Quadratzahlen
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Figurenzahlen
Quadratzahlen im Internet 
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Was ist eine Quadratzahl?
Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die sich als Produkt zweier gleicher Faktoren aus natürlichen Zahlen schreiben lässt. 
Formeln: k=a*a=a² (k and a stehen für natürliche Zahlen.)
Danach ist eine Zahl wie 4/9=(2/3)² hier ausgeschlossen. 


Umgekehrt entsteht eine Quadratzahl, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert. 
Formeln: a*a=a²=k (k and a stehen für natürliche Zahlen.)
Der gleiche Faktor heißt Grundzahl.

Das sind die ersten 100 Quadratzahlen.

Der Name erklärt sich aus der Veranschaulichung der Quadratzahlen:


Man stellt fest: In der Tabelle kommen nur die Einerziffern 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 vor. 
Dazu eine Überlegung:
Man greift z.B. zunächst die dreistelligen Zahlen heraus. Sie lassen sich darstellen als 100c+10b+a, wobei a, b und c einstellige Zahlen sind. 
Es gilt (100c+10b+a)² = [(100c+10b)+a]² = (100c+10b)²+2(100c+10b)a+a² = 100(10c+b)²+10(20c+2b)a+a² 
= 10{[10(10c+b)²]+(20c+2b)a}+a². 
Das bedeutet, dass sich das Quadrat einer dreistelligen Zahl in der Form 10x+a² schreiben lässt. Die Einerziffer des Quadrates wird also allein durch a² bestimmt, und das sind 0, 1, 4, 9 oder die letzten Ziffern von 16, 25, 36, 49, 64 und 81.

Diese Überlegungen können auf alle mehrstelligen Quadratzahlen übertragen werden.


Quadratwurzel   top
Es ist einfach, eine Quadratzahl zu bestimmen. Es ist schwieriger, zu einer Quadratzahl die Grundzahl zu finden. 
Diesen Vorgang nennt man "Wurzel ziehen" oder radizieren. 

Die Bestimmung einer Quadratwurzel ist heute kein Problem mehr. 
Man tippt die Zahl in einen Taschenrechner ein und drückt die Wurzeltaste:  17424 -- Wurzeltaste -- 132. 


An Hand des Beispiels sqrt(17424) werden weitere Methoden besprochen.
Statt sqrt(17424) schreibt man bekanntlich auch  .........................................................................

1 Bestimmung über eine Intervallschachtelung
Die Zahl muss zwischen 100 und 200 liegen (100²=10000,200²=40000)
Die Zahl liegt zwischen 130 und 140 (130²=16900 und 140²=19600)
Die Einerziffer von 17424 ist 4. Dann kommen nur 132 und 138 in Frage. 
Es gilt sqrt(17424)=132.

2 Bestimmung über eine Faktorenzerlegung 
Man zerlegt die Zahl in Faktoren und entwickelt daraus die Quadratzahl.
17424  =  8*2178  =  16*1089  =  16*9*121. Dann ist die Wurzel 4*3*11=132.

3 Schulmethode aus vergangenen Zeiten
Auch von der Form her ist es eine Art schriftliches Dividieren.
1
...... Teile die Zahl von rechts aus in Ziffernpaare.

2
......
Suche die Quadratzahl, die unter oder gleich dem linken Paar liegt. Das ist hier trivialerweise 01. Subtrahiere die Quadratzahl. Die Differenz ist 0.

3
......
Hole das nächste Zahlenpaar ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren herunter. Dividiere in einer Nebenrechnung 074 durch das Zehnfache der verdoppelten Zahl, die oben rechts in der ersten Zeile steht. Diese Zahl ist 20. Der Quotient ist 3. Der Rest bei der Division interessiert nicht. 

4
......
Die Nebenrechnung oben nimmt man normalerweise im Kopf vor. Addiere die dabei gefundene Zahl 3 zum  letzten Divisor (20), und es ergibt sich 23. Schreibe die 3 der Nebenrechnung auch in die ersten Zeile. 

5
......
Bilde wie beim schriftlichen Dividieren 3*23, schreibe das Produkt in die nächste Zeile und subtrahiere. Es ergibt sich 5.

6
......
Hole das nächste Paar 24 herunter. Dividiere in einer Nebenrechnung die entstehende Zahl 524 durch das Zehnfache des doppelten Zahl 13 der ersten Zeile. Das ist 260. Es ergibt sich 2, ein Rest bleibt. 

7
......
Schreibe die Zwei in die erste Zeile rechts und addiere sie zu 260. Divdiere die Zahl 524 unten durch 262 wie beim schriftlichen Dividieren. Bilde die Differenz. Sie ist Null. 

Es gilt also sqrt(17424)=132.


Die Erklärung dieser Methode ergibt sich aus der "trinomischen Formel" (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
...... ...... Setzt man a=100, b=30 und c=2, 

so erhält man das Zahlenbeispiel.

Mehr findet man auf den Seiten von Andreas Göbel und Tino Hempel (URL unten).

Bevor es Taschenrechner gab, war diese Methode die Standard-Methode in der Schule und wurde ausgiebig geübt. Heute wird sie in manchen Lehrbüchern noch als Unikum geführt.
(5, Seite 47 "Wurzelziehen per Hand")

4 Bestimmung nach dem Newtonschen Verfahren (bzw. Heron-Verfahren)
Bei diesem Verfahren wird mit Hilfe der konvergenten Folge x1=1 und xk=(xk-1+n/xk-1)/2 die Wurzel x=sqrt(n) immer genauer bestimmt. 

Vielleicht ist es für Jüngere interessant zu sehen, wie früher das Verfahren programmiert und veranschaulicht wurde. Die vorherrschende Programmiersprache war in der 1970er Jahren BASIC.
10 REM ***NEWTON'SCHES NAEHERUNGSVERFAHREN 
20 REM ZUR BESTIMMUNG DER QUADRATWURZEL***
30 INPUT Y,E
40 LET A=1
50 LET B=Y/A
60 LET M=.5*(A+B)
70 IF ABS(A-B)<E THEN 100
80 LET A=M
90 GOTO 50
100 PRINT M
110 END
(6, Seite92f. )
Da staunt man: Erst nach elf Schritten ergibt sich die Wurzel 132.
Der Grund ist der ungünstige Anfangswert A=1. Er sollte möglichst nahe an der Wurzel liegen. 
Der "Heron-Ansatz" ist A=Y.

Folgen    top
Es gibt im Zusammenhang mit Quadratzahlen u.a. fünf unendliche Folgen. Das sind
>die Folge der natürlichen Zahlen, 
>die Folge der Quadratzahlen, 
>die Folge der Partialsummen der Quadratzahlen, also die Reihe der Quadratzahlen,
>die Folge der Kehrwerte der Quadratzahlen,
>die Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen.


Zur ersten und zweiten Folge
Aus den ersten beiden Folgen könnte man ablesen, dass die Anzahl der Quadratzahlen kleiner ist als die Anzahl der natürlichen Zahlen. Diese Aussage ist aber falsch. Es gibt nämlich keine Anzahl "Unendlich". Man könnte eher davon sprechen, dass es gleich viele natürliche und quadratische Zahlen gibt, denn man kann jeder natürlichen Zahl eindeutig eine Quadratzahl zuordnen. Man spricht genauer von gleichmächtig oder äquivalent und bezieht sich mit diesen Ausdrücken auf die Menge der natürlichen und quadratischen Zahlen. 
Man kann nicht übersehen, dass es bis zu einer bestimmten Zahl mehr natürliche Zahlen als Quadratzahlen gibt. Diese Aussage erfasst man in einer ersten Annäherung an das Problem durch eine Sprechweise die Mengenlehre:
Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. 

Zur zweiten Folge
Die Folge der Quadratzahlen bezeichnet man auch als arithmetische Folge 2.Ordnung.
Bildet man nämlich die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder der Folge, so ergibt sich eine arithmetische Folge. Sie hat die Eigenschaft, dass die Differenz konstant ist. Die Folge der Quadratzahlen hat also konstante "Differenzen der Differenzen". 
Die Formel dazu lautet qn-qn-1=2n-1. 

Zur dritten Folge
Die zweite Zeile erhält man aus den Quadratzahlen durch Summenbildung:
s1=1²=1
s2=1²+2²=5
s3=1²+2²+3²=14
s4=1²+2²+3²+4²=30, ...
Allgemein gilt  sn=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 .

Mögliche Herleitung
Ansatz: sn=An³+Bn²+Cn s1=1 ergibt 1=A+B+C
s2=5 ergibt 5=8A+4B+C
s3=14 ergibt 14=27A+9B+3C
Daraus folgt
A=1/3, B=1/2, C=1/6
Dann ist sn=(1/3)n³+(1/2)n²+(1/6)n = n(n+1)(2n+1)/6.
(4, Seite 28f.)

Zur vierten und fünften Folge
Die vierte Folge ist 1/1, 1/4, 1/9, 1/16, ... , 1/n². Sie hat für n gegen Unendlich den Grenzwert 0.
Interessant ist die zugehörige unendliche Reihe 1/1+1/4+1/9+1/16+, ...
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert pi²/6 (nach Euler) oder gerundet 1,65.
(3, Seite 93f.und Seite 241)

Die entsprechende Reihe gebildet aus den Primzahlen, nämlich "Summe aus 1/p", ist divergent. Daraus schließt man, dass die Primzahlen dichter liegen als die Quadratzahlen (2, Seite 322).

Summen    top
Summe der ungeraden Zahlen
Die Summe der ersten ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl. Genauer gilt 1+3+5+...+(2n-1)=n².
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 + 9=5².


Differenz zweier Quadratzahlen
Jede Primzahl p>2 läßt sich eindeutig als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen.
Beispiel: 37=361-324=19²-18²

Division durch 8
Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 den Rest 1.
Beispiel: 19² : 8 =361 : 8=45+1/8

Satz von Lagrange
Jede natürliche Zahl n läßt sich als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellen.
Beispiel: 85=64+16+4+1

Fermat-Eulerschsche Primzahlsatz oder Fermatscher Zwei-Quadrate-Satz
Eine Primzahl von der Form 4n+1 ist als Summe von zwei Quadraten darzustellen.
Beispiele: 5=1²+2², 13=2²+3², 625=7²+24²=15²+20²

Pythagoräische Zahlen
Es gibt Zahlentripel, die die Formel a²+b²=c² erfüllen. Darüber kann man auf meiner Seite 3-4-5-Dreieck mehr nachlesen. 

Zahlenspielereien  top
In diesem Kapitel werden u.a. Ergebnisse aus Lietzmanns Buch (7) von 1948 zusammengestellt und mit Computerhilfe ergänzt. 


Berechnung von 51² bis 59²
Beispiel: 56²=3136
(50+E)²=(25+E)100+E² 
Umsetzung: Addiere zur Einerziffer 25 und hänge das Quadrat der Einerziffer an.

Berechnung dreistelliger Zahlen mit einer 0 als Zehnerziffer 
Beispiel: 203²=41209, 609²=370881
(H0E)²=H²*10000+2HE*100+E²
Umsetzung: Die beiden Plätze außen werden von den Quadraten der Hunderterziffer und der Einerziffer gebildet. In der Mitte steht das doppelte Produkt aus Hunderter und Einer. Ist das doppelte Produkt dreistellig, so muss zum Quadrat der Hunderter noch der Übertrag 1 addiert werden. 

Quadrate aus den Ziffern 0 bis 9. Jede Ziffer kommt genau einmal vor.
Es gibt 77 Zahlen. 
1026 753 849=32043² ist die kleinste Zahl.
9814072356=99066²  ist die größte Zahl.
Die zehnstelligen Zahlen aus verschiedenen Ziffern heißen im Englischen "Pandigital numbers".

Quadratzahlen aus den Ziffern 1 bis 9. Jede Ziffer kommt genau einmal vor.
Zwei Beispiele: 139845276=11826² und  923187456=30384²
Die neunstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 9 heißen im Englischen "zeroless pandigital numbers".

Spiegelzahlen
12² = 144 und 21² = 441 
13² = 169 und 31² = 961
102²=10404 und 201²=40401 
103²=10609 und 301²=90601 
112²=12544 und 211²=44521 
113²=12769 und 311²=96721 
1012²=1024144 und 2101²=4414201 
1112²=1236544 und 2111²=4456321 
1212²=1468944 und 2121²=4498641 
2012²=4048144 und 2102²=4418404 

Aufeinanderfolgende Zahlen
8281=91² 183184=428²
328329=573²
528529=727²
715716=846²
60996100=7810²
82428241=9079²
98029801=9901²
1322413225=36365²
4049540496=63636²

Palindrome unter den Quadratzahlen 
121=11²
484=22²
676=26²
10201=101²
12321=111²
14641=121²
40804=202²
44944=212²
69696=264²
94249=307²
698896=836² 1002001=1001²
1234321=1111²
4008004=2002²
5221225=2285²
6948496=2636²
123454321=11111²

Fünf Folgen von Quadratzahlen
1²=1
11²=121
111²=12321
1111²=1234321
...
4²=16
34²=1156
334²=111556
3334²=11115556
...
7²=49
67²=4489
667²=444889
6667²=44448889
...
9²=81
99²=9801
999²=998001
9999²=999800001
...
13²=169
133²=176 89
1333²=1 776889
13333²=1777 68889
...


Kaprekarzahlen
Eine Zahl wie 703 heißt Kaprekarzahl, weil sie folgende merkwürdige Eigenschaft hat:
Quadriert man die Zahl 703²=494209 und teilt das Quadrat in 494 und 209 auf, so ist die Summe 494+209 wieder 703.

Die Kaprekarzahlen unter 10000 sind 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777 und  9999.


Figurenzahlen   top
Die Quadratzahlen gehören zu den Figurenzahlen.
Dreieckszahlen
Quadratzahlen
Fünfeckszahlen
Sechseckszahlen
Siebeneckszahlen
Achteckszahlen
...
n*(n+1)/2

n*(3n-1)/2
n*(4n-2)/2
n*(5n-3)/2
n*(3n-2)
...
1 3 6 10 15 21 28... 
1 4 9 16 25 36 49...
1 5 12 22 35 51 70... 
1 6 15 28 45 66 91... 
1 7 18 34 55 81 112... 
1 8 21 40 65 96 133...
...
Ein Problem ist es herauszufinden, welche Quadratzahlen in den übrigen Zahlenfolgen vorkommen. 

Bei Mathworld findet man
Quadratzahlen unter den Dreieckszahlen: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ... Sloane's A001110
Quadratzahlen unter den Fünfeckszahlen: 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, ... (Sloane's A036353)



Mehr über Quadratzahlen steht an anderen Stellen meiner Homepage.
Quadratzahlen, einfache Formeln und ihre Veranschaulichungen...
Darstellung Pythagoräischer Zahlen
Parkettierungen mit Quadraten
...


...
Quadratzahlen im Internet top

Deutsch
 

Andreas Göbel 
Ziehen einer Wurzel - Papier Bleistift Methode 

Matheprisma 
Quadratzahlen, Zahlenakrobatik

Tino Hempel 
Das schriftliche Ziehen einer Quadratwurzel 

Wikipedia
Quadratzahl, Quadratwurzel, Zentrierte Quadratzahl, Wurzel (Mathematik), Schriftliches Wurzelziehen
Vier-Quadrate-Satz


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Square Number, Squarefree, Squareful, Antisquare Number, Square Triangular Number, Pentagonal Square Number
Heptagonal Square NumberOctagonal Square Number, Square Root, Square Root AlgorithmsNewton's Iteration

Patrick De Geest (World of  Numbers)
Extraordinary squares and powers (non-palindromic allowed)

Neil J. A. Sloane 
Integer Sequences
The squares: A000290

Wikipedia
Square number, Polygonal_number, Triangular square number, Pandigital_number, 9814072356 (number)
Square root, Methods of computing square roots, Euler's four-square-identityKaprekar number
Lagrange's four-square theorem


Referenzen   top
(1) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden, Berlin 1941 (Leitwort: "Ludendo discimus")
(2) Heinrich Behnke u.a.(Hrsg.): Mathematik 1, DAS FISCHER LEXIKON, Frankfurt am Main 1964
(3) Jean-Paul Delahaye: Pi - die Story, Basel 1999 [ISBN 3-7643-6056-9]
(4) Maximilan Miller: Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Leipzig 1982 
(5) August Schmid u.a.: Lambacher/Schweizer LS9, Stuttgart 1996 [ISBN 3-12-730740-3]
(6) Forsythe, Keenan, Organick, Stenberg: Programmieren mit BASIC, Braunschweig 1976 [ISBN 3-594-10854-6]
(7) Walter Lietzmann: Sonderlinge im Reich der Zahlen, Bonn 1948


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©  2005 Jürgen Köller

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