Torus
Inhalt dieser Webseite
Was ist der Torus?
Formeln des Torus
Einige Eigenschaften
Graph mit WINPLOT
Volumen und Oberfläche
Eine Kugel im Torus
Besondere Tori
Torus im Internet
Referenzen
.
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Was ist der Torus?
...... Der Torus ist ein mathematischer Körper, der dadurch entsteht, dass ein senkrecht stehender Kreis um eine vertikale Achse, die außerhalb des Kreises liegt, rotiert. Kreis und Achse liegen dabei in einer Ebene. 

Er wird bestimmt durch zwei Größen, den Radius r des rotierenden Kreises und den "Mittelkreisradius" R. Es gilt R>r.

......


Der Torus heißt in der Mathematik auch Ringkörper oder Kreiswulst, außerhalb auch Ring, Kranz, Reifen... .

Auf dieser Seite wird der Torus wie auf meinen Webseiten Kugel und Ellipsoid als ein weiterer geometrischer Körper abgehandelt.

Formeln des Torus   top
Koordinatengleichung
Die Koordinatengleichung (x²+y²+z²+R²-r²)²=4R²(x²+y²) beschreibt den Torus mathematisch.
Beweis
...... Man stelle sich vor, der sich drehende Kreis und mit ihm der Kreispunkt P(x1|0|z1) lägen in der x-z-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems. 
Der Kreis hat die Darstellung  (x-R)²+z²=r². 
Gibt man den Kreispunkt P(x1|0|z1) vor, so gilt (x1-R)²+z1²=r².
Der Punkt P(x1|0|z1) beschreibt bei Rotation um die z-Achse den Kreis x²+y²=x1² in der Höhe z=z1
Das sind drei Gleichungen mit den Variablen x, y, x1 und z1, aus denen die Gleichung des Torus entwickelt wird. 
Dazu müssen xund z1 eliminiert werden. Es gilt

 (x1-R)²+z1² = r²
<=> x1²-2x1R+R²+z1² = r²
 <=> x²+y²+z²-2x1R+R² = r²
<=> x²+y²+z²+R²-r² = 2x1R    |²
<=> (x²+y²+z²+R²-r²)² = 4x1²R²
<=> (x²+y²+z²+R²-r²)² = 4R²(x²+y²), wzbw. 

Quelle: http://www.matheboard.de/archive/418208/thread.html

Parametergleichungen
Die folgenden Parametergleichungen beschreiben die Koordinaten der Punkte des Torus.
x=[R+r*cos(u)]cos(v)
y=[R+r*cos(u)]sin(v)
z=r*sin(u)
Es gilt 0<=u<=2*pi und 0<=v<=2*pi.

Beweis
Vorweg: Aus x=[R+r*cos(u)]cos(v) und y=[R+r*cos(u)]sin(v) folgt x²+y²=[R+r*cos(u)]² wegen sin²(v)+cos²(v)=1.
Die Variablen x, y und z in den Parametergleichungen setzt man in die Koordinatengleichung ein.
(x²+y²+z²+R²-r²)² = 4R²(x²+y²)
<=> {[R+r*cos(u)]²+r²*sin²(u)+R²-r²}² = 4R²[R+r*cos(u)]²
<=> [R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)+r²sin²(u)+R²-r²]² = 4R²[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]
<=> [2R²+2rR*cos(u)]² = 4R²[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]       |:R²
<=> [2R+2r*cos(u)]² = 4[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]
<=> 4R²+8rR*cos(u)+4r²*cos²(u) = 4R²+8rR*cos(u)+4r²*cos²(u)
<=> 0 = 0
Die Umformungen sind aus logischen Gründen von unten nach oben zu lesen.
Die Parameterdarstellungen genügen also der Koordinatengleichung.

Einige Eigenschaften  top
Breitenkreise  und Meridiane
...... ... Wie die Kugel hat auch der Torus auf der Oberfläche ein System orthogonaler Kreise. Bei der Kugel sind es Breiten- und Längenkreise. Beim Torus heißen die horizontal liegenden Kreise auch Breitenkreise und die Kreise mit dem Radius r Meridiane (1). 

Die oben und unten liegenden Breitenkreise heißen Plattkreise, der in der Mittelebene liegende heißt Gürtelkreis oder (äußerer) Äquator und der innen liegende kleinste Breitenkreis Kehlkreis oder innerer Äquator.


Symmetrie
...... Der Torus ist rotationssymmetrisch bzgl. der eingezeichneten Achse. 
Das heißt, dass der Torus bei einer beliebigen Drehung um sie in sich selbst übergeht.
Damit ist jede Ebene durch die Achse Symmetrieebene.

Eine weitere Symmetrieebene ist die Mittelebene.

Der gemeinsame Punkt der Symmetrieebenenen ist der Mittelpunkt des Torus. 


Geodätische Linien
...... Geodätische Linien sind kürzeste Linien auf Körperoberflächen. Man sieht leicht ein, dass die Meridiane und der innere Äquator geodätische Linien des Torus sind. 

Auf der Seite Geodesics von Mark L. Irons (URL unten) kann man sich davon überzeugen, dass es weitere, kompliziertere geodätische Linien gibt. 


Villarceau-Kreise
...... Man betrachtet eine Ebene durch die Symmetrieachse des Torus (Zeichenebene).
Man zeichnet durch den Mittelpunkt des Torus eine gemeinsame Tangente an die Kreise.
Ergebns: Eine Vertikalebene durch die gemeinsame Tangente schneidet den Torus in zwei Kreisen.
(2) - Ein anschauliches Bild findet man auf der Webseite Torus von MathWorld (URL unten)

Ringkörper

Ein Körper mit r<<R bezeichnet man auch als Ringkörper.

Graph mit WINPLOT (Aktuelle Version 1.370.1)       top
1 Koordinatengleichung
Für meine Webseiten verwende ich für das Zeichnen der Graphen fast nur das Freeware-Programm WINPLOT, auch in der Absicht, es zu empfehlen. - Wegen etlicher Anfragen erkläre ich im Folgenden, wie man zum Bild des Torus gelangt.
......
>Installiere die deutsche Version des Zeichenprogramms wplotde.exe.
>Starte das Programm wplotde.exe.
>Wähle Fenster/3-d. Es öffnet sich das Fenster Unbenannt.wp3.
>Wähle Gleichung/3. Implizit ... Es öffnet sich das Fenster Implizite Fläche.
>Gib die Gleichung (xx+yy+zz+3)(xx+yy+zz+3)=16(xx+yy) ein. (d.h. R=2 und r=1).
> Wähle die Farbe schwarz und bestätige mit OK.
>Es öffnet sich das Fenster Maße der Box.
>Gib ein -3.1<x<3.1, -3.1<y<3.1 und -1.1<z<1.1 
>Markiere das Feld Sperre Position und bestätige mit OK.
Es öffnet sich das Fenster Inventar/Unbenannt.wp3.
>Klicke auf das Feld Höhen.
Es öffnet sich das Fenster Höhenlinien ... 
>z ist markiert. Gehe auf Auto. Schließe das Fenster, in dem gezeichnet wird.
>Markiere y und gehe auf Auto. Schließe das Fenster, in dem gezeichnet wird.
>Markiere x und gehe auf Auto. Schließe das Fenster, in dem gezeichnet wird.
>Verlasse das Fenster mit Beibehalten.
Der Graph wird berechnet. Warte, bis oben links Abbruch mit Taste A verschwindet. 
...... Dann erscheint der Graph, der den Bildschirm ausfüllt.

Das nebenstehende kleinere Bild erhält man, wenn man das Fenster mit Hilfe des  Doppelquadrat-Symbols oben rechts (Verkleinern) anklickt und das Fenster entsprechend einstellt. Mit einem Screenshot wird das Bild gesichert.

Den weißen Hintergrund erreicht man z.B., indem man das Bild im Programm mspaint.exe als Monochrom Bitmap speichert, kopiert und als .gif-Datei speichert.


2 Parameterdarstellung
Die Zeichenprozedur im Modus "Parametrisch" ist einfacher.
...... >Starte das Programm wplotde.exe.
>Wähle Fenster/3-d. Es öffnet sich das Fenster Unbenannt.wp3.
>Wähle Gleichung/2. "Parametrisch"  ...
Es öffnet sich das Fenster Oberfläche x(t,u), y(t,u), z(t,u).
> Gib ein x=(2+cos(u))cos(t), y=(2+cos(u))sin(t), z=sin(u) (d.h. R=2 und r=1).
>Ersetze u_max=3.14159 durch u_max=6.28319
> Wähle die Farbe schwarz und bestätige mit OK.
Der Graph wird gezeichnet.

3 Röhre
Im Programm sind Röhren vorgefertigt.

Mit Fenster/3-dim und Gleichung/Röhre gelangt man in das entsprechende Fenster.
Dort erzeugt man mit der Zeile Röhre (cos(t), sin(t),0);Radius = .3 einen Torus.


Drehungen
......x= Koordinatenform

Mit der Gleichung (xx+yy+zz+3)(xx+yy+zz+3)=16(xx+zz) erhält man eine andere Ansicht des Torus.
 


... Parameterform

Man erreicht eine Drehung in der Parameterform z.B. durch eine Eins statt Zwei.
x=(1+cos(u))cos(t)
y=(2+cos(u))cos(t)
z=sin(u)
Allerdings ändert sich dann auch die Form. Ich vermute, dass die Meridiane zu Ellipsen werden.


Halbe Tori
...... Zwei verschiedene halbe Tori erhält man mit Hilfe der Parameterform 
x=[3+cos(u)]cos(t),
y=[3+cos(u)]sin(t),
z=sin(u), 
indem man die Bereiche der Variablen u und t unterschiedlich einschränkt. 

Kugelkoordinaten
Das Programm WINPLOT ermöglicht auch die Darstellung von Rotationskörpern durch Kugelkoordinaten. 
Das ist das Beispiel des Programms.

r=1+.25sin[3u] mit den Definitionsbereichen 0<=t<=2*pi und 0<=u<=pi 


Und das sind meine Annäherungen an den Torus.

r=sin(u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=pi

r=sin(u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=pi/4

r=sin[pi/4)u]
0<=t<=2*pi 
0<=u<=pi

1+sin(2u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=2*pi 
 

Hier ist ein weites Feld zum Experimentieren.

Volumen und Oberfläche top
Anschauliche Herleitung
...... Man kann sich vorstellen, dass der Torus aus beliebig vielen und beliebig dünnen Kreisscheiben besteht, die den Ring bilden. 

Biegt man ihn zu einem Zylinder auf, so hat dieser die Grundfläche pi*r² und die Höhe 2*pi*R. 
Für das Volumen des Torus ergibt sich somit
V = (pi*r²)(2*pi*R)=2pi²r²R.

Für die Oberfläche ergibt sich O=(2*pi*r)(2*pi*R)=4pi²rR. Das ist die Fläche des Mantels des gedachten Zylinders. 
Die exakte mathematische Herleitung dieser beiden Formeln leisten die beiden guldinschen Regeln.


Es ist auch möglich, das Volumen und die Oberfläche über Integrale zu berechnen.
Volumen über Integrale
Es wird eine Formel angewandt, die das Volumen eines Körpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen zu y=f(x) um die x-Achse rotieren lässt.


...... In diesem Falle sind es zwei Halbkreise. Es entstehen Scheiben, deren Differenz das gesuchte Volumen des Torus ist. Die eine Scheibe hat einen konvexen Rand, die andere einen konkaven. Die Gleichungen der Halbkreise sind f1(x)=R+sqrt(r²-x²) und f2(x)=R-sqrt(r²-x²). 
Der Term wird vereinfacht.

Das Integral gibt den halben Flächeninhalt eines Kreises an. 

wzbw.

Oberfläche über Integrale
Es wird eine Formel angewandt, die die Oberfläche eines Körpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen zu y=f(x) um die x-Achse rotieren lässt.
...... In diesem Falle sind die Graphen zwei Halbkreise und die Rotationsflächen zwei Teilstücke des Torus, deren Summe die gesuchte Oberfläche ist. Der äußere Teil wird durch Rotation eines Halbkreises mit der Gleichung f1(x)=R+sqrt(r²-x²) erzeugt, der innere Teil mit der Gleichung f2(x)=R-sqrt(r²-x²).  Die Summe ist die gesuchte Oberfläche. 
Vorweg wird der Term von sqrt(1+[f1'(x)]² bestimmt.
f1(x) = R+sqrt(r²-x²)
f1'(x) = (1/2)(-2x)[1/sqrt(r²-x²)] = -x/sqrt(r²-x²)
1+[f1'(x)]² = 1+x²/(r²-x²) = r²/(r²-x²)
sqrt(1+[f1'(x)]² = r/sqrt(r²-x²)
Dann ist 

Das erste Integral hat die Stammfunktion F(x)=arc sin(x/r) und den Wert pi/2-(-pi/2)=pi.
Das zweite Integral hat die Stammfunktion F(x)=x und den Wert 2r.
Dann ist O1=2pi²*Rr+4pi*r².
Analog ergibt sich für das innere Teilstück O2=2pi²*Rr-4pi*r².
Die Oberfläche ist dann O=O1+O2=4pi²*Rr, wzbw.


Eine Kugel im Torus  top
Die Öffnung des Torus schließt man durch eine passende Kugel.
Torus mit R=3 und r=1
(x²+y²+z²+8)²=36(x²+y²)

Kugel mit dem Radius 2
x²+y²=4

Da kann man die Frage stellen:
Um wie viel größer ist das Volumen des Torus als das der Kugel?
Antwort:  VTorus:VKugel = (9*pi)/16 oder gerundet 1,77.


Besondere Tori    top
Ausartungen
Es ist üblich, den Namen Torus beizubehalten, auch wenn sich die rotierenden Kreise berühren oder gar durchdringen.
Ringtorus


r=1, R=2
Horntorus


r=R=1
Spindeltorus



r=1, R=1/2


Asymmetrischer Torus
......
Auf der Webseite (3) fand ich die Parametergleichungen eines asymmetrischen Torus.

x=[R+rcos(u)(2+sin(t))]cos(t)
y=[R+rcos(u)(2+sin(t))]sin(t)
z=rsin(u)(2+sin(t))

mit R=20, r=4, 0<=t<=2*pi und 0<=u<=2*pi. 
 


Torus im Internet   top

Deutsch

Jürgen Meier
Antisymmetrischer TorusTorus Knoten

Herwig Hauser 
Torus animationCroissant, Dullo

Ingmar Rubin
Der optimale Schwimmring  (.pdf-Datei)

Matroids Matheplanet 
Trägheitsmoment eines Torus                          { I=2pi²Rr²[(3/4)r²+R²] }
Peter Kraus (PK-Applets)
Rotations-Körper
Mein Versuch: 
Udo Hebisch (Mathematisches Café) 
Torus

Wikipedia
TorusKreisring
Beispiele: Donut, Bagel, Rettungsring, Fahrradschlauch, Schwimmreifen,  Buchstabe O im Fingeralphabet, Reifen (Spielzeug), Kranz, Frankfurter Kranz, Gugelhupf oder Napfkuchen, Kringel, Rauchring, Schwimmreifen, Ringnebel

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Torus, Standard Tori, Ring Torus, Horn Torus, Spindle Torus, Cyclide, Ring Cyclide, Apple, Double Torus,
Triple Torus

Mark L. Irons
The Torus, Geodesics
 
Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT, Freeware) 

Sceptic's Play
The unlinking torus
(Siehe auch Turning a punctured torus inside-out)

Wikipedia
Standard torus, Torus, Double torus, Triple torus, Torus knot, Annulus (mathematics)Toric section
Examples: Donut, Bagel, Lifebuoy, Bicycle tire, Swim ring, Letter O at Fingerspelling, Hula hoop, Wreath, Frankfurter Kranz, Gugelhupf, Smoke ring, Swim ring, Ring Nebula, Villarceau circles

Youtube 
Gluing a Torus, Toroid Knot RotationZahnräder auf einer MöbiusschleifeMagnetic field in a toroidal coil
Double Toroid Knot RotationTorus, Sliceform torus, The fundamental Group of the Torus is abelian, mad shisha ringsKönig Ubus Rauchring Werfer

Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve)  TORE (NOTION GÉOMÉTRIQUE)
SOLÉNOÏDE (NOEUD ET ENTRELACS TORIQUE)


Referenzen     top
(1) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensionen - Figuren und Körper in geometrischen Räumen, Spektrum-Bibliothek, Bd.31, 1991 [ISBN 3-89330-817-2] 
(3) Ingmar Rubin (http://www.matheraetsel.de/archiv/Extremwerte/Torus/torus2.pdf)


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©  2010 Jürgen Köller

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