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Was ist ein magisches Quadrat?
Das soll am magischen Quadrat auf Albrecht Dürers Kupferstich
Melancholie
von 1514 erklärt werden.
... ....
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Man ordnet die Zahlen 1 bis 16 so zu einem Quadrat an, dass die Summe
der Zahlen untereinander, nebeneinander oder diagonal 34 ist.
Verwendet man als Zahlen 1 bis 16 wie hier, so erhält man das normale
magische Quadrat. |
Magische Quadrate und Varianten sind schon
seit alters her ein beliebtes Thema der Unterhaltungsmathematik. Aus der
Fülle des Angebots in Literatur und Internet habe ich das zusammengetragen,
was ich interessant finde.
Magische Quadrate n-ter
Ordnung top
Die Existenz magischer Quadrate ist für alle natürlichen
Zahlen n>2 gesichert. Es ist aber kein Bildungsgesetz für beliebige
Zahlen n bekannt. - Das sind Beispiele der kleinsten,
magischen Quadrate.
Die Seitenlänge heißt auch Ordnung.
Die Beispiele sind also magische Quadrate der Ordnungen 3, 4, 5, 6, 7 und
8.
Allgemein definiert man:
Ein Quadrat n-ter Ordnung ist magisch, wenn die Zahlen 1, 2, 3, ...
, n² so in einem n x n-Quadrat verteilt werden, dass die Summen der
n Zahlen untereinander, nebeneinander oder diagonal konstant sind. Die
Summe heißt magische Zahl.
Es gilt (1+2+3+...+n²):n = (1/2)n(n²+1)(1+2+3+...+n²):n
= (1/2)n(n²+1).
Und das sind die magischen Summen der ersten acht
Quadrate.
Magisches Quadrat:
Magische Summe: |
3x3
15
|
4x4
34
|
5x5
65
|
6x6
111
|
7x7
175
|
8x8
260
|
9x9
369
|
10x10
505
|
Das
magische 3x3-Quadrat
Es gilt 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Beim magischen Quadrat werden jeweils
3 Zahlen addiert. Also ist die mittlere Summe dreier Zahlen gleich 45:3=15.
Man kann auch auf die magische Zahl 15 kommen, wenn man den mittleren
Summanden 5 dreimal addiert.
Die Zahl 15 lässt sich achtmal in eine Summe aus drei Summanden
zerlegen:
15=1+5+9
15=1+6+8
|
15=2+4+9
15=2+5+8
|
15=2+6+7
15=3+4+8
|
15=3+5+7
15=4+5+6
|
In den Zerlegungen kommen die ungeraden Zahlen 1,3,7 und 9 zweimal vor,
die geraden Zahlen 2,4,6 und 8 dreimal, und die Zahl 5 erscheint viermal.
Daraus folgt, dass man die Zahl 5 in die Mitte eines magischen 3x3-Quadrates
setzen muss. Die übrigen ungeraden Zahlen muss man in die Seitenmitten
und die geraden Zahlen in die Ecken setzen.
Es gibt unter diesen Bedingungen acht Möglichkeiten ein Quadrat
zu bilden:
... ... |
Alle acht Quadrate gehen ineinander über, wenn man sie an ihren
Symmetrieachsen spiegelt.
Das sind die Diagonalen und die Mittellinien.
Symmetrische Quadrate dieser Art zählt man nur einmal. |
Es gibt unter diesem Gesichtspunkt nur ein
magisches 3x3-Quadrat.
Varianten der 3x3-Quadrate
top
Nicht-normale magische Quadrate
... ... |
Die Zahlen 21 bis 29 bilden ein magisches Quadrat mit der magischen
Summe 75. |
Die Erklärung ist einfach.
........6+c....1+c....8+c........
........7+c....5+c....3+c........
........2+c....9+c....4+c........ |
Ein magisches Quadrat bleibt nämlich magisch, wenn man jede Zahl
mit einer Konstanten c verändert, zum Beispiel durch Addition von
c zu jeder Zahl. Oben ist c=20.
Man kann auch subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. |
Quadrat aus Primzahlen
... ... |
Das ist ein magisches Quadrat aus Primzahlen................................................................................. |
Quadrat aus Quadratzahlen
... ... |
Das ist ein "semi"-magisches Quadrat aus Quadratzahlen.
Nur die Summen durch den Mittelpunkt sind gleich................................................................ |
Quelle: http://www.mathpages.com/home/kmath417.htm
Das magische Multiplikationsquadrat
Das ist ein magisches Quadrat, bei dem nicht die Summen, sondern die
Produkte aus den Zahlen in den Zeilen, Spalten und Diagonalen gleich sind.
Es gibt eine einfache Bildungsregel.
... ... |
... ... |
Man geht z.B. von dem magischen 3x3-Quadrat aus und ersetzt die Zahlen
durch Zweierpotenzen mit ihnen als Hochzahlen.
Das magische Produkt ist 215=32768. |
... ... |
Dieses 3x3-Quadrat ist das Quadrat mit dem kleinsten Produkt.
Das magische Produkt ist 216. |
Das magische 4x4-Quadrat top
Zerlegungen der magischen Zahl
Die magische Zahl ist (1+2+...+15+16):4 = 34.
Der Computer fand 86 Zerlegungen von 34 in eine Summe von vier Summanden
aus den Zahlen 1 bis 16:
34=01+02+15+16
34=01+03+14+16
34=01+04+13+16
34=01+04+14+15
34=01+05+12+16
34=01+05+13+15
34=01+06+11+16
34=01+06+12+15
34=01+06+13+14
34=01+07+10+16
34=01+07+11+15
34=01+07+12+14
34=01+08+09+16
34=01+08+10+15
34=01+08+11+14
34=01+08+12+13
34=01+09+10+14
34=01+09+11+13 |
34=01+10+11+12
34=02+03+13+16
34=02+03+14+15
34=02+04+12+16
34=02+04+13+15
34=02+05+11+16
34=02+05+12+15
34=02+05+13+14
34=02+06+10+16
34=02+06+11+15
34=02+06+12+14
34=02+07+09+16
34=02+07+10+15
34=02+07+11+14
34=02+07+12+13
34=02+08+09+15
34=02+08+10+14
34=02+08+11+13 |
34=02+09+10+13
34=02+09+11+12
34=03+04+11+16
34=03+04+12+15
34=03+04+13+14
34=03+05+10+16
34=03+05+11+15
34=03+05+12+14
34=03+06+09+16
34=03+06+10+15
34=03+06+11+14
34=03+06+12+13
34=03+07+08+16
34=03+07+09+15
34=03+07+10+14
34=03+07+11+13
34=03+08+09+14
34=03+08+10+13 |
34=03+08+11+12
34=03+09+10+12
34=04+05+09+16
34=04+05+10+15
34=04+05+11+14
34=04+05+12+13
34=04+06+08+16
34=04+06+09+15
34=04+06+10+14
34=04+06+11+13
34=04+07+08+15
34=04+07+09+14
34=04+07+10+13
34=04+07+11+12
34=04+08+09+13
34=04+08+10+12
34=04+09+10+11
34=05+06+07+16 |
34=05+06+08+15
34=05+06+09+14
34=05+06+10+13
34=05+06+11+12
34=05+07+08+14
34=05+07+09+13
34=05+07+10+12
34=05+08+09+12
34=05+08+10+11
34=06+07+08+13
34=06+07+09+12
34=06+07+10+11
34=06+08+09+11
34=07+08+09+10
.
.
.
. |
In den Zerlegungen von 34 sind die Summanden 1 bis 16 etwa gleichmäßig
verteilt.
Summand:
Anzahl: |
01
19 |
02
20 |
03
21 |
04
22 |
05
22 |
06
23 |
07
23 |
08
22 |
09
22 |
10
23 |
11
23 |
12
22 |
13
22 |
14
21 |
15
20 |
16
19 |
Im Unterschied zum 3x3-Quadrat kann man daraus kaum Schlüsse auf die
Verteilung der Zahlen 1 bis 16 im 4x4-Quadrat ziehen.
Muster im Dürer-Quadrat
... ....
|
Wie oben erwähnt ist im Deutschen das magische Quadrat von Dürer
das magische Quadrat schlechthin. |
... ... |
Markiert man vier Zahlen mit der Summe 34, so liegen sie oft symmetrisch
im Quadrat verteilt und bilden einfache Figuren wie die Quadrate links. |
In Buch (7) findet man 28 Figuren, die symmetrisch sind und auch symmetrisch
bzgl. von Achsen des Quadrates liegen.
10 Strecken
|
4 Quadrate
|
2 Rauten
|
4 Rechtecke
|
8 Parallelogramme
|
Ich habe mich gefragt, welche Muster die
86 Zerlegungen der Zahl 34 bilden.
Dazu werden die 86 Zerlegungen mit Computerhilfe graphisch dargestellt.
Ordnet man die Figuren, so ergeben sich
z.B. vier Klassen.
Standard
... .. |
Da sind zuerst einmal die 28 symmetrischen Figuren von oben aus Buch
(7)................................... |
Achtfach
... ... |
Eine Figur tritt 8x auf. ....................................................................................................................... |
Vierfach
... ... |
Acht Figuren treten 4x auf. Sie sind bis auf eine Ausnahme symmetrisch.............................
Das sind insgesamt 32 Figuren. |
Doppelt
... ...... |
9 Figuren treten doppelt auf. Sie sind asymmetrisch.
Das sind insgesamt 18 Figuren........................................................................................................................... |
Kontrolle: 28+8+32+18=86
Mehr über das Ordnen dieser Figuren
findet man auf der Webseite von Harvey Heinz Order 4 Magic Squares
(URL unten).
Konstruktion eines
4x4-Quadrates
Es gibt eine einfache Möglichkeit, ein magisches 4x4-Quadrat zu
erzeugen.
... ............. |
>Schreibe die Zahlen von 1 bis 16 Zeile für Zeile in das Quadrat. |
... ... |
>Lasse die Zahlen in den Ecken und im mittleren 2x2-Quadrat stehen.
Ersetze die übrigen Zahlen n durch 17-n. |
... ... |
Es ist ein magisches Quadrat entstanden..... |
Quelle: (1) Seite 134
Achsensymmetrische magische Quadrate
Man erhält neue Quadrate, indem man an den
vier Achsen des Quadrates spiegelt.
Wie beim magischen 3x3-Quadrat sieht man die acht Varianten als gleich
oder äquivalent an.
Man weiß: Es gibt insgesamt
880 magische 4x4-Quadrate.
Dabei werden die eben vorgestellten achsen- und zugleich punktsymmetrischen
Quadrate nur einmal gezählt.
Punktsymmetrisches
magisches Quadrat
... ... |
Bilden die beiden zum Mittelpunkt punktsymmetrisch zueinander liegende
Zahlen die Summe n²+1=17, so heißt das magische Quadrat punktsymmetrisch
oder selbstkomplementär.
Die Ersetzung aller Zahlen n durch 17-n bedeutet eine Drehung um 180°. |
Das Dürer-Quadrat ist punktsymmetrisch.
Halbmagisches Quadrat
Ein Zahlenquadrat heißt halbmagisch, wenn
nur
die Summe der Zahlen untereinander und nebeneinander die magische
Zahl ist.
... ...
|
Man kann das Dürer-Quadrat leicht so abändern, dass die Summe
der Zahlen in den Diagonalen nicht mehr 34 ist. Dazu tauscht man
wie links zwei untereinanderliegende Paare mit gleicher Summe aus. Die
Zahlen 6 und 10 liegen auf Diagonalen und stören die Summen. Aus 34
und 34 wird 30 und 38. |
Magisches Parkett
... ... |
Ein halbmagisches Parkett entsteht, wenn man ein beliebiges magisches
Quadrat (z.B. das Dürer-Quadrat) auswählt und nebeneinander und
untereinander wiederholt. |
... ... |
Dann ist jedes Quadrat aus 16 Zahlen halbmagisch......................................................................... |
... ... |
Hat das parkettbildende Quadrat noch die zusätzliche Eigenschaft,
dass die Summen der "gebrochenen" Diagonalen auch noch den Wert der magischen
Zahl haben, so heißt es panmagisch. |
... ... |
Ein magisches Parkett entsteht, wenn man ein panmagisches Quadrat wählt
und nebeneinander und untereinander wiederholt. |
... ... |
Jedes Quadrat aus16 Zahlen, das man in des Feld legen kann, ist magisch...................................... |
(8), Seite 253ff.
"Antimagisches" Quadrat
... ... |
Alle Summen in den Zeilen, in den Spalten und in den Diagonalen sind
voneinander verschieden.
(4) |
Das magische 5x5-Quadrat top
Die magische Zahl ist (1+2+...+24+25) : 5 = 65.
Zerlegungen der magischen
Zahl 65
65 = 01+02+13+24+25
65 = 01+02+14+23+25
65 = ...
65 = ... |
65 = ...
65 = ...
65 = 10+12+13+14+16
65 = 11+12+13+14+15 |
Der Computer fand 1394 Zerlegungen der Zahl 65. |
Die Summanden und ihre Anzahl in den Summen:
Es fällt auf, dass der mittleren Zahl 13 = 65:5 die größte
Anzahl zugeordnet ist.
Die Anzahl der Summanden zu größer und kleiner werdenden
Summanden nimmt beidseitig symmetrisch ab.
Man weiß: Es gibt 275 305 224 magische 5x5-Quadrate.
(Scientific American 1/1976, deutsche Ausgabe)
Konstruktion eines magischen
5x5-Quadrats
Die Zahlen 1 bis 25 werden der Reihe nach auf die Felder verteilt.
Dabei
werden für die nächste Zahl die Regeln "weiter oben rechts" und
"falls besetzt, darunter weiter" beachtet.
..................... .................... |
Die Zahl 1 kommt in die Mitte der ersten
Zeile.
Die nächste Zahl 2 folgt oben rechts.
Aber dann verlässt man das Feld.
Deshalb muss man sich das Quadrat als einen Zylinder denken. Der Zylinder
hat die vertikalen Seiten als Kreisumfänge, die horizontalen Seiten
stoßen aufeinander und schließen den Mantel des Zylinders.
Dann ist oben rechts ein Platz für die 2. Wieder auseinandergerollt
ist die Zahl 2 in die letzte Zeile ein Feld nach rechts gewandert. |
Zahl 3 folgt oben rechts.
... ... |
Die Zahl 4 würde wieder außerhalb
des Feldes liegen. Man denkt sich wieder einen Zylinder, dieses Mal mit
vertikaler Achse. Man kann dann die Zahl 4 wieder oben rechts unterbringen.
Auseinandergerollt liegt die Zahl in der dritten Zeile ganz links. |
Die Zahl 5 liegt oben rechts.
Für die Zahl 6 wird eine zweite Regel
angewandt: Ist das Feld oben rechts besetzt, so gelangt die nächste
Zahl eine Zeile tiefer in die gleiche Spalte.
Man fährt mit 7,8
usw. fort. Für die Zahl 16 wird übrigens
die gleiche Regel wie für die Zahl 6 angewandt.
Dieses Bildungsgesetz lässt sich auf alle
magische Quadrate mit ungerader Seitenzahl übertragen :-).
Zusammengesetzte
Quadrate top
Rahmenquadrate
... ... |
Das 7x7-Quadrat hat die magische Zahl 175.
Es enthält zwei weitere magische Quadrate.
Das 5x5-Quadrat hat die magische Zahl 125=5*12+65.
Im Vergleich zum normalen 5x5-Quadrat wird jede Zahl n durch die Zahl
n+c=n+12 ersetzt.
Das 3x3-Quadrat hat die magische Zahl 69=3*20+9.
Im Vergleich zum normalen 3x3-Quadrat wird jede Zahl durch die Zahl
c+20 ersetzt. |
(1), Seite 154
Magisches Quadrat
9x9 mit magischen Teilquadraten
... ... |
Das 9x9-Quadrat hat die magische Zahl 369.
Es setzt sich aus neun magischen 3x3-Quadraten zusammen.
Die magischen Zahlen sind
9+8
9+54
9+45 |
9+72
9+36
9+0 |
9+26
9+18
9+63 |
(1), Seite 156 |
Magisches Quadrat
8x8 mit magischen Teilquadraten
... ... |
Das 8x8-Quadrat hat die magische Zahl 260.
Es setzt sich aus vier magischen 4x4-Quadraten zusammen.
Alle vier magischen Quadrate haben die magische Zahl 130.
(1), Seite 155
|
Besondere
Quadrate top
Lateinisches Quadrat
.... .. |
Auch hier sind die acht Summen im Quadrat konstant.
Es werden allerdings nur die ersten drei Zahlen verwandt.
Lateinische Quadrate gibt es allgemein für die n-te Ordnung. |
Magic 21 Square
... ... |
Das ist ein Schiebepuzzle nach Art des Fünfzehnerspiels.
In den fünf Zeilen und den fünf Spalten ist die Summe 21.
Ziel des Puzzles ist es, die Steine so zu verschieben, dass auch in
den Diagonalen die Summe 21 wird.
©
2008 Taquinze (Hans Janmaat) |
Sudoku
... ... |
 ... |
Von den lateinischen Quadraten ist es ein kleiner
Schritt zum Sudoku. |
Magische Buchstaben-Quadrate
... ... |
Diese und ähnliche magische Quadrate aus Buchstaben kennt man
aus Rätselecken von Zeitschriften.
Die Buchstaben bilden sinnvolle Wörter. |
Ein bekanntes Quadrat dieser Art ist das
Sator-Quadrat, zu dem es eine Wikipedia-Seite gibt (URL unten).
Magischer Würfel top
... ... |
Der magische Würfel dritter Ordnung ist eine Verallgemeinerung
des magischen 3x3-Quadrates.
Die Zahlen 1 bis 27 werden so auf die Felder eines 3x3x3-Würfels
verteilt, dass die Summen
>der Zahlen der 18 Zeilen,
>der Zahlen der 9 Spalten
>der Zahlen der 4 Raumdiagonalen konstant sind.
Die magische Zahl ist 42. |
Auf eine Eigenschaft muss verzichtet werden: Die Summe der Zahlen der 18
Flächendiagonalen ist nicht 42.
Andere Sichtweise
Der magische Würfel enthält neun verschiedene halbmagische
Quadrate.
Längs der vier Raumdiagonalen liegen
die folgenden Summen.
| 09+14+19=42 |
22+14+06=42 |
20+14+08=42 |
18+14+10=42 |
(3), Seite 142f.
Keine Quadrate mehr top
Einfache Varianten mit magischer Summe
Magisches Rechteck
... |
|
Das 2x4-Rechteck hat die magischen Zahlen 9 und 18.
Das 4x8-Rechteck hat die magischen Zahlen 66 und 132.
(1), Seite 156 |
Magische Pythagoras-Figur
... ... |
25² =20²+15² lässt sich schreiben als (1+8+9+7)²
= (6+4+2+8)²+(5+3+6+1)².
Diese Rechnung veranschaulicht man, indem man die Zahlen 1 bis 9 auf
die Ecken der Pythagoras-Figur verteilt. |
(3), Seite 143
Magischer fünfeckiger
Stern
... ... |
Der magische Fünfeck-Stern enthält zehn viergliedrige Summen
mit der magischen Zahl 28.
Es werden von den ersten 13 Zahlen 10 Zahlen verwendet
(8), Seite 213.
Offenbar gibt es keinen normalen magischen Stern der Ordnung 5. |
Magisches Sechseck
und Varianten
Auf meiner Webseite Magisches Sechseck
findet man unterschiedliche magische Figuren in Sechseckform, darunter
auch magische Sterne.
Magischer siebeneckiger
Stern
Zwei normale magische Sterne mit der magischen Summe 30.
Quelle: Homepage von Harvey D. Heinz (URL unten)
 |
Vollständiger magischer Stern
Verwendet werden 21 Zahlen aus der Menge {3, 4, 5, ..., 46, 47, 48}.
Die magische Summe ist 150.
(7) Seite 24 |
Der magische Kreis
... ... |
Der magische Kreis enthält 4+8=12 achtgliedrige Summen.
Die Summe auf jedem Kreis ist 138.
Die Summe auf jedem Durchmesser (die 9 in der Mitte ist zu streichen)
ist ebenfalls 138.
Nach (7) wurde er 1275 vom Chinesen Yang Hui entworfen. |
Magische Quadrate im
Internet top
Deutsch
Christoph Pöppe (Spektrum der Wissenschaft - Dossier)
Edle magische Quadrate
Felix Kunert & Karsten Lehmann (raetselverzeichnis.de)
Magisches
Quadrat Rätsel
Feng-Shui-Homepage
Das magische
Quadrat Lo-Shu
Hans-Peter Gramatke
Magische Quadrate
H.B. Meyer
magische Quadrate: 4
x 4, 5 x 5,
6
x 6
Jan Haase
Das
Hexeneinmaleins aus Goethes "Faust"
Jan Theofel und Martin Trautmann
Magische Quadrate
und Würfel
Maria Koth
Magische
Quadrate (.pdf.-Datei)
Mathe-Club Gotha
Aufgaben
mit Ziffern
Paul Heimbach
Magische Quadrate
recordholders.org
Das
größte Magische Quadrat der Welt
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Magische
Quadrate
Wikipedia
Magisches
Quadrat, Vollkommen
perfektes magisches Quadrat, Sator-Quadrat,
Magischer
Würfel,
Lateinisches
Quadrat
Englisch
Craig Knecht (Magic
Square Models)
| Water
Retention Patterns |
... ... |
Man stelle sich vor: Die Quadrate sind die Spitzen quadratischer Prismen
der Höhe der Zahlenangaben. Schüttet man Wasser auf diesen Körper,
so bleibt es in der Mitte bis zur Höhe 17 als Teich stehen. Da fließt
es ab. Die Wassermenge ist (17-3)+(17-7)+(17-13)+(17-1)+(17-4)+(17-5)=69.
Es gibt schöne Probleme: Größte Wassermenge?
Getrennte Seen? Inseln? |
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Magic Square,
Panmagic
Square,
Associative
Magic Square, Lo
Shu, Prime
Magic Square, Magic
Cube, Magic
Circles
Harvey D. Heinz
Magic Hypercubes Home Page,
Order
4 Magic Squares
H.B. Meyer
magic squares: 4
x 4, 5 x 5,
6
x 6
Ivars Peterson's MathTrek
More than
Magic Squares
Lee Sallows
Geomagic Squares
Mark S. Farrar
Magic Squares
MathPages
Solving Magic
Squares
Robin Moseley
Magic
Flexagon
Suzanne Alejandre (Math Forum)
Magic squares,
Mutsumi Suzuki's Pages
included
The On-Line Encyclopedia
of Integer Sequences
magic numbers, sequences
related to ..., Sequence of magic numbers: A006003
Wikipedia
Magic square,
Most-perfect
magic square, Sator
Square, Magic
cube, Magic star,
Simple
magic cube,
Latin square,
Magic
circle (mathematics)
Referenzen top
(1 ) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden, Berlin 1941
(Erstauflage )
(2) Wilhelm Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Leipzig
1901
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und
Formen, Göttingen 1969
(4) Bild der Wissenschaften, 8/1966, 6/1968, 7/1971, 9/1971, 3/1974,
10/1976
(5) Pieter van Delft /Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München
1980 (1998 neu aufgelegt)
(6) Maximilian Miller: Gelöste und ungelöste mathematische
Probleme, Leipzig 1982
(7) Kenneth Kelsey: Magische Zahlenspiele, dtv 1983 [ISBN 3-423-10199-7]
(8) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York
- London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
(9) Tibor Bakos: Magische Quadrate, in "Mathematisches Mosaik", Köln
1977 [ISBN 3-7614-0371-2]
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2000, überarbeitet 2011, Jürgen Köller
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