Regelmäßiges Achteck

Inhalt dieser Seite

Was ist ein regelmäßiges Achteck?
Eine Formel zum Achteck
Größen des Achtecks
Vom Vieleck zum Achteck
Zeichnen eines Achtecks
Diagonalen im Achteck
Achtecke im Achteck
Muster im Achteck
Annäherung an Pi

Gleichseitiges Achteck im Quadrat
Achteckzahlen
Achtecke aller Art
Parkettierung
Achtecke in meiner Homepage
Oktogon
Achteck im Internet
Referenzen
.

Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist ein regelmäßiges Achteck?

Das regelmäßige Achteck ist ein Vieleck mit
    acht Ecken
    acht gleich langen Seiten und
    acht gleich großen Innenwinkeln.

Das regelmäßige Achteck heißt nach dem Duden auch Oktogon oder Oktagon.

Auf dieser Seite heißt es der Einfachheit halber meist nur Achteck.

Eine Formel zum Achteck top

...... Es ist möglich, ein Achteck in einem Koordinatensystem durch nur eine Gleichung zu beschreiben.
2(|x|+|y|)+sqrt(2)(|x-y|+|x+y|)=8

Größen des Achtecks top
Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Flächeninhalt A, der Umfang U, der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises und die Längen der Diagonalen d, eund f berechnen.
Es gelten die Formeln:

Herleitung der Formeln
Radius des Umkreises

...

Das Dreieck ABC ist nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete AB=a, der Hypotenuse AC=2R und dem Hypotenusenabschnitt AD=R-s. Es gilt der Kathetensatz a²=2R(R-s).

Daraus folgt mit s=sqrt(2)/2*R die Formel R=sqrt[4+2sqrt(2)]/2*a.

Radius des Inkreises

Nach dem Satz des Pythagoras gilt r²=R²-(a/2)².

Daraus folgt r=sqrt[3+2sqrt(2)]/2*a=sqrt[(1+sqrt(2))²]/2*a=(1/2)[sqrt(2)+1]a.

Flächeninhalt und Umfang

...	A=8[(ar)/2]=2[1+sqrt(2)]a² U=8a

Sind die Radien R und r gegeben, so heißen die Flächenformeln A=2sqrt(2)R² und A=8[sqrt(2)-1]r².
Quelle: (1), Seite 384

Diagonalen

...	d²=(a+b)²+b². Daraus folgt d=sqrt[2+sqrt(2)]a. e=a+2b=[1+sqrt(2)]a f=2R=sqrt[4+2sqrt(2)]a.

Winkel

Mittelpunktswinkel: 360°/8=45°

Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Achtecks: (180°-45°)/2=67,5°

Innenwinkel: 2*67.5°=135°

Vom Vieleck zum Achteck top
Das Achteck ist der Sonderfall n=8 des Vielecks.
Kennt man die Formeln des allgemeinen Vielecks, so kann man die des Achtecks berechnen.

Ist für ein Vieleck die Seite a gegeben, so gilt

i=1,2,...n-1.

In der Rechnung treten für n=8 drei Werte trigonometrischer Funktionen auf, nämlich tan(22,5°), sin(22,5°) und sin(45°).
Es gilt tan(22,5°)=sqrt(2)-1, sin(22,5°)=(1/2)sqrt[2-sqrt(2)] und sin(45°)=(1/2)sqrt(2).

Damit ergibt sich
r = a/[2tan(22,5°)] = a/[2(sqrt(2)-1)] = (1/2)[sqrt(2)+1]a
R = a/[2sin(22,5°)] =a/sqrt[2-sqrt(2)] =sqrt[2-sqrt(2)]/[2-sqrt(2)]a = (1/2)sqrt{[2-sqrt(2)][6+4sqrt(2)]}a
= (1/2)sqrt[4+2sqrt(2)]a
A = 8a²/[4tan(22,5°)] = 8a²/[4(sqrt(2)-1)] = 2[sqrt(2)+1] a²
d₂ = d = a sin(45°)/[sin(22,5°)] = [a(1/2)sqrt(2)]/[(1/2)sqrt[2-sqrt(2)] = ... = [sqrt(2)+1]a
d₃ = e = a sin(67,5°)/[sin(22,5°)] = a sin(3*22,5°)/[sin(22,5°)]={3sin(22,5°)-4sin³(22,5°]/[sin(22,5°)]}a
= [3-4sin²(22,5°)]a = {3-4(1/4)[2-sqrt(2)]}a = [sqrt(2)+1]a
d₄ = f = a sin(90°)/[sin(22,5°)] = a/{(1/2)sqrt[2-sqrt(2)]} = ... = sqrt[4+2sqrt(2)]a

Zeichnen eines Achtecks top
Erste Zeichnung

...... (1) Zeichne eine vertikale und horizontale Gerade und halbiere die rechten Winkel.
(2) Zeichne einen Kreis um den Schnittpunkt der Geradenkreuzung mit einem beliebigen Radius.
(3) Verbinde die Schnittpunkte "Kreis/Gerade".
Die Verbindungslinien sind die Seiten eines Achtecks.

Zweite Zeichnung

...

...

(1) Zeichne ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.
(2) Zeichne einen Kreis um einen Endpunkt der Hypotenuse.
(3) Ergänze die Figur zu einem Quadrat mit der Seitenlänge b+a+b und zeichne Dreiecke in die drei übrigen Ecken.

Es entsteht ein Achteck.

Dritte Zeichnung

...

...

(1) Zeichne ein Quadrat und die beiden Diagonalen.
(2) Zeichne einen Kreis um einen Eckpunkt des Quadrates mit dem Radius "halbe Diagonale".
(3) Zeichne den gleichen Kreis um die übrigen Eckpunkte und verbinde entsprechende Schnittpunkte.
Es entsteht ein Achteck.

Die drei roten Achtecke können mit Zirkel und Lineal gezeichnet, also konstruiert werden.

Diagonalen im Achteck top
Das Achteck hat 20 Diagonalen.

...... Vier Diagonalen verbinden gegenüberliegende Eckpunkte, acht jeden zweiten und acht jeden dritten Eckpunkt.

Achtecke im Achteck top

...... Die kurze und die lange Diagonale erzeugen zwei regelmäßige Achtecke im Achteck, das große und das kleine Achteck.

Seitenlänge des großen Achtecks

...

Das obere Dreieck, das durch die kurze Diagonale d vom Ausgangs-Achteck abgetrennt wird, kann in ein gleichschenklig-rechtwinkliges und zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden.

...	Dann gilt d = sqrt(2)x+x+x+sqrt(2)x. Daraus ergibt sich x=d/[2sqrt(2)+2] = ... = (1/2)sqrt[2-sqrt(2)]a.

Ergebnis: Die Seitenlänge des großen Achtecks ist dann 2x = sqrt[2-sqrt(2)]a.

Seitenlänge des kleines Achtecks

...	Die drei grauen Dreiecke sind kongruent. Ihre Hypotenuse ist a. Dann gilt x=(a+2b)-2a = 2b-a = sqrt(2)a-a = [sqrt(2)-1]a, wzbw.

Ergebnis: Das innere Achteck hat die Seitenlänge x=[sqrt(2)-1]a.

Muster im Achteck top

Acht Achtecke im Achteck

Mit Hilfe der 45°-Raute baut man Achtecke.

Eine Spielerei
Die folgende Figur habe ich mehrfach im Internet gefunden.

Das Farbenspiel hat keinen tieferen Sinn, aber System.

Annäherung an Pi top
Erste Näherung: Der Kreis liegt zwischen zwei Achtecken.

Umfang des äußeren Achtecks: U=8a
Umfang des inneren Achtecks: u=8s=4sqrt[2+sqrt(2)]a oder etwa 7,39a
Mittelwert: 7,70a
Umfang des Kreises:2kr=k[1+sqrt(2)]a oder etwa 2,41ka
Das führt angenähert zu Pi: k=3,20. Abweichung von Pi: (k-Pi)/Pi=1,9%

Zweite Näherung: Das lateinisches Kreuz hat einen "Inkreis".

...	Umfang des Kreises: U=2k(1.5a)=3ka Umfang des Achtecks: u=4a+4sqrt(2)a=4[1+sqrt(2)]a=9,66*a Das führt angenähert zu Pi: k=3,22. Abweichung von Pi: (k-Pi)/Pi=2,5%

Gleichseitiges Achteck im Quadrat top

...... Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrats mit den gegenüberliegenden Eckpunkten, so entstehen ein konvexes Achteck und zwei vierzackige Sterne, deren Innenfigur Quadrate sind.

Gleichseitigkeit

...

Da die Diagonalen und die Verbindungslinien der Seitenmitten des Quadrates Symmetrieachsen sind, hat das Achteck gleich lange Seiten.

Länge der Seiten

...

Zur Bestimmung der Seitenlänge AB des Achtecks bestimmt man die Koordinaten der Punkte A und B.
Punkt A ist der Schnittpunkt der Geraden g und h, Punkt B der von g und k.
g: y=2x und h: y=(1/2)x+a führt zu 2x = (1/2)x+a oder (3/2)x=a oder x_A=(2/3)a. Dann ist y_A=(4/3)a.
g: y=2x und k: y=a führt zu x_B=(1/2)a und y_B=a.
AB=sqrt[(x_A-x_B)²+(y_A-y_B)²] = sqrt[(a/6)²+(a/3)²] = sqrt[6a/36)²+(4a/36)²] = sqrt[(5/36)a²]
Dann ist AB=(1/6)sqrt(5)a oder gerundet AB=0,37a.

Innenwinkel

...

Offenbar ist der Innenwinkel des Achtecks mit dem Scheitelpunkt A größer als der Innenwinkel mit B.

Das zeigt auch die folgende Rechnung.
Der gekennzeichnete rote Winkel ist arc tan(1/2)=26,6°. Der Innenwinkel ist dann 2*26,6°+90°=143,1°.
Der gekennzeichnete blaue Winkel ist arc tan (2)=63,4°. Der Innenwinkel bei B ist dann 126,9°.

Kleiner Stern

...

Zur Bestimmung der Seitenlänge AB der Sternfigur bestimmt man die Koordinaten der Punkte A und B.
Punkt A ist der Schnittpunkt der Geraden g und h, Punkt B hat die Darstellung B(0|a).
g: y=(1/2)x+a und h: y=2x führt zu x_A=(2/3)a und y_A=(4/3)a.
AB=sqrt[(x_A-x_B)²+(y_A-y_B)²] = sqrt[(4a/9)²+(3a/9)²] = sqrt[(5/9)a²].
Dann ist AB=(1/3)sqrt(5)a oder gerundet AB=0,75a.

Großer Stern

...

Die Seitenlänge der Sternfigur ist OB.
Der Punkt B die Darstellung B[(1/2)a|a].

Dann ist OB=sqrt[x_B²+y_B²] = sqrt[(a/4)²+(a)²] =sqrt[(5a/4)²]=(1/2)sqrt(5) oder gerundet 1,12a.

Achteckzahlen top

Zentrierte Achteckzahlen
"Achteckrand-Zahlen"
"Achtzackzahlen"

Achtecke aller Art top
Die folgenden Figuren aus Quadraten und gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken sind Achtecke. Sie heißen Polyominos und Polyabolos.

Ein räumliches "Achteck" mit gleich langen Seiten

Ein "Achteck" aus acht Halbkreisen

...

Eigentlich kann auch der Würfel als Achteck bezeichnet werden, wenn man nur auf die Anzahl der Ecken achtet.
Ein ähnliches Beispiel ist das Oktaeder mit acht Flächen.

Parkettierung top
Legt man Achtecke aneinander, so entstehen quadratische Lücken.

Bei Fußböden sind die Quadrate oft kleiner.

Venedig, Canale Grande 6/2004

Aus der Werkstatt von Willi Jeschke

Weitere Parkettierungen findet man auf seiner Seite http://www.primini.de

Achtecke in meiner Homepage top
Hyperwürfel
Achtecke mit Innenlinien können Bilder des vierdimensionalen Würfels, des Hyperwürfels, sein.

Näheres findet man auf meiner Seite über den Hyperwürfel.

Zwei archimedische Körper

Abgestumpfter Würfel
mit sechs regelmäßigen Achtecken

Großes Rhombenkuboktaeder
mit sechs regelmäßigen Achtecken

Oktogon top
Ein Oktogon im engeren Sinne ist ein achteckiges Bauwerk.

Meine Auswahl mit Links auf Wikipedia-Seiten

Baujahr
669 bis 692
798 bis 804
um 1180
1240 bis um 1250
1338-1359
1700 bis 1717
1878
1937
1958-1963
1959-1962
1960-1969
Bauwerk
Felsendom
Mittelraum der Pfalzkapelle Karls des Großen
Turm der Gaukirche
Castel del Monte
Baptisterium am Dom
Oktogon des Herkulesbauwerks
Café Achteck ;-)
Kirche auf dem Berg der Seligpreisungen
PanAm Building, jetzt MetLife Building
Hauptbau der Kaiser-Wilhelm-Gedächtniskirche
Zentralbau der Verkündigungsbasilika
Ort
Jerusalem, Israel
Aachen, Deutschland
Paderborn, Deutschland
Apulien, Italien
Florenz, Italien
Kassel, Deutschland
Berlin, Deutschland
bei Kapernaum, Israel
New York City, USA
Berlin, Deutschland
Nazareth, Israel