Hyperboloid
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Was ist ein Hyperboloid?
Die Formel des Rotationshyperboloids
Volumen und Mantelfläche
Graph mit Winplot
Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid
Flächen zweiter Ordnung
Hyperboloid im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Hyperboloid?
...... Im einfachsten Fall ist ein Hyperboloid ein Rotationshyperboloid. 
Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Hyperbel im Raum um ihre vertikale Achse rotiert.

Es ist genauer ein einschaliges Rotationshyperboloid.

Neben dem (allgemeinen) einschaligen Hyperboloid wird das zweischalige Hyperboloid unten vorgestellt.

Das einschalige Hyperboloid hat die Form eines unendlich langen Schlauches, der an einer Stelle eingeschnürt ist.


...... ...... Rotieren auch die Asymptoten der Hyperbel um die Achse, so entsteht ein Doppelkegel. 

Das einschalige Hyperboloid nähert sich dem Doppelkegel asymptotisch von außen. 


Die Formel des Rotationshyperboloids     top
...... Die rotierende Hyperbel oben hat die Gleichung x²-y²=1. 
Damit hat das Hyperboloid die Gleichung x²+y²-z²=1.

Sie enthält die Gleichungen von Hyperbeln und Kreisen.
x²-z²=1-y², y konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-x-Ebene
y²-z²=1-x², x konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-y-Ebene
x²+y²=1+z², z konstant.
Kreise parallel 
zur x-y-Ebene
Schließt man das Paraboloid oben und unten mit einem Kreis ab, dann stellt sich die Frage, wie groß das Volumen und die Mantelfläche dieses Körpers sind.


Eine allgemeinere Formel des Rotationshyperboloids ist x²/a²+y²/a²-z²/c²=1
Dabei sind a und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.

Volumen und Mantelfläche top
Rotiert der Graph mit y=f(x) um die x-Achse, so gelten für Volumen und Mantelfläche die beiden folgenden Formeln.


Es wird der Einfachheit halber nur eine Hälfte des Hyperboloids untersucht. 
Volumen
...... Man stelle sich also vor, die Hyperbel mit -x²+y²=1 rotiere um die x-Achse. 

Es gilt

Also ist V=(1/3)pi(x³+3x) oder V=(1/3)pi*x(x²+3)=(1/3)pi*x(y²+2).


Mantelfläche
Zur Berechnung der Mantelfläche stellt man die Gleichung  -x²+y²=1, die Ableitung -2x+2yy'=0 oder y'=x/y und den Term sqrt(1+y'²)=sqrt(1+x²/y²)=(1/y)sqrt(x²+y²) bereit.
Das führt zu 
Nach Bronstein (4) gibt es die folgende Stammfunktion.
Dann ist

Ergebnis: V=(1/3)pi(x³+3x) und M=pi{xsqrt(2x²+1)+sqrt(2) arc sinh[sqrt(2)x]}

Die Formeln für ein allgemeines Rotationshyperboloid mit x²/a²+y²/a²-z²/c²=1 findet man auf der Webseite 
http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html

Graph mit Winplot   top
Das Zeichenprogramm Winplot stellt das Rotationshyperboloid mit Hilfe der Koordinatengleichung und der Parametergleichung wie folgt dar.

x²+y²-z²=1 mit -2,1<=x,y,z<=2,1

x=sqr(u²+1)cos(t), y=sqr(u²+1)sin(t), z=u 
mit 0<=t<=2pi, 0<=u<=pi


Die Parameter- und die Koordinatendarstellung entsprechen sich:
x²+y²=[(u²+1)cos²(t)²]+[(u²+1)sin²(t)]=(u²+1)*[cos²(t)+sin²(t)]=u²+1=z²+1, was zu zeigen war.

Auf meiner Seite Torus erkläre ich, wie man mit dem Freeware-Programm Winplot Körper dieser Art zeichnet. 

Einschaliges Hyperboloid top
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=1 ist eine Verallgemeinerung der Gleichung x²+y²-z²=1 des einschaligen Rotatonsparaboloids. Sie stellt das einschalige Hyperboloid dar.
Dabei sind a, b und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.



Kurvenscharen
Hält man wieder eine Koordinate (rot) fest und fasst sie als Parameter auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
y²/b²-z²/c²=1-x²/a²
Hyperbeln parallel zur z-y-Ebene
x²/a²-z²/c²=1-y²/b²
Hyperbeln parallel zur z-x-Ebene
x²/a²+y²/b²=1+z²/c²
Ellipsen parallel zur x-y-Ebene

Symmetrie
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=1  ändert sich nicht, wenn man x, y und z durch ihre Gegenzahlen -x, -y und -z ersetzt. 
Das heißt, dass das einschaliges Hyperboloid bzgl. der z-y-Ebene, der z-x-Ebene und der x-y-Ebene symmetrisch ist.

Graph

3x²+2y²-z²=4 
mit -2,1<=x,y,z<=2,1

x=(4/3)sqrt(u²+1)cos(t); y=2sqrt(u²+1)sin(t); z=-4u
mit 0<=t<=2pi und -pi<=u<=pi


Einschaliges Hyperboloid  als Regelfläche
...... Das einschalige Hyperboloid ist eine Regelfläche. 

Das heißt, sie ist eine Fläche, die aus Geraden gebildet wird. 


Man kann die Gleichung des einschaligen Hyperboloids so umformen, dass man die Geradengleichungen erkennt.
Es gilt x²/a²+y²/b²-z²/c²=1 oder x²/a²-z²/c²=1-y²/b² oder (x/a+z/c)(x/a-z/c)=(1+y/b)(1-y/b). 
Man setzt (1-y/b):(x/a-z/c)=u und (1+y/b):(x/a-z/c)=v , so dass die Ausgangsgleichung (1-y/b):(x/a-z/c)=(1+y/b):(x/a+z/c) durch zwei Paare von Gleichungen ersetzt werden kann.
x/a+z/c=u(1+y/b) und x/a+z/c=v(1-y/b)
x/a-z/c=(1/u)(1-y/b) und x/a-z/c=(1/v)(1+y/b)
Jede dieser Gleichungen stellt eine Ebene dar, jedes Gleichungspaar eine Gerade als Schnittgerade der Ebenen. 
Die Geradenpaare bilden das Hyperboloid, wenn die Parameter u und v alle Werte durchlaufen. 
Quelle (3)

Zweischaliges Hyperboloid top
...... Dreht man die Hyperbel um 90° und lässt sie wieder um die vertikale Achse rotieren, so entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. 

Die Gleichung der Hyperbel ist -x²+y²=1. 
Dann ist die Gleichung des Hyperboloids  x²+y²-z²=-1. 
 
z²-x²=y²+1, y konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-x-Ebene
z²-y²=x²+1, x konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-y-Ebene
x²+y²=z²-1, z konstant.
Kreise parallel 
zur x-y-Ebene


...... Beim zweischaligen Hyperboloid nähern sich beide Teilkörper von innen dem Doppelkegel asymptotisch.

Da die Hyperbel rechtwinklig ist, ist der Öffnungswinkel des Kegels 90°.


Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1 ist eine Verallgemeinerung der Gleichung x²+y²-z²=-1 des zweischaligen Rotationsparaboloids. Sie stellt das allgemeine zweischalige Hyperboloid dar.
Dabei sind a, b und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.

Kurvenscharen
Hält man wieder eine Koordinate (rot) fest und fasst sie als Parameter auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
y²/b²-z²/c²=-1-x²/a²
Hyperbeln parallel zur z-y-Ebene
x²/a²-z²/c²=-1-y²/b²
Hyperbeln parallel zur z-x-Ebene
x²/a²+y²/b²=-1+z²/c²
Ellipsen parallel zur x-y-Ebene

Symmetrie
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1  ändert sich nicht, wenn man x, y und z durch ihre Gegenzahlen -x, -y und -z ersetzt. 
Das heißt, dass das zweischalige Hyperboloid bzgl. der z-y-Ebene, der z-x-Ebene und der x-y-Ebene symmetrisch ist.

Graph
Das zweischalige Hyperboloid stellt man über eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung wie folgt dar.

x²+y²-z²=-0,3
mit -2,1<=x,y,z<=2,1

x=(4/3)sqrt(u²-1)cos(t), x=2sqrt(u²-1)cos(t), z=-4u
mit 0<=t<=2pi und -5<u<-1, 
sowie (2.Bild) 
mit 0<=t<=2pi und 1<=u<=5 

Flächen zweiter Ordnung top
Das Hyperboloid gehört zu den Flächen zweiter Ordnung. 
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im Wesentlichen die folgenden Flächen.

Kugel

Ellipsoid

Paraboloid

Hyperboloid


Hyperboloid im Internet top

Deutsch

Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld 
Das einschalige Hyperboloid  (Bauwerke)

Karla Nestler (TU Dresden, Fachrichtung Mathematik) 
Einschaliges Hyperboloid

Ralf Schaper (Fachbereich Mathematik /Informatik, Universität Kassel)
Aufgeschnittenes, einschaliges HyperboloidAufgeschnittenes, zweischaliges Hyperboloid

Wikipedia
Hyperboloid, Rotationshyperboloid, Regelfläche, Hyperboloidkonstruktion, Konoid, Gabriels Horn,
Hyperboloidkonstruktion, Kühlturm


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Hyperboloid, Elliptic Hyperboloid, Barrel, Confocal Quadrics, Hyperbolic Cylinder, Quadratic Surface
Ruled Surface, Spaghetti Bundle

George W. Hart
Skewer Hyperboloids

Tim Tyler 
Hyperboloid bridges

Wikpedia
Hyperboloid, Hyperboloid structure, Ruled surfaceConoid, Hyperboloid structure, List of Hyperboloid structuresCooling tower

The Wolfram Demonstrations Project
Elliptic Hyperboloid of one Sheet, Elliptic Hyperboloid of Two Sheets, Hyperboloid as a Ruled Surface

Xahlee 
Hyperboloid of Two SheetsRotate meHyperboloid of Two SheetsRotate me



Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve) 
HYPERBOLOÏDE À UNE NAPPE H1, HYPERBOLOÏDE À DEUX NAPPES H2


Referenzen    top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld  [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) M.J.Wygodski: Höhere Mathematik griffbereit, Braunschweig 1977 [ISBN 3 528 18309 8]
(3) W.Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 
(4) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2011 Jürgen Köller

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