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Was ist eine Ellipse?
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Ein Ellipse besteht aus allen Punkten, deren Summe der Entfernungen
von zwei festen Punkten F1 und F2 gleich ist.
Die Summe ist in der Zeichnung s1+s2.
Die beiden festen Punkte heißen Brennpunkte. |
Mittelpunktsgleichung top
Mit diesem Ansatz gelangt man zu der "Mittelpunktsgleichung" der Ellipse:
x²/a²+y²/b²=1.
Die Variablen a und b stehen für positive reelle Zahlen.
Herleitung der Mittelpunktsgleichung
.. ....
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Die Entfernung der Brennpunkte sei 2e und a
sei die Entfernung eines Ellipsenpunktes auf der Mittelsenkrechten der
Brennpunkte von einem Brennpunkt.
Es gilt s1+s2=sqrt[y²+(x+e)²]+sqrt[(y²+(x-e)²]
Ist x=0, so ist s1+s2=2a.
Somit ist sqrt[y²+(x+e)²]+sqrt[(y²+(x-e)²]=2a die
Bestimmungsgleichung der Ellipse. |
Durch zweimaliges Quadrieren werden die Wurzelterme entfernt.
Die Gleichung heißt dann
a²x²-e²x²+a²y²+a²e²-(a²)²=0
<=> (a²-e²)x²+a²y²=a²(a²-e²)
Führt man die Variable b über b²=a²-e² ein, so
vereinfacht sich die Gleichung zu b²x²+a²y²=a²b²
oder x²/a²+y²/b²=1, wzbw..
Zahlenbeispiel
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Die Gleichung heißt x²/9+y²/4=1.
Der Definitionsbereich ist |Dx={x |-3<=x<=3} und |Dy={y
|-2<=x<=+2}.
Es gilt a=3 und b=2. |
Diskussion der Ellipsengleichung
top
Definitionsbereich
Die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 ergibt, nach y aufgelöst,
y=+(b/a)sqrt(a²-x²) und y=-(b/a)sqrt(a²-x²).
Die Relation ist definiert für x²<=a² oder |x|<=a
oder -a<= x <=a, denn für diese Werte ist der Term a²-x²
unter der Wurzel nicht negativ. Die Ungleichung -a<= x <=a führt
zu -b<= y <=b.
So ergibt sich |Dx={x |-a<=x<=a} und |Dy={y
|-b<=x<=+b}.
Deutung von a und
b
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Ist y=0, so ergeben sich aus x²/a²+y²/b²=1
die x-Werte x=a oder x=-a.
Das führt zu den Hauptscheitelpunkten S1(a|0) und S3(-a|0).
Ist x=0, so ergeben sich aus x²/a²+y²/b²=1
die y-Werte y=b oder y=-b.
Das führt zu den Nebenscheitelpunkten S2(0|b) undS4(0|-b).
Im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt der Mittelpunkt M der Ellipse.
Die Variable a heißt große Halbachse, die Variable b kleine
Halbachse. |
Zur Entfernung der Brennpunkte 2e
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Oben wurde für die Entfernung der Brennpunkte die Variable 2e
eingeführt.
Es gilt b²=a²-e² oder e²=a²-b².
Die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 führt dann für
xe=e zu (a²-b²)/a²+y²/b²=1 oder ye=b²/a
(oder ye=-b²/a).
Die Strecke ye=b²/a heißt Halbparameter p der
Ellipse. |
Symmetrie
Da die Gleichung x²/a²+y²/b²=1
sich nicht ändert, wenn man x durch -x und/oder y durch -y ersetzt,
ist die Ellipse symmetrisch bezüglich der Achsen.
Ellipsenscharen top
Alle Formen der Ellipse
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Man erhält alle Formen der Ellipse, wenn man in x²/a²+y²/b²=1
die Halbachse a festhält und b alle positiven reellen Zahlen durchlaufen
lässt.
Das veranschaulicht die Zeichnung für a=3 und b=1, sqrt(2), 2 und
3. |
Ist a=b, so artet die Ellipse zu einem Kreis aus.
Alle Lagen der Ellipse
Wird in einem Koordinatensystem das Symmetriezentrum nach S(x0|y0)
verschoben, so führt das zu den Gleichungen (x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1.
Drehungen der Ellipsen werden unten im Kapitel "Ellipse als Kegelschnitt"
angesprochen.
Ellipsen mit gleichen
Brennpunkten
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Aus x²/a²+y²/b²=1 wird x²/(e²+b²)+y²/b²=1,
wenn man a²=e²+b² setzt.
In der nebenstehenden Zeichnung ist die Entfernung der Brennpunkte 2e=4
konstant und für die Halbachse gilt beispielsweise b=1, 2, 3 und 4.
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Eine
weitere Definition der Ellipse top
Für die mit der Ellipse verwandte Parabel
gilt der folgende kennzeichnende Satz.
Alle Punkte, die von einer Gerade l und von einem
Punkt F die gleiche Entfernung haben, liegen auf einer Parabel. Die Gerade
heißt Leitlinie und der Punkt Brennpunkt.
Einen ähnlichen
"notwendig und hinreichenden Satz" gibt es auch für die Ellipse. Da
sind die Entfernungen nicht gleich, sondern sie stehen in einem konstanten
Verhältnis zueinander.
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Man zeichnet parallel zur Achse eine Gerade im Abstand a²/e.
Für den Ellipsenpunkt P(e|p) oberhalb des Brennpunktes F2
gilt
PP1:PF2= (a²/e-e):p. Setzt
man p=b²/e=(a²-e²)/e , so ist PP1:PF2=a:e. |
... ... |
Ist P ein beliebiger Ellipsenpunkt, und verbindet man ihn mit einem
Brennpunkt und zeichnet zu ihm die Senkrechte zur "Leitlinie" l, so gilt
auch PP1:PF2=a:e. |
Herleitung
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P sei ein beliebiger Ellipsenpunkt. Dann gilt s1+s2=2a.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt weiter y²=s1²-(e+x)²
und y²=s2²-(e-x)².
Daraus folgt s1²-(e+x)²=s2²-(e-x)²
oder s1²-s2²=(e+x)²-(e-x)² oder
s1²-s2²=4ex.
Wegen s1²-s2²=(s1+s2)(s1-s2)
und s1+s2=2a ist 2a(s1-s2)=4ex
oder s1-s2=2ex/a. |
Die Gleichungen s1-s2=2ex/a und s1+s2=2a
führen zu x=(a²-s2a)/e.
Für den Abstand des Ellipsenpunktes von der Leitlinie gilt d=a²/e-x=a²/e-(a²-s2a)/e=as1/e.
Damit ergibt sich die Proportion d:s2=a:e.
Das Verhältnis ist damit unabhängig von der Lage des Ellipsenpunktes
und ist für alle Punkte gleich.
Es lässt sich in der Umkehrung zeigen, dass aus d/s2=a/e
die Gleichung s1+s2=2a folgt.
Folglich könnte man die Ellipse auch
so definieren.
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das
Verhältnis ihres Abstands d von einer Leitlinie und ihrer Entfernung
s von einem Brennpunkt einen konstanten Wert annimmt.
(5), Seite 329f.
Gerade und Ellipse top
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Eine Ellipse und eine Gerade schneiden sich in
zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht. |
Der Fall eines Schnittpunktes wird weiter verfolgt.
Tangentengleichung
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Lautet die Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1 und
ist der Berührpunkt P(x1| y1), so
ist die Gleichung der Tangente
xx1/a²+yy1/b²=1
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Herleitung
>Die Ellipsengleichung ist in der Form b²x²+a²y²=a²b²
handlicher.
Die Ableitung beider Seiten ergibt 2b²x+2a²yy'=0 oder nach
y' aufgelöst y'=-(b²x)/(a²y).
>Für eine Gerade gilt die Punktrichtungsform (y-y1)/(x-x1)=y'.
Dabei ist P(x1| y1) der Berührpunkt
und y' die Steigung der Ellipse im Punkte P.
>Eine Kombination der Gleichungen führt zur Tangentengleichung
(y-y1)/(x-x1)=-(b²x)/(a²y) und weiter zu
xx1/a²+yy1/b²=1, wzbw..
Ellipse zeichnen top
1.Fall: Gegeben sind die Brennpunkte der Ellipse
und die große Halbachse a.
Fadenkonstruktion
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>Befestige die Enden eines Fadens in den Punkten F1 und
F2. Der Faden hat die Länge 2a.
>Stecke in die Schlaufe einen Stift und zeichne die Ellipse. Achte
darauf, dass der Faden gespannt ist.
Diese Zeichnung wird durch die Definition der Ellipse erklärt. |
2.Fall Gegeben sind die Halbachsen a und
b.
Punktweise Konstruktion
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>Zeichne in ein Koordinatensystem zwei konzentrische Kreise mit den
Radien a und b.
Die Mittelpunkte liegen im Nullpunkt des Koordinatensystems
>Zeichne einen Radius des großen Kreises ein. Er schneidet die
Kreise in P1 und P2.
>Zeichne durch P1 eine Horizontale und durch P2 eine
Vertikale.
>Bezeichne den Schnittpunkt dieser Geraden mit Punkt P. P ist der Punkt
einer Ellipse. |
Beweis
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Nach dem ersten Strahlensatz gilt die Proportion P2'P:P2'P2=MP1:MP2.
Darin ist P2'P=y, MP1=b und MP2=a.
Nach dem Satz des Pythagoras ist P2'P2=sqrt(a²-x²).
Das führt zu y:sqrt(a²-x²)=b:a oder ay=b*sqrt(a²-x²)
oder x²/a²+y²/b²=1, wzbw.. |
Weitere Konstruktionen findet man auf der Webseite der GRAZ-ORTWEINSCHULE
und bei Steven Dutch (URL unten).
Zeichnung mit Paint
Die meisten Ellipsen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe des Zeichenprogramms
Paint. Man findet es bei Windows versteckt mit dem Pfad Startmenü/Zubehör/Paint.
[Stiftung Warentest bezeichnete es einmal in einem Test als ein Programm
für Vierjährige ;-).]
... ...
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Es soll eine Ellipse mit den Halbachsen a=50 Pixel, b=35 Pixel gezeichnet
werden.
>Gehe auf das Feld Ellipse der Toolbox.
>Starte in A und gehe diagonal mit gedrückter Maustaste auf Punkt
B zu.
>Lasse die Maustaste los, wenn auf der Statusleiste unten rechts 100x70
erscheint.
>Die Ellipse ist fertig. |
Zwei weitere
Formen der Ellipsengleichung top
Parameterform
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Oben wurde gezeigt, dass man einen Ellipsenpunkt mit Hilfe zweier konzentrischer
Kreise mit den Radien a und b konstruieren kann.
Führt man den Winkel t ein, wie aus der Zeichnung zu ersehen,
so lassen sich die Koordinaten eines Ellipsenpunktes durch diesen Winkel
und den Halbachsen ausdrücken.
Im Dreieck MP2'P2 gilt x=a*cos(t), im Dreieck
MP1'P1 gilt y=b*sin(t). |
Das ist die Parameterdarstellung der Ellipse: x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t).
Polarform
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Eine Ellipse wird im allgemeinen durch die Mittelpunktsgleichung x²/a²+y²/b²=1
gegeben. Nun kann man einen Punkt auch durch seine Entfernung vom Nullpunkt
des Koordinatensystems und durch den Winkel t mit der positiven x-Achse
geben. Das sind die Polarkoordinaten. |
Legt man den Nullpunkt in einen Brennpunkt der Ellipse, so ändert
sich die Ellipsengleichung zu (x-e)²/a²+y²/b²=1. Die
Polargleichung ist dann relativ einfach. Sie lautet
Epsilon heißt die numerische Exzentrizität der Ellipse. Es gilt
epsilon<1.
Zur Herleitung
Setzt man die beiden Gleichungen x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t) der
Parameterform in (x-e)²/a²+y²/b²=1, so erhält
man
Das ist eine quadratische Gleichung in r. Die positive Lösung ist
die gesuchte Polarform der Ellipsengleichung.
Flächeninhalt und Umfang
top
Eine Ellipse wird im Allgemeinen durch die beiden Halbachsen a und
b festgelegt.
Dann stellt sich das Problem, aus den beiden Größen den
Flächeninhalt und den Umfang zu berechnen.
Der Flächeninhalt ist A=pi*ab.
Herleitung
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Es genügt, die Viertelellipse im ersten Quadranten zu betrachten.
Es folgt aus x²/a²+y²/b²=1 die Funktionsgleichung
y=(b/a)sqrt(a²-x²). Dann gilt
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Das Integral kann durch die Substitution x=a*sin(t) berechnet werden.
Es gilt dann sqrt(a²-x²)=a*cos(t) und dx=a*cos(t)dt.
Das führt zu neuen Grenzen: Statt x=0 setzt man t=0 und statt
x=a setzt man t=pi/2 wegen a=a*sin(t) bzw. sin(t)=1.
Für das Intergral heißt das
Damit ist A=pi*ab.
nach (4), Seite 852f.
Der Umfang
kann nicht durch eine elementare Funktion angegeben werden, nur als "elliptisches"
Integral
Man kann das Integral näherungsweise über eine Reihenentwicklung
des Integranden bestimmen. Man erhält z.B.
Mehr bei (2), Seite 265
Sammlung von Aussagen
zur Ellipse top
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Eine Ellipse entsteht als Schnittlinie, wenn man durch einen geraden
Kreiszylinder einen schrägen Schnitt legt. |
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Stellt man die Zeichnung auf den Kopf, so bietet sich die folgende
Deutung an.
Ein Kreis wird auf eine schräge Ebene parallel projiziert. In ihr
liegt dann eine Ellipse. |
Mittelpunkte paralleler
Sehnen
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Eine Strecke innerhalb der Ellipse durch den Mittelpunkt (rot) heißt
Durchmesser.
Zeichnet man zu einem Durchmesser die Parallelen, so liegen die Mittelpunkte
der Sehnen auf einem zweiten Durchmesser, dem konjugierten Durchmesser. |
Mittelpunkte paralleler
Sehnen zum konjugierten Durchmesser
... ... |
Zeichnet man zum konjugierten Durchmesser wiederum die Parallelen und
halbiert sie, so liegen die Halbierungspunkte wieder den ursprünglichen
Ellipsendurchmesser. |
Zwei Anmerkungen
>Die beiden Achsen der Ellipse sind auch konjugierte Durchmesser.
>Projiziert man einen Kreis auf eine schiefe Ebene und erzeugt so eine
Ellipse, so werden dabei aufeinander senkrecht stehende Durchmesser zu
konjugierten Durchmessern.
Zwei Formeln zu konjugierten
Durchmessern
... ... |
Sind m1 und m2 die Steigungen konjugierter Durchmesser,
so gilt m1m2=-b²/a².
Sind a1und b1 zugeordnete Halbmesser, so gilt
a²+b²=a1²+b1². |
Reflexion von Brennstrahlen
... ... |
Verbindet man die Brennpunkte der Ellipse mit einem ihrer Punkte, so
entsteht ein Winkel. Dieser Winkel wird von einer Normalen, einer Senkrechten
zur Tangente, halbiert. - So kann ein Flüstergewölbe wie rechts
erklärt werden. Die Köpfe von Sprecher und Hörer befinden
sich in den Brennpunkten. |
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Krümmungskreise
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În den Hauptscheitelpunkten der Ellipse links sind zwei Kreise
eingezeichnet, die die Ellipse in diesen Punkten gut annähern.
Die Radien sind r=b²/a. |
Hüllkonstruktion
der Ellipse
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Zeichnet man von einem Brennpunkt der Ellipse aus die Senkrechte zur
Tangente, so liegt der Fußpunkt des Lotes auf dem Hauptkreis der
Ellipse. Das ist der Kreis mit dem Radius a und demselben Mittelpunkt wie
die Ellipse.
Aus diesem Satz folgt die Hüllkonstruktion der Ellipse. |
Ellipse als Kegelschnitt
top
Kegelschnitte
... ... |
Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen,
so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien.
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt
eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel erreicht, erzeugt
eine Hyperbel.
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel.
Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem. |
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Scheitelgleichungen
der Kegelschnitte
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Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²
Es ergeben sich
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2. |
Quadratische Gleichung
mit zwei Variablen
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Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.
Eine Ellipse liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²>0 ist (3).
Die nebenstehende Ellipse ist der Graph der Relation 3x²-2xy+3y²-2x-2y=0.
Es ist 4AC-B²=4*3*3-2²=32>0
Offensichtlich bewirkt der Term mit xy eine Neigung der Symmetrieachsen.
Quelle: (2) Aufgabe 991a |
Ellipsen im Internet
top
Deutsch
GRAZ-ORTWEINSCHULE
Ellipsen-Konstruktionen
Wikipedia
Ellipse, Rotationsellipsoid,
Flüstergewölbe,
Superellipse,
Superformel,
Krümmungskreis,
Englisch
Gary S. Stoudt (Convergence MAA)
Can
You Really Derive Conic Formulae from a Cone?
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Ellipse, Ellipsoid,
One-Seventh
Ellipse, Curvature,
Circumellipse,
Steiner
Circumellipse
John J O'Connor and Edmund F Robertson (The MacTutor History of Mathematics
archive)
Ellipse
Rick Parris
Winplot
Steven Dutch
Constructing
Ellipses
Xah Lee
Ellipse
Wikipedia
Ellipse, Ellipsoid,
Whispering
gallery, Superellipse,
Superformula,
Osculating
circle
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
Ellipse
Referenzen top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch für höhere
Lehranstalten, Oberstufe, Braunschweig 1940
(2) Autorengemeinschaft: Algebra und Geometrie für Ingenieure,
Frankfurt/M Zürich 1966 [ISBN 978-3-87144-107-3]
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
(4) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York
- London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
(5) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik,
Leipzig 1986
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©
2007 Jürgen Köller
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