Was ist ein Ellipsoid?

...	Ein Ellipsoid ist der Graph der Relation x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, dargestellt im kartesischen Koordinatensystem. Der größtmögliche Definitionsbereich ist  D={(x, y, z)|-a<= x <=a, -b<= y <=b, -c<= z <=c} Für die Zeichnung gilt x²/4+y²/2+z²/1=1.

...	Das gleiche Ellipsoid hat die Parameterdarstellung  x=a*sin(u)cos(t) y=b*sin(u)sin(t) z=c*cos(u) D={(t, u)|-2pi;<=t<=2pi, -pi<= u <= pi}

Es ist wirklich das gleiche Ellipsoid, wie die folgende Rechnung zeigt.
Es gilt x²/a²+y²/b²+z²/c²
=[a*sin(u)cos(t)]²/a²+[b*sin(u)sin(t)]²/b²+[c*cos(u)]²/c²=sin²(u)cos²(t)+sin²(u)sin²(t)+cos²(u)=sin²(u)+cos²(u)=1.

...	Das Ellipsoid ist die Verallgemeinerung der Ellipse auf die dritte Dimension. Diese ist der Graph der Relation x²/a²+y²/b²=1 mit D={(x, y)| -a<= x <=a, -b<= y <=b}.

Bezeichnungen    top
Setzt man in die Koordinatengleichung x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 eine Koordinate gleich Null, so erhält man die drei Hauptellipsen des Ellipsoids.

x=0 führt zur Ellipsengleichung y²/b²+z²/c²=1  bzgl. der y-z-Ebene

y=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+z²/c²=1  bzgl. der x-z-Ebene

z=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+y²/b²=1  bzgl. der x-y-Ebene

...	Die Halbmesser  a, b und c der Hauptellipsen heißen auch Halbmesser des Ellipsoids. Gilt a > b > c, so ist a der große, b der mittlere b und c der kleine Halbmesser.  Die Scheitel der Hauptellipsen heißen auch Scheitel des Ellipsoids.

Rotationsellipsoide  top
Eine besondere Rolle spielen Ellipsoide, bei denen zwei von drei Halbmessern gleich sind. Es sei z.B. a=b.
Dann ist die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1. 
Dabei unterscheidet man zwei Fälle, nämlich c>a oder c<a.
Verlängertes Ellipsoid

......

Der Körper links hat die Gleichung  (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c>a ist. Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a². D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen. Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch. Rugbybälle haben z.B. diese Form.

Man kann den Körper auch so deuten: Eine Kugel wird in z-Richtung gereckt. 

......

Der Körper links hat die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c<a ist. Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a². D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen. Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch. Die Erde ist neben anderen Himmelskörpern in dieser Weise abgeplattet. Dieses Ellipsoid heißt auch Sphäroid.  Auch Pastillen (z.B. Smarties) haben in etwa diese Form.

Volumen und Oberfläche    top
Das Volumen und die Oberfläche von Rotationsellipsoiden lassen sich elementar berechnen.

......

Man stelle sich also vor, die Ellipse mit x²/a²+y²/b²=1 oder y²=(b²/a²)(a²-x²) rotiere um die x-Achse.  Dann gilt

Nach Bronstein (4, Seite 47) gibt es zum Integral die folgende Stammfunktion.

Dann ist 

V=(4/3)pi*a²b

O=2pi*a{a+b²/(2e)*ln[(a+e)/(a-e)]} mit e²=a²-b²

V=(4/3)pi*abc

gefunden bei de.wikipedia, mehr steht bei Gérard P. Michon (URL unten)

Flächen zweiter Ordnung  top
Das Ellipsoid gehört zu den Flächen zweiter Ordnung. 
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im Wesentlichen die folgenden Flächen.

Kugel

Ellipsoid

Paraboloid

Hyperboloid

Ellipsoid im Internet  top

Deutsch

Lok Lam Mak (Facharbeit eines Schülers der 12. Klasse)
Das Volumen eines Hühnereis

PiMath 
DIE GESTALT DER ERDE

Ralf Schaper (Fachbereich Mathematik /Informatik, Universität Kassel)
Aufgeschnittenes Ellipsoid

Wikipedia
Ellipsoid, Rotationsellipsoid

F. W. PRESTON
The Volume of an Egg

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Ellipsoid, Spheroid, Quadratic Surface, Superegg

Gérard P. Michon
Surface Area of an Ellipsoid

Marlene Dieguez Fernandez
Ellipsoid    (Applet)

Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT) 

The Wolfram Demonstrations Project
Ellipsoid, Eggnigmatica, EggnigmaticaII, Lamé's Ellipsoid And Mohr's Circles

Wikipedia
Ellipsoid, Spheroid

Xahlee
Ellipsoid, Rotate me

Robert FERRÉOL (mathcurve) 
Ellipsoide

Referenzen    top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld  [ISBN 3 8044 0575 4]
Mitteilung von Torsten Sillke:
(2) Carlson, B.C., Special Functions of Applied Mathematics, pp. 261-272, Academic Press, New York (NY), 1977. N.B. In example 9.4-2, Carlson presents an elegant derivation of the surface area of an ellipsoid in standard function form.