Was ist ein Ellipsoid?

...	Ein Ellipsoid ist der Graph der Relation x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, dargestellt im kartesischen Koordinatensystem. Der größtmögliche Definitionsbereich ist  D={(x, y, z)|-a<= x <=a, -b<= y <=b, -c<= z <=c} Für die Zeichnung nebenan gilt x²/4+y²/2+z²/1=1.

...	Das gleiche Ellipsoid hat die Parameterdarstellung  x=a*sin(u)cos(t) y=b*sin(u)sin(t) z=c*cos(u) D={(t, u)|-2pi;<=t<=2pi, -pi<= u <= pi}

Es ist wirklich das gleiche Ellipsoid, wie die folgende Rechnung zeigt.
Es gilt x²/a²+y²/b²+z²/c²
=[a*sin(u)cos(t)]²/a²+[b*sin(u)sin(t)]²/b²+[c*cos(u)]²/c²=sin²(u)cos²(t)+sin²(u)sin²(t)+cos²(u)=sin²(u)+cos²(u)=1.

Das Ellipsoid ist die Verallgemeinerung der Ellipse auf die dritte Dimension. Diese ist der Graph der Funktion x²/a²+y²/b²=1 mit D={(x, y)| -a<= x <=a, -b<= y <=b}.

Bezeichnungen    top
Setzt man in die Koordinatengleichung x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 eine Koordinate gleich Null, so erhält man die drei Hauptellipsen des Ellipsoids.

x=0 führt zur Ellipsengleichung y²/b²+z²/c²=1  bzgl. der y-z-Ebene

y=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+z²/c²=1  bzgl. der x-z-Ebene

z=0 führt zur Ellipsengleichung  x²/a²+y²/b²=1  bzgl. der x-y-Ebene

...	Die Halbmesser  a, b und c der Hauptellipsen heißen auch Halbmesser des Ellipsoids. Gilt a > b > c, so ist a der große, b der mittlere b und c der kleine Halbmesser.  Die Scheitel der Hauptellipsen heißen auch Scheitel des Ellipsoids.

Rotationsellipsoide  top
Eine besondere Rolle spielen Ellipsoide, bei denen zwei von drei Halbmessern gleich sind. Es sei z.B. a=b.
Dann ist die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1. 
Dabei unterscheidet man zwei Fälle, nämlich c>a oder c<a.
Verlängertes Ellipsoid

......

Der Körper links hat die Gleichung  (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c>a ist. Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a². D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen. Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch. Rugbybälle haben z.B. diese Form.

Man kann den Körper auch so deuten: Eine Kugel wird in z-Richtung gereckt. 

......

Der Körper links hat die Gleichung (x²+y²)/a²+z²/c²=1, wobei c<a ist. Setzt man z=0, so wird die Gleichung zu x²+y²=a². D.h., eine Hauptellipse wird zum Kreis und mit ihr alle dazu parallelen Ellipsen. Das Ellipsoid wird dreh- oder rotationssymmetrisch. Die Erde ist neben anderen Himmelskörpern in dieser Weise abgeplattet. Dieses Ellipsoid heißt auch Sphäroid.  Auch Pastillen (z.B. Smarties) haben in etwa diese Form.

Formeln      top
Dreiachsiges Ellipsoid
Ellipsoide sind durch die Halbachsen a, b und c gegeben. Damit sind auch das Volumen und die Oberfläche bekannt.
Ich belasse es bei Nennungen der Formeln, für die Oberfläche muss ich mich auf eine Näherung beschränken.

V=(4/3)pi*abc

gefunden bei de.wikipedia, mehr steht bei Gérard P. Michon (URL unten)

V=(4/3)pi*ab²

O=2pi*b[b+a²/e*arc sin (e/a)] mit e²=a²-b²

V=(4/3)pi*a²b

O=2pi*a{a+b²/(2e)*ln[(a+e)/(a-e)]} mit e²=a²-b²

Ellipsoid im Internet  top

Deutsch

Kai Gehrs
Das Ei - eine mathematische Herausforderung

Lok Lam Mak (Facharbeit eines Schülers der 12. Klasse)
Das Volumen eines Hühnereis

PiMath 
DIE GESTALT DER ERDE

Wikipedia
Ellipsoid, Rotationsellipsoid

F. W. PRESTON
The Volume of an Egg

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Ellipsoid, Spheroid, Quadratic Surface, Superegg

Gérard P. Michon
Surface Area of an Ellipsoid

Marlene Dieguez Fernandez
Ellipsoid    (Applet)

Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT) 

The Wolfram Demonstrations Project
Ellipsoid, Eggnigmatica, EggnigmaticaII, Lamé's Ellipsoid And Mohr's Circles

Wikipedia
Ellipsoid, Spheroid

Referenzen    top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld  [ISBN 3 8044 0575 4]
Mitteilung von Torsten Sillke:
(2) Carlson, B.C., Special Functions of Applied Mathematics, pp. 261-272, Academic Press, New York (NY), 1977. N.B. In example 9.4-2, Carlson presents an elegant derivation of the surface area of an ellipsoid in standard function form.