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Was sind geodätische Linien?
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Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten in der Ebene ist die gerade
Linie. Man kennt sie als Luftlinie oder, wie es im Englischen so schön
heißt, "beeline" oder "as the crow flies".
Sie wird zum Problem, wenn man zum Beispiel in den Raum geht und kürzeste
Wege ("geodätische Linien") auf Körperoberflächen untersucht. |
Darum geht es auf dieser Seite.
Fliege-Spinne-Problem top
Beim ersten Problem, einem Klassiker der Unterhaltungsmathematik, ist
der Körper ein Quader.
..... ...
3D-Bild..
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In einem Raum mit den Maßen 30' x 12' x
12' (9,14m x 3,65m x 3,65m) sitzt eine Spinne oben rechts auf einer Seitenfläche
in der Mitte, 1 Fuß von der Decke entfernt. Eine Fliege sitzt unten
auf der gegenüberliegenden Wand auch in der Mitte und 1 Fuß
vom Boden entfernt. Die Fliege ist vor Angst gelähmt und bewegt sich
nicht. |
Welches ist der kürzeste Weg, den die Spinne
zurücklegen muss, um die Fliege zu erreichen?
Nahe liegende Lösung
Dieser direkte Weg bietet sich an.
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Er beträgt 42 Fuß.
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Lösung
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Mit einem Trick gelangt man zu einem kürzeren Weg.
Man betrachtet ein passendes Netz des Quaders und zeichnet eine gerade
Linie als kürzeste Verbindung ein.
Der Weg ist dann kürzer. Nach dem Satz des Pythagoras ist er 40
Fuß lang. |
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Es gibt noch eine zweite, spiegelbildliche Lösung.
Man nennt die Linie der Länge 40'
geodätisch. Sie besteht aus fünf Streckenabschnitten, lässt
sich aber auf eine Strecke zurückführen.
Martin Gardner beschreibt das Rätsel
in einem Artikel über Dudeney ("Henry Ernest Dudeney: Englands größter
Rätselerfinder") in seinem unten genannten Buch (1), Seite 73ff.
Dudeney veröffentlichte es 1903 in einer englischen Zeitung. Es
wurde bekannt, als es 1905 in der "Daily Mail" abgedruckt wurde.
Kotani's Ant Problem top
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Eine Ameise befindet sich oben, links, vorne in einem 1x1x2-Quader.
Sie soll auf einem möglichst kurzen Weg in die gegenüberliegende
Ecke unten, rechts, hinten krabbeln. Welchen Weg muss sie nehmen?
Lösung:
Man klappt wieder den Quader auf, A fällt auf A' oder A''.
A''B=sqrt(2²+2²)=sqrt(8) und A'B=sqrt(3²+1²)=sqrt(10)
Der erste Weg A''B ist also kürzer. |
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Das Problem ist nur aufwendig zu lösen, wenn man Punkt A an eine beliebige
Stelle legt und dann nach dem am weitesten entfernten Punkt B fragt. Diese
Erweiterung ist unter dem Namen Donald Knuth's Ant Problem unten
beschrieben.
Fliege-Honig-Problem top
Das folgende Problem stammt auch von Dudeney [(1), Seite 73ff.].
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Ein Glaszylinder ist 4 cm hoch und hat einen Umfang von 6 cm.
Auf der Außenseite, 1 cm vom Boden entfernt, sitzt eine Fliege.
Auf der anderen Seite genau gegenüber und innen, befindet sich ein
Honigtropfen.
Welches ist der kürzeste Weg, den die Fliege krabbeln muss, um
den Honig zu erreichen? |
Lösung
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Angenommen, der Honigtropfen sitzt auch außen.
Man rollt den Mantel des Zylinders ab.
Die gerade Linie ist der kürzeste Weg. |
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Nun sitzt der Honigtropfen aber innen.
Deshalb muss die Fliege einen anderen Weg nehmen.
Sie muss bis zum Rand auf das Spiegelbild des Tropfens zumarschieren
und vom Rand ab auf einer geraden Linie zum Tropfen. - Der kürzeste
Weg ist 5cm lang. |
Es folgen noch drei Anmerkungen zur kürzesten
Linie auf einem Zylindermantel.
1
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Fliege und Honig werden ersetzt durch die Punkte A und B.
Die Punkte liegen sich gegenüber. Deshalb gibt es zwei gleiche
Wege in Form von Spiralen mit halbem Umlauf. |
2
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Man kann auf dem Mantel auch einen geraden Weg finden, der einen Umlauf
mehr erfordert. Dazu dient das nebenstehende Netz, das man doppelt rollen
muss. |
3
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Es sei der Fall gegeben, dass sich die Punkte A und B nicht gegenüberliegen,
sondern nur um eine Vierteldrehung gegeneinander versetzt sind. Dann ist
es günstig, den Mantel an der Stelle A aufzuschneiden. Somit liegt
A an den beiden Rändern des aufgerollten Mantels. Es gibt zwei verschieden
lange Wege von A nach B. |
Bei den hier beschriebenen geraden Linien
zwischen A und B handelt es sich um geodätische Linien. Sie können
unterschiedlich lang sein. Wegen der beliebigen Zahl der Umläufe gibt
es auch beliebig viele geodätische Linien auf einer Zylinderoberfläche.
Von Interesse sind die Linien mit der kleinsten Länge, die "Kürzesten".
Umlauf um die Kegelspitze
top
Neben dem Zylinder gehört der gerade Kreiskegel zu den Körpern
mit einem ebenen Netz.
Da kann man sich die folgende Frage stellen, die nicht in eine Geschichte
gekleidet werden soll.
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Gegeben ist ein Startpunkt auf einem Kegel.
Wie groß ist der kürzeste Weg, der um die Spitze herum und
zurück zum Ausgangspunkt führt?
Es bietet sich der Weg rechts an. |
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Lösung
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Das ist aber nicht der minimale Weg, wie das Netz des Mantels zeigt.
Rollt man den Kegelmantel ab, so ist die rote Linie der kürzeste
Weg.
Das führt zur Schlaufe rechts. |
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Grenzen der Lösung
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Ist der Kegel flacher und der Mantel ein Kreisausschnitt mit einem
Winkel gleich oder größer als 180°, so gibt es keine Schlaufe
mehr als kürzesten Weg. Der Weg auf einer Falllinie und zurück
könnte als Minimalweg angesehen werden, aber er führt nicht mehr
um die Spitze herum. |
Siehe auch (2), Seite 80f.
Das Besondere an diesem Kegel-Problem besteht
darin, dass es hier um geschlossene geodätische Linien geht. Die beiden
Punkte, die zu verbinden sind, fallen zusammen.
Das allgemeinere Problem geodätischer Linien auf Kegelmäntel
wird auf der Webseite von Mark L. Irons (Geodesics on a Cone, URL unten)
ausführlich untersucht.
Einfach
geschlossene geodätische Linien eines Würfels top
In dem unten genannten Buch von Steinhaus (3) wird der Würfel
auf geschlossene geodätische Linien hin untersucht.
Zur Einführung weist Steinhaus darauf hin, dass man sich die geodätische
Linie als Gummiband vorstellen kann, das man um den Würfel legt. Wichtig
dabei ist, dass der Würfel glatt ist und keine Reibung auftritt.
Dann gibt es im wesentlichen zwei Möglichkeiten.
Die linke Schlinge ist trivial.
Die rechte Umschlingung ist ein Sechseck und erfasst alle Quadrate
des Würfels. Steinhaus zeigt durch eine Rechnung, dass die geschlossene
Linie minimal wird, wenn die Abschnitte parallel zu Flächendiagonalen
des Quadrates liegen, wie in der Zeichnung beachtet.
Im Sonderfall wird das Sechseck regelmäßig. Das Gummiband
verläuft dann durch Kantenmitten.
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Bleibt man im Bild des Gummibandes, so gibt es im trivialen Fall beliebig
viele weitere parallel liegende Bänder, die dann vier Quadrate bedecken. |
Da es drei gegenüber liegende Paare von Quadraten gibt, gibt es somit
auch drei Scharen von geodätischen Linien.
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Im Falle der Sechsecke bleiben zwei gegenüber liegende Eckstücke
frei und damit je drei Halbquadrate, während ebenso viele Halbquadrate
bedeckt werden. |
Da der Würfel vier gegenüberliegende Ecken hat, gibt es auch
vier Scharen von geodätischen Linien dieser Art.
Insgesamt hat der Würfel also sieben Scharen von einfach geschlossenen
geodätischen Linien.
Siehe auch (3) Seite 86ff.
Großkreis einer Kugel top
Bisher wurden nur Körper betrachtet, deren Netze in der Ebene
ausgebreitet werden können, die also abwickelbar sind. Da konnten
die geodätischen Linien zu zwei Punkten auf Strecken zurückgeführt
werden. Das gelingt nicht bei der Kugel.
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Gibt man auf der Kugeloberfläche zwei Punkte A und B vor, kann
man die Kugel so betrachten, dass die beiden Punkte auf dem "Äquator"
liegen. Der Äquator erscheint in der Zeichnung als Strecke und
Durchmesser der Kugel.
Sucht man andere Kreise als Wege (zwei sind eingezeichnet), so haben
sie alle einen kleineren Durchmesser als der Äquator und ihre Bögen
über AB sind länger.
Der Äquator ist der kürzeste Kreis-Weg. |
Man nennt ihn Großkreis. Sein Durchmesser stimmt mit der Kugel überein
und sein Mittelpunkt ist der Kugelmittelpunkt. Die übrigen Kreise
auf der Kugeloberfläche nennt man Kleinkreise.
Das Wort Äquator ist schon ein Hinweis
darauf, dass das Problem "kürzester Weg auf Kugeln" für die Erdkugel
eine praktische Bedeutung hat. Man sollte meinen, dass sich Schiffe und
Flugzeuge, die große Entfernungen zurücklegen, immer längs
Großkreisen (Orthodromen) weiter bewegen. Das scheint nur bedingt
der Fall zu sein. Für eine Route spielen auch andere Faktoren eine
Rolle.
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In diesem Zusammenhang sind Routen in Form von spiralförmigen
Loxodromen (shrub lines) interessant, weil bei ihnen eine bestimmte Richtung
mit dem Kompass eingestellt und beibehalten wird.
So wurde zumindest früher auf Schiffen navigiert. |
Zum Begriff der
geodätischen Linie top
Die Beispiele auf dieser Seite belegen es: Die
Verbindungslinien zwischen zwei Punkten in der Ebene und auf den
Oberflächen abwickelbarer Körper sind geodätisch, wenn sie
gerade sind oder auf gerade Linien zurückgeführt werden können.
Das kann man auf die Kugel- und beliebige Körperoberflächen
übertragen: Verbindet man zwei Punkte, so sind die Linien dann geodätisch,
wenn sie auf infinitesimal kurzen Strecken gerade sind. Dazu kommt noch,
dass man sich entlang der Linien einen infinitesimal schmalen, ebenen Streifen
vorstellen können muss (4).
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Konrad Polthier von der Freien Universität Berlin hat einen Videofilm
ins Internet gestellt, in dem man beobachten kann, wie sich drei geodätische
Linien auf einem doppeltorus-artigen Körper bilden.
Man denke beim Anblick dieses Videos an die obigen
Aussagen. |
Der Begriff der geodätischen Linie
ist ein Begriff der klassischen Differentialgeometrie. Die Definition lautet:
"Die Kurven auf einer Fläche, deren geodätische Krümmung
verschwindet, sind geodätisch."
Es erfordert offenbar ein tiefergehendes Fachwissen, um diese Definition
mit Inhalt zu füllen.
Man gehe einmal auf die MathWorld- oder Wikipedia-Seiten Geodäte
bzw. Geodesic
(URL unten).
Ausklang
Zweifellos der kürzeste Weg ;-)
Mehr über Irrgärten hier
Die Seite enthält Tipps von Torsten Sillke
Geodätische Linien
im Internet top
Deutsch
ADG – Fachverband der Geometrie
SPINNE
UND FLIEGE (.pdf-Datei)
Wikipedia
Geodäte,
Orthodrome,
Loxodrome,
Sattelfläche
Englisch
Caltech
The Straightest
Lines in Curved Space and Time
enriching mathematics (University of Cambridge)
The
Spider and the Fly, - A shortest route on The
Dodecahedron, Flight
Path
Eric W.Weisstein (MathWorld)
Spider
and Fly Problem, Geodesic,
Geodesic
Curvature, Wiedersehen
Pair
Henry Bottomley
| Cuboid |
mit "Donald Knuth's Ant Problem" |
Circumnavigating
a cube and a tetrahedron by visiting all of the sides or all of the edges
Jeff Erickson (Ernie's 3D Pancakes)
Shortest
paths on PL surfaces
Karen Franco (Bill Casselman's Home Page)
Spherical
Geometry: Exploring the World with Math
Mark L. Irons
Geodesics
on a Cone
Movable Type Ltd
Vincenty
formula for distance between two Latitude/Longitude points
Richard I. Hess
Kotani's Ant Problem
(.pdf-file)
Robert Hunt
Time
and motion
Wikipedia
Great circle,
Great-circle
distance, Geodesic,
Rhumb
line
Kürzester-Weg-Problem
im Internet top
Sucht man bei Google mit "kürzester Weg", werden meist Seiten
angezeigt, in denen es um ein Problem wie "Welcher Weg ist der kürzeste
Weg zwischen zwei Orten?" geht. Das Problem geht in Richtung Routenplaner.
Eine Theorie dazu wird in der diskreten Mathematik oder genauer der
Graphentheorie entwickelt. Da werden die Wege zu Kanten und die Orte zu
Knoten...
Ich gebe einige Links zu entsprechenden Wikipedia-Seiten an.
Routenplaner,
Graphentheorie,
Problem
des Handlungsreisenden, Eulerkreisproblem,
Briefträgerproblem,
Hamiltonkreisproblem,
Dijkstra-Algorithmus
Ich nenne hier noch, wie schon auf meiner Seite Haus
des Nikolaus, das Buch "Peter Gritzmann/René Brandenberg: Das
Geheimnis des kürzesten Weges, Springer-Verlag 2002", durch das man
in zwar unterhaltender, aber anspruchsvoller Form in das Gebiet eingeführt
wird.
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme, Braunschweig
1968
(2) Ferenc Molnár: Spinne und Fliege, in "Mathematisches Mosaik",
Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2]
(3) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968
(4) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986
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2007 Jürgen Köller
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