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Was ist ein magisches Sechseck?
Vorweg das "magische Quadrat"
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Das dürfte bekannt sein:
Man kann die Zahlen 1 bis 9 so in einem 3x3-Quadrat verteilen, dass
die 8 Summen vertikal, horizontal und diagonal immer den gleichen Wert
haben, nämlich 15.
Mehr findet man auf meiner Seite Magische
Quadrate
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Entsprechend ist ein magisches Sechseck eine Figur, die die Zahlen
1 bis 19 enthält und bei der die 15 Summen horizontal (-), schräg
nach oben rechts (/) und schräg nach oben links (\) gleich sind, nämlich
38.
Wie beim magischen 3x3-Quadrat gibt es im wesentlichen nur ein Sechseck
dieser Art.
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Auf der Suche
nach magischen Sechsecken top
Sechsecke n-ter Ordnung
Das magische Sechseck steht in einer Reihe immer größer
werdender Sechsecke.
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Die Sechsecke bestehen aus 1,7,19, 37, ... kleinen Sechsecken.
Allgemein hat das Sechseck n-ter Ordnung 3n²-3n+1 Sechsecke.
Die Sechsecke haben 1,3,5,7,..., allgemein
2n-1
Zeilen.
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Herleitung der Anzahl
3n²-3n+1
Bildet man die Differenzen der Glieder, erhält man 6,12,18, ...
und dann weiter als Differenz der Differenzen 6,6,6...
Es handelt sich danach um eine zweite Differenzenfolge mit dem Bildungsgesetz
f(n)=an²+bn+c.
Für n=1 ergibt sich 1=a+b+c
Für n=2 ergibt sich 7=4a+2b+c
Für n=3 ergibt sich 19=9a+3b+c |
Das Gleichungssystem hat die Lösung a=3, b= -3 und c=1.
Das n-te Glied der Folge ist somit 3n²-3n+1. |
Es gilt 3n²-3n+1=3n(n-1)+1. Das ist
der Ansatz zu einer geometrischen Deutung der Folge.
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Man kann jedes Sechseck in 3 Parallelogramme mit den Maßen n
mal (n-1) zerlegen. Ein kleines Sechseck bleibt übrig.
Für die Zeichnung ist n=3. |
Auf der Suche nach
der magischen Zahl
In einem magischen Sechseck sind also Summen
gleich. Diese Summe H heißt magische Zahl des Sechsecks. Addiert
man alle Zahlen eines magischen Sechsecks, so gilt S=H+H+...+H (z-mal)
oder S=zH. Dabei ist S die Summe aller Zahlen und z die Zeilen-Anzahl.
Die Anzahl der Zeilen ist 1, 3, 5, 7, allgemein z = 2n-1.
Nach der Summenformel 1+2+3+...+m = m(m+1)/2 ergibt sich
S = (3n²-3n+1)[3(n+1)²-3(n+1)+1]/2
= (9n4-18n³+18n²-9n+2)/2.
Damit gilt H = S/z = S/(2n-1) = (9n4-18n³+18n²-9n+2)/[2(2n-1)]
= (9n4-18n³+18n²-9n+2)/(4n-2).
Die magische Zahl H, die als Quotient gegeben ist, muss eine natürliche
Zahl sein.
Man kann mit Hilfe geschickter Umformungen nachweisen, dass es nur die
Lösung n=3 gibt:
Man erkennt, dass H bzw. 32H nur dann ganzzahlig ist, wenn 5/(2n-1)
ganzzahlig ist. Neben den Fällen n= -2, 1,0 führt nur n=3 zu
einer ganzen Zahl, nämlich zu H=38.
Man kann auch "unmathematisch" den Computer einsetzen und den Term H=(9n4-18n³+18n²-9n+2)/(4n-2)
auf Ganzzahligkeit überprüfen. Man erhält die gleichen Zahlen
wie oben.
Auf der Suche nach
der Verteilung der 19 Zahlen.
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Nach den bisherigen Überlegungen muss ein magisches Sechseck die
Ordnung 3 haben. Dabei ist nicht gesagt, dass es es überhaupt gibt.
Aber es existiert.
Erstaunlicherweise gibt es - abgesehen von Symmetrien - nur eine einzige
Verteilung der Zahlen 1 bis 19.
Die Suche ist nicht ganz einfach. Sie ist eine Kombination aus logischem
Denken und Probieren.
Darstellungen findet man bei (3), (6), (Torsten Sillke, URL unten).
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Zur Geschichte
des magischen Sechsecks top
Wieder einmal hat Martin Gardner wie
viele Fragestellungen auch das Problem des magischen Sechsecks in neuerer
Zeit populär gemacht.
In Buch (4) berichtet er eine schöne Geschichte.
Er erfuhr vom magischen Sechseck durch eine Zuschrift von Clifford
W.Addams, einem pensionierten Bahnbeamten aus Philadelphia. Dieser hatte
schon 1917 begonnen sich mit dem Sechseck zu beschäftigen und hatte
erst 1957 die Lösung gefunden. Er notierte sie auf einem Zettel, verlegte
ihn und fand ihn erst 1962 wieder.
Gardner lernte die Lösung aber erst schätzen, als er den
Mathematiker Charles W. Trigg von der Universität von Los Angeles
auf das Problem ansetzte. Dieser fand heraus, dass das magisches Sechseck
einzigartig und wohl in der Fachliteratur nicht bekannt war.
Trigg veröffentlichte seinen Beweis 1964 in der Zeitschrift "Recreational
Mathematics" (3). Die Arbeit kann man bei Torsten Sillke (URL unten) nachlesen.
Offenbar war das Problem schon einmal Ende
des 19. Jahrhunderts populär.
Bei Harvey Heinz (URL unten) kann man lesen: "Jerry Slocum mailed me
a copy of an advertisement (?) dated 1896, crediting W. Radcliffe, Isle
of Man, U.K. with this discovery in 1895".
Heinrich Hemme veröffentlichte in
einem Aufsatz für die Zeitschrift Bild der Wissenschaft (1988)
und Hans F. Bauch in Wissenschaft und Fortschritt (1990),
dass der Stadtbaurat Ernst von Haselberg aus Stralsund dieses Problem schon
im Jahre 1887 kannte, löste und auch die Eindeutigkeit nachwies (1),
(5), (6).
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In seiner Amtszeit als Stadtbaurat in Stralsund wurde zum Beispiel
die Prachtwand neben dem Rathaus saniert, die ich bei einem Besuch 1995
für wert hielt zu fotografieren. |
Magisches T-Hexagon top
Es gibt ein weiteres magisches Sechseck, jedoch
geformt aus Dreiecken. Es heißt T-Hexagon (triangle hexagon). Zum
Unterschied heißt das Sechseck oben auch H-Hexagon (hexagon hexagon).
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Das nebenstehende Sechseck besteht aus 24 gleichseitigen Dreiecken.
Man kann die natürlichen Zahlen 1 bis 24 so verteilen, dass es
magisch wird.
12 Summen horizontal (-), schräg nach oben rechts (/) und
schräg nach oben links (\) sind gleich, nämlich 75.
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Anzahl der Dreiecke
Das T-Hexagon steht in einer Reihe immer größer werdender
Sechsecke.
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Das Sechseck n-ter Ordnung besteht aus 6n² Dreiecken.
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Magische Zahlen
Wieder gilt S=zH.
Mit S = 1+2+3+ ... +6n² = 6n²(6n²+1)/2 = 18n4+3n²
und z = 2n ist
H = S/z = (18n4+3n²)/2n =[3n(6n²+1)]/2
Der rechte Term H ist nur eine natürliche Zahl, wenn der Zähler
gerade ist. Dann muss n eine gerade Zahl sein.
Danach kann von den drei oben abgebildeten Sechsecken nur das mittlere
Sechseck magisch sein.
Es gibt viele magische Sechsecke dieser Art.
Zur Geschichte des T-Hexagons top
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Das erste Mal wird, soweit bekannt, das T-Hexagon von Hans F. Bauch
untersucht. Die Ergebnisse veröffentlichte er in den Mathematischen
Semesterberichten
1991 (7).
Links ein Beispiel aus der Originalarbeit: Ein T-Hexagon mit einem einfachen
inneren Sechseck
Das T-Hexagon heißt dort Magisches Sechseck D(4). (D für
Dreieck, 4 für die Anzahl der Zeilen).
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Die Bezeichnung T-Hexagon findet man auf
der Web Site Hexagonia von John Baker. Offenbar fanden John Baker und David
King die T-Hexagone unabhängig von Hans F. Bauch noch einmal. Auf
John Bakers Seite steht nämlich: "This arrangement was discovered
on 13th September, 2003 and as far as we can ascertain is the first example
of a magic T-hexagon."
Varianten des magischen
Sechsecks top
1 Magische Sechsecke mit ganzen Zahlen
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Man kann die aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen -4, -3, -2, ...13,14
in einem Sechseck dritter Ordnung so unterbringen, dass es magisch wird.
Die magische Zahl ist 19. |
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Das nebenstehende Sechseck enthält die ganzen Zahlen von -9 bis
+9 mit der magischen Zahl 0.
Das kann wahrscheinlich so verallgemeinert werden: In einem Sechseck
der Ordnung n (n>2) kann man die Zahlen von -3n(n-1)/2 bis
+3n(n-1)/2 so verteilen, dass ein magisches Sechseck mit der magischen
Zahl 0 entsteht. (Mitteilung von Torsten Sillke, URL unten).
Ein Beweis steht noch aus.
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Bei en.wikipedia findet man auf der Seite
Magic
Hexagon Sechsecke vierter, fünfter und siebenter Ordnung. Sie
verwenden aufeinanderfolgende natürliche Zahlen mit größeren
Start-Zahlen als 1. Autor der Sechsecke ist Zahray Arsen.
2 Magisches Sechseck
und Mittelwert
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Das nebenstehende Sechseck dritter Ordnung enthält wie das magische
Sechseck die Zahlen 1 bis 19.
Jede der 15 Zeilen hat nicht dieselbe Summe, sondern denselben Mittelwert
10.
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Quelle: Fred W. Helenius (nach Torsten Sillke)
3 Magischer Stern
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Er enthält die Zahlen 1 bis 12.
Es gibt sechs gleiche Summen.
Die magische Zahl ist 26.
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Der magische Stern war schon im 19.Jahrhundert bekannt.
In Buch (2) werden 96 verschiedene Belegungen
des Sterns dargestellt.
Mehr findet man im Internet bei "Suzanne
Alejandre and Mutsumi Suzuki's Magic Stars" (URL unten)
4 Hexagramm
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Es enthält die Zahlen 1 bis 12.
Es gibt sechs viergliedrige gleiche Summen
Die magische Zahl ist 33.
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Entdeckt bei MathWorld (Bolt, B.; Eggleton, R.; and Gilks, J. "The
Magic Hexagram." Math. Gaz. 75, 141-142, 1991)
5 Erste Figur aus
neun Sechsecken
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Lässt man beim Sechseck vierter Ordnung 7 kleine Sechsecke weg,
so entsteht eine Figur mit 3 konzentrischen Sechsecken und mit einem Ring
aus 6 Sechsecken. |
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In diesem Sechseck (zwei Ansichten) können die Zahlen 1 bis 30
so verteilt werden, dass es "magisch" wird.
Es gibt 9 gleiche, sechsgliedrige Summen und zwar immer gebildet von
den Eckzahlen der Sechsecke.
Die magische Zahl ist 93.
Es gibt viele Lösungen.
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Quelle: Harvey Heinz (URL unten)
6 Zweite Figur aus
neun Sechsecken
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Es gibt noch eine weitere Figur aus neun Sechsecken, in der die Zahlen
1 bis 30 so eingetragen werden können, dass es magisch wird.
Die Figur besteht aus neun Ringen, die gemeinsame Abschnitte haben.
Die magische Zahl ist 93. Das ist die Summe der Zahlen eines Sechseck-Ringes.
Es gibt viele Lösungen.
Dazu fand ich eine Information auf der Seite von Jaewook Shin
(URL unten) mit einem Bild als Beleg.
"The original source of the problem: Gu-Su-Ryak by Choi, Seok Jung
(1646~1715). This book is displayed in the museum of Daejeon history in
Daejeon, Korea." |
Quelle: Jaewook Shin (URL unten)
Das magische Sechseck
im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Magisches
Sechseck, Ernst
von Haselberg
Englisch
David King
Hall of Hexagons
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Hexagon,
Talisman
Hexagon,
MagicHexagon,
Hexagram
Frank R. Kschischang;
The
Magic Hexagon
Hans F Bauch
The
magic hexagon of Ernst v. Haselberg (.pdf-file)
Harvey D. Heinz
More Magic
Squares
Jaewook Shin
A
Numerical Solution of the Magic Hexagon Using Local Search and Global Search
Methods
Mutsumi Suzuki (bei mathforum)
Magic
Stars
Torsten Sillke
Magic
Hexagon, Magic-Hexagon-Trigg,
Wikipedia
Magic hexagon
Referenzen top
(1) Ernst von Haselberg:
Section 795: Zeitschrift für mathematischen
und naturwissenschaftlichen Unterricht 19 (1888) 429
Aufgabe
Section 801: Zeitschrift für mathematischen
und naturwissenschaftlichen Unterricht 20 (1889) 263-264 Auflösung
(2) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden, Neubearbeitung
von F.Fittig, Walter de Gruyter und Co, 1935
(3) Charles W. Trigg: A Unique Magic Hexagon, Recreational Mathematics
Magazine (January-February 1964)
(4) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden
1979 [ISBN 3-528-08402-2]
(5) Heinrich Hemme: Das magische Sechseck, Bild der Wissenschaft (Oktober
1988) 164-166
(6) Hans F. Bauch: Zum magischen Sechseck von Ernst v. Haselberg, Wissenschaft
und Fortschritt 40:9 (1990)
(7) Hans F. Bauch: Magische Figuren in Parketten, Mathematische Semesterberichte
38:1 (1991)
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2006 Jürgen Köller
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