|
Was sind Polyabolos?
Man kann gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke so aneinander legen,
dass sich mindestens zwei Seiten berühren. Entweder berühren
sie sich zwei Hypotenusen oder zwei Katheten.
Figuren dieser Art heißen Polyabolos, Polytans oder Supertangrams.
Der Name Polyabolo stammt vom Diabolo her, das im Schnitt aus zwei Dreiecken
besteht. Nach (1) geht dieser Name auf S.J.Collins aus Bristol zurück
und wird von H.O.O'Beirne (New Scientist, 1961) verwendet.
Die Polyabolos unterscheidet man nach der Anzahl der Dreiecke. Es gibt
Diabolos, Triabolos, Tetrabolos, Pentabolos,...
Diabolos und Triabolos
top
... ...
|
Es gibt drei Diabolos.
Das sind ein Quadrat, ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und
ein Parallelogramm. |
... ...
|
Eigentlich paradox: Das Bild des Spielgerätes Diabolo, des Namensgebers,
gehört nicht zu diesen Diabolos. |
|
Es gibt vier nur Triabolos. |
Trotzdem kann man aus ihnen ansehnliche Figuren bilden.
|
1, 2 Vergößerte Triabolos
|
3, 4, 5 Konvexe Figuren
|
6 Wegweiser
|
7 Krone
|
8 Liegende Katze
|
Bau der Tetrabolos top
Es gibt 14 Tetrabolos. Die Anzahl 14 ist eine gute Zahl, nicht zu groß
und nicht zu klein.
... ... |
Will man die Figuren finden, sollte man systematisch vorgehen. Eine
Möglichkeit ist, zuerst ein Quadrat aus zwei Dreiecken vorzugeben
und dann in allen Variationen zwei Dreiecke anzulegen. Weiter gibt man
ein Doppeldreieck vor und addiert zwei Dreiecke. Ein Außenseiter
(unten rechts) kommt noch dazu. |
Will man die Tetrabolos als Puzzle-Steine benutzen, sollte man sie selbst
herstellen.
... ... |
Man drucke dazu ein Muster aus Quadraten aus, markiere die 14 Figuren
in gewünschter Größe, klebe sie auf Pappe und schneide
sie aus. |
Eigenschaften der Tetrabolos
top
... ... |
Bei den Tetrabolos sind die Ränder interessant. Sie werden entweder
von einer Quadratseite (Kathete) oder von der Diagonalen eines Quadrats
(Hypotenuse) gebildet.
Zählt man sie aus, unterscheidet man die Klassen 60,
04, 42 und 24.
Die erste Ziffer ist die Anzahl der Katheten, die zweite die Anzahl der
Hypotenusen. |
 |
9 der Tetrabolos sind symmetrisch. |
Rechtecke mit allen
Tetrabolos? top
Man kann in Analogie zu den Pentominos
oder den
Polyiamonds viele Lege-Probleme mit Tetrabolos
untersuchen.
Das Grundproblem besteht wieder darin, Rechtecke aus allen Tetrabolos
zu legen. Es gibt 14 Tetrabolos mit 4*14=56 Halbquadraten oder 28 Quadraten.
... ... |
Das sind zwei mögliche Rechtecke.
Das ist erstaunlich: Sie können nicht mit allen Tetrabolos gelegt
werden. |
Ein Möglichkeit, um das nachzuweisen, besteht darin, die Steine und
auch die Figur nach Schachbrettart zu färben und dann zu vergleichen.
Das hilft z.B. bei Hexominos weiter, hier aber nicht. Es gibt keine Auffälligkeiten.
Alle Steine haben zwei dunkle und zwei weiße Dreiecke.
Man kommt zum Ziel, wenn man nur die schräg
liegenden Hypotenusen, die zum Rand beitragen, auszählt, und zwar
getrennt nach der Richtung.
Die erste Zahl bezieht sich auf die Hauptdiagonalenrichtung (/), die zweite
auf die Richtung der Nebendiagonalen (\). Dreht man die Steine um, so vertauscht
sich nur die Reihenfolge der beiden Ziffern der "Kennzahl". Es bleibt bei
der Einteilung der Tetrabolos in Steine mit gerader und ungerader Anzahl
der Hypotenusen einer Richtung. Von der letzten Sorte gibt es fünf
(!) Steine. Damit haben alle Steine zusammen eine ungerade Anzahl von Hypotenusen
einer Richtung außen.
Zurück zu den Rechtecken!
Das 7x4-Rechteck hat alle Hypotenusen innen. Sie bilden Paare und die
Anzahl ist gerade. Andererseits ist für die Steine die Anzahl der
Hypotenusen einer Richtung ungerade. Das ist ein Widerspruch.
Das schräg liegende Rechteck hat außen 16 Hypotenusen einer
Richtung. Das ist eine gerade Zahl. Dieses Rechteck ist deshalb ebenfalls
nicht möglich.
Diese Überlegungen stammen aus Buch (1) und wurde von O'Beirne
entwickelt und 1962 in "New Scientist" veröffentlicht.
Figuren mit allen Tetrabolos
top
... ... |
Will man Figuren aus allen 14 Tetrabolos entwerfen,
muss man also darauf achten, dass die Anzahl der Hypotenusen einer richtung,
die zum Rand beitragen, ungerade ist. Damit fallen viele symmetrische Figuren
weg, da dann Hypotenusen im allgemeinen paarweise auftreten.
Das symmetrische, rot umrandete Achteck hat die
Kennzahl 44, ist also nicht lösbar. Die abgeänderte Figur
hat die Kennzahl 35. |
Andererseits sind natürlich nicht alle Figuren
mit ungerader Hypotenusenzahl lösbar.
... ...
|
Mit etwas Fantasie erkennt man links einen Tigerkopf.
Die Figur hat die Kennzahl 53. |
Ringe aus Tetrabolos top
... ... |
Man kann mit den 14 Tetrabolos einen Ring bauen. Ziel soll es sein,
möglichst viele Dreiecke zu umschließen.
Sind 74 umschlossene gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke zu überbieten? |
Es gibt eine Vielzahl von Problemen mit einer
Teilmenge der Tetrabolos.
Vergrößerungsproblem
top
... ... |
Man kann mit 4 der 14 Tetrabolos die meisten Steine in doppelter Größe
bauen. |
... ... |
Man kann mit 9 der 14 Tetrabolos einen Stein in dreifacher Größe
bauen. |
Rechtecke top
Oben wurde gezeigt, dass man keine Rechtecke
mit allen Steinen bauen kann. Aber es ist möglich mit weniger als
14 Steinen Rechtecke zu finden. Lösungen werden in Buch (1) dargestellt.
Ergebnisse:
Lösbare Rechtecke mit Katheten als Einheiten:
2x2, 2x3, 2x4, 2x5, 2x6, 3x3, 3x4
Unlösbar: 2x7, 2x8,2x9, 2x10, 2x11, 2x12,
2x13, 2x14, 4x7
Lösbare Rechtecke mit Hypotenusen als Einheiten:
2x3, 2x4, 2x5, 3x4, 3x6, 3x8, 4x5, 4x6
Unlösbar: 2x7
Weitere Polyabolos top
Es gibt 30 Pentabolos, also Polyabolos aus fünf
Steinen. Sie sind hier in vier Klassen eingeteilt.
Wie oben gibt die erste Ziffer die Anzahl
der Katheten im Rand an, die zweite die Anzahl der Hypotenusen.
Weiter existieren107 Hexabolos, 318 Septabolos, 1106 Oktobolos, ....
Polyabolos im Internet
top
Englisch
Andrew Clarke
Polyaboloes
Erich Friedman
Polyabolo
Jigsaws
Eric W. Weisstein
Polyabolo,
Tetrabolo,
Henri Picciotto
Geometric Puzzles
in the Classroom (Tetrabolos=SuperTangrams, got names)
Michael Keller
Counting
Polyforms
Peter Esser
Similar
Hole Constructions with Onesided Pentaboloes
Wen-Shan Kao (from TAIWAN)
Polytans (Polyaboloes)
and more
Wikipedia
Polyabolo
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Ullstein, Berlin/Frankfurt/Wien,
1988 (ISBN 3 550065787)
(2) bild der wissenschaft 8/1979, (Halbquadrat-Mehrlinge), Seite 102ff.
(3) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, DuMont, Köln 1987 (ISBN 3-7701-2097-3)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
top |