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Was ist eine Pyramide?
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Gegeben sind ein ebenes Vieleck und ein Punkt, der nicht in der Ebene
des Vielecks liegt.
Verbindet man diesen Punkt mit den Ecken des Vielecks, so entsteht eine
(allgemeine) Pyramide. |
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Ist das Vieleck ein Quadrat und liegt die Spitze über der Mitte
des Quadrates, so entsteht eine gerade quadratische Pyramide, kurz Pyramide
genannt.
Auf sie bezieht sich das Folgende. |
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Größen der Pyramide
top
Längen
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Die Pyramide wird im allgemeinen durch die Grundkante (Quadratseite)
a und die Raumhöhe h bestimmt.
Weitere Strecken sind die Seitenkante s und die Dreieckshöhe h'. |
Winkel
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Der Neigungswinkel (Böschungswinkel) einer Seitenfläche gegenüber
der Grundfläche kennzeichnet gut die Form einer Pyramide. |
Flächen
... ...... |
Die vier Seitenflächen bilden den Mantel M (M=2ah').
Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus dem Quadrat als Grundfläche
und den vier Seitenflächen. (O=a²+2ah'). |
Volumen
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Legt man um die Pyramide ein quadratisches Prisma mit dem Volumen a²h
und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Quaderecke, so entsteht
eine schiefe Pyramide mit gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei
weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen den
Quader aus.
Das Volumen einer Pyramide ist gleich (1/3)*a²h. |
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Pyramide und Würfel top
Wer den Stereoblick beherrscht, sieht die folgenden drei Körper-Paare
auch in 3D.
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Zeichnet man in einen Würfel die vier Raumdiagonalen ein, so wird
er in sechs gleich große Pyramiden aufgeteilt. Die Höhe einer
Pyramide ist gleich a/2.
Es ergibt sich V=a³/6=a²*(2*h)/6=(1/3)*a²*h,
also wieder die bekannte Formel für das Volumen einer Pyramide. |
Der Neigungswinkel beträgt 45°.
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Verbindet man die Flächenmitte eines Quadrats mit den Eckpunkten
des gegenüberliegenden Quadrats, so entsteht eine Pyramide mit der
Eigenschaft h=a.
Der Neigungswinkel beträgt arc tan(2)=63,4°. |
Gleichseitige Pyramide top
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Sind alle Kanten einer Pyramide gleich lang (a=s) und spiegelt man
sie am Grundquadrat, so entsteht eine Doppelpyramide, die nur von gleichseitigen
Dreiecken begrenzt wird. Dieser Körper aus acht Dreiecken heißt
Oktaeder.
Der Neigungswinkel der gleichseitigen Pyramide beträgt
arc cos[sqrt(3)/3]= 54,7°.
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Das Oktaeder gehört mit dem Tetraeder, dem Würfel, dem Ikosaeder
und dem Pentagondodekaeder zu den fünf regelmäßigen (platonischen)
Körpern.
Man könnte ein Oktaeder auch dadurch erzeugen,
dass man die Mittelpunkte der Flächen eines Würfels verbindet.
Würfel und Oktaeder sind zueinander dual.
Pyramidenzahlen top
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Man kann Kugeln zu einer Pyramide aufschichten. Die Anzahl der Kugeln
in einer Schicht ist eine Quadratzahl: 1,4,9,16,... , allgemein n².
Bildet man die Summe der Kugeln schichtweise, so erhält man die "Pyramidenzahlen"
1,5,14,30,... , allgemein 1+4+9+16+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6. |
Früher bewahrte man so Kanonenkugeln auf und konnte mit Hilfe der
Anzahl der Schichten auf die Anzahl der Kanonenkugeln schließen.
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Klebt man 14 Kugeln zu zwei Sechsergruppen und einem Paar zusammen,
so erhält man ein Puzzle: Man muss die drei Stücke zu einer Pyramide
zusammensetzen. |
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Es geht auch komplizierter. ........................... |
Es sieht auch schön aus, Kugeln zu Pyramiden zu stapeln. Dann müssen
die Kugeln der untersten Schicht in Mulden oder in einem Rahmen liegen.
Die Cheopspyramide von
Gise top
Wenn man von einer Pyramide spricht, meint man
meist die Große Pyramide, das Grabmal des Pharaos Cheops aus der
4.Dynastie (2500 v.Chr.), gelegen etwa 15km südlich des Zentrums von
Kairo in Sichtweite des Nils in Ägypten.
Die Cheopspyramide ist ein Bauwerk der Superlative:
Sie ist das einzige der sieben Weltwunder, das zum überwiegenden Teil
erhalten ist. Sie war bis zur Neuzeit das größte Bauwerk. Sie
zählt zu den bekanntesten Bauwerken der Welt.
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Die Maßzahlen der Höhe und der Seitenlänge des Grundquadrates
der Cheopspyramide unterscheiden sich in der Literatur. Ich verwende die
Daten aus einem neuen Reiseführer (5) in der Hoffnung, dass hier die
letzten Forschungen berücksichtigt sind.
Die Pyramide ist heute 137,0m hoch und 230,5m
lang. Ursprünglich war sie etwas größer (links). Sie umfasst
eine Fläche von etwa 5 ha. Etwa 2,5 Millionen Blöcke mit je fast
1m³ Volumen bilden die Pyramide. Die Verkleidung aus geschliffenen
Kalkplatten ist nicht erhalten geblieben. |
Gibt man die ursprünglichen Daten a=232,7m und h=146,6m vor, so
sind die Seitenkanten s=220,4m, das Grundquadrat 5,4150 ha, der Mantel
8,7120 ha, die Oberfläche 14,13 ha, das Volumen 2646000 m³ und
der Neigungswinkel 51,6° groß.
Das Volumen sei veranschaulicht: Stellt man sich vor, ein Steinblock
sei ein Würfel mit der Kantenlänge 1m, so würden sie aneinandergereiht
eine Schlange der Länge von etwa 2500 km bilden. Das ist etwa die
Entfernung London - Athen.
Zahlenmystik zur Cheopspyramide
top
Aussagen, Erläuterungen.
1
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Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe:
h² = 21780m².
Flächeninhalt einer Seitenfläche: (1/2)*a*h' = 21490m².
Vermutung: Die Flächen sind gleich groß.
(nach Herodot). |
Aus der Gleichheit der Flächen h²=(1/2)*a*h'
und aus dem Satz des Pythagoras (h²+a²/4=h'²) folgt das
Verhältnis
a:h= sqr(sqr(20)-2)=1,5723... . Das ist etwa 3,1446../2 oder Pi/2.
Es folgt auch aus der Gleichheit der Flächen h²=(1/2)*a*h'
und aus dem Satz des Pythagoras (h²+a²/4=h'²) das zweite
Verhältnis h':(a/2)=1/2*[1+sqr(5)]. Das ist das Goldene Verhältnis
phi = =1,6180... .
2
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Umfang der quadratischen Grundfläche: 4a=930,8m
Umfang des Kreises mit dem Radius h: 2*PI*h=921,1m
Vermutung: Die Umfänge sind gleich...................... |
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Die alten Ägypter kannten das Verhältnis
[Kreisumfang : Kreisdurchmesser] als 256/81 (Rhind Papyrus 1850 v.Chr.).
Es führt zu Pi=3,16... (Buch 4).
Der Kreis spielt als Sonnenscheibe eine zentrale
Rolle in der altägyptischen Mythologie und schmückt zum Beispiel
das Haupt der Göttin Hathor (links).
In dem TV-Film von Hoimar von Ditfurth (5)
wird die Gleichheit der Umfänge dadurch erklärt, dass längs
einer Quadratseite ein Kreis abgerollt wurde und Kreise gleichen Durchmessers
auf Raumhöhe gestapelt wurden. Auf diese Weise taucht das Verhältnis
[Umfang : Durchmesser]=PI auf. |
3
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Legt man durch die Mitte der Pyramide parallel zu einer Quadratseite
einen Vertikalschnitt, so entsteht ein Dreieck. Dieses Dreieck kommt dem
Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Fünfecks nahe. In
einem Fünfeck ist das Besondere, dass jeder Schnittpunkt zweier Diagonalen
diese im Goldenen Schnitt teilt. |
In Grabbauten wird oft ein Himmel aus fünfzackigen
Sternen auf blauem Grund dargestellt.
4
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Für das rote Dreieck gilt die Proportionenkette
h' : h : a/2 = 5 : 3,90 : 3,11. Das ist angenähert 5 : 4 : 3.
Für diese Zahlen gilt 5² = 4² + 3². Sie sind damit
pythagoräische Zahlen.
Vermutung: Das Dreieck in der Pyramide ist ein Pythagoräisches
Dreieck. |
Mit einer 3-4-5-Knotenschnur wurden angeblich
im alten Ägypten nach der jährlichen Nilschwemme die Felder neu
vermessen. Mehr über die Knotenschnur findet man auf meiner Seite3-4-5-Dreieck.
5
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Das Grundquadrat ist genau nach den Himmelsrichtungen ausgerichtet.
Verlängert man die Diagonalen des Grundquadrates, so schließen
die Verlängerungen das Nildelta ein. |
Die Lage der Cheopspyramide ist bemerkenswert,
zumal man von ihr auch weit in das Nildelta hineinsehen kann, falls der
Smog von Kairo es zulässt.
6
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Die Cheopspyramide steht nicht isoliert da und bildet mit den Pyramiden
des Chephren und des Mykerinos eine fast gerade Linie. Eine ähnliche
Anordnung haben (hatten vor 4500 Jahren) die drei Gürtelsterne im
Sternbild des Orion. Außerdem gibt es noch zwei Pyramiden am Nilufer,
die zwei Randsternen des Orion entsprechen (Quelle: Robert Bauval, zitiert
in einer ZDF-Sendung). |
Zusammenfassung:
Es steht fest, dass die alten Ägypter die Maße der Pyramiden
so gewählt haben, dass sie stabil und ansehnlich wurden.
Wer weiß? Vielleicht sind darüberhinaus in den Pyramiden
geheimnisvolle Gesetze verborgen. Andererseits: Zahlen sind geduldig...
Dazu neige ich mehr.
Die Kraft der Pyramiden top
In der amerikanischen Wissenschaftszeitung "Scientific
American" vom Juni 1974 berichtete ein Dr.Matrix von einer Kraft, die von
der Pyramide ausgehe. In Modellen einer Pyramide würden seltsame Dinge
geschehen: Rasierklingen würden wieder scharf, Fleisch verwese deutlich
langsamer und eine Person erfahre in einer Pyramide sitzend eine Steigerung
der übersinnlichen Fähigkeiten und mehr. Diese Aussagen wurden
durch Berichte aus aller Welt belegt und erschienen glaubhaft.
Stopp ;-) !
Es handelte sich hierbei um einen wissenschaftlichen Spaß, mit
dem die Sucht nach Übernatürlichem persifliert wurde. - Hinter
dem Pseudonym Dr. Matrix verbarg sich der bekannte Wissenschaftsjournalist
Martin Gardner von "Scientific American".
Mich interessiert, ob man sich schon vor 1974 in Pyramiden setzte
;-).
Berechnungen top
Eine Pyramide wird im allgemeinen durch die Quadratseite
a
und die Raumhöhe h bestimmt. Andere Größen wie die
Seitenkante s, der Mantel M oder das Volumen V kann
man dann aus diesen berechnen. Dazu stehen folgende Formeln zur Verfügung.
s²=h² + a²/2
M²=a^4 + 4a²h²
V=(1/3)a²h
Man kann verallgemeinern: Sind von den fünf
Größen a,h,s,M und V zwei gegeben, so lassen sich die übrigen
drei berechnen.
Es gibt 10 Fälle.
1) Gegeben: a,h. Gesucht: V,s,M.
Lösung: V=1/3a²h, s=1/2*sqr(2a²+4h²),
M=a*sqr(a²+4h²).
2) Gegeben: a,s. Gesucht: h,V,M.
Lösung: h=1/2*sqr(4s²-2a²), V=1/6*a²*sqr(4s²-2a²),
M=a*sqr(4s²-a²).
3) Gegeben: h,s. Gesucht: a,V,M.
Lösung: a=sqr(2s²-2h²), V=2/3*h*(s²-h²),
M=2*sqr(s^4-h^4).
4) Gegeben: a,V. Gesucht: h,s,M.
Lösung: h=3V/a², s=1/2*1/a²*sqr(2a^6+36V²),
M=1/a*sqr(a^6+36V²).
5) Gegeben: h,V. Gesucht: a,s,M.
Lösung: a=1/h*sqr(3hV), s=1/2*1/h*sqr(4h^4+6hV),
M=1/h*sqr(9V²+12h³V).
6) Gegeben: s,V.
Gesucht: h,a,M
Lösung: h³-s²h+3/2*V=0 und a^6-2s²a^4+18V²=0
sind zu lösen :-(, dann ist M=a*sqr(a²+4h²).
7) Gegeben: a,M.
Gesucht: s,h,V.
Lösung: s=1/2*1/a*sqr(M²+a^4),
h=1/2*1/a*sqr(M²-a^4), V=1/6*a*sqr(M²-a^4).
8) Gegeben: h,M.
Gesucht: s,a,V.
Lösung: s=1/2*sqr[sqr(4M²-16h^4)],
a=sqr[sqr(M²-4h^4)-2h²)],
V=1/3*h*[sqr(M²-4h^4)-2h²].
9) Gegeben: s,M.
Gesucht: h,a,V.
Lösung: h=1/2*sqr[sqr(16s^4-4M²)],
a=sqr[2s²-sqr(4s^4-M²)],
dann V=1/3*a²h.
10) Gegeben: M,V.
Gesucht: a,h,s.
Lösung: a^6-M²a²+36V²=0
und 12Vh³-M²h²+9V²=0 sind zu lösen :-(, dann ist
s=1/2*sqr(2a²+4h²).
(Dank an 10b in 1992/93)
Ein Beispiel (geg M,V):
Welche Form hat eine Pyramide, die das Volumen
und den Mantel mit der Großen Pyramide von Gise gemeinsam hat?
Lösung: Die Rechnung führt zur kubischen
Gleichung
h³ - (M²/12/V)*h² + (3/4)*V
= 0.
Mit V=2646000 und M=87120 erhält man
die Lösungen h1=146,6 und h2=171,4
und h3= -79,0 (gefunden mit DERIVE).
... ... |
Die Höhe h2=171,4m ist die zweite Lösung.
Zur Höhe h2 gehört die Quadratseite a2=215,2m. |
Dieses ist kein neuer Beitrag zur Pyramidenforschung, nur eine kleine
Spielerei.
Eine Extremwertaufgabe top
Man kann in eine Pyramide kopfüber eine zweite Pyramide (grün)
legen, deren Spitze in der Mitte des Grundquadrats liegt und deren Grundfläche
parallel zur Ausgangspyramide liegt. Ist die grüne Pyramide sehr niedrig
(1) oder sehr spitz (2), so ist ihr Volumen klein. Es gibt dazwischen eine
Pyramide, deren Volumen maximal ist. Es ist die rechte Pyramide (5).
Man findet diese Pyramide auf folgendem Wege.
Man legt in die Pyramiden ein (gelbes) Stützdreieck (3) und führt
die Raumhöhe y und die Grundseite x ein (4). Die Zielfunktion heißt
V=(1/3)x²y und nach dem 2.Strahlensatz die Nebenbedingung h:(h-y)
= (a/2):(x/2). Diese Gleichungen führen zu V(x)=(1/3)hx²-(1/3)(h/a)x³.
Mit V'(x)=0 erhält man x=(2/3)*a und weiter y=(1/3)*h.
Pyramiden im Internet top
Deutsch:
Christian Tietze/Rico Hecht
Architekturmodelle
von Pyramiden
(Zur Ausstellung „Pyramide – Haus für die Ewigkeit“ ab 6. September
2001 im Römisch-Germanischen Museum in Köln)
Frank Dörnenburg
Rätselhafte
Pyramiden
Ingrid Huber (Hubsi's Lehrer Homepage)
Grundwissen
über Pyramiden
Wikipedia
Pyramide, Pyramide
(Bauwerk), Pyramide
(Geometrie)
Englisch:
Andrew Bayuk (Guardian's CyberJourney To Egypt)
The Great Pyramid
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pyramid, Square
Pyramid, Square
Pyramidal Number
FERCO
The Pyramids of
Guimar
Unter Leitung des Ethnologen Thor Heyerdahl entstand in Teneriffa
ein Pyramiden-Museum. Es wird die (umstrittene) Theorie belegt, dass es
einen Zusammenhang zwischen den Pyramiden in Ägypten und in
Mittelamerika gibt. Trotzdem: Ein interessantes und geschmackvoll eingerichtetes
Museum.
Kevin Matthews and Artifice, Inc. (greatbuildings.com)
Sources
on Great Pyramid of Khufu, Pyramide
du Louvre
Lee Krystek
Khufu's Great Pyramid
Tim Hunkler
The Great Pyramid as Proof
of God
Wikipedia
Pyramid, Pyramid
(geometry)
Referenzen top
(1) Lancelot Hogben: Die Entdeckung der Mathematik, Stuttgart 1963
(2) Martin Gardner: Die magischen Zahlen des Dr. Matrix, Frankfurt
am Main 1987
(3) Armando Curcio (Hrg.): Meilensteine der Archäologie, Herrsching
1987
(4) David Blatner: Pi, Magie einer Zahl, Reinbek bei Hamburg 1997
(5) FTI Touristik Publications: Reisebegleiter Ägypten, 2000?
(6) "Gibt es ein Geheimnis der Pyramiden?" Zwei
Fernsehfilme aus der Reihe "Querschnitt" von Hoimar von Ditfurth, ZDF (gesendet
29.03.1976 und 05.04.1976, 1991 wiederholt)
Diese beiden Fernsehfilme waren auch eine Reaktion auf Erich von
Dänikens damaligen Bestseller "Erinnerungen an die Zukunft" mit der
Spekulation: "Die Pyramiden sind mit dem Wissen Überirdischer gebaut
worden".
Die Antwort gab der Film: "Die Ägypter konnten die Pyramiden
aus
eigener Kraft bauen."
Die beiden Filme waren in der wissenschaftlichen Beweisführung
vorbildlich: In der ersten Sendung wurden nur Fakten zusammengetragen.
In der zweiten Sendung wurden sie entweder bewiesen, oder es wurden vorsichtig
mögliche Erklärungen angeboten, die der Fernsehzuschauer bewerten
konnte.
Kommentar top
Diese Webseite habe ich unter dem Eindruck einer Ägyptenreise
mit der Besichtigung der Pyramiden im April 2001 angefertigt.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
Diese
Seite ist auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2001 Jürgen Köller
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