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Was ist ein abgestumpftes Oktaeder?
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Ein abgestumpftes Oktaeder ist ein Körper,
der von 8 regelmäßigen Sechsecken und 6 Quadraten gebildet wird.
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört es zu den archimedischen Körpern. |
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Entstehung
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Das abgestumpfte Oktaeder entsteht aus
einem Oktaeder, indem man an den Ecken passend quadratische Pyramiden abschneidet.
Dazu teilt man alle Kanten des Oktaeders in drei gleiche Teile. |
Aus den sechs Ecken des Oktaeders werden
bei diesem Körper sechs Quadrate.
Die acht Dreiecke des Oktaeders werden zu acht Sechsecken.
Neben den 6+8=14 Seitenflächen hat das abgestumpfte
Oktaeder
36 Kanten und 24 Ecken.
Lage der Quadrate und
Sechsecke top
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Drei Sechsecke oder drei Quadrate umgeben ein Sechseck. |
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Vier Sechsecke umgeben ein Quadrat. |
Es gibt vier Paare gegenüberliegender
Sechsecke.
Es gibt drei Paare gegenüberliegender Quadrate.
Besondere Ansichten top
Ein Sechseck, ein Quadrat, eine Kante, eine Kante und ein Eckpunkt liegen
vorne.
Netz top
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Das ist das Netz des abgestumpften Oktaeders, eins von vielen. |
Größen top
Das abgestumpfte Oktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R
der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O berechnen.
Herleitungen
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus sechs Quadraten und der acht regelmäßigen
Sechsecke zusammen.
O=6a²+8[(3/2)sqrt(3)]a²=[6+12sqrt(3)]a²
Volumen
Für das Oktaeder mit Kantenlänge a' gilt h'=(1/2)sqrt(2)a'
und V'=(1/3)sqrt(2)a'³.
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Für die quadratische Pyramide, die man abschneidet, gilt h=(1/3)h'=
und a=a'/3.
Vp=(1/3)a²h=(1/3)a²(h'/3)=(1/6)sqrt(2)a³. |
Man erhält das Volumen des abgestumpften Oktaeders, indem man das
sechsfache Volumen der Pyramide vom Volumen des Oktaeders subtrahiert.
V=V'-6Vp=9sqrt(2)a³ - 6*(1/6)sqrt(2)a³=8sqrt(2)a³
Radius der
Umkugel
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=[(2/3)h']²+[(1/2)sqrt(2)a]²=(5/2)a²
oder R=(1/2)sqrt(10)a. |
Der Abstand der Sechsecke ist d6=sqrt(6)a. Der Abstand der Quadrate
ist d4=2sqrt(2)a.
Tensegrity Structure top
Ich wähle für die folgende Anordnung die englische Bezeichnung,
da ich keine Übersetzung ins Deutsche gefunden habe.
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Mein Beispiel für eine Tensegrity structure ist
das nebenstehende Gebilde aus 12 Stäben, die kunstvoll an den Enden
durch Schnüre miteinander verbunden sind.
Der Körper ist in sich stabil.
Im Inneren ist als Blickfang eine Glaskugel eingeschlossen.
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Verbindet man die Endpunkte der Stäbe durch Linien, so ergibt
sich - leicht verfälscht - ein abgestumpftes Oktaeder. |
Hintergrund
In das unübersichtliche Gebilde kommt Ordnung, wenn man im abgestumpften
Oktaeder für jedes Sechseck-Paar drei Raumdiagonalen einzeichnet.
Da es, wie oben durch eine Animation veranschaulicht, vier Paare von
Sechsecken gibt, ergeben sich insgesamt 12 Raumdiagonalen.
Die roten Linien sind die Stäbe, die schwarzen Begrenzungslinien
des abgestumpften Oktaeders sind Schnüre.
Zweite Version:
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Dieses ist eine Version, bei der die Schnüre durch dünne
Stäbe ersetzt sind, die durch Bohrungen der dickeren Stäbe führen
und sie in ihrer Lage halten.
Es wird als Denkspiel (schwer) verkauft: Man soll die Kugel
im Inneren befreien.
Im Moment (November 2007) wird es im Dänischen Bettenhaus
für 2,99€ verkauft. |
Mehr Informationen über das interessante
Thema Tensegrity kann man sich über die zahlreichen Links meiner
Linkliste unten holen.
Ein zweites abgestumpftes
Oktaeder top
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Aus einem Oktaeder kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden
quadratischer Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Dieser Körper entsteht auch aus einem Würfel durch die gleiche
Prozedur. Er heißt Kuboktaeder. |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Abgestumpftes Oktaeder
im Internet top
Deutsch
H.B.Meyer
Abgestumpftes
Oktaeder aus (sechs) Flechtstreifen
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Tensegrity,
Tensegrity
(Architektur)
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Octahedron, Archimedean
Solid, Tensegrity
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
The
Truncated Octahedron and the Cuboctahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper
Models of Truncated Octahedron
H.B.Meyer
Truncated
Octahedron of six paper strips
Jaap Zonneveld's Stereoscopic show of Mathematical Models
Truncated
Octahedron (.gif picture)
Kenneth Snelson
Structure
and Tensegrity
NN, Polyhedral toy (Japanische Seite)
Tensegrity
Poly
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Wikipedia
Truncated
octahedron,
Archimedean
solid, Tensegrity
Französisch
Robert FERRÉOL
OCTAÈDRE
TRONQUÉ
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 104)
Feedback: Emailadresse auf meiner
Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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