|
Geometrische Folgen und Reihen
|
Was ist eine geometrische Folge?
Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander
folgender Glieder konstant ist.
Anders ausgedrückt:
Eine Folge heißt geometrisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden
durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.
Formelsprache
Ist a das Anfangsglied und q der konstante Quotient, so heißt
die Folge a, aq, aq², aq³, ... aqn-1 oder
ai=aqi-1, i = 1, 2, 3,
..., n.
Die Variablen a und q stehen für reelle Zahlen.
Damit man immer einen Quotienten bilden kann, dürfen a und q nicht
gleich Null sein.
Ist q=1, so sind alle Glieder gleich a. Dagegen ist nichts einzuwenden.
Es ist aber zweckmäßig, q=1 trotzdem nicht zuzulassen, da unten
in Formeln q-1 im Nenner steht.
Eine rekursive Darstellung der geometrischen Folge ist a1=a
und ai=qai-1 , i = 2, 3, ... n.
Name
Vielleicht ist der folgende Satz der Grund für den Namen geometrische
Folge.
Satz: Jedes Glied einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel
der beiden Nachbarglieder.
Herleitung
ai-1*ai+1=aqi-2 * aqi =a2q2i-2
=(aqi-1)2=ai2 oder ai=sqrt(ai-1*ai+1),
wzbw..
Zu ergänzen ist noch 1<i<n+1.
Zahlenbeispiele:
2
6
18
54
a=2, q=3
|
2
2/3
2/9
2/27
a=2, q=1/3
|
2
-6
18
-54
a=2, q=-3
|
2/3
-2/9
2/27
-2/81
a=2/3, q=-1/3
|
sqrt(2)
2
2sqrt(2)
4
a=sqrt(2),
q=sqrt(2)
|
sqrt(2)
sqrt(6)
3sqrt(2)
3sqrt(6)
a=sqrt(2), q=sqrt(3)
|
Ist q<1, so ist die Folge fallend. - Ist q>1, so ist die Folge steigend.
- Ist q<0, wechseln die Vorzeichen.
Graphische Darstellungen
top
Spiralen
... ... |
Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich als eine Spirale
aus Strecken graphisch darstellen.
In der Zeichnung ist q=(1/2)sqrt(2) |
Beweis
... ... |
Gegeben seien n Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Sie sollen
so liegen, dass die Zwischenwinkel gleich sind. - Man fällt von einem
auf einer Geraden liegenden Punkt P aus das Lot auf die darüber liegende
Gerade, von da aus auf die nächste usw. . Es entsteht die rote Spirale.
Das Augenmerk ist auf die beiden rechtwinkligen, gelben Dreiecke gerichtet
mit den gleichen Winkeln alpha=360°/n und der gemeinsamen Seite a.
Es gilt tan(alpha)=x/a und sin(alpha)=y/a. Daraus folgt y/x=sin(alpha)/tan(alpha)=cos(alpha).
Entsprechend gilt auch z/y=cos(alpha) usw. |
Ergebnis: Der Quotient der Längen aufeinanderfolgender Strecken x,
y, z, ... ist cos(alpha) und damit konstant. Sie bilden deshalb eine geometrische
Folge.
In der Zeichnung ist alpha gleich 45°.
Dann ist der konstante Quotient q=cos(45°)=(1/2)sqrt(2).
... ... |
Man kann die Spirale auch so anlegen, dass sie immer weiter wird.
Dann muss man q>1 wählen und auf den Geraden Senkrechte errichten
statt Lote fällen.
In der Zeichnung ist q=sqrt(2).
Wieder ist wie oben cos(alpha) der konstante
Quotient. |
Interessant ist der Grenzfall, dass die
Winkel zwischen den Geraden gegen Null gehen. Dann wird aus der Spirale
aus Geradenstücken eine logarithmische Spirale.
Zickzacklinie
| ...... |
 ... |
Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch als (blaue)
Zickzacklinie in einem Winkelraum grafisch darstellen.
Zur Erklärung betrachte man noch einmal die Figur ganz links. Fällt
man das Lot von Q aus zurück auf die Ausgangsgerade, auf der P liegt,
und fährt entsprechend fort, so entsteht die Zickzacklinie. |
Graph
Der Graph der Exponentialfunktion f(x)=0,7x-1
liefert an den Stellen x=1, 2, 3, 4, 5 die Glieder der Folge.
Baumdarstellung
|
Das ist die Baumdarstellung der geometrischen Folge 1, 2, 4, 8, ...
oder ai=1*2i-1, i=1, 2, 3, ...
, n.
Sie heißt auch binärer Baum. |
Geometrische Reihe top
Zu einer Folge gibt es als Erweiterung die Folge der Partialsummen.
D.h., zur Folge an gibt es die Reihe sn = a1
+a2 +a3 +...+an.
Für die geometrische Folge ist es
die Reihe sn = a + aq + aq² + aq³ + ...+ aqn-1.
Die Summe fasst man zusammen zu sn = a(1-qn)/(1-q).
Herleitung
sn = a +aq+ aq²+ aq³+ ...+aqn-1
qsn= aq+ aq²+ aq³+ ...+aqn-1+qn
Die linken und rechten Terme
subtrahiert man und erhält sn-qsn =a-qn
oder sn =a(1-qn)/(1-q), wzbw..
Ist q>1, schreibt man besser sn
= a(qn-1)/(q-1).
Unendliche
geometrische Folge und Reihe top
| ...... |
Links wird die geometrische Folge mit q=(1/2)sqrt(2) graphisch dargestellt.
Man erkennt, dass die Glieder der Folge immer kleiner werden und sich Null
immer mehr nähern.
Das bestätigt auch die Formel an=aqn-1.
Die Potenz qn-1 und damit an gehen gegen Null.
Interessant ist das Verhalten der zugehörigen geometrischen Reihe
sn.
Die Länge der Zickzacklinie ist eine endliche Zahl. Ist a1=1,
so ist sn geschätzt gleich 2. |
Nach der Formel sn = a(1-qn)/(1-q) geht qn
gegen Null und damit sn nach Grenzwertsätzen gegen s=a/(1-q)
für n gegen Unendlich und q<1.
Zahlenbeispiele
>Ist q=(1/2)sqrt(2) wie in der Zeichnung, so ist s=1/(1-q)=1/(1-[1/2sqrt(2)]=2/[2-sqrt(2)]=2+sqrt(2).
Das ist rund 2,1.
>1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
>1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - ... = 2/3
Exponentialfunktion top
Eine Funktion mit f(x)=ax oder f(x)=ex*ln a heißt
Exponentialfunktion, wobei a>0 und a nicht gleich 1 ist.
Der größtmögliche Definitionsbereich ist die Menge
der reellen Zahlen, D=|R.
Ist die Menge der natürlichen Zahlen |N der Definitionsbereich,
so wird daraus die geometrische Folge an=qn
(n=1, 2, 3, ...).
Man kann also eine geometrische Folge auch als Funktion über der
Menge der natürlichen Zahlen auffassen.
Es folgen zwei Beispiele.
... ... |
Zu f(x)=2x gehört die Folge 2, 4, 8, 16, 32, ...
Zu g(x)=2-x gehört die Folge 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,
...
Man kann an der Zeichnung die Monotonie der Folgen erkennen. |
Arithmetische Folgen
und Reihen top
Die arithmetischen Folgen und Reihen können wie die geometrischen
beschrieben werden. Man muss jedoch nicht von konstanten Quotienten, sondern
von konstanten Differenzen ausgehen. Das macht den Sachverhalt einfacher.
Definition
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander
folgender Glieder konstant ist.
Anders ausgedrückt:
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden
durch Addition einer Konstanten, der Differenz, hervorgeht.
Formelsprache
Ist a das Anfangsglied und d die konstante Differenz, so ist die Folge
a, a+d, a+2d, a+3d, ... , a+(n-1)d oder
ai=a+(i-1)d, i = 1, 2, 3, ..., n.
Die Variablen a und d stehen für reelle Zahlen.
Eine rekursive Darstellung der arithmetischen Folge ist a1=a
und ai=ai-1+d, i = 2, 3, ... n.
Name
Vielleicht ist der folgende Satz der Grund für den Namen arithmetische
Folge.
Satz: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische
Mittel der beiden Nachbarglieder.
Herleitung
ai-1+ ai+1 = [a+(n-2)d+a+nd) = a+nd-2d+a+nd =2[a+(n-1)d]=2ai
oder ai =(1/2)(ai-1+ai+1), wzbw..
Zu ergänzen ist noch 1<i<n+1.
Zahlenbeispiele
1
2
3
4
...
a=1,
d=1
|
5
10
15
20
...
a=5,
d=5
|
2
5
8
11
...
a=2,
d=3
|
2
2 1/3
2 2/3
3
...
a=2,
d=1/3
|
2
-1
-4
-7
...
a=2,
d=-3
|
2/3
1/3
0
-1/3
...
a=2/3,
d=-1/3
|
Ist d>0, so ist die Folge steigend. - Ist d<0, so ist die Folge fallend.
Graph
An die Stelle der Exponentialfunktion tritt die
lineare Funktion.
Die dargestellte Folge ist 1,2; 0,9; 0,6; 0,3; 0.
Arithmetische Reihe
Zur arithmetrischen Folge gibt es die Reihe sn = a
+ [ a+d] + [a+2d] + [a+3d] + ... + [a+(n-1)d].
Diese Summe fasst man zusammen zu sn = (1/2)n(a+an)
oder ausführlich zu sn = an+(1/2)d²n-(1/2)dn.
Herleitung
Man kann schreiben
sn = a1 + a2 + a3
+ ... + an-2 + an-1 + an =
a + [a+d] + [a+2d] + ... + [an -2d] + [an
-d] + an oder
sn = an + an-1 + an-2
+ ... + a3 + a2 + a1 = an
+ [an-d] + [an-2d] + ... + [a+2d] + [a+d]
+ a
Bildet man die Summe der untereinander stehenden Summanden rechts,
so ergibt sich n-mal die gleiche Summe a+an.
Es ist also 2sn =n(a+an) oder sn
=(1/2)n(a+an), wzbw.
Im Spezialfall a=1 und an=n
ergibt sich die Summe der natürlichen Zahlen 1+2+3+...+n = (1/2)n(n+1).
Mehr über arithmetische Folgen und
Reihen findet man unten in der Linkliste und auf meiner Seite Dreieckszahlen.
Es folgen Anwendungen der Formeln der geometrischen Folgen und Reihen.
Weizen-Schachbrett-Aufgabe
top
Aufgabe
In einem Lehrbuch der Mathematik von 1940 (1) findet man, wie in fast
allen Lehrbüchern, die geometrische Folgen behandeln, die berühmte
Weizen-Schachbrett-Aufgabe.
Dahinter steckt eine Legende, die man auf der Wikipedia-Seite Sissa
ibn Dahir (URL unten) nachlesen kann.
Lösung
Die Anzahl der Weizenkörner ist 1+2+22+ ... +263
= a(qn-1)/(q-1) = (264-1)/(2-1)= 264-1=
18.446.744.073.709.551.615.
Gerundet sind das 1,84*1019 Körner.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Diese Riesenzahl nimmt erst Gestalt an, wenn man sie veranschaulicht.
Veranschaulichung
2007 betrug die Weizenproduktion weltweit m=607.047.690 t oder gerundet
m=610.000.000 t = 6,1*108 t.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Weizen)
Sind diese Weizenmenge m und die Weizenmenge auf den Schachbrett M
vergleichbar?
Angenommen, 20 Körner gehen auf 1g.
Dann ist die Masse M=(1,84*1019):(20*1.000.000) t = 92.000.000.000
t = 9,2*1010 t.
Der Quotient M/m=(9,2*1010 t):(6,1*108 t) = 1500
kann gedeutet werden als die 1500fache Weizenproduktion von 2007.
Rein-periodische Dezimalbrüche
top
Die rationalen Zahlen oder Bruchzahlen sind von der Form a/b, wobei
für a und b ganze Zahlen einzusetzen sind mit der Ausnahme b=0. Man
erhält eine gute Vorstellung von der Größe der Zahlen,
wenn man sie als Dezimalbrüche darstellt.
Beispiele sind 7/20=0,35, 4/33=0,121212...
und 7 5/12=7,41666... .
Diese Zahlen repräsentieren die drei möglichen Darstellungen
eines Dezimalbruches, die endliche, die rein-periodische und die gemischt-periodische.
Man kann sich überlegen, dass allein der Nenner bestimmt, welche Klasse
vorliegt.
Im ersten Fall ist der Nenner eine Zahl, die nur 2 und 5 als Teiler
hat (20=2*2*5).
Im zweiten Falle hat der Nenner weder 2 noch 5 (33=3*11) als Teiler.
Im dritten Fall hat der Nenner mindestens eine 2 oder 5, aber auch
mindestens einen von 2 und 5 verschiedenen Teiler (12=2*2*3).
An drei weiteren Beispielen wird gezeigt,
dass rein-periodische Dezimalzahlen geometrische Reihen sind.
>0,444... = 4*10-1+4*10-2+4*10-3+...
.
Es gilt a=4*10-1 und q=10-1. - Der Grenzwert
ist s=a/(1-q)=(4/10)/(9/10)=4/9.
>0,121212... = 12*10-2+12*10-4+12*10-6+...
Es gilt a=12*10-2 und q=10-2. Der Grenzwert ist
s=a/(1-q)=(12/100)(99/100)=4/33.
>0,0369369369...=369/10-4+369/10-7+369/10-10+....
Es gilt a=369/10-4 und q=10-3. Der Grenzwert
ist s=a/(1-q)=(369/10000)(999/1000)=22/555.
Auch gemischt-periodische Zahlen können als geometrische Reihen
angesehen werden, wenn man den nichtperiodischen Anteil als Summand vorwegnimmt.
Zinseszinsen top
Aufgabe
Ein Kapital von K0=100 € wird auf n=100 Jahre angelegt.
Die Zinsen betragen p%=3%.
Auf welchen Betrag wird das Kapital anwachsen?
Lösung
Im 1.Jahr wächst K an auf K1=K0+(p/100)K0=K0(1+p/100)=K0q.
Im 2.Jahr wächst K an auf K2=K0q+(p/100)K0q=K0q(1+p/100)=K0q2.
Im 3.Jahr wächst K an auf K3=K0q2+(p/100)K0q2=K0q2(1+p/100)=K0q3.
...
Im n.ten Jahr beträgt das Endkapital Kn=K0qn.
Das ist die Formel einer geometrischen Folge.
Ist K0=100 €, n=100 und
p=3,
so ist q=1,03 und das Kapital nebst Zinsen und Zinseszinsen K100
=
100 €*1,03100 = 1921,86 €.
Werden die Zinsen am Ende eines jeden Jahres
abgehoben, so ist K100' = K0+100*(3/100)K0 =
100 €+300 € = 400 €.
Währungsreformen z.B. machen die Rechnungen
unrealistisch, aber die Aufgabe veranschaulicht gut den exponentiellen
Anstieg einer geometrischen Folge.
Hier ist noch ein Beispiel aus dem Leben.
Ich zeige mein altes Postsparbuch, heute auch ein Zeitdokument zum
Lastenausgleich.
1.Blatt
|
6.Blatt
Die Namen der Postbeamten habe ich unlesbar gemacht.
|
Überschlagsrechnung dazu: K14
= 11 DM*1,0414 = 19 DM
Achilles und die Schildkröte
top
Aufgabe
Achilles verfolgt eine Schildkröte, die einen Vorsprung von 100
Fuß hat, mit 10mal so großer Geschwindigkeit. Wo holt Achilles
die Schildkröte ein?
Lösung
Wenn Achilles 100 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte
10 Fuß weitergekrochen.
Wenn Achilles diese 10 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte
1 Fuß weitergekrochen.
Wenn Achilles 1 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte
0,1 Fuß weitergekrochen.
Wenn Achilles 0,1 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte
0,01 Fuß weitergekrochen.
...
Überholt wird die Schildkröte schließlich bei 111,111...
Fuß = 111 1/9 Fuß.
Das Problem ist als Paradoxon des Zenon
bekannt und gilt als eine Spitzfindigkeit, wie sie bei den Sophisten beliebt
war.
Heute ist das Problem in der Mathematik
nichts Besonderes, seit man den Grenzwert eingeführt und akzeptiert
hat.
Eine Summe mit unendlich vielen Summanden wie 0,111...=1/10+1/100+1/1000+
... muss nicht unendlich groß werden.
Der Grenzwert ist die Summe.
Potenzierung in der
Homöopathie top
Eine "Urtinktur" ist in der Homöopathie meist nicht direkt eine
Medizin, sondern sie wird erst zu einer Medizin mit Verdünnungsmitteln
wie Alkohol, destilliertem Wasser oder Ähnlichem.
Dabei geht man so vor, dass man in einem ersten Schritt im Verhältnis
1:10 verdünnt.
Dann nimmt man davon eine Probe und verdünnt diese wieder im Verhältnis
1:10, also im ganzen 1:100.
Eine Probe davon, wieder im Verhältnis 1:10 verdünnt, führt
zur Verdünnung 1:1000, bezogen auf die Urtinktur.
Die drei bisher genannten Verdünnungen tragen die Kennzeichnungen
D1, D2 und D3 auf der so hergestellten Medizin.
Mit dem Verdünnen ist ein Schütteln verbunden, das zusammen
nennt man Potenzieren im Sinne von Verstärkung.
Eine Verstärkung wie D8 gibt es durchaus.
D8 entspricht einer Verdünnung von 1:100.000.000.
D.h., 1cm³ Wirkstoff kommt auf 100.000.000 cm³=100.000 Liter=1.000hl=100m³=
4m*5m*5m.
Das letzte Produkt kann man als Volumen eines Quaders mit der Länge
5m, der Breite 5m und der Höhe 4m auffassen.
Ein Würfel von 1cm³ ist winzig in diesem riesigen Raum. -
Kein Kommentar.
Zusammenfassung: Zu D1, D2, ... gehört
die geometrische Folge an=10-n.
Chromatische Tonleiter top
Es besteht ein Zusammenhang zwischen der geometrischen Folge und den
Tönen des Klaviers.
Dort treten nämlich Schwierigkeiten auf, wenn man z.B. von der
Tonart C-Dur zu D-Dur wechselt.
C-Dur-Tonleiter
|
D-Dur-Tonleiter
|
Die Höhe eines Tones wird durch die
Frequenz bestimmt.
Bei einer Tonleiter stehen sie in bestimmten, einfachen Beziehungen
zueinander.
Die folgende Tabelle zeigt in der zweiten Zeile die Verhältnisse
der Frequenzen der Töne zum Grundton c.
In der dritten und vierten Zeile stehen die sich daraus ergebenden
Verhältnisse der Frequenzen nebeneinander liegender Töne.
Bezeichnungen
Frequenzverhältnisse
Intervalle
Intervalle |
c
1:1
.
.
|
.
.
9:8
=1,12
|
d
9:8
.
.
|
.
.
10:9
=1,11
|
e
5:4
.
.
|
.
.
16:15
=1,07
|
f
4:3
.
.
|
.
.
9:8
=1,12
|
g
3:2
.
.
|
.
.
10:9
=1,11
|
a
5:3
.
.
|
.
.
9:8
=1,12
|
h
15:8
.
.
|
.
.
16:15
=1,07
|
c'
2:1
.
.
|
Dieses sind die Merkmale der sogenannten diatonischen Tonleiter.
Gibt man eine solche Tonleiter in C-Dur
vor, so entstehen Konflikte, wenn man auf die Tonart D-Dur übergehen
will.
Bei einer diatonischen C-Dur-Tonleiter wird das Intervall der Töne
d/e nach der Tabelle durch das Verhältnis 10:9=1,111 bestimmt.
Lässt man die Tonleiter in d beginnen, gehört zur gleichen
Abfolge der Töne d/e das Verhältnis 9:8=1,125.
Das ist ein Widerspruch.
Der Widerspruch wird gelöst durch
einen Kompromiss.
Die diatonische Tonleiter wird in Maßen aufgegeben und durch
die sogenannte chromatische Tonleiter ersetzt.
Von der diatonischen Tonleiter übernimmt man die Eigenschaft,
dass die Frequenz des Grundtons (hier c) und des nächsten Obertons
(c') im Verhältnis 1:2 stehen. Neu ist, dass man die Frequenzen der
Töne c cis d dis e f fis g gis a b h c' zu einer geometrischen
Folge anordnet.
Das seien die Frequenzen als geometrische Folge: a, aq, aq2,
aq3, aq4, aq5, aq6, aq7,
aq8, aq9, aq10, 2a=aq21.
Aus 2a=aq12 folgt q12.=2 oder q=21/12
=1,06.
Dieser Quotient ist das neue Verhältnis der Frequenzen aufeinanderfolgender
Töne.
Die Frequenzverhältnisse einer Tonleiter sind nur leicht abgeändert,
wie die folgende Tabelle zeigt.
Bezeichnungen
Frequenzverhältnisse
...
Frequenzverhältnisse
... |
c
1:1
=1,000
q0
=1,000 |
d
9:8
=1,125
q2
=1,123 |
e
5:4
=1,250
q4
=1,260 |
f
4:3
=1,333
q5
=1,336 |
g
3:2
=1,500
q7
=1,498 |
a
5:3
=1,667
q9
=1,682 |
h
15:8
=1,875
q11
=1,888 |
c'
2:1
=2,000
q12
=2,000 |
Die abgeänderten Frequenzen stehen in roter Schrift.
Man kann nachlesen, dass nur geschulte Musiker den Unterschied heraushören.
Quelle (3) Seite 33ff.
Papier falten top
Aufgabe
Ein Blatt Schreibmaschinenpapier von 80g/m² hat eine Dicke von
ca. 0,1mm.
Wie dick wird der Papierstapel, wenn man das Blatt siebenmal jeweils
in der Mitte faltet?
Lösung
Anzahl der Faltungen
Dicke
... |
1x
2*0,1mm
=0,2mm |
2x
22*0,1mm
=0,4mm |
3x
23*0,1mm
=0,8mm |
... |
7x
27*0,1mm
=12,8mm |
... ... |
... ... |
Faltet man tatsächlich ein Din A 4-Blatt mehrmals, kommt man bei
bestem Willen nicht über fünffaches Falten hinaus.
Ist das Blatt größer und dünner, könnte man noch
weiter falten. Es gibt aber wegen des exponentiellen Anstiegs auf
jeden Fall eine Grenze.
Es hieß, mehr als 7x kann ein Blatt Papier nicht gefaltet werden. |
Diese Anzahl Sieben wurde im Januar 2002 von der High-School-Schülerin
Britney Gallivan korrigiert, die erfolgreich ein großes Blatt Papier
12x in der Technik "Single Direction Folding" unter Geräteeinsatz
faltete und auch dafür eine Formel entwickelte.
Mehr findet man z.B. auf der Seite Folding bei Mathworld (URL
unten).
Auch an anderen Stellen meiner Homepage kommen geometrische Folgen
und Reihen vor.
Kochkurve und Sierpinski-Dreieck
Geometrische
Folgen und Reihen im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Geometrische
Folge, Geometrische
Reihe, Geometrisches
Mittel, Arithmetische
Folge, Sissa
ibn Dahir
Achilles
und die Schildkröte, Zinseszins,
Gleichstufige
Stimmung, Binärbaum,
Ahnentafel
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Geometric
Sequence, Geometric
Series, Zeno's
Paradoxes, Folding
Wikipedia
Geometric
progression, Geometric
mean, Arithmetic
progression, Wheat
and chessboard problem, Paper
folding, Compound
interest, Equal
temperament, Binary
tree, Ahnentafel
Referenzen top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch, Braunschweig 1940
(2) Lambacher/Schweizer: Analysis, Stuttgart 1954
(3) Jean Pütz (Hrsg.): Hifi, Ultraschall und Lärm, Köln
1973
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2009 Jürgen Köller
top |
