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Was ist ein magisches 3x3-Quadrat?
...8....1....6...
...3....5....7...
...4....9....2...
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Man kann die Zahlen 1 bis 9 so zu einem Quadrat anordnen, dass die
Summe dreier Zahlen untereinander, nebeneinander und diagonal immer 15
ist.
Verwendet man als Zahlen 1 bis 9 wie hier, so erhält man das Standardquadrat
Lo Shu. |
........8+c....1+c....6+c........
........3+c....5+c....7+c........
........4+c....9+c....2+c........ |
Ein magisches Quadrat bleibt magisch, wenn man jede Zahl mit einer
Konstanten c verändert, zum Beispiel durch Addition. Man kann auch
subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. |
Das magische 3x3-Quadrat
top
Es gilt 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Beim magischen Quadrat werden immer 3
Zahlen addiert. Also ist die mittlere Summe dreier Zahlen gleich 45:3=15.
Die Zahl 15 ist, wie man sagt, die magische Zahl des 3x3-Quadrates.
Man kann auch auf 15 kommen, wenn man den mittleren Summanden 5 dreimal
addiert.
Die Zahl 15 lässt sich achtmal in eine Summe aus drei Summanden
zerlegen:
15=1+5+9
15=1+6+8
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15=2+4+9
15=2+5+8
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15=2+6+7
15=3+4+8
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15=3+5+7
15=4+5+6
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In den Zerlegungen kommen die ungeraden Zahlen 1,3,7 und 9 zweimal vor,
die geraden Zahlen 2,4,6 und 8 dreimal und die Zahl 5 erscheint viermal.
Daraus folgt, dass man die Zahl 5 in die Mitte eines magischen 3x3-Quadrates
setzen muss. Die übrigen ungeraden Zahlen muss man in die Seitenmitten
und die geraden Zahlen in die Ecken setzen.
Es gibt unter diesen Bedingungen acht Möglichkeiten ein Quadrat
zu bilden:
Alle acht Quadrate gehen ineinander über, wenn man sie an ihren Symmetrieachsen
spiegelt. Symmetrische Quadrate zählt man nur einmal. Es gibt unter
diesem Gesichtspunkt nur ein magisches 3x3-Quadrat.
Das magische 4x4-Quadrat top
Die magische Zahl ist (1+2+...+15+16):4 = 34.
Der Computer fand 86 Zerlegungen von 34 in eine Summe von vier Summanden
aus den Zahlen 1 bis 16:
34=01+02+15+16
34=01+03+14+16
34=01+04+13+16
34=01+04+14+15
34=01+05+12+16
34=01+05+13+15
34=01+06+11+16
34=01+06+12+15
34=01+06+13+14
34=01+07+10+16
34=01+07+11+15
34=01+07+12+14
34=01+08+09+16
34=01+08+10+15
34=01+08+11+14
34=01+08+12+13
34=01+09+10+14
34=01+09+11+13 |
34=01+10+11+12
34=02+03+13+16
34=02+03+14+15
34=02+04+12+16
34=02+04+13+15
34=02+05+11+16
34=02+05+12+15
34=02+05+13+14
34=02+06+10+16
34=02+06+11+15
34=02+06+12+14
34=02+07+09+16
34=02+07+10+15
34=02+07+11+14
34=02+07+12+13
34=02+08+09+15
34=02+08+10+14
34=02+08+11+13 |
34=02+09+10+13
34=02+09+11+12
34=03+04+11+16
34=03+04+12+15
34=03+04+13+14
34=03+05+10+16
34=03+05+11+15
34=03+05+12+14
34=03+06+09+16
34=03+06+10+15
34=03+06+11+14
34=03+06+12+13
34=03+07+08+16
34=03+07+09+15
34=03+07+10+14
34=03+07+11+13
34=03+08+09+14
34=03+08+10+13 |
34=03+08+11+12
34=03+09+10+12
34=04+05+09+16
34=04+05+10+15
34=04+05+11+14
34=04+05+12+13
34=04+06+08+16
34=04+06+09+15
34=04+06+10+14
34=04+06+11+13
34=04+07+08+15
34=04+07+09+14
34=04+07+10+13
34=04+07+11+12
34=04+08+09+13
34=04+08+10+12
34=04+09+10+11
34=05+06+07+16 |
34=05+06+08+15
34=05+06+09+14
34=05+06+10+13
34=05+06+11+12
34=05+07+08+14
34=05+07+09+13
34=05+07+10+12
34=05+08+09+12
34=05+08+10+11
34=06+07+08+13
34=06+07+09+12
34=06+07+10+11
34=06+08+09+11
34=07+08+09+10
.
.
.
. |
In den Zerlegungen von 34 sind die Summanden 1 bis 16 etwa gleichmäßig
verteilt.
Summand:
Anzahl: |
01
19 |
02
20 |
03
21 |
04
22 |
05
22 |
06
23 |
07
23 |
08
22 |
09
22 |
10
23 |
11
23 |
12
22 |
13
22 |
14
21 |
15
20 |
16
19 |
Im Unterschied zum 3x3-Quadrat kann man daraus kaum Schlüsse auf die
Verteilung der Zahlen 1 bis 16 im 4x4-Quadrat ziehen.
Man weiß: Es gibt insgesamt 880 magische 4x4-Quadrate.
Dabei werden symmetrische Quadrate nur einmal gezählt.
Es folgt ein Quadrat von 880 möglichen:
...12....06....15.....01...
...13....03....10.....08...
...02....16....05.....11...
...07....09....04.....14... |
Es ist ein besonderes Quadrat. Die Zahl 34 ist nicht nur die Summe
der Zahlen in den vier Zeilen, den vier Spalten und den beiden Diagonalen,
sondern auch in allen möglichen 2x2-Quadraten. |
Das magische 5x5-Quadrat top
Die magische Zahl ist (1+2+...+24+25) : 5 = 65.
Zerlegungen der magischen Zahl 65
65 = 01+02+13+24+25
65 = 01+02+14+23+25
65 = ...
65 = ... |
65 = ...
65 = ...
65 = 10+12+13+14+16
65 = 11+12+13+14+15 |
Der Computer fand 1394 Zerlegungen der Zahl 65. |
Die Summanden und ihre Anzahl in den Summen:
Es fällt auf, dass der mittleren Zahl 13 = 65:5 die größte
Anzahl zugeordnet ist.
Die Anzahl der Summanden zu größer und kleiner werdenden
Summanden nimmt beidseitig symmetrisch ab.
Man weiß: Es gibt 275 305 224 magische 5x5-Quadrate.
(Scientific American 1/1976, deutsche Ausgabe)
Konstruktion eines magischen 5x5-Quadrats
Die Zahlen 1 bis 25 werden der Reihe nach auf die Felder verteilt.
Dabei werden für die nächste Zahl die Regeln "weiter oben rechts"
und "falls besetzt, darunter weiter" beachtet.
..................... .................... |
Die Zahl 1 kommt in die Mitte der ersten
Zeile.
Die nächste Zahl 2 folgt oben rechts.
Aber dann verlässt man das Feld.
Deshalb muss man sich das Quadrat als einen Zylinder denken. Der Zylinder
hat die vertikalen Seiten als Kreisumfänge, die horizontalen Seiten
stoßen aufeinander und schließen den Mantel des Zylinders.
Dann ist oben rechts ein Platz für die 2. Wieder auseinandergerollt
ist die Zahl 2 in die letzte Zeile ein Feld nach rechts gewandert. |
Zahl 3 folgt oben rechts.
... ... |
Die Zahl 4 würde wieder außerhalb
des Feldes liegen. Man denkt sich wieder einen Zylinder, dieses Mal mit
vertikaler Achse. Man kann dann die Zahl 4 wieder oben rechts unterbringen.
Auseinandergerollt liegt die Zahl in der dritten Zeile ganz links. |
Die Zahl 5 liegt oben rechts.
Für die Zahl 6 wird eine zweite Regel
angewandt: Ist das Feld oben rechts besetzt, so gelangt die nächste
Zahl eine Zeile tiefer in die gleiche Spalte.
Man fährt mit 7,8
usw. fort. Für die Zahl 16 wird übrigens
die gleiche Regel wie für die Zahl 6 angewandt.
Dieses Bildungsgesetz lässt sich auf alle
magische Quadrate mit ungerader Seitenzahl übertragen ;-).
Für magische Quadrate mit gerader Seitenlänge gibt es auch
Regeln. Sie sind aber komplizierter.
Das magische nxn-Quadrat top
Die Existenz magischer Quadrate ist für alle natürlichen
Zahlen n>2 gesichert. Es ist aber kein Bildungsgesetz für beliebige
n bekannt.
Die magische Zahl ist gleich (1 + 2 + 3 + ... + n²) : n =0.5 *
(n²+1) * n.
Die magischen Zahlen der Standardquadrate
Magisches Quadrat: 3x3 4x4
5x5 6x6
7x7 8x8
9x9 10x10
Magische Zahl: 15
34 65
111 175
260 369
505
Kuriositäten top
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Nochmals: Ein Quadrat ist magisch (magic), wenn die Zahlen in
den Zeilen, Spalten und Diagonalen die gleiche Summe haben. |
 ... |
Ein Quadrat ist halbmagisch, pseudo-magisch oder teilmagisch
(semi-magic), wenn nur die Zahlen in den Zeilen und Spalten die gleiche
Summe haben. |
... ...
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Das lateinische Quadrat, das nur aus drei Zahlen besteht und das in
jeder Zeile und Spalte eine andere Zahl hat, ist halbmagisch. |
 ... |
Ein Quadrat ist panmagisch (panmagic), wenn es magisch ist und
wenn die Zahlen in den Ecken, in der Mitte und in den gegenüberliegenden
Seitenmitten die gleiche Summe haben. |
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Das Dürer-Quadrat ist panmagisch. |
 ... |
Ein Quadrat ist pandiagonal, wenn es magisch ist und wenn nicht
nur die Zahlen in den Hauptdiagonalen, sondern auch in den "gebrochenen"
Diagonalen die gleiche Summe haben. |
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Das nebenstehende magische Quadrat ist pandiagonal (und panmagisch). |
 ... |
Ein Quadrat ist komplementär (complementary), wenn jede
Zahl n durch 17-n ersetzt wird und wenn es dabei magisch bleibt. |
Beim beliebigen nxn-Quadrat ersetzt man n durch (n²+1)-n.
Das Beispiel ist sogar selbstkomplementär (self-complemetary),
da das neue Quadrat spiegelbildlich zum alten ist.
 ... |
Ein Quadrat ist assoziativ, wenn es magisch ist und wenn symmetrisch
zur Mitte liegende Zahlenpaare die gleiche Summe haben, nämlich 26=5²+1,
allgemein n²+1. |
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Das magische Quadrat Lo Shu ist assoziativ. |
Man kann die Art der Zahlen vorschreiben.
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Ein magisches Quadrat aus Primzahlen |
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Ein "semi"-magisches Quadrat aus Quadratzahlen.
Nur die Summen durch den Mittelpunkt sind gleich.
Quelle: http://www.mathpages.com/home/kmath417.htm |
Hat ein Quadrat die Eigenschaften panmagisch, pandiagonal
und selbstkomplementär (und hat noch weitere Muster), so ist es ultra-super-magisch
(Mutsumi Suzuki).
Mit dieser Aufzählung ist die Reihe der besonderen magischen Quadrate
nicht erschöpft. Es fehlen z.B. magische Quadrate, die aus magischen
Quadraten bestehen, oder umrandete magische Quadrate (siehe Buch 2).
Die Vielzahl immer neuer magischer Quadrate lässt sich erklären:
Magische Quadrate können durch Computer aufgespürt werden.
Eine neue Eigenschaft bedeutet eine neue Abfrage innerhalb des Programms.
Einfache Varianten
mit magischer Summe top
Magische Quadrate im
Internet top
Englisch
Craig Knecht (Magic
Square Models)
| Water
Retention Patterns |
... ... |
Man stelle sich vor: Die Quadrate sind die Spitzen quadratischer Prismen
der Höhe der Zahlenangaben. Schüttet man Wasser auf diesen Körper,
so bleibt es in der Mitte bis zur Höhe 17 als Teich stehen. Da fließt
es ab. Die Wassermenge ist (17-3)+(17-7)+(17-13)+(17-1)+(17-4)+(17-5)=69.
Es gibt schöne Probleme: Größte Wassermenge? Getrennte
Seen? Insel? |
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Magic Square,
Panmagic
Square,
Associative
Magic Square, Lo
Shu
Harvey D. Heinz
Magic Squares, Magic Stars
& Other Patterns
Ivars Peterson's MathTrek
More than
Magic Squares
Mark S. Farrar
Magic Squares
MathPages
Solving Magic
Squares
Suzanne Alejandre (Math Forum)
Magic squares,
Mutsumi Suzuki's Pages
included
Wikipedia
Magic square,
Most-perfect
magic square
Deutsch
Feng-Shui-Homepage
Das magische Quadrat Lo-Shu
Hans-Peter Gramatke
Magische Quadrate
Jan Haase
Das
Hexeneinmaleins aus Goethes "Faust" (Lösung)
Jan Theofel und Martin Trautmann
Magische Quadrate
und Würfel
Maria Koth
Magische
Quadrate (.pdf.-Datei)
Paul Heimbach
Magische Quadrate
recordholders.org
Das
größte Magische Quadrat der Welt
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Magische
Quadrate
Wikipedia
Magisches
Quadrat, Vollkommen
perfektes magisches Quadrat
Referenzen top
(1) Bild der Wissenschaften, Heft 8/1966, Heft 6/1968, Heft 10/1976
(2) Pieter van Delft /Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München
1980 (1998 neu aufgelegt)
(3) Maximilian Miller: Gelöste und ungelöste mathematische
Probleme, Leipzig 1982
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2000 Jürgen Köller
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