Ellipsoid
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Was ist ein Ellipsoid?
Bezeichnungen
Rotationsellipsoide
Volumen und Oberfläche
Flächen zweiter Ordnung
Ellipsoid im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Ellipsoid?
... Ein Ellipsoid ist der Graph der Relation x²/a²+y²/b²+z²/c²=1.

Der größtmögliche Definitionsbereich ist 
D={(x, y, z)|-a<= x <=a, -b<= y <=b, -c<= z <=c}

Er wird hier dargestellt im kartesischen Koordinatensystem.

Für die Zeichnung gilt x²/4+y²/2+z²/1=1.
 


... Das gleiche Ellipsoid hat die Parameterdarstellung 
x=a*sin(u)cos(t)
y=b*sin(u)sin(t)
z=c*cos(u)

D={(t, u)|-2pi;<=t<=2pi, -pi<= u <= pi}
 

Es ist wirklich das gleiche Ellipsoid, wie die folgende Rechnung zeigt.
Es gilt x²/a²+y²/b²+z²/c²
=[a*sin(u)cos(t)]²/a²+[b*sin(u)sin(t)]²/b²+[c*cos(u)]²/c²=sin²(u)cos²(t)+sin²(u)sin²(t)+cos²(u)=sin²(u)+cos²(u)=1.


Auf meiner Seite Torus erkläre ich, wie man mit dem Programm Winplot Körper dieser Art zeichnet. 

... Das Ellipsoid ist die Verallgemeinerung der Ellipse auf die dritte Dimension.

Diese ist der Graph der Relation x²/a²+y²/b²=1 mit D={(x, y)| -a<= x <=a, -b<= y <=b}.


Bezeichnungen   top
Setzt man in die Koordinatengleichung x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 eine Koordinate gleich Null, so erhält man die drei Hauptellipsen des Ellipsoids.

x=0 führt zur Ellipsengleichung y²/b²+z²/c²=1
 bzgl. der y-z-Ebene

y=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+z²/c²=1
 bzgl. der x-z-Ebene

 z=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+y²/b²=1
 bzgl. der x-y-Ebene


Übrigens führt jeder ebene Schnitt durch das Ellipsoid zu einer Ellipse.

Das Ellipsoid ist symmetrisch zu den Hauptebenen, da der Term der Relation sich nicht ändert, wenn man x, y und z durch ihre Gegenzahlen -x, -y und -z ersetzt. 

...
Die Halbmesser  a, b und c der Hauptellipsen heißen auch Halbmesser des Ellipsoids.

Gilt a > b > c, so ist a der große, b der mittlere b und c der kleine Halbmesser

Die Scheitel der Hauptellipsen heißen auch Scheitel des Ellipsoids.


Eine Ellipsoid mit a > b > c heißt dreiachsiges Ellipsoid.

Rotationsellipsoide top
Eine besondere Rolle spielen Ellipsoide, bei denen zwei von drei Halbmessern gleich sind. Es sei z.B. a=b.
Dann ist die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1. 
Dabei unterscheidet man zwei Fälle, nämlich c>a oder c<a.
Verlängertes Ellipsoid
...... Der Körper links hat die Gleichung  (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c>a ist.

Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a².
D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen. Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch.

Rugbybälle haben z.B. diese Form.

Man kann den Körper auch so deuten: Eine Kugel wird in z-Richtung gereckt. 


Abgeplattetes Ellipsoid oder Sphäroid
...... Der Körper links hat die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c<a ist.

Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a².
D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen.
Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch.

Die Erde ist neben anderen Himmelskörpern in dieser Weise abgeplattet. Dieses Ellipsoid heißt auch Sphäroid. 
Auch Pastillen (z.B. Smarties) haben in etwa diese Form. 
 

Man kann den Körper auch so deuten: Eine Kugel wird in z-Richtung gestaucht. 

Man unterscheidet also folgende Ellipsoide.
Dreiachsiges Ellipsoid
a < b < c
Abgeplattetes Ellipsoid
a=b, a<c
Verlängertes Ellipsoid
a=b, a>c
Kugel
a=b=c

Volumen und Oberfläche   top
Das Volumen und die Oberfläche von Rotationsellipsoiden lassen sich elementar berechnen.


Rotiert eine Kurve mit y=f(x) um die x-Achse, so gelten für Volumen und Mantelfläche die beiden folgenden Formeln.

Verlängertes Ellipsoid
Volumen
...... Man stelle sich also vor, die Ellipse mit x²/a²+y²/b²=1 oder y²=(b²/a²)(a²-x²) rotiere um die x-Achse. 
Dann gilt 

Oberfläche
Zur Berechnung des zweiten Integrals stellt man 
> die Gleichung x²/a²+y²/b²=1,
> die Ableitung 2x/a²+2(y/b²)y'=0 oder y'=-(2b²x)/(2a²y) oder y'²=(b4x2)/(a4y2) und
> den Term sqrt(1+y'²)=sqrt[1+(b4x2)/(a4y2)]= ... = (b/y)sqrt[1- (ex/a²)²] mit e²=a²-b² bereit.
Das führt zu 

Dabei heißt die Substitution z=ex/a², und es ist dz=(e/a²)dx oder dx=(a²/e)dz. 

Nach Bronstein (4, Seite 47) gibt es zum Integral die folgende Stammfunktion.

Dann ist 


Ergebnis
V=(4/3)pi*ab² und O=2pi*b[b+a²/e*arc sin (e/a)] mit e²=a²-b²

Abgeplattetes Ellipsoid oder Sphäroid
V=(4/3)pi*a²b
O=2pi*a{a+b²/(2e)*ln[(a+e)/(a-e)]} mit e²=a²-b²
Herleitung der beiden Formeln: (1), Seite 443 bis 448 und Seite 457 bis 462 

Dreiachsiges Ellipsoid
Ellipsoide sind i.a. durch die Halbachsen a, b und c gegeben. Daraus lassen sich das Volumen und die Oberfläche berechnen. - Ich belasse es bei der Nennung der Formeln, für die Oberfläche muss ich mich auf eine Näherung beschränken.
V=(4/3)pi*abc

gefunden bei de.wikipedia, mehr steht bei Gérard P. Michon (URL unten) 

Flächen zweiter Ordnung top
Das Ellipsoid gehört zu den Flächen zweiter Ordnung. 
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im Wesentlichen die folgenden Flächen.

Kugel

Ellipsoid

Paraboloid

Hyperboloid


Ellipsoid im Internet top

Deutsch

Lok Lam Mak (Facharbeit eines Schülers der 12. Klasse)
Das Volumen eines Hühnereis

PiMath 
DIE GESTALT DER ERDE

Ralf Schaper (Fachbereich Mathematik /Informatik, Universität Kassel)
Aufgeschnittenes Ellipsoid

Wikipedia
Ellipsoid, Rotationsellipsoid



Englisch

F. W. PRESTON
The Volume of an Egg

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Ellipsoid, Spheroid, Quadratic Surface, Superegg

Gérard P. Michon
Spheroids  &  Scalene Ellipsoids

Marlene Dieguez Fernandez
Quadric Surfaces

Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT) 

The Wolfram Demonstrations Project
Ellipsoid, Eggnigmatica, EggnigmaticaII, Lamé's Ellipsoid And Mohr's Circles

Wikipedia
Ellipsoid, Spheroid

Xahlee
Ellipsoid, Rotate me



Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve) 
Ellipsoide


Referenzen   top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld  [ISBN 3 8044 0575 4]
Mitteilung von Torsten Sillke:
(2) Carlson, B.C., Special Functions of Applied Mathematics, pp. 261-272, Academic Press, New York (NY), 1977. N.B. In example 9.4-2, Carlson presents an elegant derivation of the surface area of an ellipsoid in standard function form.


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©  2009 Jürgen Köller

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