Magische Quadrate
Inhalt dieser Seite
Was ist ein magisches 3x3-Quadrat?
Magische Quadrate n-ter Ordnung
Das magische 3x3-Quadrat 
Varianten der 3x3-Quadrate
Das magische 4x4-Quadrat
Das magische 5x5-Quadrat
Zusammengesetzte Quadrate
Besondere Quadrate
Magischer Würfel
Keine Quadrate mehr
Magische Quadrate im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite      "Mathematische Basteleien"

Was ist ein magisches Quadrat?
Das soll am magischen Quadrat auf Albrecht Dürers Kupferstich Melancholie von 1514 erklärt werden.
.......
Man ordnet die Zahlen 1 bis 16 so zu einem Quadrat an, dass die Summe der Zahlen untereinander, nebeneinander oder diagonal 34 ist.

Verwendet man als Zahlen 1 bis 16 wie hier, so erhält man das normale magische Quadrat. 


Magische Quadrate und Varianten sind schon seit alters her ein beliebtes Thema der Unterhaltungsmathematik. Aus der Fülle des Angebots in Literatur und Internet habe ich das zusammengetragen, was ich interessant finde.

Magische Quadrate n-ter Ordnung      top
Die Existenz magischer Quadrate ist für alle natürlichen Zahlen n>2 gesichert. Es ist aber kein Bildungsgesetz für beliebige Zahlen n bekannt. - Das sind Beispiele der kleinsten, magischen Quadrate.


Die Seitenlänge heißt auch Ordnung. Die Beispiele sind also magische Quadrate der Ordnungen 3, 4, 5, 6, 7 und 8.

Allgemein definiert man:
Ein Quadrat n-ter Ordnung ist magisch, wenn die Zahlen 1, 2, 3, ... , n² so in einem n x n-Quadrat verteilt werden, dass die Summen der n Zahlen untereinander, nebeneinander oder diagonal konstant sind. Die Summe heißt magische Zahl. 
Es gilt (1+2+3+...+n²):n = (1/2)n(n²+1)(1+2+3+...+n²):n = (1/2)n(n²+1).

Und das sind die magischen Summen der ersten acht Quadrate.
Magisches Quadrat:
Magische Summe: 
3x3
15
4x4
34
5x5
65
6x6
111
7x7
175
8x8
260
9x9
369
10x10
505

Das magische 3x3-Quadrat 
Es gilt 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Beim magischen Quadrat werden jeweils 3 Zahlen addiert. Also ist die mittlere Summe dreier Zahlen gleich 45:3=15. 
Man kann auch auf die magische Zahl 15 kommen, wenn man den mittleren Summanden 5 dreimal addiert. 

Die Zahl 15 lässt sich achtmal in eine Summe aus drei Summanden zerlegen:
15=1+5+9
15=1+6+8
15=2+4+9
15=2+5+8 
15=2+6+7
15=3+4+8
15=3+5+7
15=4+5+6
In den Zerlegungen kommen die ungeraden Zahlen 1,3,7 und 9 zweimal vor, die geraden Zahlen 2,4,6 und 8 dreimal, und die Zahl 5 erscheint viermal.
Daraus folgt, dass man die Zahl 5 in die Mitte eines magischen 3x3-Quadrates setzen muss. Die übrigen ungeraden Zahlen muss man in die Seitenmitten und die geraden Zahlen in die Ecken setzen.
Es gibt unter diesen Bedingungen acht Möglichkeiten ein Quadrat zu bilden:


...... Alle acht Quadrate gehen ineinander über, wenn man sie an ihren Symmetrieachsen spiegelt. 
Das sind die Diagonalen und die Mittellinien.
Symmetrische Quadrate dieser Art zählt man nur einmal. 

Es gibt unter diesem Gesichtspunkt  nur ein magisches 3x3-Quadrat.

Varianten der 3x3-Quadrate top
Nicht-normale magische Quadrate
...... Die Zahlen 21 bis 29 bilden ein magisches Quadrat mit der magischen Summe 75.


Die Erklärung ist einfach.
........6+c....1+c....8+c........
........7+c....5+c....3+c........
........2+c....9+c....4+c........
Ein magisches Quadrat bleibt nämlich magisch, wenn man jede Zahl mit einer Konstanten c verändert, zum Beispiel durch Addition von c zu jeder Zahl. Oben ist c=20.
Man kann auch subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.

Quadrat aus Primzahlen
...... Das ist ein magisches Quadrat aus Primzahlen.................................................................................

Quadrat aus Quadratzahlen
...... Das ist ein "semi"-magisches Quadrat aus Quadratzahlen. 
Nur die Summen durch den Mittelpunkt sind gleich................................................................
Quelle: http://www.mathpages.com/home/kmath417.htm

Das magische Multiplikationsquadrat
Das ist ein magisches Quadrat, bei dem nicht die Summen, sondern die Produkte aus den Zahlen in den Zeilen, Spalten und Diagonalen gleich sind.
Es gibt eine einfache Bildungsregel.
...... ...... Man geht z.B. von dem magischen 3x3-Quadrat aus und ersetzt die Zahlen durch Zweierpotenzen mit ihnen als Hochzahlen. 
Das magische Produkt ist 215=32768.

...... Dieses 3x3-Quadrat ist das Quadrat mit dem kleinsten Produkt.

Das magische Produkt ist 216.


Das magische 4x4-Quadrat top
Zerlegungen der magischen Zahl
Die magische Zahl ist (1+2+...+15+16):4 = 34
Der Computer fand 86 Zerlegungen von 34 in eine Summe von vier Summanden aus den Zahlen 1 bis 16:
34=01+02+15+16 
34=01+03+14+16
34=01+04+13+16 
34=01+04+14+15 
34=01+05+12+16 
34=01+05+13+15 
34=01+06+11+16
34=01+06+12+15 
34=01+06+13+14 
34=01+07+10+16 
34=01+07+11+15
34=01+07+12+14
34=01+08+09+16 
34=01+08+10+15 
34=01+08+11+14 
34=01+08+12+13 
34=01+09+10+14 
34=01+09+11+13 
34=01+10+11+12 
34=02+03+13+16 
34=02+03+14+15 
34=02+04+12+16 
34=02+04+13+15 
34=02+05+11+16 
34=02+05+12+15 
34=02+05+13+14 
34=02+06+10+16
34=02+06+11+15 
34=02+06+12+14 
34=02+07+09+16
34=02+07+10+15 
34=02+07+11+14 
34=02+07+12+13 
34=02+08+09+15 
34=02+08+10+14 
34=02+08+11+13 
34=02+09+10+13 
34=02+09+11+12
34=03+04+11+16 
34=03+04+12+15 
34=03+04+13+14
34=03+05+10+16 
34=03+05+11+15 
34=03+05+12+14 
34=03+06+09+16 
34=03+06+10+15 
34=03+06+11+14 
34=03+06+12+13 
34=03+07+08+16 
34=03+07+09+15 
34=03+07+10+14 
34=03+07+11+13 
34=03+08+09+14 
34=03+08+10+13 
34=03+08+11+12 
34=03+09+10+12 
34=04+05+09+16 
34=04+05+10+15 
34=04+05+11+14 
34=04+05+12+13 
34=04+06+08+16 
34=04+06+09+15 
34=04+06+10+14 
34=04+06+11+13 
34=04+07+08+15 
34=04+07+09+14
34=04+07+10+13 
34=04+07+11+12 
34=04+08+09+13 
34=04+08+10+12 
34=04+09+10+11 
34=05+06+07+16
34=05+06+08+15 
34=05+06+09+14 
34=05+06+10+13 
34=05+06+11+12 
34=05+07+08+14 
34=05+07+09+13 
34=05+07+10+12 
34=05+08+09+12 
34=05+08+10+11 
34=06+07+08+13 
34=06+07+09+12 
34=06+07+10+11
34=06+08+09+11 
34=07+08+09+10 
.
.
.
.
In den Zerlegungen von 34 sind die Summanden 1 bis 16 etwa gleichmäßig verteilt. 
Summand:
Anzahl:
01
19
02
20
03
21
04
22
05
22
06
23
07
23
08
22
09
22
10
23
11
23
12
22
13
22
14
21
15
20
16
19
Im Unterschied zum 3x3-Quadrat kann man daraus kaum Schlüsse auf die Verteilung der Zahlen 1 bis 16 im 4x4-Quadrat ziehen.


Muster im Dürer-Quadrat
.......
Wie oben erwähnt ist im Deutschen das magische Quadrat von Dürer das magische Quadrat schlechthin.

...... Markiert man vier Zahlen mit der Summe 34, so liegen sie oft symmetrisch im Quadrat verteilt und bilden einfache Figuren wie die Quadrate links.


In Buch (7) findet man 28 Figuren, die symmetrisch sind und auch symmetrisch bzgl. von Achsen des Quadrates liegen.

10 Strecken

4 Quadrate

2 Rauten

4 Rechtecke

8 Parallelogramme

Ich habe mich gefragt, welche Muster die 86 Zerlegungen der Zahl 34 bilden. 
Dazu werden die 86 Zerlegungen mit Computerhilfe graphisch dargestellt.

.
.
.
.
.

Ordnet man die Figuren, so ergeben sich z.B. vier Klassen.
Standard
.....  Da sind zuerst einmal die 28 symmetrischen Figuren von oben aus Buch (7)...................................

Achtfach
...... Eine Figur tritt 8x auf. .......................................................................................................................

Vierfach
...... Acht Figuren treten 4x auf. Sie sind bis auf eine Ausnahme symmetrisch.............................
Das sind insgesamt 32 Figuren.

Doppelt
......... 9 Figuren treten doppelt auf. Sie sind asymmetrisch.
Das sind insgesamt 18 Figuren...........................................................................................................................
Kontrolle: 28+8+32+18=86

Mehr über das Ordnen dieser Figuren findet man auf der Webseite von Harvey Heinz Order 4 Magic Squares
(URL unten).

Konstruktion eines 4x4-Quadrates
Es gibt eine einfache Möglichkeit, ein magisches 4x4-Quadrat zu erzeugen. 

................ >Schreibe die Zahlen von 1 bis 16 Zeile für Zeile in das Quadrat.

...... >Lasse die Zahlen in den Ecken und im mittleren 2x2-Quadrat stehen.
Ersetze die übrigen Zahlen n durch 17-n. 

...... Es ist ein magisches Quadrat entstanden.....
Quelle: (1) Seite 134 

Achsensymmetrische magische Quadrate
Man erhält neue Quadrate, indem man an den vier Achsen des Quadrates spiegelt.
......
Wie beim magischen 3x3-Quadrat sieht man die acht Varianten als gleich oder äquivalent an.

Man weiß: Es gibt insgesamt  880 magische 4x4-Quadrate. 
Dabei werden die eben vorgestellten achsen- und zugleich punktsymmetrischen Quadrate nur einmal gezählt. 

Punktsymmetrisches magisches Quadrat
...... Bilden die beiden zum Mittelpunkt punktsymmetrisch zueinander liegende Zahlen die Summe n²+1=17, so heißt das magische Quadrat punktsymmetrisch oder selbstkomplementär. 
Die Ersetzung aller Zahlen n durch 17-n bedeutet eine Drehung um 180°. 
Das Dürer-Quadrat ist punktsymmetrisch. 


Halbmagisches Quadrat
Ein Zahlenquadrat heißt halbmagisch, wenn nur die Summe der Zahlen untereinander und nebeneinander die magische Zahl ist. Man kann das Dürer-Quadrat leicht so abändern, dass die Summe der Zahlen in den Diagonalen  nicht mehr 34 ist. 
......
Dazu tauscht man wie links zwei untereinanderliegende Paare mit gleicher Summe aus. Die Zahlen 6 und 10 liegen auf Diagonalen und stören die Summen. Aus 34 und 34 wird 30 und 38.

Magisches Parkett
...... Ein halbmagisches Parkett entsteht, wenn man ein beliebiges magisches Quadrat (z.B. das Dürer-Quadrat) auswählt und nebeneinander und untereinander wiederholt. 

...... Dann ist jedes Quadrat aus 16 Zahlen halbmagisch.........................................................................

...... Hat das parkettbildende Quadrat noch die zusätzliche Eigenschaft, dass die Summen der "gebrochenen" Diagonalen auch noch den Wert der magischen Zahl haben, so heißt es panmagisch.

...... Ein magisches Parkett entsteht, wenn man ein panmagisches Quadrat wählt und nebeneinander und untereinander wiederholt. 

...... Jedes Quadrat aus16 Zahlen, das man in des Feld legen kann, ist magisch...................................... 

(8), Seite 253ff.

"Antimagisches" Quadrat
...... Alle Summen in den Zeilen, in den Spalten und in den Diagonalen sind voneinander verschieden (4).

Das magische 5x5-Quadrat top
Die magische Zahl ist (1+2+...+24+25) : 5 = 65.


Zerlegungen der magischen Zahl 65
65 = 01+02+13+24+25
65 = 01+02+14+23+25
65 =  ...
65 =  ...
65 =  ...
65 =  ...
65 = 10+12+13+14+16
65 = 11+12+13+14+15
Der Computer fand 1394 Zerlegungen der Zahl 65. 
Die Summanden und ihre Anzahl in den Summen:
Es fällt auf, dass der mittleren Zahl 13 = 65:5 die größte Anzahl zugeordnet ist. 
Die Anzahl der Summanden zu größer und kleiner werdenden Summanden nimmt beidseitig symmetrisch ab.

Man weiß: Es gibt 275 305 224 magische 5x5-Quadrate. (Scientific American 1/1976, deutsche Ausgabe)

Konstruktion eines magischen 5x5-Quadrats
Die Zahlen 1 bis 25 werden der Reihe nach auf die Felder verteilt. Dabei werden für die nächste Zahl die Regeln "weiter oben rechts" und "falls besetzt, darunter weiter" beachtet.
......................................... Die Zahl 1 kommt in die Mitte der ersten Zeile.
Die nächste Zahl 2 folgt oben rechts. Aber dann verlässt man das Feld. 
Deshalb muss man sich das Quadrat als einen Zylinder denken. Der Zylinder hat die vertikalen Seiten als Kreisumfänge, die horizontalen Seiten stoßen aufeinander und schließen den Mantel des Zylinders. Dann ist oben rechts ein Platz für die 2. Wieder auseinandergerollt ist die Zahl 2 in die letzte Zeile ein Feld nach rechts gewandert. 
Zahl 3 folgt oben rechts.
...... Die Zahl 4 würde wieder außerhalb des Feldes liegen. Man denkt sich wieder einen Zylinder, dieses Mal mit vertikaler Achse. Man kann dann die Zahl 4 wieder oben rechts unterbringen. Auseinandergerollt liegt die Zahl in der dritten Zeile ganz links. 
Die Zahl 5 liegt oben rechts. 
Für die Zahl 6 wird eine zweite Regel angewandt: Ist das Feld oben rechts besetzt, so gelangt die nächste Zahl eine Zeile tiefer in die gleiche Spalte. 
Man fährt mit 7,8 usw. fort. Für die Zahl 16 wird übrigens die gleiche Regel wie für die Zahl 6 angewandt.

Dieses Bildungsgesetz lässt sich auf alle magische Quadrate mit ungerader Seitenzahl übertragen :-).

Zusammengesetzte Quadrate    top
Rahmenquadrate
...... Das 7x7-Quadrat hat die magische Zahl 175. 

Es enthält zwei weitere magische Quadrate.
Das 5x5-Quadrat hat die magische Zahl 125=5*12+65. 
Das 3x3-Quadrat hat die magische Zahl 75=3*20+15.

(1), Seite 154


Magisches Quadrat 9x9 mit magischen Teilquadraten
...... Das 9x9-Quadrat hat die magische Zahl 369. 
Es setzt sich aus neun magischen 3x3-Quadraten zusammen.
Die magischen Zahlen sind
9+8
9+54
9+45
9+72
9+36
9+0
9+26
9+18
9+63
(1), Seite 156

Magisches Quadrat 8x8 mit magischen Teilquadraten
...... Das 8x8-Quadrat hat die magische Zahl 260. 
Es setzt sich aus vier magischen 4x4-Quadraten zusammen.

Alle vier magischen Quadrate haben die magische Zahl 130.

(1), Seite 155
 


Besondere Quadrate     top
Lateinisches Quadrat
...... Auch hier sind die acht Summen im Quadrat konstant. 
Es werden allerdings nur die ersten drei Zahlen verwandt. 
Lateinische Quadrate gibt es allgemein für die n-te Ordnung.


Magic 21 Square
...... Das ist ein Schiebepuzzle nach Art des Fünfzehnerspiels.

In den fünf Zeilen und den fünf Spalten ist die Summe 21. 

Ziel des Puzzles ist es, die Steine so zu verschieben, dass auch in den Diagonalen die Summe 21 wird.

©  2008 Taquinze (Hans Janmaat)


Sudoku
...... ...
Von den lateinischen Quadraten ist es ein kleiner Schritt zum Sudoku.

Magische Buchstaben-Quadrate
...... Diese und ähnliche magische Quadrate aus Buchstaben kennt man aus Rätselecken von Zeitschriften. 
Die Buchstaben bilden sinnvolle Wörter.

Ein bekanntes Quadrat dieser Art ist das Sator-Quadrat, zu dem es eine Wikipedia-Seite gibt (URL unten).

Magischer Würfel top
...... Der magische Würfel dritter Ordnung ist eine Verallgemeinerung des magischen 3x3-Quadrates.

Die Zahlen 1 bis 27 werden so auf die Felder eines 3x3x3-Würfels verteilt, dass die Summen
>der Zahlen der 18 Zeilen,
>der Zahlen der 9 Spalten
>der Zahlen der 4 Raumdiagonalen konstant sind.

Die magische Zahl ist 42.

Auf eine Eigenschaft muss verzichtet werden: Die Summe der Zahlen der 18 Flächendiagonalen ist nicht 42.


Andere Sichtweise
Der magische Würfel enthält neun verschiedene halbmagische Quadrate. 

Längs der vier Raumdiagonalen liegen die folgenden Summen.
09+14+19=42 22+14+06=42 20+14+08=42 18+14+10=42
(3), Seite 142f.

Keine Quadrate mehr top
Einfache Varianten mit magischer Summe


Magisches Rechteck
...
Das 2x4-Rechteck hat die magischen Zahlen 9 und 18.
Das 4x8-Rechteck hat die magischen Zahlen 66 und 132.
(1), Seite 156

Magische Pythagoras-Figur
...... 25² =20²+15² lässt sich schreiben als (1+8+9+7)² = (6+4+2+8)²+(5+3+6+1)².

Diese Rechnung veranschaulicht man, indem man die Zahlen 1 bis 9 auf die Ecken der Pythagoras-Figur verteilt.

(3), Seite 143

Magischer fünfeckiger Stern
...... Der magische Fünfeck-Stern enthält zehn viergliedrige Summen mit der magischen Zahl 28.

Es werden von den ersten 13 Zahlen 10 Zahlen verwendet 

(8), Seite 213.

Offenbar gibt es keinen normalen magischen Stern der Ordnung 5.

Magisches Sechseck und Varianten
Auf meiner Webseite Magisches Sechseck findet man unterschiedliche magische Figuren in Sechseckform, darunter auch magische Sterne.

Magischer siebeneckiger Stern
Zwei normale magische Sterne mit der magischen Summe 30.
Quelle: Homepage von Harvey D. Heinz (URL unten)

...
Vollständiger magischer Stern

Verwendet werden 21 Zahlen aus der Menge {3, 4, 5, ..., 46, 47, 48}.

Die magische Summe ist 150.

(7) Seite 24


Der magische Kreis
...... Der magische Kreis enthält 4+8=12 achtgliedrige Summen. 

Die Summe auf jedem Kreis ist 138.
Die Summe auf jedem Durchmesser (die 9 in der Mitte ist zu streichen) ist ebenfalls 138. 

Nach (7) wurde er 1275 vom Chinesen Yang Hui entworfen.


Magische Quadrate im Internet        top

Deutsch

Christoph Pöppe (Spektrum der Wissenschaft - Dossier)
Edle magische Quadrate

Felix Kunert & Karsten Lehmann (raetselverzeichnis.de)
Magisches Quadrat Rätsel

Feng-Shui-Homepage
Das magische Quadrat Lo-Shu

Gerd Müller
Magisches Quadrat interaktiv

Hans-Peter Gramatke
Magische Quadrate

H.B. Meyer
magische Quadrate:  4 x 4, 5 x 5, 6 x 6

Holger Danielsson
Magische Quadrate

Jan Theofel und Martin Trautmann
Magische Quadrate und Würfel

Maria Koth
Magische Quadrate   (.pdf.-Datei)

Paul Heimbach
Magische Quadrate

recordholders.org
Das größte Magische Quadrat der Welt

Udo Hebisch  (Mathematisches Café) 
Magische Quadrate

Wikipedia
Magisches Quadrat, Vollkommen perfektes magisches Quadrat, Sator-Quadrat, Magischer Würfel
Lateinisches QuadratHexeneinmaleins


Englisch

Craig Knecht (Magic Square Models)
...... Man stelle sich vor: Die Quadrate sind die Spitzen quadratischer Prismen der Höhe der Zahlenangaben. Schüttet man Wasser auf diesen Körper, so bleibt es in der Mitte bis zur Höhe 17 als Teich stehen. Da fließt es ab. Die Wassermenge ist (17-3)+(17-7)+(17-13)+(17-1)+(17-4)+(17-5)=69. 
Es gibt schöne Probleme: Größte Wassermenge?  Getrennte Seen?  Inseln?
Water Retention Patterns


...... Das nächste Bild zeigt anschaulich, was unter Water Retention Patterns zu verstehen ist.

Man findet Programme dazu auf der Webseite http://users.eastlink.ca/~sharrywhite/Download.html



Eric W. Weisstein (MathWorld) 
Magic Square, Panmagic Square, Associative Magic SquareLo ShuPrime Magic Square, Magic CubeMagic Circles

Harvey D. Heinz
Magic Hypercubes Home Page, Order 4 Magic Squares

H.B. Meyer
magic squares:  4 x 4, 5 x 5, 6 x 6

Holger Danielsson
Magic Squares

Lee Sallows
Geomagic Squares

Mark S. Farrar
Magic Squares

MathPages
Solving Magic Squares

Robin Moseley
Magic Flexagon   (.pdf-File)

Suzanne Alejandre (Math Forum)
Magic squares, Mutsumi Suzuki's  Pages included

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
magic numbers, sequences related to ...,  Sequence of magic numbers: A006003

Wikipedia
Magic square, Most-perfect magic square, Sator SquareMagic cube, Magic star, Simple magic cube,
 Latin square, Magic circle (mathematics), Water retention on mathematical surfacesAssociative magic square


Referenzen top
(1 ) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden, Berlin 1941 (Erstauflage )
(2) Wilhelm Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Leipzig 1901
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969 
(4) Bild der Wissenschaften, 8/1966, 6/1968, 7/1971, 9/1971, 3/1974, 10/1976
(5) Pieter van Delft /Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980 (1998 neu aufgelegt)
(6) Maximilian Miller: Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Leipzig 1982
(7) Kenneth Kelsey: Magische Zahlenspiele, dtv 1983 [ISBN 3-423-10199-7]
(8) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York - London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
(9) Tibor Bakos: Magische Quadrate, in "Mathematisches Mosaik", Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2] 



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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2000, überarbeitet 2011, Jürgen Köller

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