Klassische Mittelwerte

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Was ist ein Mittelwert?
Ungleichungskette
Veranschaulichung der Mittelwerte
Zahlenbeispiele
Konstruktionen
Zusammenhänge
Mehr zum arithmetischen Mittel

Mehr zum geometrischen Mittel
Mehr zum harmonischen Mittel
Zum halben harmonischen Mittel
Zur Definition des Mittelwerts
Erweiterungen
Mittelwerte im Internet
Referenzen.

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Was ist ein Mittelwert?

...... Gegeben seien zwei positive reelle Zahlen a und b mit a>b.
Im einfachsten Fall ist der Mittelwert m die Zahl, die in der Mitte der beiden Zahlen a und b liegt.
Er heißt genauer arithmetischer Mittelwert oder arithmetisches Mittel, in Umgangsdeutsch und früher auch Durchschnitt.

Ich beschränke mich auf dieser Webseite auf die klassischen Mittelwerte.
Dazu gehören noch der geometrische Mittelwert g und der harmonische Mittelwert h.

Die Definitionsgleichungen sind

Arithmetisches Mittel
m=(a+b)/2.

Geometrisches Mittel
g²=ab oder g=sqrt(ab)

Harmonisches Mittel
h=(2ab)/(a+b)

Für das harmonische Mittel gibt es die äquivalenten Gleichungen 1/h=(1/2)(1/a+1/b) oder a:b=(a-h):(h-b).

Ungleichungskette top

Es gilt m>g. Es gilt m>h. Es gilt g>h.

Beweis

m>g
(a+b)/2>sqrt(ab) |²
(a+b)²/4>ab
a²+2ab+b²>4ab
a²+b²-2ab>0
(a-b)²>0
richtige Aussage m>h
(a+b)/2>(2ab)/(a+b)
(a+b)²>4ab
a²+2ab+b²>4ab
a²+b²-2ab>0
(a-b)²>0
richtige Aussage g>h
sqrt(ab)>(2ab)/(a+b) |²
ab>(4a²b²)/(a+b)²
(a+b)²>4ab
a²+b²-2ab>0
(a-b)²>0
richtige Aussage

Liest man die Zeilen von unten nach oben, so wird aus den Umformungen ein Beweis der Ungleichungen.
Zusammenfassung: h<g<m.

Man kann selbstverständlich die Ausgangsvariablen a und b einbeziehen.
Dann gilt b<h<g<m<a.
Beweis
b<h <=> b<(2ab)/(a+b) <=> a+b<2a <=> b<a.
m<a <=> (a+b)/2<a <=> a+b<2a <=> b<a.

Lässt man für die Variablen a und b auch gleiche Zahlen zu, so gilt h<=g<=m.
Das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn die Zahlen gleich sind.

Veranschaulichung der Mittelwerte top
Mittelwerte im Thaleskreis
Die drei Mittelwerte findet man im Halbkreis des Thales als Strecken.

...... ... Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser: 2m=a+b oder m=(a+b)/2.
Nach dem Höhensatz gilt g²=ab oder g=sqrt(ab).
Nach dem Kathetensatz gilt hm=g² oder h(a+b)/2=ab oder h=(2ab)/(a+b).

Mittelwerte im Trapez
Die drei Mittelwerte findet man auch im gleichschenkligen Trapez als Strecken.

...

Die Mittellinie m ist durch die Flächenformel A_Trapez=mh bekannt. Es gilt m=(a+b)/2.
Die Strecke zum geometrischen Mittel g teilt das gegebene Trapez in zwei ähnliche auf, so dass gilt
a:g=g:b oder g²=ab oder g=sqrt(ab).
Das harmonische Mittel findet man als Parallelenabschnitt durch den Schnittpunkt der Diagonalen.

Der Beweis zum harmonischen Mittel ist etwas aufwändiger.

...

Da die Dreiecke ABM und CDM ähnlich sind, gilt (#) h:k=AB:DC.

...

Da die Dreiecke ABD und EMD ähnlich sind, gilt AB:EM=(h+k):k.

Dann ist EM=(AB*k)/(h+k) oder (##) EM=AB/(h/k+1).

...

Aus den Gleichungen (#) und (##) folgt EM=AB/(AB/DC+1)=(AB*DC)/(DC+AB).

oder h/2=ab/(a+b) oder h=2ab/(a+b), wzbw..

Das gleichschenklige Trapez könnte man übrigens durch ein beliebiges Trapez ersetzen.

Die Zeichnungen bestätigen die Ungleichungskette b<h<g<m<a.

Zahlenbeispiele top
Mögliche Lesart der Definitionsgleichungen

Arithmetisches Mittel
a+b=m+m Geometrisches Mittel
ab=g*g Harmonisches Mittel
1/a+1/b=1/h+1/h

Danach lässt sich die Summe der gegebenen Zahlen mit Hilfe des arithmetische Mittels als Summe aus gleichen Zahlen schreiben.
Entsprechend wird beim geometrischen Mittel über das Produkt und beim harmonischen Mittel über die Summe der Kehrwerte gemittelt.
Diese Aussage sollen die folgenden Aufgaben illustrieren.

Aufgabe zum arithmetischen Mittel
Herr S. fährt eine Stunde lang mit der Geschwindigkeit 80 km/h und in der zweiten Stunde mit 120 km/h.
Mit welcher konstanten Geschwindigkeit müsste er fahren, um in den zwei Stunden die gleiche Strecke zurückzulegen?
Lösung
v_m=(80 km/h+120 km/h)/2=100 km/h

Aufgabe zum geometrischen Mittel
Ein Guthaben von 100€ wird im ersten Jahr mit zwei Prozent und im zweiten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die zwei Jahre konstante Zinssatz p hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?
Lösung
Der Betrag von 100€ wächst in den beiden Jahren auf K=1,02*1,05*100€.
Es soll K=(1+p)²100€ bei konstantem Zinssatz p sein.
Daraus folgt 1,02*1,05*100€=(1+p)²100€ oder 1,02*1,05=(1+p)² oder 1+p=sqrt(1,02*1,05)=1,0349.
Der mittlere Zinssatz beträgt 3,49%.

Aufgabe zum harmonischen Mittel
Herr S. fährt mit seinem Auto von Hannover nach Dortmund. Er fährt bis Bielefeld die ersten 100km mit der konstanten Geschwindigkeit 80 km/h. Für die nächsten 100 km von Bielefeld bis Dortmund hält er 120 km/h ein.
Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit?
Lösung
Bei den hier angenommenen idealisierten Angaben gilt das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung, nämlich s=vt.
Es werden die beiden Fahrzeiten nach t=s/v berechnet: t₁=100km/(80km/h)=(5/4)h und t₂=100km/(120km/h)=(5/6)h.
Die Fahrzeit beträgt insgesamt (5/4)h+(5/6)h=(15/12)h+(10/12)h=(25/12)h.
Die mittlere Geschwindigkeit ist dann v_m=200km/[(25/12)h]=96 km/h.

Anmerkungen
>Man könnte meinen, dass die mittlere Geschwindigkeit (1/2)(80km/h+120km/h)=100km/h betrage und damit die Fahrtzeit 2h. Das steht im Widerspruch zur Rechnung oben und zu unserer Vorstellung von einer mittleren Geschwindigkeit.

>Man kann die mittlere Geschwindigkeit auch durch den folgenden Term angeben.
v_m=(100km+100km)/[(5/4)h+(5/6)h]=(100km+100km)/[100km/(80km/h)+100km/(120km/h)]
=2/[1/(80km/h)+1/(120km/h)]=[2*(80km/h)(120km/h)]/(80km/h+120km/h)
Der letzte Term aber ist das harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.
Man kann also die obige Aufgabe lösen, indem man den harmonischen Mittelwert berechnet.

>Man kann v_m=(100km+100km)/[(5/4)h+(5/6)h] auch so umformen, dass man die Strecken 100 km durch s=vt ersetzt.
v_m=(100km+100km)/[(5/4)h+(5/6)h]=[(80km/h)(5/4)h+(120km/h)(5/6)h]/[(5/4)h+(5/6)h].
Dieser Term ist ein mit den Fahrtzeiten gewichtetes arithmetisches Mittel der Teilgeschwindigkeiten.
Man kann also die obige Aufgabe auch lösen, indem man den gewichteten arithmetischen Mittelwert berechnet.

Konstruktionen top
Arithmetisches Mittel

...... Zeichne eine Strecke AC der Länge a+b.
Halbiere die Strecke und ermittele so Punkt M.
Die Strecke AM=MC=m gibt den Mittelwert an.

Geometrisches Mittel
Für das geometrische Mittel gilt g²=ab. Damit bieten sich all die Konstruktionen an, bei denen ein Rechteck gegeben und ein flächengleiches Quadrat gesucht wird.

...

Bekannt sind vier Lösungen, die auf den Kathetensatz, den Höhensatz, den Sekanten-Tangenten-Satz und den Sehnensatz zurückgehen.

Ich stelle sie auf meiner Webseite Rechteck vor.

Harmonisches Mittel

> Zeichne AU=a und BU=b.
> Zeichne durch A die Senkrechte zu AU und lege auf ihr Punkt C beliebig fest.
> Verbinde C mit U.
> Zeichne durch B die Senkrechte zu AU und nenne den Schnittpunkt mit der Geraden CU Punkt D.
> Trage die Strecke BD nach unten ab und ermittele so den Punkt D'.
> Verbinde C mit D' und nenne den Schnittpunkt mit AU Punkt T.
Dann ist TU das harmonische Mittel von AU und BU.

Es handelt sich hier um die harmonische Teilung, die weiter unten erklärt wird, auch ihre Beziehung zum Mittelwert.

Zusammenhänge top
Mittelwert von Mittelwerten
Es gilt g=sqrt(mh)
In Worten: Das geometrische Mittel ist gleich dem geometrischen Mittel des arithmetischen und des harmonischen Mittels.
Beweis
mh=(1/2)(a+b)(2ab)/(a+b)=ab=g²

Deutung des harmonischen Mittels

...

In Worten: Das harmonische Mittel von a und b ist gleich dem Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte von a und b.

Mehr zum arithmetischen Mittel top
Arithmetische Folge
Die Folge a, a+d, a+2d, a+3d, ... a+(n-1)d ist eine arithmetische Folge.
Es gilt der Satz: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische Mittel der beiden Nachbarglieder.
Herleitung
a_i-1+ a_i+1 = [a+(n-2)d+a+nd) = a+nd-2d+a+nd =2[a+(n-1)d]=2a_i oder a_i =(1/2)(a_i-1+a_i+1), wzbw..
Zu ergänzen ist noch 1<i<=n.

Umfang des Sechsecks

...

Ein Kreis kann Umkreis und Inkreis zweier Sechsecke sein. Berechnet man den Umfang der Sechsecke und bildet den arithmetischen Mittelwert, so erhält man eine gute Näherung des Kreisumfangs.
Der Radius des Kreises sei r.
Umfang des inneren Sechsecks: 6r. Umfang des äußeren Sechsecks: 3*sqr(5)*r.
Mittelwert: [6+3*sqrt(5)]/2 ~ ~ 2*3,15*r (Zum Vergleich pi=3,14). Der Fehler liegt unter 1%.

Flächeninhalte des Sechsecks

...

Berechnet man den Flächeninhalt der Sechsecke und bildet den arithmetischen Mittelwert, so erhält man eine gute Näherung der Kreisfläche.
Das äußere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Höhe r und der Seite x mit r=sqrt(3)/2*x oder x=(2/3)sqrt(3)*r. Der Flächeninhalt ist A₁=xr/2=sqrt(3)/3*r².
Das innere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Seite r und der Höhe h=sqrt(3)/2*r. Der Flächeninhalt ist A₂=hr/2=sqrt(3)/4*r².

Das äußere Sechseck hat also einen Flächeninhalt von 6A₁=2sqrt(3)r², das innere 6A₂=(3/2)sqrt(3)r².
Der Flächeninhalt des Kreises liegt damit zwischen 2sqrt(3)r² und (3/2)sqrt(3)r² oder 3,46r² und 2,60r².
Der Mittelwert ist 3,03r². Das führt zu pi=3,03.

Magisches Sechseck und Mittelwert

...

Das nebenstehende Sechseck dritter Ordnung enthält wie das magische Sechseck die Zahlen 1 bis 19.

Jede der 15 Zeilen hat nicht dieselbe Summe, sondern denselben Mittelwert 10.

Hier wird vorweggenommen, dass der Mittelwert auch von mehr als zwei Zahlen gebildet werden kann.

Mehr zum geometrischen Mittel top
Geometrische Folge
Die Folge a, aq, aq², aq³, ... aq^n-1 ist eine geometrische Folge.
Es gilt der Satz: Jedes Glied einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel der beiden Nachbarglieder.
Herleitung
a_i-1*a_i+1=aq^i-2* aqⁱ =a²q^2i-2 =(aq^i-1)²=a_i² oder a_i=sqrt(a_i-1*a_i+1), wzbw..
Zu ergänzen ist noch 1<i<=n.

Normalparabel

...

Gibt man die Normalparabel mit f(x)=x² vor und zeichnet wie links die Strecken a und b ein und die Gerade AB, so gibt der y-Achsenabschnitt das geometrische Mittel an.
Zum Nachweis setzt man die durch gelbe Dreiecke gekennzeichneten Steigungen gleich. (a-g)/sqrt(a)=(g-b)/sqrt(b) Nach etlichen Rechenschritten ergibt sich g=sqrt(ab).

Mehr zum harmonischen Mittel top
Zwillinge des Archimedes
Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks zum Arbelos teilt diesen in zwei Teile. Beide Teilfiguren haben einen Inkreis. Sie heißen die Zwillingskreise des Archimedes.

...... Beide Kreise haben den gleichen Radius und zwar y=z=Rr/(R+r) oder 2y=2z=2Rr/(R+r)
Die Durchmesser 2y oder 2z sind also das harmonische Mittel der Radien R und r.

Eine Herleitung der Formel findet man auf meiner Webseite Arbelos.

Harmonische Teilung

...

Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke AB innen durch den Punkt T und außen durch den Punkt U im gleichen Verhältnis geteilt wird.

In der Formelsprache heißt das AT:TB=AU:BU.

Es gilt der Satz:
Die Strecke UT ist das harmonische Mittel der Strecken AU und BU
In der Formelsprache heißt das UT=(2AU*BU)/(AU+BU)

Beweis

...

Der Einfachheit halber werden Variable eingeführt, nämlich AT=p, TB=q und BU=r.
Dann wird aus AT:TB=AU:BU die Proportion (#) p:q=(p+q+r):r.
Aus UT=(2AU*BU)/(AU+BU) wird die Gleichung (##) q+r=[2(p+q+r)r]/[(p+q+r)+r]

Die Gleichung (#) wird umgeformt: p:q=(p+q+r):r oder pr=(p+q+r)q oder pr=pq+q²+qr.
Die Gleichung (##) wird umgeformt: q+r=[2(p+q+r)r]/[(p+q+r)+r] oder (q+r)(p+q+2r)=[2(p+q+r)r]
oder pq+q²+2qr+pr+qr+2r²=2pr+2qr+2r² oder pq+q²+qr=pr.
Die Umformungen führen zu identischen Gleichungen.
Der Beweis wird logisch richtig, wenn man hinter die Umformung (##) die Umformung (#) in umgekehrter Reihenfolge hängt. Dann wird q+r=[2(p+q+r)r]/[(p+q+r)+r]=...=p:q=(p+q+r):r gezeigt, was zu beweisen war.

Zum halben harmonischen Mittel top
Das ist die Zahl x=(1/2)h, für die 1/x=1/a+1/b gilt. Dieser Formel begegnet man auch in der Physik.
Sich kreuzende Strecken

...... Man gibt wie links einen rechteckigen Topf vor und trägt an den Wänden die Strecken a und b ab. Man verbindet die freien Endpunkte der Strecken mit den gegenüberliegenden Ecken des Topfes.
Die Höhe h des Schnittpunktes der beiden Verbindungslinien über dem Topfboden ist das halbe harmonische Mittel von a und b.

Beweis:
Es sei w₁+w₂=w.
Nach dem Strahlensatz gilt rechts w₂:w=h:b oder w₂=hw/b und links w₁:w=h:a oder w₁=hw/a.
Daraus folgt mit w₁+w₂=w die Gleichung w=hw/b+hw/a oder 1=h(1/b+1/a) oder h=ab(a+b), wzbw..

Zu der Figur gehört die bekannte Leiter-Aufgabe von den sich kreuzenden Leitern.

Siebeneck

...

Nach dem Satz des Ptolemäus gilt für die Seite a und die Diagonalen d₁ und d₂ des Vierecks die Formel d₁d₂=ad₁+ad₂ . Daraus folgt a=(d₁d₂)/(d₁+d₂).
Im Siebeneck ist die Seite das halbe harmonische Mittel der beiden Diagonalen.

Ersatzwiderstand parallel geschalteter Widerstände

...

Werden zwei Widerstände parallel geschaltet, so haben sie den gleichen Widerstand wie der "Ersatzwiderstand" R=R₁R₂/(R₁+R₂).

Ersatz-Kapazität hintereinander geschalteter Kondensatoren

...

Werden zwei Kondensatoren hintereinander geschaltet, so haben sie die gleiche Kapazität wie der "Ersatz-Kondensator": C=C₁C₂/(C₁+C₂).

Ersatz-Induktivität parallel geschalteter Spulen

...

Werden zwei Spulen parallel geschaltet, so haben sie die gleiche Induktivität wie die "Ersatz-Spule": L=L₁L₂/(L₁+L₂).

Linsenformel

...

Für dünne, konvexe Linsen gilt die Linsenformel 1/f=1/g+1/b.

Linsensystem

...

Zwei dünne Sammellinsen mit den Brennweiten f₁ und f₂ , die unmittelbar nebeneinander stehen, wirken wie eine Sammellinse mit der Brennweite f=f₁f₂/(f₁+f₂).

Zur Definition des Mittelwerts top
Einige Eigenschaften sind den drei, auf dieser Webseite vorgestellten Mittelwerten gemeinsam. Zum Beispiel liegen sie, das sagt schon der Name, zwischen den beiden Ausgangszahlen.

Es stellt sich die Frage, welche Eigenschaften kennzeichnend für einen Mittelwert M sind. D.h., welche Aussagen ausreichen, um weitere Aussagen zum Mittelwert daraus zu folgern.

Nach längerem Suchen fand ich ein "Axiomensystem" aus alten Zeiten im Internet auf einer Seite der University of St. Andrews (URL unten). Hier das Zitat:
"Definition (abstract mean). A mean M is a continuous function of two non-negative real variables such that
1. min(x,y) is less than or equal to M(x,y), which is less than or equal to max(x,y)
2. M(x,y) = M(y,x)
3. if x = M(x,y) then x=y. "

Beschreibung:
1. Das ist die Eigenschaft b<=M<=a.
2. Der Mittelwert ist symmetrisch in a und b.
3. Wenn b=M ist, dann ist auch a=b.

Das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel erfüllen die drei Aussagen. -
Auf der englischen Wikipedia-Seite Mean kann man sich davon überzeugen, dass es eine Fülle von Mittelwerten gibt.

Erweiterungen top
Mittel von n Zahlen
Bisher blieb es bei zwei Variablen, denen ein Mittelwert zugeordnet wird.
Man kann von n=2 auf n=3 übergehen. Die Definitionsgleichungen sind

Arithmetisches Mittel
m=(a+b+c)/2. Geometrisches Mittel
g³=abc oder g=(abc)^(1/3) Harmonisches Mittel
h=(3abc)/(ab+ac+bc)

Für das harmonische Mittel ist die Formel 1/h=(1/3)(1/a+1/b+1/c) übersichtlicher.

Von n=3 geht es zum allgemeinen Fall mit n Variablen.

Arithmetisches Mittel
m=(a₁+a₂+...+a_n)/n.

Geometrisches Mittel
gⁿ=a₁a₂...a_n oder g=(a₁a₂...a_n)^(1/n)

Harmonisches Mittel
1/h=(1/n)(1/a₁+1/a₂+...+1/a_n)

Mittel von Funktionswerten einer stetigen Funktion
Sind die Zahlen, über die gemittelt werden soll, Funktionswerte einer stetigen Funktion, so hilft ein Integral.

Beispiel

...

Welchen Wert nehmen die Funktionswerte f(x)=sin(x) im Mittel im Intervall [0,pi] an?

Dazu berechnet man den Flächeninhalt unter der Sinuskurve.

...

Dann sucht man das Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt hat wie die Fläche unter der Kurve.
Ansatz. M*pi=2. Dann ist M=2/pi der gesuchte Mittewert.

Allgemein gilt

Mittelwerte im Internet top

Deutsch

Jutta Gut
Mittelwerte, Mittelwerte (Juttas Mathe-Newsletter Nr. 14 / Mai 2006)

Wikipedia
Mittelwert, Arithmetisches Mittel, Geometrisches Mittel, Harmonisches Mittel, Median,
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Arithmetisch-geometrisches Mittel

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Arithmetic Mean, Geometric Mean, Harmonic Mean, Pythagorean Means, Chisini Mean

University of St. Andrews (School website)
Means [Definition (abstract mean)]

Wikipedia
Average, Mean, Arithmetic mean, Geometric mean, Harmonic mean

Referenzen top
(1) H.v.Mangoldt / K.Knopp: Einführung in die höhere Mathematik 1, Leipzig 1958
(2) W.Leupold...: Analysis für Ingenieur- und Fachschulen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/M. 1966
(3) Alfred Hoehn / Martin Huber: Pythagoras - Erinnern Sie sich?, Zürich 2005 [ISBN 3-280-04040-X]

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