Tangram
Inhalt dieser Seite
Was ist Tangram?
Grundproblem
Figuren legen
Ordnen der Tangram-Figuren 
Tangram-Vögel 
Konvexe Figuren
Gitternetz-Tangrams
Herstellung
Varianten des Tangram-Spiels 
Tangram im Internet
Referenzen
.
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Was ist Tangram? 
Tangram ist ein populäres Legespiel. 
Aus sieben Steinen, nämlich fünf Dreiecken, einem Quadrat und einem Parallelogramm, kann man Figuren legen. Alle Steine müssen dabei verwendet werden. Sie müssen sich berühren, dürfen sich aber nicht überlappen.

Grundproblem   top
Alle sieben Tangram-Steine bestehen aus kleinen Halbquadraten der Form ....
Das sind zusammen 32 Halbquadrate oder 16 Quadrate.
......
16 Quadrate bilden ein großes 4x4-Quadrat. So ist das Grundproblem der "Tangram-Forschung" ein Quadrat aus allen sieben Steinen zu legen.



Anmerkung:
Man kann auch den kleinsten Tangramstein (blaues Dreieck) als Grunddreieck annehmen. Ich verwende das halbe Dreieck als Grundelement, denn dann hat das Quadrat aus den sieben Tangramsteinen die einfache Länge 4. 
Grunddreieck auf dieser Seite: ...... Andere Möglichkeit: .
Unterschied: Rationale und irrationale Seitenlängen sind vertauscht.

Figuren legen 
1.Problem: Neue Figuren legen    top
...... Man kann neue Figuren erfinden. 
Die Figuren sollten so beschaffen sein, dass man schon auf den ersten Blick erkennt, was dargestellt wird. 
Es gibt Tausende von Figuren, die schon mit den Steinen gelegt worden sind. 
......
[3sqrt(2)]x[3sqrt(2)]-Quadrate sind möglich, wenn man einen oder zwei Steine auslässt.


2.Problem: Auslegen von vorgegebenen Silhouetten top
.......... Es ist gar nicht so leicht, vorgegebene Umrisse von Figuren mit den Tangram-Steinen auszufüllen. (Lösung am Ende dieses Kapitels)

3.Problem: Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Figur zu legen? top
......
Das Trapez kann auf zweierlei Weise ausgelegt werden. Sicher gibt es noch mehr Möglichkeiten.

Paradoxa
...... Das nebenstehende gleichschenklige Trapez ist nicht möglich. 
Legt man die Figur mit Tangram-Steinen nach, so erkennt man einen Fehler: 
Der gelbe und der grüne Stein sind ein wenig größer als gezeichnet.
Man benutzt hier den Sachverhalt, dass 4 und das Dreifache der Wurzel aus 2 (=4.24) in etwa übereinstimmen. 

Andere Paradoxa vergleichen zwei scheinbar gleiche Tangramfiguren.

Ein Beispiel von H.Dudeney

Lösung:


Tangram-Vögel top
Etwa 100 Schülerinnen und Schüler (11/12/13 Jahre alt) erhielten den Auftrag Vögel zu entwerfen. 
Hier aus Platzgründen nur eine Auswahl schöner Vögel:

Nicht alle Schüler konnten sich mit den Tangram-Steinen anfreunden:

;-)
(Dank an 6b, 6c, 7a, 7c, 7d in 1999/2000)

Ordnen der Tangram-Figuren top
Man kann sich z.B nach der Lage der Seiten eines Halbquadrates richten.

1 Katheten horizontal oder vertikal
2 Hypotenuse horizontal oder vertikal
3 Mischung aus 1 und 2
4 Lage der Dreiecksseiten beliebig

Vom mathematischen Standpunkt aus sollte man nur die Figuren 1 und 2 zulassen. 
Fast alle Tangramfiguren aber sind vom Typ 4. Da es hier keine festen Regeln gibt, entstehen viele schöne und ausdrucksstarke Formen. - Sie werden üblicherweise nach Themen geordnet. 


Konvexe Figuren  top
Eine Figur ist konvex, wenn sie nur nach außen gewölbt ist. Genauer: Greift man zwei beliebige Punkte innerhalb der Figur heraus, so liegt auch die Strecke zwischen den beiden Punkten innerhalb der Figur.
Es gibt erstaunlicherweise nur 13 konvexe Figuren, die man mit Tangram-Steinen legen kann. 
Beweis durch Fu Traing Wang und Chuan-Chih Hsiung 1942 (Buch 4)


Gitternetz-Tangrams mit konvexer Schale     top
In Buch 3 und 4 findet man einen interessanten Vorschlag, Tangramfiguren zu klassifizieren. 
Es geht aber nur um  'mathematische' Tangramfiguren, für die die Vögel  1 und 2 oben als Beispiele stehen. Sie können so in ein Koordinatensystem gelegt werden, dass die Eckpunkte der Tangramsteine ganzzahlige Koordinaten haben. Anders ausgedrückt: Die Tangramsteine können so gelegt werden, dass die Hypotenuse die Einheit 1 bekommt und horizontal oder vertikal liegt. Strecken mit der Einheit (Wurzel aus 2) liegen schräg. - Entsprechend wird Vogel 1 gedreht.
Die Figuren werden sodann durch möglichst wenige (weiße) Dreiecke ergänzt, so dass eine konvexe Figur entsteht. Diese Dreiecke entsprechen der Größe der blauen Tangramsteine. Die Dreiecke werden gezählt. Der Vogel 1 benötigt 14 Dreiecke und ist 14-konvex, Vogel 2 ist 5-konvex. Die konvexen Figuren oben benötigen kein Dreieck und sind demnach 0-konvex. Im Buch 4 werden sämtliche 133 (abstrakten) 1-konvexen Tangramfiguren abgebildet und gelöst.


Es gibt das Problem, eine Figur mit einer möglichst großen, konvexen Schale zu finden. 
Bruno Curfs fand die folgenden sieben 41-konvexe Tangrams (5). Wahrscheinlich ist 41 die obere Grenze.

...


...... Ich erhielt weitere 41-konvexe Tangrams: 8 von Ludwig Welther, 9 von Hartmut Blessing, 
10 und 11 von Hannes Georg Kuchler. 

...... Daniel Gronau teilte mir mit, dass er alle möglichen Gitter-Tangrams durchrechnen ließ. Er stellte fest, dass es noch drei weitere Lösungen gibt. 

Bruno Curfs weist mathematisch nach, dass 44-konvex eine obere Grenze ist (5). 

Herstellung von Tangram-Steinen top
Wahrscheinlich sind die Tangram-Steine dadurch entstanden, dass man ein 4x4-Quadrat zerschnitten hat.

Das macht man sich bei der Herstellung der Tangram-Steine zunutze. Man zeichnet auf Sperrholz oder auf Pappe ein 4x4-Quadrat mit etlichen Diagonalen. Dann zersägt bzw. zerschneidet man das Quadrat wie oben angegeben. 

Varianten des Tangram-Spiels top

Man erzeugt weitere Tangramspiele, indem man einfache geometrische Figuren wie Quadrat, Rechteck oder Kreis aufteilt. Die bekanntesten sind (1) "Pythagoras", (2) "Kreuzbecher", (3) "Alle Neune", (4) "Kreis-Rätsel", (5) "Das gebrochene Herz" und (6) "Das magische Ei".
Hier ist ein weites Feld weitere eigene Tangramsteine zu entwerfen und mit ihnen zu spielen.

Tangram im Internet top

Deutsch

Claus Michael Ringel
Tangram

Gerd Müller
Tangram interaktiv
Hartmut Blessing
DER IQ-BLOCK
Herbert Hertramph 
Tangram-Spiel von Jos van Uden, Tangram-Spiel von Serj Dolgav zum Herunterladen 

Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Tangram

Michael Bischoff
Tangram for you

stopkidsmagazin
Tangram online

tan-gram 
tangram mit einer galerie von 75 exponaten

Urs Tschumi 
möbli-x    (Tangram-Tisch)

Wikipedia
Tangram



Englisch

Andrew D. Orlov
Tangram House

Barbara E. Ford
Tangrams - The Magnificent Seven Piece Puzzle

Cyberchase (Educational Broadcasting Corporation)
Tangram Game (Online)

Franco Cocchini
TEN MILLIONS OF TANGRAM PATTERNS and more
Hartmut Blessing
IQ-BLOCK
Michael Bischoff
Tangram for you

Paul Scott
CONVEX TANGRAMS

Thomas Weibel
Tangram online

Tom Scavo 
Tangrams

Wikipedia
Tangram


Referenzen   top
(1) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1998 ISBN 3-88034-87-0]
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont taschenbuch1480)  [ISBN 3-7701-2097-3]
(3) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Teufelsspiele, Leipzig 1991 [ISBN 3-332-00116-7]
(4) Joost Elffers, Michael Schuyt: Tangram, Dumont, Köln 1997 (+ Tangramsteine) [ISBN 3-7701-4089-3]
(5) Bruno Curfs: Mathematical Tangram, CFF, newsletter of the "Nederlandse Kubus Club" NKC, 65 (November 2004)
(6)Jerry Slocum, Dieter Gebhardt, Jack Botermans, Monica Ma, Xiaohe Ma: The Tangram Book, 2003 
     [ISBN 1-4027-0413-5] Sterling Publishing Company 



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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  1999 Jürgen Köller

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