstant.

Eulergerade    top
Satz
...... Die Eulergerade ist eine Gerade des Dreiecks, die durch den Umkreismittelpunkt M und den Schwerpunkt S verläuft. 
Es ist bemerkenswert, dass auch der Schnittpunkt der Höhen H auf dieser Geraden liegt.
Darüber hinaus gilt HS=2*SM.


Der Beweis erfolgt in sechs Schritten.
Vorbemerkung
...... Will man beweisen, dass die drei ausgezeichneten Punkte auf einer Geraden liegen, ist es aus rechentechnischen Gründen günstig, das Dreieck in einem kartesischen Koordinatensystem nicht durch die Seiten a, b und c, sondern durch die Höhe hc=r und die durch die Höhe hc erzeugten Streckenabschnitte p und q festzulegen. 
Es soll p>q gelten. 
So wird die Rechnungen relativ einfach. 

Höhenschnittpunkt H
...... Der Punkt H hat die x-Koordinate 0.
Die y-Koordinate h errechnet sich mit Hilfe der beiden farbigen, ähnlichen Dreiecke.
Es gilt h:q = p:r oder hr = pq oder h=(pq)/r.
Ergebnis: Der Punkt hat die Darstellung  H(0|(pq)/r) oder H(0|h).

Mittelpunkt des Umkreises M
Der Mittelpunkt des Umkreises wird durch die Mittelsenkrechten festgelegt. 
...... Die Seitenmitten haben die Darstellung Ma(p/2|r/2) und Mc[(p-q)/2|0].
Die x-Koordinate von Mc ergibt sich aus (p+q)/2-q=(p-q)/2.
Die Gerade MMa steht senkrecht auf der Seite a und hat deshalb die Steigung p/r. Sie geht durch Punkt Mc und hat deshalb mit dem Ansatz (y-y1)=m(x-x1) die Gleichung (y-r/2)=(p/r)(x-p/2) oder y=(p/r)x-p²/2r+r/2.
Setzt man für x=(p-q)/2, so ergibt sich für die y-Koordinate des Mittelpunktes M 
y=(p/r)(p-q)/2-p²/(2r)+r/2 = p²/(2r)-pq/(2r)-p²/(2r)+r/2 = r/2-(pq)/(2r) = r/2-h/2 =(r-h)/2

Ergebnis: Es gilt M[(p-q)/2|(r-h)/2].


Schwerpunkt S
Der Mittelpunkt des Schwerpunktes wird durch die Seitenhalbierenden festgelegt. 
Sie schneiden sich im Verhältnis 2:1. 
...... Dieses Teilverhältnis überträgt sich nach dem ersten Strahlensatz auf die Koordinaten des Schwerpunktes.
Der Schwerpunkt S hat die y-Koordinate r/3. 
Die horizontal liegende Seite des gelben Dreiecks hat in x-Richtung die Länge (p+q)/2-q=(p-q)/2 und Punkt S die x-Koordinate (2/3)(p-q)/2=(p-q)/3.
Ergebnis: Es gilt S[(p-q)/3|r/3].

Kollinearität
Es ist noch zu zeigen, dass die Punkte H, M und S auf einer Geraden liegen. 
Die Geradengleichung der Geraden durch H(0|h) und M[(p-q)/2|(r-h)/2] wird nach der Zwei-Punkte-Form bestimmt.
(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)
<=>  (y-h)/x = {[(r-h)/2]-h}/[(p-q)/2]
<=>  (y-h)/x = (r-h-2h)/(p-q)
<=>  y = [(r-3h)/(p-q)]x+h
Setzt man die x-Koordinate des Punktes S[(p-q)/3|r/3] ein, nämlich x=(p-q)/3, so ergibt sich y=r/3. 
Damit liegt auch S auf HM.

Eine Längenbeziehung
Bliebe noch HS=2*SM.
Die Länge der Strecken HM und SH werden mit Hilfe der Formel s=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²] berechnet.
...... HM = sqrt{[(p-q)/2]²+[((r-h)/2-h]²} = (1/2)sqrt[(p-q)²+(r-3h)²]

SH = sqrt{[(p-q)/3]²+(r/3-h)²}=(1/3)sqrt[(p-q)²+(r-3h)²]

Daraus folgt 2HM = 3SH oder 2*(SH+SM)=3*SH oder 2*SM=SH, wzbw.


Feuerbachkreis    top
Er heißt im englischsprachen Bereich Nine-point circle, also Neunpunktekreis.
...... Der Feuerbachkreis verläuft durch 9 Punkte, nämlich durch die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc, die Mittelpunkte der Seiten Ma, Mb, Mc und die Mittelpunkte der von den Eckpunkten ausgehenden Höhenabschnitte H1, H2 und H3
Der Mittelpunkt F des Feuerbachkreises ist der Halbierungspunkt von HM, wobei H und M die Schnittpunkte der Höhen und der Mittelsenkrechten sind. 


Der Beweis erfolgt in acht Schritten.
Vorbemerkung
...... Es genügt offenbar zu zeigen, dass der Kreis durch die auf die Seite c bezogenen Punkte verläuft.

Das sind die Punkte Mc , Hc, und H3.


Koordinaten des Mittelpunktes des Feuerbachkreises
Es geht zuerst um die Koordinaten des Mittelpunktes des Feuerbachkreises F.
Sie ergeben sich aus den Formeln x=x1+(1/2)(x2-x1) und y=y1+(1/2)(y2-y1), die für den Mittelpunkt einer Strecke P1P2 gelten.
Das führt mit H(0|h) und M[(p-q)/2|(r-h)/2] zu x=0+(1/2)(p-q)/2]=(1/4)(p-q) und y=h+(1/2)[(r-h)/2-h]=(1/4)(h+r).
Zwischenergebnis: Es gilt F[(1/4)(p-q) | (1/4)(h+r)]

Radius
Der Radius des Feuerbachkreises ist HCF und wird nach der Formel P1P2==sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²] berechnet.
Mit Hc(0|0) ist HcF² = [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]².

Kreisgleichung
Die Kreisgleichung errechnet sich nach der Formel (x-xm)²+(y-ym)²=r², wobei der Mittelpunkt M(xm|ym) und der Radius r sind.
Es ergibt sich [x-(1/4)(p-q)]²+[y-(1/4)(h+r)]² =  [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]².

Es ist durch Einsetzen zu zeigen, dass die Punkte Mc , Hc, und H3 auf dem Kreis liegen. 


Hc(0|0)
Setzt man x=y=0, so ergeben sich links und rechts gleiche Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.
[0-(1/4)(p-q)]²+[0-(1/4)(h+r)]² =  [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]²

Mc
Die y-Koordinate ist y=0
Die x-Koordinate ist x = p-(p+q)/2 = p/2-q/2=(p-q)/2.
Der Term [x-(1/4)(p-q)] in  der Kreisgleichung ist dann x-(1/4)(p-q)=(1/2)(p-q)-(1/4)(p-q)=(1/4)(p-q).
So ergeben sich in der Kreisgleichung wieder links und rechts gleiche Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.

H3
Die x-Koordinate ist x=0.
Die y-Koordinate ist y=h+(r-h)/2 = h/2+r/2 = (r+h)/2
Der Term [y-(1/4)(h+r)] in der Kreisgleichung ist dann (1/2)(h+r)-(1/4)(h+r) = (1/4)(r+h).
So ergeben sich in der Kreisgleichung wieder links und rechts gleiche Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.

Entsprechende Überlegungen
Für die auf die Seiten a und b bezogenen Punkte gelten entsprechende Überlegungen.
Damit ist der Beweis erbracht. 

Feuerbachkreis und Umkreis
Oben wird gezeigt, dass für den Radius des Feuerbachkreises HcF² = [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]² gilt.
Interessanter als dieser Term ist die Aussage, dass der Radius des Umkreises doppelt so groß ist.
Zum Beweis wird nach der Formel s²=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²] der Radius zum Quadrat des Umkreises bestimmt. 
Es gilt mit A(0|0) und M[(p-q)/2|(r-h)/2] die Gleichung AM²=[(1/2)(p-q) ]²+[(1/2)(h+r)]². 
Daraus folgt schon die Behauptung.

Höhenfußpunktdreieck top
Definition
...... Man nennt das Dreieck aus den Fußpunkten der Höhen Höhenfußpunktdreieck.

Es hat einige interessante Eigenschaften.


Inkreis des Höhenfußpunktdreiecks
...... Es gilt der Satz:
Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Inkreises seines Höhenfußpunktdreiecks.

Anders ausgedrückt: Die Höhen eines beliebigen Dreiecks fallen mit den Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktdreiecks zusammen.

Beweis:
...... Das gelbe Viereck AHcHHb ist ein Sehnenviereck, da die Innenwinkel an den  gegenüberliegenden Punkten Hb und Hc rechte Winkel sind und sich so zu 180°  ergänzen. Weiter sind die rot gekennzeichneten Winkel gleich, da es Winkel über der gleichen Sehne HHb sind. 
Bei gleicher Schlussweise sind die blauen Winkel über der Sehne HHa gleich.

...... Man betrachtet weiter die rechtwinkligen Dreiecke AHHb und HBHa
Wegen der gleich großen Scheitelwinkel sind sie ähnlich. 
Also sind die blauen und roten Winkel gleich groß.
Also wird der Winkel HbHcHa durch HHc halbiert.

In gleicher Weise zeigt man, dass die beiden anderen Innenwinkel bei Ha und Hb des Höhenfußpunktdreiecks durch die Höhen halbiert werden.

Damit ist der Beweis erbracht.
Innenwinkel

Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks sind 180°-2*alpha, 180°-2*beta, und 180°-2*gamma.
Beweis
...... Die Gerade AHa ist Höhe des Dreiecks und gleichzeitig Winkelhalbierende des Winkels HbHaHc
Spiegelt man an ihr, so sind die beiden Winkel, die mit alpha' bezeichnet sind, gleich. Das wird schon in der Zeichnung vorweggenommen.
Entsprechend sind die Winkel beta' und gamma' gleich.

...... Die Winkelsumme in den drei gelben Dreiecken ist 180°. Das heißt:
(I) alpha+beta'+gamma'=180°
(II) alpha'+beta+gamma'=180°
(III) alpha'+beta'+gamma=180°
(I)-(II) ergibt alpha+beta'-alpha'-beta=0 oder (IV) alpha'-beta'=alpha-beta.
Aus (III) folgt (V) alpha'+beta'=180°-gamma.
(IV)+(V) ergibt alpha'-beta'+alpha'+beta'=alpha-beta+180°-gamma oder alpha=alpha'.
Entsprechend zeigt man, dass beta=beta' und gamma=gamma' gilt. 

...... Damit sind die gelben Dreiecke und das Ausgangsdreieck ähnlich. 
Das ist ein Nebenergebnis.
Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks sind in der Zeichnung abzulesen:
180°-2*alpha, 180°-2*beta, und 180°-2*gamma.

Seiten
Für die Seiten gelten die Formeln HaHc=b*cos(beta), HaHb=c*cos(gamma) und HbHc=a*cos(alpha).
Beweis
Es soll die Seite x=HcHa nach der Formel s=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²] berechnet werden.
...... Dazu braucht man die Koordinaten von Hc und Ha. Es gilt Hc(0|0).
Zur Berechnung der Koordinaten von Ha bringt man die Geraden AHa und BC zum Schnitt.
BC:      y=-(r/p)x+r
AHa:      y=(p/r)x+h, wobei h=(pq)/r ist
Das führt zu -(r/p)x+r = (p/r)x+(pq)/r = ... =  x=(pr²-p²q)/(p²+r²).
Es gilt y=-(r/p)x+r = -(r/p)(pr²-p²q)/(p²+r²)+r = (pqr+p²r)/(p²+r²).
Dann ist s² = [(pr²-p²q)/(p²+r²)]²+[(pqr+p²r)/(p²+r²)]² = ...=[p²/(p²+r²)²]*[(q²+r²)(p²+r²)].
Mit a²=p²+r² und b²q²+r² und p=a*cos(beta) ist s²=(p²/a4)(a²b²)=(p²/a²)b² oder s=(p/a)b.
Mit p=a*cos(beta) ist s=b*cos(beta)=HaHc.
Entsprechende Überlegungen führen zu den beiden anderen Formeln HaHb=c*cos(gamma) und HbHc=a*cos(alpha).

Fagnanos Problem
...... Von allen Dreiecken, die man in ein beliebiges Dreieck legen kann, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang. 


Mehr findet man bei Eric W. Weisstein (MathWorld) unter dem Stichwort Fagnanos Problem (URL unten)

Doppeltes Höhenfußpunktdreieck top
...... Verlängert man die Höhen so, dass sie den Umkreis des Ausgangsdreiecks in den Punkten Ha', Hb' und Hc' schneiden und verbindet die Schnittpunkte, so entsteht das "doppelte Höhenfußpunktdreieck". 

Es heißt so, weil seine Seiten doppelt so lang wie die des Höhenfußpunktdreiecks sind. Außerdem sind entsprechende Seiten parallel. 
 

Beweis
Die Punkte AHc'BC bilden ein Sehnenviereck, für das der Sehnensatz gilt:
AHc*HcB=CHc*HcHc' oder mit den Bezeichnungen von oben pq=rHcHc'. 
Daraus folgt HcHc'=(pq)/r=h. Also gilt HHc=HcHc'.
Entsprechend gilt HHb=HbHb' und HHa=HaHa'.


Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes sind die Seiten parallel.
Nach dem zweiten Strahlensatz sind die Seiten des doppelten Höhenfußpunktdreiecks doppelt so lang wie die Seiten des Höhenfußpunktdreiecks.

Eine zentrische Streckung   top
...... Einen tieferen Einblick in die Zusammenhänge erhält man, wenn man die zentrische Streckung des Mittendreiecks auf das gegebene Dreieck betrachtet.
Dabei ist der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden oder Schwerlinien das Zentrum.
Der Streckfaktor ist k=-2.


...... Bei dieser Abbildung geht auch das Dreieck SMcM in das Dreieck CHS über.
Daraus folgt die bereits oben bewiesene Gleichung HS=2*SM.
Es gilt weiter die Aussage: In einem Dreieck hat der Höhenschnittpunkt von einem Eckpunkt den doppelten  Abstand wie der Mittelpunkt von dem dem Eckpunkt gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.

Kommentar
Der Einsatz der zentrischen Streckung ist die übliche und auch die elegante Methode, die Eulergerade, den Feuerbachkreis und das Höhenfußpunktdreieck zu untersuchen. Ich hatte den Ehrgeiz, auch die etwas kniffligeren Sätze möglichst mit den einfachen Methoden der Koordinatengeometrie herzuleiten, sozusagen den mühsamen "Eselsweg" zu beschreiten. 
Zitat: "Der Beweis kann unterschiedlich elegant geführt werden, notfalls auch durch Ausrechnen mit Koordinaten." (http://eddy.uni-duisburg.de/treitz/denkmnu/routh/cev71.htm)


Höhen im Dreieck im Internet    top

Deutsch

Arndt Brünner 
Formel von Heron

Darij Grinberg
Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie (.pdf Datei)

Eckart Specht 
Math4you

Cyril Hertz
Beweis Eulersche Gerade (.pdf Datei)

Hans-Gert Gräbe
Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis (.pdf Datei)

Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen
Das Höhenfußpunkt Dreieck  (Applet)

Veritas
Taylorkreis (Applet)

Wikipedia 
Höhe (Geometrie)Höhenschnittpunkt, Höhenfußpunktdreieck, Taylor-Kreis, Feuerbachkreis, Eulergerade, Satz von Euler (Geometrie)

English

Aarnout Brombacher
An exploration of triangles and points of concurrency

Antonio Gutierrez (Go Geometry)
Example: Problem 136. Orthic Triangle, Altitudes, Orthocenter, Incenter, Perpendicular, Concyclic Points   ...

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Altitude, Orthocenter, Orthic Triangle, Euler Line, Nine-Point CircleTaylor Circle, Fagnanos Problem
Pedal Triangle, Euler Triangle, Euler Points, Feuerbach's Theorem, Circum-Orthic TriangleOrthocentric System

John Page
Orthocenter of a TriangleGeometry construction

Pat Ballew
Orthocenter of a Triangle

The Wolfram Demonstrations Project
Example: Bisectors of the Angles of the Orthic Triangle   ...

Tom Davis
Four Points on a Circle  (.pdf file)

Wikipedia
Orthocenter, Altitude (triangle), Nine-point circle, Euler line


Referenzen    top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York, London 1997 (ISBN0-393-04002-X)


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2010 Jürgen Köller

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