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Was ist eine Kugel?
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Eine Gerade verläuft durch den Mittelpunkt eines Kreises.
Rotiert der Kreis um diese Gerade, so entsteht eine Kugel.
Alle Punkte der Kugeloberfläche haben vom Mittelpunkt die gleiche
Entfernung. |
Gleichungen der Kugel
top
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Es sei Punkt P ein beliebiger Flächenpunkt der Kugel mit dem Radius
R in einem räumlichen, kartesischen Koordinatensystem. Zeichnet man
seine Koordinaten als Strecken ein (rot), so entstehen zwei rechtwinklige
Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras gilt: Das führt zu
R²=z²+d²=z²+(x²+y²)=x²+y²+z².
Ergebnis: Die Koordinatengleichung einer Kugel ist x²+y²+z²=R². |
Hat die Kugel den Mittelpunkt M(x0|y0|z0),
so heißt die Koordinatengleichung (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²=R².
Man kann die Koordinaten auch durch einen
Term mit zwei Parametern wie folgt beschreiben.
x=Rsin(u)cos(t)
y=Rsin(u)sin(t)
z=Rcos(u)
Es ist der gleiche Kreis, wie die folgende Rechnung zeigt. x²+y²+z²=R²[sin²(u)cos²(t)+sin²(u)sin²(t)+cos²(u)]=R²{sin²(u)[cos²(t)+sin²(t)]+cos²(u)}=R²[sin²(u)+cos²(u)]=R²
Darstellungen einer Kugel
top
1 Der Umriss einer Kugel ist ein Kreis, und damit ist der Kreis das Bild
einer Kugel.
2 Ein besseres Bild entsteht, wenn man noch zusätzlich zum Kreis
den Dreh-Kreis in der Position senkrecht zur Zeichenebene als Schrägbild
einzeichnet.
3 Man könnte auch einen Punkt des Drehkreises in der "Äquatorebene"
verfolgen.
4 Man findet in Büchern eine einfache Zeichnung, in der die Kugelkrümmung
durch wenige Linien angedeutet wird.
5 Die Krümmung wird deutlicher durch die Methode des Raytracings.
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Ein aufwändiges Bild entsteht, wenn man durch die Kugel in gleichen
Abständen parallel zu den Hauptebenen eines räumlichen Koordinatensystems
Ebenen legt und die Schnittlinien festhält.
Alle Schnittlinien sind Kreise. Gehen die Kreise durch den Mittelpunkt
der Kugel, entstehen "Großkreise". Sie haben mit der Kugeln den Radius
r gemeinsam. Die übrigen Schnittlinien sind "Kleinkreise". Sie haben
einen Radius kleiner als r.
Das Bild entstand mit dem Freeware-Programm Winplot (URL unten) mit
Hilfe der Gleichung x²+y²+z²=4. |
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Das Programm Winplot ermöglicht es auch, die Kugel aus Breiten-
und Längenkreisen zu bilden.
Dazu wählt man die Parameterdarstellung
x=sin(u)cos(t)
y=sin(u)sin(t)
z=cos(u)
mit R=1 und 0<=t<=2*pi und 0<=u<=pi. |
Auf meiner Seite Torus
erkläre ich, wie man mit dem Programm Winplot Körper dieser
Art zeichnet.
Größen der Kugel top
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Eine Kugel wird üblicherweise durch den Radius r gegeben.
Daraus lassen sich das Volumen V und die Oberfläche O berechnen.
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Erste Herleitung
der beiden Formeln
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Man stelle sich vor, der rote Viertelkreis rotiere um die x-Achse.
Dann entsteht eine Halbkugel.
Für Rotationskörper dieser Art gibt es Formeln für das
Volumen und für die Oberfläche.
Zur ihren Herleitungen zerlegt man sie in Scheiben und summiert diese
Volumina, für die Oberfläche summiert man die Mäntel von
Kegelstümpfen. Das führt zu Integralen. |
Zweite Herleitung
der beiden Formeln
Man kann auch Integrale umgehen.
Volumen
Nach dem Satz des Cavalieri haben zwei Körper das gleiche Volumen,
wenn Schnittflächen in derselben Höhe den gleichen Flächeninhalt
haben.
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Zwei Körper dieser Art sind eine Halbkugel und ein Restkörper.
Dieser entsteht, wenn man einen Kegel aus einem Zylinder herausnimmt. |
Restkörper
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Beim Zylinder sind Radius und Höhe gleich.
Der Kegel mit den gleichen Abmessungen wird kopfüber hineingesteckt.
Es entsteht ein Restkörper mit dem Volumen V=pi*r²h-(1/3)pi*r²h=(2/3)pi*r²h. |
Legt man durch den Restkörper in beliebiger Höhe h' (0<h'<h)
eine Schnittebene, so ist die Schnittfläche ein Kreisring mit dem
Flächeninhalt A1=pi*(r²-y²)=pi*(r²-h'²).
Halbkugel
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Legt man durch eine Halbkugel mit dem gleichen Grundkreis wie der Zylinder
einen Schnitt in gleicher Höhe wie oben, so entsteht ein Kreis mit
dem Flächeninhalt. A2=pi*x²=pi*(r²-h'²). |
Es gilt also A1=A2 und weiter Vhalbkugel=(2/3)pi*r²h
und Vkugel=(4/3)pi*r²h.
Oberfläche
Die Kugeloberfläche als Fläche zweiter
Ordnung kann man nicht in der Ebene ausbreiten. Dadurch wird eine elementare
Bestimmung schwierig. Es gibt eine Plausibilitätserklärung.
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Man greife ein beliebig kleines Flächenelement "delta A" heraus
und verbinde die Begrenzungslinie mit dem Mittelpunkt der Kugel. Dann entsteht
ein beliebig kleiner Kegel mit dem Volumen
(delta V)=(1/3)(delta A)r.
Addiert man diese gedachten Kegel, so ergibt sich [Summe der (deltaV)]=(1/3)[Summe
der (delta A)]r oder V=(1/3)Or.
Mit V=(4/3)pi*r³ ergibt sich O=4pi*r². |
Kugelteile top
Kugelabschnitt oder Kugelsegment
Gelb: Kugelkappe, -haube, -kalotte
V=(1/3)*pi*h²(3r-h)=(1/6)*pi*h(3a²+h²)
M=2pi*rh
O=pi*(a²+2rh)
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Kugelausschnitt oder Kugelsektor
.
V=(2/3)*pi*r²h
O=pi*r(2h+a)
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Kugelschicht
Gelb: Kugelzone
V=(1/6)pi*h(3a²+3b²+h²)
M=2pi*rh
O=pi*(2rh+a²+b²)
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Kugelkeil
rot: Kugelzweieck (M)
V=(4/3)pi*r³(alpha/360°)
M=4pi*r²(alpha/360°) |
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Hohlkugel
V=(4/3)pi*(r2³-r1³) |
Flächen zweiter Ordnung
top
Die Kugel gehört zu den Flächen zweiter Ordnung.
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem
die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im
Wesentlichen die folgenden Flächen.
Pyramiden aus Kugeln top
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Man kann Kugeln zu einer Pyramide aufschichten. Die Anzahl der Kugeln
in einer Schicht ist eine Quadratzahl: 1,4,9,16,... , allgemein n².
Bildet man die Summe der Kugeln schichtweise, so erhält man die "Pyramidenzahlen"
1,5,14,30,... , allgemein 1+4+9+16+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6. |
Früher bewahrte man so Kanonenkugeln auf und konnte mit Hilfe der
Anzahl der Schichten auf die Anzahl der Kanonenkugeln schließen.
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Klebt man 14 Kugeln zu zwei Sechsergruppen und einem Paar zusammen,
so erhält man ein Puzzle:
Man muss die drei Stücke zu einer Pyramide zusammensetzen. |
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Es geht auch komplizierter. ........................... |
Es sieht auch schön aus, Kugeln zu Pyramiden zu stapeln.
Dann müssen die Kugeln der untersten Schicht in Mulden oder in
einem Rahmen liegen.
Erde als Kugel top
Die Planeten und die Sonne sind kugelförmig. Sie werden von der
Eigengravitation zusammengehalten.
Als die Teilchen noch gegeneinander verschiebbar waren, bildete sich
ein stabiler Zustand:
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Die Oberfläche stellte sich so ein, dass die Anziehungskräfte
senkrecht zu ihr und dann auf einen Mittelpunkt gerichtet waren. Aus diesen
Urzeiten stammt die Kugelform.
Bei der Erde kommt noch hinzu, dass sie durch die Eigendrehung an den
Polen abgeflacht und am Äquator geweitet ist. Der Unterschied der
Entfernungen vom Mittelpunkt ist aber nur 0,34%. |
Sonne/Mond/Erde
Auf vielen Schulhöfen wird gerne unser Sonnensystem oder einfach
nur das System Erde/Mond aufgezeichnet.
Hier sind Daten. [d( ) sind Durchmesser, e( / ) Entfernungen der Himmelskörper]
Für einen Maßstab 1cm=1000 km oder 1 : 100.000.000
gilt:
d(Erde)=12,7cm, d(Mond)=3,5cm, e(Erde/Mond)=3,84m
Zum Vergleich die Daten der Sonne: d(Sonne)=13,2m, e(Erde/Sonne)=1,50
km (!)
Wem das Modell zu klein ist, der kann die fünffachen Längen
wählen.
Landkartenproblem
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Die Kugel gehört zu den doppelt gekrümmten Körpern und
kann nicht in der Ebene ausgebreitet werden. Will man die Oberfläche
- wie für Landkarten nötig - eben darstellen, muss man sich mit
Projektionen behelfen. Man projiziert die Kugel auf eine Tangentialebene
oder legt um die Kugel einen Zylinder oder einen Kegel und projiziert auf
die Mäntel. Die Mäntel lassen sich eben ausbreiten. In allen
Fällen gibt es Verzerrungen der Kugeloberfläche. Sie sind in
der Umgebung des Berührpunktes bzw. der Berührlinien am
geringsten. |
Dieses ist ein Einstieg in das Gebiet der Kartographie. Mehr bei Wikipedia
"Kartenprojektion" (URL unten).
Sind Atome
Kugeln? top
Sind Atome Kugeln? Eher nicht. Doch die Frage:
"Kann man sich Atome als Kugeln vorstellen?" muss man bejahen.
Man nähert sich in den Naturwissenschaften der Wirklichkeit oft
in Form von Modellen.
Gerade für Atome sind verschiedene Modelle bekannt. Einige sind
nur noch historisch zu sehen.
Es werden in Folgendem drei Modelle angesprochen: Das Teilchenmodell,
das Bohrsche Atommodell und das Orbitalmodell.
Teilchenmodell
Man stelle sich ein "ideales Gas" vor.
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Es besteht aus Teilchen (dargestellt als Kugeln),
die sich in einem abgeschlossenen Behälter frei bewegen. Sie haben
eine Masse, aber kein Eigenvolumen. Sie stoßen elastisch aufeinander
und auf die Wand.
Mit diesem einfachen Bild kann man u.a.das Boyle-Mariottesche
Gesetz pV=c herleiten und die Konstante c als kinetische Energie der Teilchen
deuten (1, Seite 87f.). |
Die Konstante c wiederum ist nach der allgemeinen
Gasgleichung pV=CT proportional zur absoluten Temperatur. So folgt, dass
die Temperatur durch die kinetische Energie der Teilchen bestimmt wird.
Das ist eine Vorstellung, die sich immer wieder als richtig herausgestellt
hat.
Streng genommen gibt es kein ideales Gas. Leichte Gase wie Wasserstoffgas
kommen diesem Bild noch am nächsten.
>Die Teilchen sind Moleküle und kompliziert aufgebaut und auch
nicht einheitlich.
>Zwischen den Teilchen gibt es Anziehungskräfte (Van Der Waalschen
Kräfte)
>Die Teilchen haben ein Eigenvolumen.
Für reale Gase haben die Gesetze des idealen Gases somit Grenzen
und sind nur - wenn auch gute - Näherungsgesetze. Es gibt darüber
hinaus Erscheinungen, die mit diesem Bild nicht erfasst werden.
Bohrsches Atommodell
des Wasserstoffs
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In diesem Modell hat man sich das Wasserstoff-Atom nach außen
hin als eine Kugel vorzustellen.
Die Kugel hat eine Struktur. Ein Elektron bewegt sich ähnlich
der Bewegung der Erde um die Sonne um einen Atomkern, einem Proton.
Die anziehende Kraft entsteht nicht durch die Gravitation, sondern durch
die elektrische Kraft zwischen zwei unterschiedlichen Ladungen. |
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Die Bahn eines Elektrons ist nicht fest, sondern es kann auf bestimmte
Kreisbahnen angehoben werden, wenn eine passende Energie zugeführt
wird. Dieser angeregte Zustand ist nicht stabil, das Elektron fällt
zurück und sendet dabei eine Lichtwelle aus. |
Diese Vorstellung ist anschaulich. Die Frequenzen des ausgesandten Lichtes
lassen sich näherungsweise bestimmen. Das Auftreten von Spektralserien
sowie der Ionisierungsenergie werden verstehbar.
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Es gibt Phänomene des Wasserstoffs, die sich so nicht erklären
lassen. Ein Verallgemeinerung auf größere Atome ist nicht möglich.
Nach Aussage der Quantenphysiker ist das Planetenbild schief. Es ist somit
schon oft aus den Schulbüchern verschwunden. Das Bohrsche Atommodell
ist also eher historisch zu sehen.
Es lebt in abgewandelter Form als Schalenmodell zum Ordnen der chemischen
Elemente weiter. |
Orbitalmodell
Heute macht man sich von einem Wasserstoffsatom eine Vorstellung, die
vom Wellencharakter des Elektrons bestimmt wird.
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Es gibt einen Atomkern. Das Elektron hält sich in der Umgebung
des Kerns auf mit einer bestimmten Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Man erhält
eine exakte Kugel, wenn man z.B. 50% Aufenthaltswahrscheinlichkeit "einfriert".
Das entspricht etwa der Größe eines Atoms. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
geht gegen Null für einen Abstand gegen Unendlich.
Dargestellt ist das 1s-Elektron. Das Wasserstoffatom ist im Grundzustand. |
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Die Lichtaussendung kann man sich so vorstellen.
Wird ein Atom durch Aufnahme einer passenden Energie angeregt, so erreicht
es einen energiereicheren Zustand und nimmt die Form einer Keule an (2p-Elektron).
Es ist nicht stabil und sendet ein Photon aus. Danach nimmt es wieder die
Grundform an. |
Welche fantastischen Formen angeregte Atome haben können, findet man
in der Galerie der Abteilung für Didaktik der Physik der Universität
Karlsruhe (URL unten).
Energieniveauschema
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Will man die Lichtaussendung eines Wasserstoffatoms studieren, so ist
das Orbitalmodell wenig hilfreich.
Da geht man besser vom Energieniveauschema aus, das aus Rechnungen der
Quantentheorie gewonnen wird. Es beschreibt die verschiedenen Energiezustände,
die ein Wasserstoffatom annehmen kann, durch horizontale Linien. Energieaufnahme
und Lichtabgabe sind dann wieder durch "Sprünge" (nicht Elektronensprünge)
zu erklären.
In dieser Betrachtungsweise wird das Bild der Kugel aufgegeben. |
Ergebnis: "Sind Atome
Kugeln?" kann man also nicht so einfach mit ja oder nein beantworten.
Schwimmende Kugel top
Wirft man eine Holzkugel ins Wasser, so hat man eine "schwimmende Kugel".
Der Frage, wie tief sie sinkt, wird auf einer Seite von Matheplanet (URL
unten) nachgegangen.
Hier geht es um andere schwimmende Kugeln.
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Unter diesem Namen ist eine eindrucksvolle, weil leicht bewegliche
Steinkugel bekannt geworden. Obwohl die Kugel über eine Tonne wiegt,
lässt sie sich kinderleicht mit den Händen drehen.
Sie liegt in einer Mulde und schwebt sozusagen auf Wasser.
Ich sah die Kugel zum ersten Male im Sommer 1989 in Velden am Wörther
See vor dem Spielcasino, später in Hameln.
Heute findet man eine Miniaturausgabe sogar öfter in Blumenläden
fürs Zimmer. Aber wer will sie da schon haben? |
Aufgabe
Es bietet sich die Frage an: Wie groß muss
der Wasserdruck sein, um die Kugel zu halten?
Gegebene Daten:
Nach dem Foto ist der Durchmesser der Steinkugel etwa 2R=1m, der Durchmesser
des Eintauch-Kreises etwa 2r=0,5m. Das Material ist Granit.
Gegeben: R=0,5m, r=0,25m, d=2,7g/cm³=2700kg/m³ (Granit),
g=9,81m/s² (Erdbeschleunigung), 10000Pa=1bar
Rechnungen
Größen: V Volumen der Kugel, m Masse der Kugel, F Gewichtskraft
der Kugel, p Druck des Wassers
V=(4/3)*pi*R³=(4/3)*pi*0,5³=0,524 m³
m=dV=2700(kg/m³)*0,524m³=1410kg=1,41 t
F=mg=1410kg*9,81m/s²=13800 N
A=pi*r²=pi*0,25²m²=0,196 m²
p=F/A=13800N/0,196m²=70400N/m²=70400Pa=0,704 bar
(Die allgemeine Formel für den Druck ist p=(4/3)dR³g/r².)
Ergebnis
Es muss nur ein Druck von etwa 0,7 bar aufgebracht werden, um die Kugel
zu halten.
Zum Vergleich: Wasser steht in der Wasserleitung unter einem Druck
von der Größenordnung 3 bar.
Pendelkette top
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Die Pendelkette ist ein physikalisches Spielzeug aus fünf gleichartigen
mathematischen Pendeln.
Fünf Kugeln hängen in einem Metallrahmen. Sie sind bifilar
aufgehängt und berühren sich.
Man kann alle Kugel gleichzeitig auslenken und dann loslassen. Sie schwingen
dann im Takt.
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Der Aha-Effekt aber liegt im folgenden
Vorgang.
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Lenkt man nur den Pendelkörper links aus und lässt ihn los,
so stößt er auf die Kette und gibt ihr einen Impuls. Dieser
pflanzt sich in der Kette fort. Die Pendel bleiben in Ruhe bis auf den
rechten Pendelkörper. Er bewegt sich nach außen. Er fällt
wieder zurück auf die Kette und lässt das linke Pendel ausschlagen.
Dieser Vorgang wiederholt sich mehrere Male.
[Eine Animation ist bei Wikipedia auf der Seite Stoß (Physik)] |
Zur Erklärung betrachtet man zunächst
nur zwei Pendel.
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Wird der rechte Pendelkörper 1 ausgelenkt, so erhält die
Kugel der Masse m im tiefsten Punkt die Geschwindigkeit v. Kugel 1 stößt
auf Kugel 2. Dieser Stoß soll elastisch sein. Dann gelten zwei Erhaltungssätze.
Nach dem Stoß sollen die Kugeln die Geschwindigkeiten u1
und u2 haben.
Es gilt der Energieerhaltungssatz: mv²/2 = mu1²/2
+ mu2²/2 oder v² = u1² + u2².
Es gilt der Impulserhaltungssatz: mv = mu1 + mu2
oder v = u1 + u2. |
Aus v² = u1² + u2 ² und v = u1
+
u2 folgt eindeutig u1 = 0 und u2 = v.
Ergebnis: Nach dem Stoß ist also Pendel 1 in Ruhe und Pendel
2 übernimmt die Geschwindigkeit von Pendel 1.
Betrachtet man in obiger Pendelreihe immer zwei nebeneinanderhängende
Pendel isoliert und ihre Stoßvorgänge nacheinander, so kommt
man schließlich zu der Aussage, dass in der Pendelkette nur das rechte
Pendel wegfliegt.
Diese Anordnung ist zur Demonstration des
Impulserhaltungssatzes bekannt. Die Vorgänge werden aber nur vollständig
erfasst, wenn man auch den Energieerhaltungssatz dazunimmt.
Erste Variante
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Es kommt noch schöner:
Lenkt man z.B. drei Pendel links aus, so fallen sie auf die beiden übrigen.
Überraschenderweise werden auch rechts drei Pendel ausgelenkt. |
Zweite Variante
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In diesen Zusammenhang passt der folgende Trick.
Man lässt einen großen Gummiball und einen Tischtennisball
gleichzeitig fallen. Nach dem Aufschlagen benimmt sich der rote Ball wie
erwartet, aber der kleine Ball saust in hohem Bogen davon.
Der Tischtennisball erhält einen Impuls mv.
Wegen seiner relativ kleinen Masse ist seine Geschwindigkeit v groß. |
Dritte Variante
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Eine Kugel rollt auf eine gleichartige Kugel zu und stößt
mit ihr zusammen. Man beobachtet, dass sie dann langsamer weiter rollt
und dass die vorher ruhende Kugel sich in Bewegung setzt. - Wie groß
sind die Geschwindigkeiten u1 und u2
nach dem Stoß? |
Eine Kugel über
Bad Salzuflen top
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Seit einigen Jahren gehört zur Silhouette der Stadt ein Mast für
den Mobilfunk, bei dem die Antennen unter einer Kugelhülle verborgen
sind.
Die Katze auf der Oberfläche ist ein Überbleibsel der einst
weltberühmten, heimischen "Hoffmann's Stärkefabriken".
Die Firma nahm eine typische Entwicklung.
>Ein ausländischer Konzern kaufte sie auf.
>Die Produktion lief einige Jahre weiter.
>Die Firma übersiedelte nach Hamburg.
>Das Gelände ist jetzt ein Ort für Supermärkte. |
Weitere Kugeln auf
meiner Homepage top
Fußball als Kugel
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Schneidet man von einem Ikosaeder passend die Ecken ab, entsteht ein
abgestumpftes
Ikosaeder mit 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 Sechsecken.
Zahlreiche Spielbälle haben diese Form. |
Weitere Umkugeln
bzw. Inkugeln findet man auf meinen Seiten Tetraeder,
Würfel,
Oktaeder,
Pentagondodekaeder,
Ikosaeder,
Kuboktaeder
und Rhombendodekaeder.
Zylinder und Kegel
in der Kugel
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Über den größten Zylinder
und den größten
Kegel in der Kugel findet
man an anderen Stellen Untersuchungen. |
Puzzles in Kugelform
... ... |
... ... |
Es gibt zahlreiche Puzzles in Kugelform.
Man kann meist diese Kugeln leicht zerlegen und muss sie dann mühsam
aus den Bestandteilen wieder zusammensetzen.
Zwei Beispiele findet man auf unter Zerlegbare
Kugeln. |
Kugeln im Internet top
Deutsch
Abteilung für Didaktik der Physik, Universität Karlsruhe
Das
Wasserstoffatom im Bild
Kusser Aicha Granitwerke
Weltgrößte
Schwimmende Kugel
Randolf Rehfeld
Kugelstoßpendel
Matheplanet
Wie
tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
Wikipedia
Kugel, Sphäre
(Mathematik), Kugeldreieck,
Kartenprojektion,
Stoß
(Physik),
Modell, Atom,
Bohrsches
Atommodell,
Teilchenmodell,
Orbital,
Wasserstoffatom
Englisch
Donald Simanek
Newton's
Cradle
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Sphere, Hypersphere
Richard Parris (peanut software)
Program WINPLOT
(Freeware)
Wikipedia
Sphere, Ball
(mathematics), Spherical
cap,
Map projection,
Atomic orbital
Referenzen top
(1) Grimsehls Lehrbuch der Physik für höhere Lehranstalten
Teil 2, Stuttgart 1950
(2) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
Feedback: Emailadresse auf
meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2006 Jürgen Köller
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