Kugel
Inhalt dieser Seite
Was ist eine Kugel?
Darstellungen einer Kugel
Gleichungen der Kugel
Größen der Kugel
Kugelteile
Flächen zweiter Ordnung
Pyramiden aus Kugeln
Erde als Kugel
Sind Atome Kugeln?
Schwimmende Kugel
Pendelkette
Eine Kugel über Bad Salzuflen
Weitere Kugeln auf meiner Homepage
Kugeln im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Kugel?
...... Eine Gerade verläuft durch den Mittelpunkt eines Kreises. 
Rotiert der Kreis um diese Gerade, so entsteht eine Kugel. 

Alle Punkte der Kugeloberfläche haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung. 


Gleichungen  der Kugel  top
...... Es sei Punkt P ein beliebiger Flächenpunkt der Kugel mit dem Radius R in einem räumlichen, kartesischen Koordinatensystem. Zeichnet man seine Koordinaten als Strecken ein (rot), so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras gilt: Das führt zu R²=z²+d²=z²+(x²+y²)=x²+y²+z².

Ergebnis: Die Koordinatengleichung einer Kugel ist x²+y²+z²=R².


Hat die Kugel den Mittelpunkt M(x0|y0|z0), so heißt die Koordinatengleichung (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²=R².

Man kann die Koordinaten auch durch einen Term mit zwei Parametern wie folgt beschreiben.
x=Rsin(u)cos(t)
y=Rsin(u)sin(t)
z=Rcos(u)
Es ist der gleiche Kreis, wie die folgende Rechnung zeigt. x²+y²+z²=R²[sin²(u)cos²(t)+sin²(u)sin²(t)+cos²(u)]=R²{sin²(u)[cos²(t)+sin²(t)]+cos²(u)}=R²[sin²(u)+cos²(u)]=R²

Darstellungen einer Kugel  top

1

2

3

4

5
1 Der Umriss einer Kugel ist ein Kreis, und damit ist der Kreis das Bild einer Kugel.
2 Ein besseres Bild entsteht, wenn man noch zusätzlich zum Kreis den Dreh-Kreis in der Position senkrecht zur Zeichenebene als Schrägbild einzeichnet. 
3 Man könnte auch einen Punkt des Drehkreises in der "Äquatorebene" verfolgen. 
4 Man findet in Büchern eine einfache Zeichnung, in der die Kugelkrümmung durch wenige Linien angedeutet wird. 
5 Die Krümmung wird deutlicher durch die Methode des Raytracings.


...... Ein aufwändiges Bild entsteht, wenn man durch die Kugel in gleichen Abständen parallel zu den Hauptebenen eines räumlichen Koordinatensystems Ebenen legt und die Schnittlinien festhält. 

Alle Schnittlinien sind Kreise. Gehen die Kreise durch den Mittelpunkt der Kugel, entstehen "Großkreise". Sie haben mit der Kugeln den Radius r gemeinsam. Die übrigen Schnittlinien sind "Kleinkreise". Sie haben einen Radius kleiner als r. 

Das Bild entstand mit dem Freeware-Programm Winplot (URL unten) mit Hilfe der Gleichung x²+y²+z²=4. 


......... Das Programm Winplot ermöglicht es auch, die Kugel aus Breiten- und Längenkreisen zu bilden.
Dazu wählt man die Parameterdarstellung
x=sin(u)cos(t)
y=sin(u)sin(t)
z=cos(u)
mit R=1 und 0<=t<=2*pi und 0<=u<=pi. 

Auf meiner Seite Torus erkläre ich, wie man mit dem Programm Winplot Körper dieser Art zeichnet.

Größen der Kugel top
...... Eine Kugel wird üblicherweise durch den Radius r gegeben. 
Daraus lassen sich das Volumen V und die Oberfläche O berechnen. 


Erste Herleitung der beiden Formeln
...... Man stelle sich vor, der rote Viertelkreis rotiere um die x-Achse. Dann entsteht eine Halbkugel. 

Für Rotationskörper dieser Art gibt es Formeln für das Volumen und für die Oberfläche. 

Zur ihren Herleitungen zerlegt man sie in Scheiben und summiert diese Volumina, für die Oberfläche summiert man die Mäntel von Kegelstümpfen. Das führt zu Integralen.



Zweite Herleitung der beiden Formeln
Man kann auch Integrale umgehen.

Volumen
Nach dem Satz des Cavalieri haben zwei Körper das gleiche Volumen, wenn Schnittflächen in derselben Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. 
...... Zwei Körper dieser Art sind eine Halbkugel und ein Restkörper. Dieser entsteht, wenn man  einen Kegel aus einem Zylinder herausnimmt.

Restkörper
...... Beim Zylinder sind Radius und Höhe gleich. 
Der Kegel mit den gleichen Abmessungen wird kopfüber hineingesteckt.
Es entsteht ein Restkörper mit dem Volumen V=pi*r²h-(1/3)pi*r²h=(2/3)pi*r²h. 
Legt man durch den Restkörper in beliebiger Höhe h' (0<h'<h) eine Schnittebene, so ist die Schnittfläche ein Kreisring mit dem Flächeninhalt A1=pi*(r²-y²)=pi*(r²-h'²).

Halbkugel
...... Legt man durch eine Halbkugel mit dem gleichen Grundkreis wie der Zylinder einen Schnitt in gleicher Höhe wie oben, so entsteht ein Kreis mit dem Flächeninhalt. A2=pi*x²=pi*(r²-h'²). 
Es gilt also A1=A2 und weiter Vhalbkugel=(2/3)pi*r²h und Vkugel=(4/3)pi*r²h. 

Oberfläche
Die Kugeloberfläche als Fläche zweiter Ordnung kann man nicht in der Ebene ausbreiten. Dadurch wird eine elementare Bestimmung schwierig. Es gibt eine Plausibilitätserklärung. 
...... Man greife ein beliebig kleines Flächenelement "delta A" heraus und verbinde die Begrenzungslinie mit dem Mittelpunkt der Kugel. Dann entsteht ein beliebig kleiner Kegel mit dem Volumen 
(delta V)=(1/3)(delta A)r. 
Addiert man diese gedachten Kegel, so ergibt sich [Summe der (deltaV)]=(1/3)[Summe der (delta A)]r oder V=(1/3)Or. 
Mit V=(4/3)pi*r³ ergibt sich O=4pi*r².

Kugelteile   top
Kugelabschnitt oder Kugelsegment
Gelb: Kugelkappe, -haube, -kalotte

V=(1/3)*pi*h²(3r-h)= pi*h[(1/2)a²+(1/6)h²]
M=2pi*rh
O=pi*(a²+2rh) 

Kugelausschnitt oder Kugelsektor
.

V=(2/3)*pi*r²h
O=pi*r(2h+a)
Kugelschicht,  Gelb: Kugelzone

V= (1/24)pi*h(3d1²++3d2²+4h²)
M=2pi*rh


Kugelkeil
gelb: Kugelzweieck (M)

V=(4/3)pi*r³(alpha/360°)
M=4pi*r²(alpha/360°)

Kugelring

V= (1/6)pi*h³ 
O = 2pi*h(r+a)

Hohlkugel

V = (4/3)pi*(r2³-r1³)
O = 4pi*(r1²+r2²)

Mehr auf meiner Webseite Kugelteile

Flächen zweiter Ordnung     top
Die Kugel gehört zu den Flächen zweiter Ordnung. 
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im Wesentlichen die folgenden Flächen.

Kugel

Ellipsoid

Paraboloid

Hyperboloid


Pyramiden aus Kugeln top
...... Man kann Kugeln zu einer Pyramide aufschichten. Die Anzahl der Kugeln in einer Schicht ist eine Quadratzahl: 1,4,9,16,... , allgemein n². Bildet man die Summe der Kugeln schichtweise, so erhält man die "Pyramidenzahlen" 1,5,14,30,... , allgemein 1+4+9+16+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
Früher bewahrte man so Kanonenkugeln auf und konnte mit Hilfe der Anzahl der Schichten auf die Anzahl der Kanonenkugeln schließen.


...... Klebt man 14 Kugeln zu zwei Sechsergruppen und einem Paar zusammen, so erhält man ein Puzzle: 
Man muss die drei Stücke zu einer Pyramide zusammensetzen.

......
Es geht auch komplizierter. ...........................
Es sieht auch schön aus, Kugeln zu Pyramiden zu stapeln. 
Dann müssen die Kugeln der untersten Schicht in Mulden oder in einem Rahmen liegen.

Erde als Kugel  top
Die Planeten und die Sonne sind kugelförmig. Sie werden von der Eigengravitation zusammengehalten. 
Als die Teilchen noch gegeneinander verschiebbar waren, bildete sich ein stabiler Zustand: 
...... Die Oberfläche stellte sich so ein, dass die Anziehungskräfte senkrecht zu ihr und dann auf einen Mittelpunkt gerichtet waren. Aus diesen Urzeiten stammt die Kugelform.

Bei der Erde kommt noch hinzu, dass sie durch die Eigendrehung an den Polen abgeflacht und am Äquator geweitet ist. Der Unterschied der Entfernungen vom Mittelpunkt ist aber nur 0,34%.


Sonne/Mond/Erde
Auf vielen Schulhöfen wird gerne unser Sonnensystem oder einfach nur das System Erde/Mond aufgezeichnet. 
Hier sind Daten. [d( ) sind Durchmesser, e( / ) Entfernungen der Himmelskörper]
Für einen Maßstab 1cm=1000 km oder 1 : 100.000.000 gilt:
d(Erde)=12,7cm,   d(Mond)=3,5cm,   e(Erde/Mond)=3,84m 
Zum Vergleich die Daten der Sonne: d(Sonne)=13,2m,   e(Erde/Sonne)=1,50 km (!)

Wem das Modell zu klein ist, der kann die fünffachen Längen wählen.


Landkartenproblem
......
Die Kugel gehört zu den doppelt gekrümmten Körpern und kann nicht in der Ebene ausgebreitet werden. Will man die Oberfläche - wie für Landkarten nötig - eben darstellen, muss man sich mit Projektionen behelfen. Man projiziert die Kugel auf eine Tangentialebene  oder legt um die Kugel einen Zylinder oder einen Kegel und projiziert auf die Mäntel. Die Mäntel lassen sich eben ausbreiten. In allen Fällen gibt es Verzerrungen der Kugeloberfläche. Sie sind in der Umgebung des Berührpunktes bzw. der  Berührlinien am geringsten. 
Dieses ist ein Einstieg in das Gebiet der Kartographie. Mehr bei Wikipedia "Kartenprojektion" (URL unten).

Sind Atome Kugeln?       top
Sind Atome Kugeln? Eher nicht. Doch die Frage: "Kann man sich Atome als Kugeln vorstellen?" muss man bejahen.

Man nähert sich in den Naturwissenschaften der Wirklichkeit oft in Form von Modellen. 
Gerade für Atome sind verschiedene Modelle bekannt. Einige sind nur noch historisch zu sehen.
Es werden in Folgendem drei Modelle angesprochen: Das Teilchenmodell, das Bohrsche Atommodell und das Orbitalmodell. 


Teilchenmodell
Man stelle sich ein "ideales Gas" vor. 
...... Es besteht aus Teilchen (dargestellt als Kugeln), die sich in einem abgeschlossenen Behälter frei bewegen. Sie haben eine Masse, aber kein Eigenvolumen. Sie stoßen elastisch aufeinander und auf die Wand. 
Mit diesem einfachen Bild kann man u.a.das Boyle-Mariottesche Gesetz pV=c herleiten und die Konstante c als kinetische Energie der Teilchen deuten (1, Seite 87f.). 
Die Konstante c wiederum ist nach der allgemeinen Gasgleichung pV=CT proportional zur absoluten Temperatur. So folgt, dass die Temperatur durch die kinetische Energie der Teilchen bestimmt wird. Das ist eine Vorstellung, die sich immer wieder als richtig herausgestellt hat. 
Streng genommen gibt es kein ideales Gas. Leichte Gase wie Wasserstoffgas  kommen diesem Bild noch am nächsten. 
>Die Teilchen sind Moleküle und kompliziert aufgebaut und auch nicht einheitlich.
>Zwischen den Teilchen gibt es Anziehungskräfte (Van Der Waalschen Kräfte)
>Die Teilchen haben ein Eigenvolumen. 
Für reale Gase haben die Gesetze des idealen Gases somit Grenzen  und sind nur - wenn auch gute - Näherungsgesetze. Es gibt darüber hinaus Erscheinungen, die mit diesem Bild nicht erfasst werden. 

Bohrsches Atommodell des Wasserstoffs
......
In diesem Modell hat man sich das Wasserstoff-Atom nach außen hin als eine Kugel vorzustellen.
Die Kugel hat eine Struktur. Ein Elektron bewegt sich ähnlich der Bewegung der Erde um die Sonne um einen  Atomkern, einem Proton. Die anziehende Kraft entsteht nicht durch die Gravitation, sondern durch die elektrische Kraft zwischen zwei unterschiedlichen Ladungen. 

...... Die Bahn eines Elektrons ist nicht fest, sondern es kann auf bestimmte Kreisbahnen  angehoben werden, wenn eine passende Energie zugeführt wird. Dieser angeregte Zustand ist nicht stabil, das Elektron fällt zurück und sendet dabei eine Lichtwelle aus. 
Diese Vorstellung ist anschaulich. Die Frequenzen des ausgesandten Lichtes lassen sich näherungsweise bestimmen. Das Auftreten von Spektralserien sowie der Ionisierungsenergie werden verstehbar. 
...... Es gibt Phänomene des Wasserstoffs, die sich so nicht erklären lassen. Ein Verallgemeinerung auf größere Atome ist nicht möglich. Nach Aussage der Quantenphysiker ist das Planetenbild schief. Es ist somit schon oft aus den Schulbüchern verschwunden. Das Bohrsche Atommodell ist also eher historisch zu sehen. 
Es lebt in abgewandelter Form als Schalenmodell zum Ordnen der chemischen Elemente weiter. 

Orbitalmodell
Heute macht man sich von einem Wasserstoffsatom eine Vorstellung, die vom Wellencharakter des Elektrons bestimmt wird.
...... Es gibt einen Atomkern. Das Elektron hält sich in der Umgebung des Kerns auf mit einer bestimmten Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Man erhält eine exakte Kugel, wenn man z.B. 50% Aufenthaltswahrscheinlichkeit "einfriert". Das entspricht etwa der Größe eines Atoms. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit geht gegen Null für einen Abstand gegen Unendlich. 
Dargestellt ist das 1s-Elektron. Das Wasserstoffatom ist im Grundzustand. 

...... Die Lichtaussendung kann man sich so vorstellen.
Wird ein Atom durch Aufnahme einer passenden Energie angeregt, so erreicht es einen energiereicheren Zustand und nimmt die Form einer Keule an (2p-Elektron). Es ist nicht stabil und sendet ein Photon aus. Danach nimmt es wieder die Grundform an.
Welche fantastischen Formen angeregte Atome haben können, findet man in der Galerie der Abteilung für Didaktik der Physik der Universität Karlsruhe (URL unten).

Energieniveauschema
...... Will man die Lichtaussendung eines Wasserstoffatoms studieren, so ist das Orbitalmodell wenig hilfreich. 

Da geht man besser vom Energieniveauschema aus, das aus Rechnungen der Quantentheorie gewonnen wird.  Es beschreibt die verschiedenen Energiezustände, die ein Wasserstoffatom annehmen kann, durch horizontale Linien. Energieaufnahme und Lichtabgabe sind dann wieder durch "Sprünge" (nicht Elektronensprünge) zu erklären. 

In dieser Betrachtungsweise wird das Bild der Kugel aufgegeben. 


Ergebnis: "Sind Atome Kugeln?" kann man also nicht so einfach mit ja oder nein beantworten.

Schwimmende Kugel top
Wirft man eine Holzkugel ins Wasser, so hat man eine "schwimmende Kugel". Der Frage, wie tief sie sinkt, wird auf einer Seite von Matheplanet (URL unten) nachgegangen.


Hier geht es um andere schwimmende Kugeln.
...... Unter diesem Namen ist eine eindrucksvolle, weil leicht bewegliche Steinkugel bekannt geworden. Obwohl die Kugel über eine Tonne wiegt, lässt sie sich kinderleicht mit den Händen drehen. 
Sie liegt in einer Mulde und schwebt sozusagen auf Wasser.

Ich sah die Kugel zum ersten Male im Sommer 1989 in Velden am Wörther See vor dem Spielcasino, später in Hameln. 

Heute findet man eine Miniaturausgabe sogar öfter in Blumenläden fürs Zimmer. Aber wer will sie da schon haben?


Aufgabe
Es bietet sich die Frage an: Wie groß muss der Wasserdruck sein, um die Kugel zu halten?

Gegebene Daten: 
Nach dem Foto ist der Durchmesser der Steinkugel etwa 2R=1m, der Durchmesser des Eintauch-Kreises etwa 2r=0,5m. Das Material ist Granit.

Gegeben: R=0,5m, r=0,25m,  d=2,7g/cm³=2700kg/m³ (Granit), g=9,81m/s² (Erdbeschleunigung), 10000Pa=1bar

Rechnungen
Größen: V Volumen der Kugel, m Masse der Kugel, F Gewichtskraft der Kugel, p Druck des Wassers 
V=(4/3)*pi*R³=(4/3)*pi*0,5³=0,524 m³
m=dV=2700(kg/m³)*0,524m³=1410kg=1,41 t
F=mg=1410kg*9,81m/s²=13800 N
A=pi*r²=pi*0,25²m²=0,196 m²
p=F/A=13800N/0,196m²=70400N/m²=70400Pa=0,704 bar
(Die allgemeine Formel für den Druck ist p=(4/3)dR³g/r².)


Ergebnis
Es muss nur ein Druck von etwa 0,7 bar aufgebracht werden, um die Kugel zu halten.
Zum Vergleich: Wasser steht in der Wasserleitung unter einem Druck von der Größenordnung 3 bar. 

Pendelkette  top
...... Die Pendelkette ist ein physikalisches Spielzeug aus fünf gleichartigen mathematischen  Pendeln.

Fünf Kugeln hängen in einem Metallrahmen. Sie sind bifilar aufgehängt und berühren sich. 

Man kann alle Kugel gleichzeitig auslenken und dann loslassen. Sie schwingen dann im Takt. 
 


Der Aha-Effekt aber liegt im folgenden Vorgang. 
...... Lenkt man nur den Pendelkörper links aus und lässt ihn los, so stößt er auf die Kette und gibt ihr einen Impuls. Dieser pflanzt sich in der Kette fort. Die Pendel bleiben in Ruhe bis auf den rechten Pendelkörper. Er bewegt sich nach außen. Er fällt wieder zurück auf die Kette und lässt das linke Pendel ausschlagen. Dieser Vorgang wiederholt sich mehrere Male. 
[Eine Animation ist bei Wikipedia auf der Seite Stoß (Physik)]

Zur Erklärung betrachtet man zunächst nur zwei Pendel. 
...... Wird der rechte Pendelkörper 1 ausgelenkt, so erhält die Kugel der Masse m im tiefsten Punkt die Geschwindigkeit v. Kugel 1 stößt auf Kugel 2. Dieser Stoß soll elastisch sein. Dann gelten zwei Erhaltungssätze.
Nach dem Stoß sollen die Kugeln die Geschwindigkeiten u1 und u2 haben. 
Es gilt der Energieerhaltungssatz: mv²/2 = mu1²/2 + mu2²/2 oder v² = u1² + u2². 
Es gilt der Impulserhaltungssatz: mv = mu1 + mu2 oder v = u1 + u2.
Aus v² = u1² + u2 ² und v = u1 + u2 folgt eindeutig u1 = 0 und u2 = v.
Ergebnis: Nach dem Stoß ist also Pendel 1 in Ruhe und Pendel 2 übernimmt die Geschwindigkeit von Pendel 1.
Betrachtet man in obiger Pendelreihe immer zwei nebeneinanderhängende Pendel isoliert und ihre Stoßvorgänge nacheinander, so kommt man schließlich zu der Aussage, dass in der Pendelkette nur das rechte Pendel wegfliegt. 

Diese Anordnung ist zur Demonstration des Impulserhaltungssatzes bekannt. Die Vorgänge werden aber nur vollständig erfasst, wenn man auch den Energieerhaltungssatz dazunimmt. 

Erste Variante
...... Es kommt noch schöner:

Lenkt man z.B. drei Pendel links aus, so fallen sie auf die beiden übrigen. Überraschenderweise werden auch rechts drei Pendel ausgelenkt. 


Zweite Variante
...... In diesen Zusammenhang passt der folgende Trick.
Man lässt einen großen Gummiball und einen Tischtennisball gleichzeitig fallen. Nach dem Aufschlagen benimmt sich der rote Ball wie erwartet, aber der kleine Ball saust in hohem Bogen davon. 

Der Tischtennisball erhält einen Impuls mv. 
Wegen seiner relativ kleinen Masse ist seine Geschwindigkeit v groß. 


Dritte Variante
...... Eine Kugel rollt auf eine gleichartige Kugel zu und stößt mit ihr zusammen. Man beobachtet, dass sie dann langsamer weiter rollt und dass die vorher ruhende Kugel sich in Bewegung setzt. - Wie groß sind die Geschwindigkeiten u1 und u2 nach dem Stoß?

Eine Kugel über Bad Salzuflen    top
...... Seit einigen Jahren gehört zur Silhouette der Stadt ein Mast für den Mobilfunk, bei dem die Antennen unter einer Kugelhülle verborgen sind. 

Die Katze auf der Oberfläche ist ein Überbleibsel der einst weltberühmten, heimischen "Hoffmann's Stärkefabriken". 

Die Firma nahm eine typische Entwicklung.
>Ein ausländischer Konzern kaufte sie auf.
>Die Produktion lief einige Jahre weiter.
>Die Firma übersiedelte nach Hamburg.
>Das Gelände ist jetzt ein Ort für Supermärkte.


Weitere Kugeln auf meiner Homepage    top
Fußball als Kugel
...... Schneidet man von einem Ikosaeder passend die Ecken ab, entsteht ein abgestumpftes Ikosaeder mit 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 Sechsecken. 

Zahlreiche Spielbälle haben diese Form. 


Weitere Umkugeln bzw. Inkugeln findet man auf meinen Seiten Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Pentagondodekaeder, Ikosaeder, Kuboktaeder und Rhombendodekaeder.

Zylinder und Kegel in der Kugel
Über den größten Zylinder und den größten Kegel in der Kugel findet man an anderen Stellen Untersuchungen.

Puzzles in Kugelform
...... ...... Es gibt zahlreiche Puzzles in Kugelform.

Man kann meist diese Kugeln leicht zerlegen und muss sie dann mühsam aus den Bestandteilen wieder zusammensetzen.

Zwei Beispiele findet man auf unter Zerlegbare Kugeln.


Kugeln im Internet top

Deutsch

Abteilung für Didaktik der Physik, Universität Karlsruhe
Das Wasserstoffatom im Bild 

Kusser Aicha Granitwerke
Weltgrößte Schwimmende Kugel

Randolf Rehfeld 
Kugelstoßpendel

Matheplanet
Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?

Wikipedia
Kugel, Sphäre (Mathematik)Kugeldreieck
Kartenprojektion
Stoß (Physik)
Modell, Atom, Bohrsches Atommodell, Teilchenmodell, Orbital, Wasserstoffatom


Englisch

Donald Simanek 
Newton's Cradle

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Sphere, Hypersphere

Richard Parris (peanut software) 
Program WINPLOT   (Freeware)

Wikipedia
Sphere, Ball (mathematics), Spherical cap
Map projection
Atomic orbital


Referenzen   top
(1) Grimsehls Lehrbuch der Physik für höhere Lehranstalten Teil 2, Stuttgart 1950 
(2) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 
(4) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2006 Jürgen Köller

top