Quadratische Pyramide

Inhalt dieser Seite

Was ist die quadratische Pyramide?
Beschreibung der Pyramide
Größen der Pyramide
Die Pyramide in der analytischen Geometrie
Pyramide in einer Kugel
Körper in der Pyramide
Besondere Pyramiden
Berechnungen
Pyramidenzahlen
Cheopspyramide von Gizeh
Zahlenmystik zur Cheopspyramide
Die Kraft der Pyramiden
Pyramiden im Internet
Referenzen
Kommentar
.

Zur Hauptseite     "Mathematische Basteleien"

Was ist die quadratische Pyramide?
...... Gegeben sind ein ebenes Vieleck und ein Punkt, der nicht in der Ebene des Vielecks liegt. 
Verbindet man diesen Punkt mit den Ecken des Vielecks, so entsteht die (allgemeine) Pyramide.
......
Pyramiden unterscheidet man nach der Form der Grundfläche. Es gibt Dreieck-, Viereck-, Fünfeckpyramiden ...



...... Ist die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat und liegt die Spitze über der Mitte des Quadrates, so entsteht die gerade, quadratische Pyramide, auf dieser Seite einfach Pyramide genannt.  ......

Beschreibung der Pyramide top
Flächen
......
...... Die Pyramide besteht aus einem Quadrat als Grundfläche und aus vier gleichschenkligen Dreiecken als Seitenflächen. 

Neben den fünf Flächen hat sie fünf Eckpunkte und acht Kanten.


Alle Netze

Vier Symmetrie-Ebenen


... Die Pyramide ist vierfach drehsymmetrisch bzgl. der Höhe.

Besondere Ansichten

Blick von oben

Blick auf eine Seitenfläche

Blick auf die Grundkante

 Blick auf die Ecke vorne

In allen Fällen handelt es sich um Parallelprojektionen der Pyramide.

Dualität
...... Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen einer Pyramide miteinander, entsteht wieder eine Pyramide. 

Das liegt daran, dass die Pyramide sowohl fünf Flächen als auch fünf Eckpunkte hat.


Größen der Pyramide top
Die Pyramide wird im Allgemeinen durch die Grundkante (Quadratseite) a und die Raumhöhe h bestimmt. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie die Seitenkante s, die Dreieckshöhe h1, der Mantel M, die Oberfläche O, das Volumen V und die Winkel zwischen den Flächen epsilon1'2'3 berechnen. 


Längen
...... Es gilt s²=h²+[(1/2)sqrt(2)a]²=h²+a²/2. Dann ist s=sqrt[h²+(1/2)a²] oder s=(1/2)sqrt(2a²+4h²).

Es gilt h1²=h²+(a/2)². Dann ist h1=(1/2)sqrt(a²+4h²).


Flächen
......
...

Die vier Seitenflächen bilden den Mantel. Es gilt M=2ah1 oder M=a*sqrt(4h²+a²)
Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus der Grundfläche und dem Mantel. 
Es gilt O=a²+2ah1 oder O=a²+a*sqrt(4h²+a²)

Volumen
Das Volumen einer Pyramide ist V=(1/3)a²h.

Erste Herleitung
Man legt dazu um die Pyramide einen Treppenkörper aus n quadratische Scheiben, bestimmt das Volumen der n Scheiben und lässt in der Formel die Anzahl n der Scheiben über alle Grenzen gehen. Aus dem Treppenkörper wird die Pyramide.


...... Das Volumen von 5 Scheiben ist 
V5=(1/5)a²h+(1/5)(a-a/5)²h+(1/5)(a-2a/5)²h+(1/5)(a-3a/5)²h+(1/5)(a-4a/5)²h und
V5=(1/5³)(5²+4²+3²+2²+1²)a²h
Das Volumen für n Scheiben ist Vn=(1/n³)(1²+2²+3²+ ...+n²)a²h.
Es gilt die Formel 1²+2²+3²+ ...+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1).
Dann ist Vn=(1/n³)[(1/6)n(n+1)(2n+1)]a²h=(1/6)(1+1/n)(2+1/n)a²h
Lässt man n gegen Unendlich gehen, dann wird Vn zu V=(1/3)a²h.
Das ist die gesuchte Formel. 

Zweite Herleitung
......
......
Legt man um die Pyramide ein quadratisches Prisma mit dem Volumen V=a²h und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Prismenecke, so entsteht eine schiefe Pyramide mit  gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen das Prisma aus. 
Das Volumen einer Pyramide ist dann V=(1/3)*a²h.

Winkel
Bei der Pyramide sind drei Winkel von Interesse. Das sind der Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche (epsilon1), der Winkel zwischen zwei nebeneinander liegenden Seitenflächen ( epsilon2) und der Winkel, den zwei gegenüberliegende Flächen einschließen  (epsilon3). 
Epsilon1

...... Der Neigungswinkel (Böschungswinkel) einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche kennzeichnet gut die Form einer Pyramide.
Es gilt tan(epsilon1)=h/(a/2) oder tan(epsilon1)=2h/a.

Epsilon2
... ... Der Winkel zwischen zwei nebeneinander liegenden Seitenflächen taucht in einem Dreieck auf. Man zeichnet dazu durch gegenüberliegende Eckpunkte A und C des Grundquadrates zu der gemeinsamen Kante die Senkrechten (Höhen). Sie treffen sich im Punkt S auf der Kante. 
Im so entstandenen Dreieck ACS ist der Innenwinkel bei Punkt S der gesuchte Schnittwinkel epsilon2.

Für den Winkel epsilon2 gilt cos(epsilon2)=-a²/(a²+4h²).

Herleitung
Das Dreieck ACS wird aus der Pyramide gelöst.

Nach dem Kosinussatz gilt 2a²=2h2²-2h2²cos(epsilon2) oder cos(epsilon2)=(h2²-a²)/h2².
Mit den Formeln ADreieck=(1/2)ah1 und ADreieck=(1/2)sh2 ergibt sich ah1=sh2 oder h2 =(a/s)h1.
Das führt zu cos(epsilon2)=(h1²-s²)/h1².
Aus s²=(1/4)a²+h1² folgt h1²-s²=-(1/4)a². Außerdem ist h1²=(1/4)a²+h².
Dann ist cos(epsilon2)=(h1²-s²)/h1²=[-(1/4)a²]/[(1/4)a²+h²]=-a²/(a²+4h²).


Epsilon3
...... Der Winkel zwischen zwei nebeneinander liegenden Seitenflächen taucht in einem Dreieck auf.
Man zeichnet dazu durch die Spitze der Pyramide zwei Seitenhöhen ein.
Es gilt tan(epsilon3/2)=(a/2)/h oder tan(epsilon3/2)=a/(2h).

Schwerpunkt
...... Der Schwerpunkt der Pyramide liegt auf der Höhe h im Abstand zs=(1/4)h über der Grundebene.
Eine Rechnung findet man auf meiner Seite Kegel
Man muss dort nur an Stelle der Kreisflächen Quadratflächen betrachten.

Die Pyramide in der analytischen Geometrie    top
Eine neue Sicht auf die Pyramide erhält man, wenn man die Ebenen betrachtet, in denen die Seitenflächen und die Grundfläche liegen.
...... Man führt ein räumliches, kartesisches Koordinatensystem in folgender Weise ein.

Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt des Grundquadrates.
Die Diagonalen liegen auf der x- bzw. y-Achse. 
Die Höhe liegt auf der z-Achse. 


Das Besondere ist, dass die vier Seitenflächen Ebenen bilden, die sich in einem Punkt, der Spitze der Pyramide, schneiden. Ihre Spurgeraden bilden die Grund- und Seitenkanten.

Die Gleichungen der Seitenebenen und ihrer Spurgeraden erhält man über die Achsenabschnittsform. 
Es ist e=(1/2)sqrt(2)a zur Abkürzung.
Seitenflächen
EABS:  x/e+y/e+z/h=1 
EBCS:  -x/e+y/e+z/h=1 
EDCS:  -x/e-y/e+z/h=1 
EDAS:  x/e-y/e+z/h=1 
Grundkanten
gAB:  x/e+y/e=1 
gBC:  -x/e+y/e=1 
gCD:  -x/e-y/e=1 
gDA:  x/e-y/e=1 
Seitenkanten
gAS:  x/e+z/h=1 
gBS:  y/e+z/h=1 
gCS:  -x/e+z/h=1 
gDS:  -y/e+z/h=1 
Das Grundquadrat liegt in der Ebene z=0.

Pyramide in einer Kugel  top
1) Pyramide gegeben
In eine Kugel passt eine Pyramide, deren Eckpunkte auf der Kugeloberfläche liegen. Sie heißt die Umkugel der Pyramide.
...... Der Radius R der Umkugel ist aus Symmetriegründen der Radius des Umkreises des Dreiecks, das aus zwei Kanten und der Diagonalen des Quadrates gebildet wird.
Der Radius ist R=(a²+2h²)/(4h).


Herleitung
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=[1/2)sqrt(2)]²+(h-R)² oder R²=(1/2)a²+h²-2hR+R² oder (1/2)a²+h²=2hR.
Daraus folgt R=(a²+2h²)/(4h).
2) Kugel gegeben

Ist die Kugel mit dem Radius R vorgegeben, so stellt sich die Frage nach der Pyramide mit dem größten Volumen.
Für diese Fragestellung habe die Pyramide die Höhe y und die Grundkante x. 
Die Zielfunktion ist V=(1/3)x²y.
Die Nebenbedingung steht schon oben. Aus (1/2)a²+h²=2hR wird hier (1/2)x²+y²=2yR.
Daraus ergibt sich x²=4Ry-2y².
Dann ist V(y)=(1/3)(4Ry-2y²)y=(4/3)Ry²-(2/3)y³.
Die Bedingung V'(y)=0 führt zu (8/3)Ry-2y²=0 oder y=(4/3)R. Weiter ist x=(4/3)R
Ergebnis: Eine Pyramide, bei der die Längen der Höhe und der Grundkante gleich sind, hat das größte Volumen. 
Es ist x=y=(4/3)R.

Körper in der Pyramide  top
Inkugel
...... Der Radius der Inkugel ist aus Symmetriegründen der Radius des Inkreises des Dreiecks, das aus zwei Seitenhöhen und der Mittelparallele des Quadrates gebildet wird.
Der Radius ist r=[a*sqrt(a²+4h²)-a²]/(4h).


Herleitung
Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich direkt oder als Summe der Flächeninhalte dreier Teildreiecke bestimmen. 
Es gilt (1/2)ah=(1/2)ar+2*(1/2)h1r oder ah=ar+2h1r  oder r=ah/(a+2h1).
Ersetzt man h1 durch h1=(1/2)sqrt(a²+4h²), 
so ist r=ah/[a+sqrt(a²+4h²)]={ah[a-sqrt(a²+4h²)]}/(-4h²)=[a*sqrt(a²+4h²)-a²]/(4h).

Halbkugel in der Pyramide
...... Der Radius r' der Halbkugel ist aus Symmetriegründen der Radius des Halbkreises des Dreiecks, das aus zwei Seitenhöhen und der Mittelparallelen des Quadrates gebildet wird.
Der Radius ist r'=[ah*sqrt(a²+4h²)]/(a²+4h²).

Herleitung
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt (1/2)ah=2*[(1/2)h1r'] oder r'=(1/2)ah/h1 oder r'=[ah*sqrt(a²+4h²)]/(a²+4h²).

Würfel in der Pyramide
...... In die Pyramide passt ein Würfel. Seine Kantenlänge ist x=ah/(a+h).

Herleitung
...... Man kann im Dreieck, das aus zwei Seitenhöhen und der Mittelparallelen des Quadrates gebildet wird, nach dem 2.Strahlensatz die Proportion a:x=h:(h-x) ablesen. Daraus folgt die Produktgleichung a(h-x)=hx oder ah-ax=hx oder x=ah/(a+h).

Größte Pyramide in der Pyramide
...... Eine Pyramide mit der Grundseite x und der Höhe y liegt kopfüber in einer festen Pyramide. 
Je kleiner die Höhe y wird, desto kleiner wird auch sein Volumen. Je mehr sich die Höhe y der Höhe h nähert, desto kleiner wird das Volumen. Dazwischen liegt eine Pyramide, deren Volumen maximal ist.


Lösung: Das Volumen ist maximal, wenn die Höhe y=(1/3)h und die Grundseite x=(2/3)a ist.

Herleitung
Die Zielfunktion ist V=(1/3)x²y. 
...... Zur Angabe einer Nebenbedingung betrachtet man das Dreieck aus zwei Seitenkanten und einer Diagonalen  im Grundquadrat. 
Es gilt nach dem 2.Strahlensatz die Proportion h:(h-y)=(a/2):(x/2). Die Produktgleichung ist hx/2=a(h-y)/2 oder ax=ah-ay oder y=(ah-hx)/a. 
Dann ist V=(1/3)x²y oder V=(1/3)x²(ah-hx)/a oder V(x)=(1/3)hx²-(1/3)(h/a)x³. 
Mit V'(x)=0 erhält man neben x=0 auch x=(2/3)a und weiter y=(1/3)h, wzbw.. 

Größtes Prisma in der Pyramide
...... In eine Pyramide passt ein quadratisches Prisma. Das Prisma mit dem größten Volumen hat die Grundseite (2/3)a und die Höhe h/3.
Die Lösung und auch die Rechnung entsprechen der Rechnung zur größten Innenpyramide im letzten Kapitel.

Besondere Pyramiden top
J1 Quadratpyramide 
Die quadratische Pyramide mit gleichen Kanten und somit eine Pyramide mit regelmäßigen Figuren als Begrenzungsflächen gehört zu den Johnson-Körpern. Sie heißt Quadratpyramide und ist der Johnson-Körper Nr. 1, kurz J01.



Seitenansicht

Aufsicht


Netz
Die Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht des Körpers.

Größen der Quadratpyramide
Da s=a gilt, vereinfachen sich die Formeln der allgemeinen Pyramide von oben.
Es gilt 
h²=s²-[(1/2)sqrt(2)a]² = a²-a²/2 = (1/2)a² oder h = (1/2)sqrt(2)a = 0,71a.

h1 = (1/2)sqrt(3)a = 0,87a

V= (1/3)a²h = (1/3)a²(1/2)sqrt(2)a = (1/6)sqrt(2)a³ = 0,24a³

O= a²+a*sqrt(a²+4h²) = a²+a*sqrt(a²+2a²) = [1+sqrt(3)]a² = 2,73a²

R= (a²+2h²)/(4h) = 2a²/[2sqrt(2)]a = a/sqrt(2) = (1/2)sqrt(2)a = 0,71a

r= [a*sqrt(a²+4h²)-a²]/(4h) = [sqrt(3)-1]a/[2sqrt(2)] = (1/4)[sqrt(6)-sqrt(2)]a = 0,26a

r'= [ah*sqrt(a²+4h²)]/(a²+4h²) = [a*sqrt(2)sqrt(3)]/3 = (1/6)sqrt(6)a = 0,41a

Die Zahlen am Ende der Zeilen dienen der Veranschaulichung und sind auf Hunderstel gerundet.


Oktaeder
Spiegelt man die Quadratpyramide an der Grundfläche, erhält man das Oktaeder, einen der fünf platonischen Körper

J8 Verlängerte Quadratpyramide 
Setzt man auf einen Würfel eine Quadratpyramide, so erhält man einen Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken und fünf Quadraten begrenzt wird. Er ist der Johnson-Körper J08, die verlängerte Quadratpyramide.

J15 Verlängerte tetragonale Bipyramide
Setzt man auf die gegenüberliegenden Quadrate eines Würfels zwei Pyramiden, entsteht der Johnson-Körper J15, die verländerte tetragonale Bipyramide.

J17 Verdreht verlängerte Quadratbipyramide (J17) 
Setzt man auf die gegenüberliegenden Quadrate eines quadratischen Antiprismas zwei Pyramiden, entsteht der Johnson-Körper J17, die verdreht verlängerte Quadratbipyramide.

J49 Erweitertes dreieckiges Prisma
Setzt man auf ein gleichkantiges Prisma eine Pyramide, so entsteht der Johnson-Körper J49, das erweiterte dreieckige Prisma

Pyramiden im Würfel
...... Zeichnet man in einen Würfel der Kantenlänge a die vier Raumdiagonalen ein, so wird er in sechs gleich große Pyramiden aufgeteilt. 
Die Höhe einer Pyramide ist h=a/2, das Volumen ist V=a³/6.
Der Neigungswinkel beträgt epsilon1=45°.

Rhombendodekaeder
...... Setzt man auf die sechs Seitenflächen eines Würfels die Pyramiden der letzten Zeichnung, so entsteht ein Rhombendodekaeder.

Bei ihm haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe (1/2)a.


Haben die aufgesetzten Pyramiden eine kleinere Höhe als (1/2)a, so entsteht ein Tetrakishexaeder (s.u. bei Wikipedia).
Ist die Höhe größer als (1/2)a, so entsteht ein dreidimensionaler Stern.


...... Verbindet man die Flächenmitte eines Quadrates mit den Eckpunkten des gegenüberliegenden Quadrates, so entsteht eine Pyramide mit der Eigenschaft h=a. 
Das Volumen ist V=(1/3)a³.
Der Neigungswinkel beträgt arc tan(2)=63,4°.

Pyramidenstumpf
 ...... Legt man durch eine Pyramide eine Schnittebene parallel zur Grundebene, entsteht eine kleinere Pyramide und ein Pyramidenstumpf.

Zwei Pyramidenstümpfe können entstehen, wenn sich Pyramiden durchdringen.

Berechnungen  top
Eine Pyramide wird wie oben gezeigt im Allgemeinen durch die Quadratseite a und die Raumhöhe h bestimmt. Andere Größen wie die Seitenkante s, der Mantel M oder das Volumen V kann man dann aus diesen berechnen. Dazu stehen folgende Formeln zur Verfügung.

s²=h² + a²/2
M²=a^4 + 4a²h²
V=(1/3)a²h
Man kann verallgemeinern: Sind von den fünf Größen a, h, s, M und V zwei gegeben, so lassen sich die übrigen drei berechnen.

Es gibt 10 Fälle.
1) Gegeben: a,h. Gesucht: V,s,M.
Lösung: V=1/3a²h, s=1/2*sqr(2a²+4h²), M=a*sqr(a²+4h²).

2) Gegeben: a,s. Gesucht: h,V,M.
Lösung: h=1/2*sqr(4s²-2a²), V=1/6*a²*sqr(4s²-2a²), M=a*sqr(4s²-a²).

3) Gegeben:  h,s. Gesucht: a,V,M.
Lösung: a=sqr(2s²-2h²), V=2/3*h*(s²-h²), M=2*sqr(s^4-h^4).

4) Gegeben: a,V. Gesucht: h,s,M.
Lösung: h=3V/a², s=1/2*1/a²*sqr(2a^6+36V²), M=1/a*sqr(a^6+36V²).

5) Gegeben: h,V. Gesucht: a,s,M.
Lösung: a=1/h*sqr(3hV), s=1/2*1/h*sqr(4h^4+6hV), M=1/h*sqr(9V²+12h³V).

6) Gegeben: s,V. Gesucht: h,a,M
Lösung: h³-s²h+3/2*V=0 und a^6-2s²a^4+18V²=0 sind zu lösen :-(, dann ist  M=a*sqr(a²+4h²).

7) Gegeben: a,M. Gesucht: s,h,V.
Lösung: s=1/2*1/a*sqr(M²+a^4), h=1/2*1/a*sqr(M²-a^4), V=1/6*a*sqr(M²-a^4).

8) Gegeben: h,M. Gesucht: s,a,V.
Lösung: s=1/2*sqr[sqr(4M²-16h^4)], a=sqr[sqr(M²-4h^4)-2h²)], V=1/3*h*[sqr(M²-4h^4)-2h²].

9) Gegeben: s,M. Gesucht: h,a,V.
Lösung: h=1/2*sqr[sqr(16s^4-4M²)], a=sqr[2s²-sqr(4s^4-M²)], dann V=1/3*a²h.

10) Gegeben: M,V. Gesucht: a,h,s.
Lösung: a^6-M²a²+36V²=0 und 12Vh³-M²h²+9V²=0 sind zu lösen :-(, dann ist s=1/2*sqr(2a²+4h²). 
(Dank an 10b in 1992/93)


Man kann die zehn Aufgabentypen in der Schule gut für einen "arbeitsteiligen Gruppenunterricht" verwenden. Man teilt die Klasse in zehn Gruppen auf und ordnet ihnen je nach Leistungsvermögen einen Typ zu. Ziel ist es, in einer Woche eine Lösung zu finden und aufzuschreiben.
Andere geeignete und erprobte Themen auf meiner Homepage sind Kreisteile, Geometrische Folgen und Reihen und harmonischen Schwingungen (in der Physik).

Pyramidenzahlen top
...... Man kann Kugeln zu einer Pyramide aufschichten. Die Anzahl der Kugeln in einer Schicht ist eine Quadratzahl: 1,4,9,16,... , allgemein n². Bildet man die Summe der Kugeln schichtweise, so erhält man die "Pyramidenzahlen" 1,5,14,30,... , allgemein 1+4+9+16+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
Früher bewahrte man so Kanonenkugeln auf und konnte mit Hilfe der Anzahl der Schichten auf die Anzahl der Kanonenkugeln schließen.


Es sieht auch schön aus, Kugeln zu Pyramiden zu stapeln. Dann müssen die Kugeln der untersten Schicht in Mulden oder in einem Rahmen liegen.

Die Cheopspyramide von Gizeh     top
Wenn man von einer Pyramide spricht, meint man meist die Große Pyramide, das Grabmal des Pharaos Cheops aus der 4.Dynastie (2500 v.Chr.), gelegen etwa 15km südlich des Zentrums von Kairo in Sichtweite des Nils in Ägypten. 
Die Cheopspyramide ist ein Bauwerk der Superlative: 
> Sie ist das einzige der sieben Weltwunder, das zum überwiegenden Teil erhalten ist. 
> Sie war bis zur Neuzeit das größte Bauwerk. 
> Sie zählt zu den bekanntesten Bauwerken der Welt.


Die Maßzahlen der Höhe und der Seitenlänge des Grundquadrates der Cheopspyramide unterscheiden sich in der Literatur. Ich verwende die Daten aus einem neuen Reiseführer (5) in der Hoffnung, dass hier die letzten Forschungen berücksichtigt sind.
...... Die Pyramide ist heute 137,0m hoch und 230,5m lang. Ursprünglich war sie etwas größer (links). Sie umfasst  eine Fläche von etwa 5 ha. Etwa 2,5 Millionen Blöcke mit je fast 1m³ Volumen bilden die Pyramide. Die Verkleidung aus geschliffenen Kalkplatten ist nicht erhalten geblieben.

Gibt man die ursprünglichen Daten a=232,7m und h=146,6m vor, so sind die Seitenkanten s=220,4m, das Grundquadrat 5,4150 ha, der Mantel 8,7120 ha, die Oberfläche 14,13 ha, das Volumen 2646000 m³ und der Neigungswinkel 51,6° groß. 

Das Volumen sei veranschaulicht: Stellt man sich vor, ein Steinblock sei ein Würfel mit der Kantenlänge 1m, so würden sie aneinandergereiht eine Schlange der Länge von etwa 2500 km bilden. Das ist etwa die Entfernung London - Athen. 
(Unglaulich, habe ich da eigentlich richtig gerechnet?)

Zahlenmystik zur Cheopspyramide top
Aussagen, Erläuterungen.
1
...... Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe: h² = 21780m².
Flächeninhalt einer Seitenfläche: (1/2)*a*h' = 21490m².

Vermutung: Die Flächen sind gleich groß. (nach Herodot).


Aus der Gleichheit der Flächen h²=(1/2)*a*h' und aus dem Satz des Pythagoras (h²+a²/4=h'²) folgt das Verhältnis a:h= sqr(sqr(20)-2)=1,5723... . Das ist etwa 3,1446../2 oder Pi/2.

Es folgt auch aus der Gleichheit der Flächen h²=(1/2)*a*h' und aus dem Satz des Pythagoras (h²+a²/4=h'²) das zweite Verhältnis  h':(a/2)=1/2*[1+sqr(5)]. Das ist das Goldene Verhältnis phi = =1,6180... .


...... Umfang der quadratischen Grundfläche: 4a=930,8m 
Umfang des Kreises mit dem Radius h: 2*pi*h=921,1m

Vermutung: Die Umfänge sind gleich......................


...... Die alten Ägypter kannten das Verhältnis [Kreisumfang : Kreisdurchmesser] als 256/81 (Rhind Papyrus 1850 v.Chr.). Es führt zu pi=3,16... (Buch 4).
Der Kreis spielt als Sonnenscheibe eine zentrale Rolle in der altägyptischen Mythologie und schmückt zum Beispiel das Haupt der Göttin Hathor (links).
In dem TV-Film von Hoimar von Ditfurth (5) wird die Gleichheit der Umfänge dadurch erklärt, dass längs einer Quadratseite ein Kreis abgerollt wurde und Kreise gleichen Durchmessers auf Raumhöhe gestapelt wurden. Auf diese Weise taucht das Verhältnis [Umfang : Durchmesser]=pi auf. 


...... Legt man durch die Mitte der Pyramide parallel zu einer Quadratseite einen Vertikalschnitt, so entsteht ein Dreieck. Dieses Dreieck kommt dem Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Fünfecks nahe. In einem Fünfeck ist das Besondere, dass jeder Schnittpunkt zweier Diagonalen diese im Goldenen Schnitt teilt. 
In Grabbauten wird oft ein Himmel aus fünfzackigen Sternen auf blauem Grund dargestellt.

4
...... Für das rote Dreieck gilt die Proportionenkette 
h' : h : a/2 = 5 : 3,90 : 3,11. Das ist angenähert 5 : 4 : 3. 
Für diese Zahlen gilt 5² = 4² + 3². Sie sind damit  pythagoräische Zahlen. 
Vermutung: Das Dreieck in der Pyramide ist ein pythagoräisches Dreieck. 

Mit einer 3-4-5-Knotenschnur wurden angeblich im alten Ägypten nach der jährlichen Nilschwemme die Felder neu vermessen. Mehr über die Knotenschnur findet man auf meiner Seite 3-4-5-Dreieck.


...... Das Grundquadrat ist genau nach den Himmelsrichtungen ausgerichtet. 

Verlängert man die Diagonalen des Grundquadrates, so schließen die Verlängerungen das Nildelta ein.


Die Lage der Cheopspyramide ist bemerkenswert, zumal man von ihr auch weit in das Nildelta hineinsehen kann, falls es der Smog von Kairo zulässt. 


...... Die Cheopspyramide steht nicht isoliert da und bildet mit den Pyramiden des Chephren und des Mykerinos eine fast gerade Linie. Eine ähnliche Anordnung haben (besser hatten vor 4500 Jahren) die drei Gürtelsterne im Sternbild des Orion. Außerdem gibt es noch zwei Pyramiden am Nilufer, die zwei Randsternen des Orion entsprechen (Quelle: Robert Bauval, zitiert in einer ZDF-Sendung).

7
Welche Form hat eine Pyramide, die das Volumen und den Mantel mit der Großen Pyramide von Gizeh gemeinsam hat?
Lösung: Die Rechnung führt zur kubischen Gleichung
h³ - (M²/12/V)*h² + (3/4)*V = 0.
Mit V=2646000 und M=87120 erhält man die Lösungen h1=146,6 und h2=171,4 und h3= -79,0 (gefunden mit DERIVE).
...... Die Höhe  h2=171,4m ist die zweite Lösung. 

Zur Höhe h2 gehört die Quadratseite a2=215,2m. 

Dieses ist kein neuer Beitrag zur Pyramidenforschung, nur eine kleine Spielerei.

Zusammenfassung
Es steht fest, dass die alten Ägypter die Maße der Pyramiden so gewählt haben, dass sie stabil und ansehnlich wurden. 
Wer weiß? 
Vielleicht sind darüber hinaus in den Pyramiden geheimnisvolle Gesetze verborgen. 
Andererseits: Zahlen sind geduldig... Zu dieser Meinung neige ich als Skeptiker mehr. 

Die Kraft der Pyramiden top
In der amerikanischen Wissenschaftszeitung "Scientific American" vom Juni 1974 berichtete ein Dr. Matrix von einer Kraft, die von der Pyramide ausgehe. In Modellen einer Pyramide würden seltsame Dinge geschehen: Rasierklingen würden wieder scharf, Fleisch verwese deutlich langsamer und eine Person erfahre in einer Pyramide sitzend eine Steigerung der übersinnlichen Fähigkeiten und mehr. Diese Aussagen wurden durch Berichte aus aller Welt belegt und erschienen glaubhaft.
Stopp  ;-) ! 

Es handelte sich hierbei um einen wissenschaftlichen Spaß, mit dem die Sucht nach Übernatürlichem persifliert wurde. - Hinter dem Pseudonym Dr. Matrix verbarg sich der bekannte Wissenschaftsjournalist Martin Gardner von "Scientific American".

Mich interessiert, ob man sich schon vor 1974 in Pyramiden setzte ;-)


Pyramiden im Internet top

Deutsch

Frank Dörnenburg
Rätselhafte Pyramiden

Ingrid Huber
Grundwissen über Pyramiden

Wikipedia
Pyramide (Geometrie), Tetrakishexaeder, Pyramidenzahl, Pyramide (Bauwerk)
Pyramiden von Güímar
Unter Leitung des Ethnologen Thor Heyerdahl entstand in Teneriffa ein Pyramiden-Museum. Es wird die (umstrittene) Theorie belegt, dass es einen Zusammenhang zwischen den Pyramiden in Ägypten und in Mittelamerika gibt. Trotzdem: Ein interessantes und geschmackvoll eingerichtetes Museum.


Englisch

Andrew Bayuk  (Guardian's CyberJourney To Egypt)
The Great Pyramid

Edward Furey (Southborough Website Design)
Square Pyramid Calculator

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Pyramid, Square Pyramid, Square Pyramidal Number

Gijs Korthals Altes
Paper Models of Square Pyramids

Kevin Matthews and Artifice, Inc. (greatbuildings.com)
Sources on Great Pyramid of KhufuPyramide du Louvre

Lee Krystek
Khufu's Great Pyramid

Tim Hunkler
The Great Pyramid as Proof of God 

Wikipedia
Pyramid (geometry), Pyramid number, Tetrakis hexahedronPyramid

The Pyramids of Guimar


Referenzen   top
(1) Lancelot Hogben: Die Entdeckung der Mathematik, Stuttgart 1963
(2) Martin Gardner: Die magischen Zahlen des Dr. Matrix, Frankfurt am Main 1987
(3) Armando Curcio (Hrg.): Meilensteine der Archäologie, Herrsching 1987
(4) David Blatner: Pi, Magie einer Zahl, Reinbek bei Hamburg 1997
(5) FTI Touristik Publications: Reisebegleiter Ägypten, 2000?


(6) "Gibt es ein Geheimnis der Pyramiden?" Zwei Fernsehfilme aus der Reihe "Querschnitt" von Hoimar von Ditfurth, ZDF (gesendet am 29.03.1976 und am 05.04.1976, im Jahre 1991 wiederholt)
Diese beiden Fernsehfilme waren auch eine Reaktion auf Erich von Dänikens damaligen Bestseller "Erinnerungen an die Zukunft" mit der Spekulation: "Die Pyramiden sind mit dem Wissen Überirdischer gebaut worden". 
Die Antwort gab der Film: "Die Ägypter konntendie Pyramiden aus eigener Kraft bauen." 
Die beiden Filme waren in der wissenschaftlichen Beweisführung vorbildlich: In der ersten Sendung wurden nur Fakten zusammengetragen. In der zweiten Sendung wurden sie entweder bewiesen, oder es wurden vorsichtig mögliche Erklärungen angeboten, die der Fernsehzuschauer bewerten konnte. 

Ach so, meine Homepage heißt Mathematische Basteleien:

Kommentar   top
Diese Webseite habe ich unter dem Eindruck einer Ägyptenreise mit der Besichtigung der Pyramiden im April 2001 angefertigt.


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