Was ist Tangram?
Tangram ist ein populäres Legespiel.
Aus sieben Steinen, nämlich fünf Dreiecken, einem Quadrat
und einem Parallelogramm, kann man Figuren legen. Alle Steine müssen
dabei verwendet werden. Sie müssen sich berühren, dürfen
sich aber nicht überlappen.
Grundproblem top
| Alle sieben Tangram-Steine bestehen aus kleinen Halbquadraten der Form |
.. .. |
Das sind zusammen 32 Halbquadrate oder 16 Quadrate.
... ... |
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16 Quadrate bilden ein großes 4x4-Quadrat. So ist das Grundproblem
der "Tangram-Forschung" ein Quadrat aus allen sieben Steinen zu legen. |
Anmerkung:
Man kann auch den kleinsten Tangramstein (blaues Dreieck) als Grunddreieck
annehmen. Ich verwende das halbe Dreieck als Grundelement, denn dann hat
das Quadrat aus den sieben Tangramsteinen die einfache Länge 4.
| Grunddreieck auf dieser Seite: |
...... |
Andere Möglichkeit: |
 . |
Unterschied: Rationale und irrationale Seitenlängen sind vertauscht.
Figuren legen
1.Problem: Neue Figuren legen top
... ... |
Man kann neue Figuren erfinden.
Die Figuren sollten so beschaffen sein, dass man schon auf den ersten
Blick erkennt, was dargestellt wird.
Es gibt Tausende von Figuren, die schon mit den Steinen gelegt worden
sind. |
... ...
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[3sqrt(2)]x[3sqrt(2)]-Quadrate sind möglich, wenn man einen oder
zwei Steine auslässt.
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2.Problem: Auslegen von vorgegebenen Silhouetten
top
..... ..... |
Es ist gar nicht so leicht, vorgegebene Umrisse von Figuren mit den
Tangram-Steinen auszufüllen. (Lösung am Ende dieses Kapitels) |
3.Problem: Wie viele Möglichkeiten gibt es,
eine Figur zu legen?
top
... ...
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Das Trapez kann auf zweierlei Weise ausgelegt werden. Sicher gibt es
noch mehr Möglichkeiten. |
Paradoxa
... ... |
Das nebenstehende gleichschenklige Trapez ist nicht möglich.
Legt man die Figur mit Tangram-Steinen nach, so erkennt man einen Fehler:
Der gelbe und der grüne Stein sind ein wenig größer
als gezeichnet.
Man benutzt hier den Sachverhalt, dass 4 und das Dreifache der Wurzel
aus 2 (=4.24) in etwa übereinstimmen. |
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Andere Paradoxa vergleichen zwei scheinbar gleiche Tangramfiguren.
Ein Beispiel von H.Dudeney
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Lösung:
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Tangram-Vögel top
Etwa 100 Schülerinnen und Schüler (11/12/13 Jahre alt) erhielten
den Auftrag Vögel zu entwerfen.
Hier aus Platzgründen nur eine Auswahl schöner Vögel:
Nicht alle Schüler konnten sich mit den Tangram-Steinen anfreunden:
 ;-)
(Dank an 6b, 6c, 7a, 7c, 7d in 1999/2000)
Ordnen der Tangram-Figuren
top
Man kann sich z.B nach der Lage der Seiten eines Halbquadrates richten.
1 Katheten horizontal oder vertikal
2 Hypotenuse horizontal oder vertikal
3 Mischung aus 1 und 2
4 Lage der Dreiecksseiten beliebig
Vom mathematischen Standpunkt aus sollte man nur die Figuren 1 und 2
zulassen.
Fast alle Tangramfiguren aber sind vom Typ 4. Da es hier keine festen
Regeln gibt, entstehen viele schöne und ausdrucksstarke Formen. -
Sie werden üblicherweise nach Themen geordnet.
Konvexe Figuren top
Eine Figur ist konvex, wenn sie nur nach außen gewölbt ist.
Genauer: Greift man zwei beliebige Punkte innerhalb der Figur heraus, so
liegt auch die Strecke zwischen den beiden Punkten innerhalb der Figur.
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Es gibt erstaunlicherweise nur 13 konvexe Figuren, die man mit Tangram-Steinen
legen kann. |
Beweis durch Fu Traing Wang und Chuan-Chih Hsiung 1942 (Buch 4)
Gitternetz-Tangrams
mit konvexer Schale top
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In Buch 3 und 4 findet man einen interessanten Vorschlag, Tangramfiguren
zu klassifizieren.
Es geht aber nur um 'mathematische' Tangramfiguren, für
die die Vögel 1 und 2 oben als Beispiele stehen. Sie können
so in ein Koordinatensystem gelegt werden, dass die Eckpunkte der Tangramsteine
ganzzahlige Koordinaten haben. Anders ausgedrückt: Die Tangramsteine
können so gelegt werden, dass die Hypotenuse die Einheit 1 bekommt
und horizontal oder vertikal liegt. Strecken mit der Einheit (Wurzel aus
2) liegen schräg. - Entsprechend wird Vogel 1 gedreht. |
Die Figuren werden sodann durch möglichst wenige (weiße) Dreiecke
ergänzt, so dass eine konvexe Figur entsteht. Diese Dreiecke entsprechen
der Größe der blauen Tangramsteine. Die Dreiecke werden gezählt.
Der Vogel 1 benötigt 14 Dreiecke und ist 14-konvex, Vogel 2 ist 5-konvex.
Die konvexen Figuren oben benötigen kein Dreieck und sind demnach
0-konvex. Im Buch 4 werden sämtliche 133 (abstrakten) 1-konvexen Tangramfiguren
abgebildet und gelöst.
Es gibt das Problem, eine Figur mit einer möglichst
großen, konvexen Schale zu finden.
Bruno Curfs weist nach (5), dass 44-konvex eine obere Grenze ist.
Er gibt konkret sieben 41-konvexe Tangrams an.
...
... ... |
Ich erhielt weitere 41-konvexe Tangrams:
8 von Ludwig Welther, 9 von Hartmut Blessing,
10 und 11 von Hannes Georg Kuchler. |
... ... |
Daniel Gronau teilte mir mit, dass er alle möglichen Gitter-Tangrams
durchrechnen ließ. Er stellte fest, dass 41-konvex die obere Grenze
ist und dass es noch drei weitere Lösungen gibt. |
Herstellung von Tangram-Steinen
top
Wahrscheinlich sind die Tangram-Steine dadurch entstanden, dass man
ein 4x4-Quadrat zerschnitten hat.
Das macht man sich bei der Herstellung der Tangram-Steine zunutze. Man
zeichnet auf Sperrholz oder auf Pappe ein 4x4-Quadrat mit etlichen Diagonalen.
Dann zersägt bzw. zerschneidet man das Quadrat wie oben angegeben.
Varianten des Tangram-Spiels
top
Man erzeugt weitere Tangramspiele, indem man einfache geometrische Figuren
wie Quadrat, Rechteck oder Kreis aufteilt. Die bekanntesten sind (1) "Pythagoras",
(2) "Kreuzbecher", (3) "Alle Neune", (4) "Kreis-Rätsel", (5) "Das
gebrochene Herz" und (6) "Das magische Ei".
Hier ist ein weites Feld weitere eigene Tangramsteine zu entwerfen
und mit ihnen zu spielen.
Tangram im Internet top
Deutsch
Claus Michael Ringel
Tangram
Grimm's GmbH, Spiel & Holz Design
Legespiele
Herbert Hertramph
Tangram-Spiel
von Jos van Uden, Tangram-Spiel
von Serj Dolgav zum Herunterladen
Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Tangram
Sabine Reindl
Tangram
stopkidsmagazin
Tangram
online
tan gram
tangram mit einer galerie von
75 exponaten
Timo Ehmke, Alfred Schreiber
Tangram
online
Urs Tschumi
home
(Tangram-Tisch, Objekte)
Wikipedia
Tangram
Englisch
Andrew D. Orlov
Tangram House
Barbara E. Ford
Tangrams - The Magnificent Seven
Piece Puzzle
Cyberchase (Educational Broadcasting Corporation)
Tangram
Game (Online)
Franco Cocchini
TEN MILLIONS OF TANGRAM
PATTERNS and more
Randy
Tangram
S. T. Han
Tangram Page
Tom Scavo
Tangrams
Wikipedia
Tangram
Referenzen top
(1) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München
1998 ISBN 3-88034-87-0]
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont taschenbuch1480)
[ISBN 3-7701-2097-3]
(3) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Teufelsspiele, Leipzig 1991
[ISBN 3-332-00116-7]
(4) Joost Elffers, Michael Schuyt: Tangram, Dumont, Köln 1997
(+ Tangramsteine) [ISBN 3-7701-4089-3]
(5) Bruno Curfs: Mathematical Tangram, CFF, newsletter of the "Nederlandse
Kubus Club" NKC, 65 (November 2004)
(6)Jerry Slocum, Dieter Gebhardt, Jack Botermans, Monica Ma, Xiaohe
Ma: The Tangram Book, 2003 [ISBN 1-4027-0413-5] Sterling Publishing Company
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Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
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1999 Jürgen Köller
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