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Was ist ein Hyperboloid?
... ... |
Im einfachsten Fall ist ein Hyperboloid ein Rotationshyperboloid.
Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Hyperbel
im Raum um ihre vertikale Achse rotiert.
Es ist genauer ein einschaliges Rotationshyperboloid.
Neben dem (allgemeinen) einschaligen Hyperboloid wird das zweischalige
Hyperboloid unten vorgestellt.
Das einschalige Hyperboloid hat die Form eines unendlich langen Schlauches,
der an einer Stelle eingeschnürt ist. |
... ... |
...... |
Rotieren auch die Asymptoten der Hyperbel um die Achse, so entsteht
ein Doppelkegel.
Das einschalige Hyperboloid nähert sich dem Doppelkegel asymptotisch
von außen. |
Die Formel des
Rotationshyperboloids top
... ... |
Die rotierende Hyperbel oben hat die Gleichung x²-y²=1.
Damit hat das Hyperboloid die Gleichung x²+y²-z²=1.
Sie enthält die Gleichungen von Hyperbeln und Kreisen.
x²-z²=1-y², y konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-x-Ebene |
y²-z²=1-x², x konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-y-Ebene |
x²+y²=1+z², z konstant.
Kreise parallel
zur x-y-Ebene |
Schließt man das Paraboloid oben und unten mit einem Kreis ab, dann
stellt sich die Frage, wie groß das Volumen und die Mantelfläche
dieses Körpers sind. |
Eine allgemeinere Formel des Rotationshyperboloids ist
x²/a²+y²/a²-z²/c²=1.
Dabei sind a und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.
Volumen und Mantelfläche
top
Rotiert der Graph mit y=f(x) um die x-Achse, so gelten für Volumen
und Mantelfläche die beiden folgenden Formeln.
Es wird der Einfachheit
halber nur eine Hälfte des Hyperboloids untersucht.
Volumen
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Man stelle sich also vor, die Hyperbel mit -x²+y²=1 rotiere
um die x-Achse.
Es gilt
Also ist V=(1/3)pi(x³+3x) oder V=(1/3)pi*x(x²+3)=(1/3)pi*x(y²+2). |
Mantelfläche
Zur Berechnung der Mantelfläche stellt man die Gleichung
-x²+y²=1, die Ableitung -2x+2yy'=0 oder y'=x/y und den Term sqrt(1+y'²)=sqrt(1+x²/y²)=(1/y)sqrt(x²+y²)
bereit.
Das führt zu
Nach Bronstein (4) gibt es die folgende Stammfunktion.
Dann ist
Ergebnis: V=(1/3)pi(x³+3x) und M=pi{xsqrt(2x²+1)+sqrt(2)
arc sinh[sqrt(2)x]}
Die Formeln für ein allgemeines Rotationshyperboloid
mit x²/a²+y²/a²-z²/c²=1 findet man
auf der Webseite
http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html
Graph mit Winplot top
Das Zeichenprogramm Winplot stellt das Rotationshyperboloid mit Hilfe
der Koordinatengleichung und der Parametergleichung wie folgt dar.
x²+y²-z²=1 mit -2,1<=x,y,z<=2,1
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x=sqr(u²+1)cos(t), y=sqr(u²+1)sin(t), z=u
mit 0<=t<=2pi, 0<=u<=pi
|
Die Parameter- und die Koordinatendarstellung
entsprechen sich:
x²+y²=[(u²+1)cos²(t)²]+[(u²+1)sin²(t)]=(u²+1)*[cos²(t)+sin²(t)]=u²+1=z²+1,
was zu zeigen war.
Auf meiner Seite Torus
erkläre ich, wie man mit dem Freeware-Programm Winplot Körper
dieser Art zeichnet.
Einschaliges Hyperboloid top
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
ist eine Verallgemeinerung der Gleichung x²+y²-z²=1 des
einschaligen Rotatonsparaboloids. Sie stellt das einschalige Hyperboloid
dar.
Dabei sind a, b und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.
Kurvenscharen
Hält man wieder eine Koordinate (rot) fest und fasst sie als Parameter
auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
y²/b²-z²/c²=1-x²/a²
Hyperbeln parallel zur z-y-Ebene |
x²/a²-z²/c²=1-y²/b²
Hyperbeln parallel zur z-x-Ebene |
x²/a²+y²/b²=1+z²/c²
Ellipsen parallel zur x-y-Ebene |
Symmetrie
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
ändert sich nicht, wenn man x, y und z durch ihre Gegenzahlen -x,
-y und -z ersetzt.
Das heißt, dass das einschaliges Hyperboloid bzgl. der z-y-Ebene,
der z-x-Ebene und der x-y-Ebene symmetrisch ist.
Graph
3x²+2y²-z²=4
mit -2,1<=x,y,z<=2,1
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x=(4/3)sqrt(u²+1)cos(t); y=2sqrt(u²+1)sin(t); z=-4u
mit 0<=t<=2pi und -pi<=u<=pi
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Einschaliges Hyperboloid als Regelfläche
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Das einschalige Hyperboloid ist eine Regelfläche.
Das heißt, sie ist eine Fläche, die aus Geraden gebildet
wird. |
Man kann die Gleichung des einschaligen
Hyperboloids so umformen, dass man die Geradengleichungen erkennt.
Es gilt x²/a²+y²/b²-z²/c²=1 oder x²/a²-z²/c²=1-y²/b²
oder (x/a+z/c)(x/a-z/c)=(1+y/b)(1-y/b).
Man setzt (1-y/b):(x/a-z/c)=u und (1+y/b):(x/a-z/c)=v , so dass die
Ausgangsgleichung (1-y/b):(x/a-z/c)=(1+y/b):(x/a+z/c) durch zwei Paare
von Gleichungen ersetzt werden kann.
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x/a+z/c=u(1+y/b) und x/a+z/c=v(1-y/b)
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x/a-z/c=(1/u)(1-y/b) und x/a-z/c=(1/v)(1+y/b)
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Jede dieser Gleichungen stellt eine Ebene dar, jedes Gleichungspaar eine
Gerade als Schnittgerade der Ebenen.
Die Geradenpaare bilden das Hyperboloid, wenn die Parameter u und v
alle Werte durchlaufen.
Quelle (3)
Zweischaliges Hyperboloid
top
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Dreht man die Hyperbel um 90° und lässt sie wieder um die
vertikale Achse rotieren, so entsteht ein zweischaliges Hyperboloid.
Die Gleichung der Hyperbel ist -x²+y²=1.
Dann ist die Gleichung des Hyperboloids x²+y²-z²=-1.
z²-x²=y²+1, y konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-x-Ebene |
z²-y²=x²+1, x konstant.
Hyperbeln parallel
zur z-y-Ebene |
x²+y²=z²-1, z konstant.
Kreise parallel
zur x-y-Ebene |
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... ... |
Beim zweischaligen Hyperboloid nähern sich beide Teilkörper
von innen dem Doppelkegel asymptotisch.
Da die Hyperbel rechtwinklig ist, ist der Öffnungswinkel des Kegels
90°. |
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1
ist eine Verallgemeinerung der Gleichung x²+y²-z²=-1 des
zweischaligen Rotationsparaboloids. Sie stellt das allgemeine zweischalige
Hyperboloid dar.
Dabei sind a, b und c beliebige reelle Zahlen ungleich 0.
Kurvenscharen
Hält man wieder eine Koordinate (rot) fest und fasst sie als Parameter
auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
y²/b²-z²/c²=-1-x²/a²
Hyperbeln parallel zur z-y-Ebene |
x²/a²-z²/c²=-1-y²/b²
Hyperbeln parallel zur z-x-Ebene |
x²/a²+y²/b²=-1+z²/c²
Ellipsen parallel zur x-y-Ebene |
Symmetrie
Die Gleichung x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1
ändert sich nicht, wenn man x, y und z durch ihre Gegenzahlen -x,
-y und -z ersetzt.
Das heißt, dass das zweischalige Hyperboloid bzgl. der z-y-Ebene,
der z-x-Ebene und der x-y-Ebene symmetrisch ist.
Graph
Das zweischalige Hyperboloid stellt man über eine Koordinatengleichung
und eine Parametergleichung wie folgt dar.
x²+y²-z²=-0,3
mit -2,1<=x,y,z<=2,1
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x=(4/3)sqrt(u²-1)cos(t), x=2sqrt(u²-1)cos(t), z=-4u
mit 0<=t<=2pi und -5<u<-1,
sowie (2.Bild)
mit 0<=t<=2pi und 1<=u<=5
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Flächen zweiter Ordnung
top
Das Hyperboloid gehört zu den Flächen zweiter Ordnung.
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem
die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich im
Wesentlichen die folgenden Flächen.
Hyperboloid im Internet top
Deutsch
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Das
einschalige Hyperboloid (Bauwerke)
Karla Nestler (TU Dresden, Fachrichtung Mathematik)
Einschaliges
Hyperboloid
Ralf Schaper (Fachbereich Mathematik /Informatik, Universität Kassel)
Aufgeschnittenes,
einschaliges Hyperboloid, Aufgeschnittenes,
zweischaliges Hyperboloid
Wikipedia
Hyperboloid,
Rotationshyperboloid,
Regelfläche,
Hyperboloidkonstruktion,
Konoid,
Gabriels
Horn,
Hyperboloidkonstruktion,
Kühlturm
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Hyperboloid,
Elliptic
Hyperboloid, Barrel,
Confocal
Quadrics,
Hyperbolic
Cylinder, Quadratic
Surface,
Ruled Surface,
Spaghetti
Bundle
George W. Hart
Skewer
Hyperboloids
Tim Tyler
Hyperboloid bridges
Wikpedia
Hyperboloid,
Hyperboloid
structure, Ruled
surface, Conoid,
Hyperboloid
structure, List
of Hyperboloid structures, Cooling
tower
The Wolfram Demonstrations Project
Elliptic
Hyperboloid of one Sheet, Elliptic
Hyperboloid of Two Sheets, Hyperboloid
as a Ruled Surface
Xahlee
Hyperboloid
of Two Sheets, Rotate
me, Hyperboloid
of Two Sheets, Rotate
me
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
HYPERBOLOÏDE
À UNE NAPPE H1, HYPERBOLOÏDE
À DEUX NAPPES H2
Referenzen top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung
zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) M.J.Wygodski: Höhere Mathematik griffbereit, Braunschweig
1977 [ISBN 3 528 18309 8]
(3) W.Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig
1986
(4) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
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2011 Jürgen Köller
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