Eilinien Ovale 
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Was sind das Oval und die Eilinie?
Ellipse und ihre Abkömmlinge
Weitere Ortslinien
Eierketten
Eilinien aus Kreisbögen
Schnitte durch Rotationskörper
Verschiedenes
Referenzen
Eilinien im Internet
.
Zur Hauptseite  "Mathematische Basteleien"

Was sind das Oval und die Eilinie?
Es gibt keine eindeutige Definion. Man definiert meist: 
...... Ein Oval ist eine in sich geschlossene ebene Linie, die ellipsenförmig ist oder die Form eines Hühnereis hat.

Eine Eilinie oder Eikurve ist der Umriss des Hühnereies. 
Das Hühnerei wird an einem Ende schmaler und hat nur eine Symmetrieachse.

Die Kurven sind konvex, sind stückweise zweimal stetig differenzierbar ist und haben eine echt positive Krümmung.


......
Man unterscheidet zwischen dem Oval, der Eifigur (Ovoid) und dem Eikörper so wie man zwischen der Kreislinie, der Kreisfläche und der Kugel unterscheidet. 

Ellipse und ihre Abkömmlinge top
Ellipse
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1 und F2 eine konstante Summe haben, bilden eine Ellipse. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die Bestimmungsgleichung
Die Parameter a und b sind die beiden Halbachsen, F1 und F2 die Brennpunkte. 
Die Ellipse ist der Graph einer Relation.
......

Die nebenstehende Ellipse hat die Gleichung 
Die konstante Summe ist 2a=6.
...
Aus zwei Ellipsenhälften  kann man ein Ei in der Form eines Hühnereies zusammensetzen.


Gärtnerkonstruktion 
Man kann ein Ei zeichnen, indem man um drei Punkte, die ein gleichschenkliges Dreieck bilden, nach der Gärtnermethode ein Seil (grün) schlingt, das etwas länger als der Umfang des Dreiecks ist, und bei gespannten Seil eine geschlossene Linie zeichnet (1). Es entstehen Ellipsenbögen, die zusammen ein Ei (2) bilden. 

In einer Computersimulation werden die drei Hauptellipsen (2) (schwarz, rot, blau) vollständig darstellt (nach Buch 9). 
Ist man genauer, so kommen im Bereich der Scheitelwinkel der Innenwinkel des Dreiecks ABC noch drei weitere Ellipsen hinzu (4). Das sind Ellipsen um die Seiten AB, AC und BC (3). 


Superellipse top
...... Ersetzt man in der Ellipsengleichung (x/a)²+(y/b)²=1 die Hochzahl 2 durch 2.5, so erhält man die Gleichung einer Superellipse. 
Sie heißt:
Die Betragsstriche stellen sicher, dass die nun auftretenden Wurzeln definiert sind. 
Es gilt im nebenstehenden Graph a=3 und b=2.
Der dänische Schriftsteller und Erfinder Piet Hein hat sich ausgiebig mit der Superellipse beschäftigt (Buch 4). Eine Besonderheit besteht darin, dass der dazugehörige Rotationskörper, als Holzkörper ausgeführt, auf einer Spitze stehen kann. Im Gegensatz zum Ei des Kolumbus braucht man keine Gewalt. 

Die Superellipse gehört zu den Lamékurven. Sie haben die Parametergleichung


...... In der Darstellung einiger Lamékurven setzt man a=3, b=2 und für n die Zahlen
1(Parallelogramm, blau), 1.5(grün), 2(Ellipse, hellrot), 2.5 (Superellipse, rot) und 3 (schwarz) ein. 

Von der Ellipse zur Hühnerei-Form
Man kann eine Hühnereiform aus einem Oval erzeugen, indem man die Ovalgleichung leicht abändert. Man multipliziert y oder y² mit einem Term t(x), so dass bei der Eilinie die y-Werte rechts der y-Achse kleiner und links größer werden und der y-Achsenabschnitt bleibt. 
Auf diese Weise wird z.B. die Ellipsengleichung  x²/9+y²/4=1 zu x²/9+y²/4*t(x)=1. Man multipliziert also hier y² mit t(x). 
Drei Beispiele:


Zur roten Eilinie: 
Die Ellipse ist schwarz. Die Eilinie ist rot. Rechts der y-Achse liegt die Eilinie unter der Ellipse. Der Term t1(x) ist dort größer als 1. Durch die Multiplikation von y²/4 wird die Zahl 4 (=b²) kleiner. Die Kurve gehört also zu "Ellipsen" mit kleinerer Halbachse, sie ist also flacher als die gegebene Ellipse. Entsprechend erklärt man, warum links der y-Achse die rote Kurve oberhalb der Ellipse liegt. (Man multipliziert mit einer Zahl kleiner als 1...)


Zur blauen und grünen Eilinien: Die drei farbigen Eilinien haben etwa die gleiche gewünschte Form, obwohl die Gleichungen auf den ersten Blick sehr verschieden sind. 
Aber:
t2(x)=1/(1-0,2x) kann als geometrische Reihe geschrieben werden.
Allgemein ist 1/(1-q) = 1+q+q²+..., hier ist 1/(1-0,2x) = 1+0,2x+0,04x²+...

t3(x)=exp(0.2x) kann als Taylorreihe entwickelt werden.
Allgemeien ist f(x) = f(0)+x*f'(0)+x²*f''(0)+..., hier ist exp(0.2x) = 1+0,2x+0,02x²+...

Zum Vergleich ist t1(x)=1+0,2*x+0*x²

Die drei Terme t1, t2 und t3 unterscheiden sich in der Reihenentwicklung erst im quadratischen Glied. 


Man kann ablesen: t1(x) < t3(x) < t2(x)

Zeichnet man die drei zugehörigen Eilinien in ein Koordinatensystem, so liegt die rote Eilinie außen, die grüne in der Mitte und die blaue innen. 

Warum liegt die blaue Eilinie innerhalb der roten?
Zu t2 gehören kleinere vertikale Halbachsen und damit ist die Eilinie flacher.
 

......

Vom Ei zum Dreieck
...... Setzt man in die Gleichnung x²/9+y²/4*t(x)=1 den Term t(x)=(1+kx)/(1-kx) so ergibt sich die nebenstehende Kurvenschar für verschiedene Zahlen k.
schwarz: k=0,1       rot: k=0,2      grün: k=0,3       blau k=1/3.
Aus dem schwarzen Ei wird also ein blaues Dreieck.


Das schwarze Ei ist von der Art t1(x), t2(x) oder t3(x) oben., denn die Reihenentwicklung  (1+0,1x)/(1-0,1x)=1+0.2x+0.02x²+... zeigt in den ersten Gliedern Übereinstimmung.


Es ergibt sich ein Dreieck, wenn k=1/3 ist. 3 ist die große Halbachse.
Begründung:
Die Gleichungen x²/a²+y²/b²*(1+x/a)/(1-x/a)=1 und (x/a+y/b-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 sind gleichwertig, denn multipliziert man beide aus, ergibt sich
-b²x³+ab²x²+a²b²x+a²xy²+a³y²-a³b²=0.
Mit (x/a+y/a-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 werden die drei Geraden beschrieben, die das Dreieck bilden.

Eine Zuschrift
...... Don M. Jacobs, M.D., aus Daly City, USA, entwickelte eine schöne Eiform, indem er die Kreisgleichung x²+y²=1 leicht abänderte: x² + [1,4^x*1.6y]² = 1.

Die Ei-Gleichung ist eine Exponentialgleichung vom Typ t3 oben, wie eine Umrechnung zeigt:


Eilinie zwischen zwei Ellipsen
Die Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1 kann zu y=+b*sqrt(1-x²/a²) /\ y=-b*sqrt(1-x²/a²) umgeschrieben werden. 
Die Gleichung y=+-b1*sqrt(1-x²/a²) beschreibt die äußere schwarze Ellipse. 
Die Gleichung y=+-b2*sqrt(1-x²/a²) beschreibt die innere blaue Ellipse.
Die Gleichung y=+-b(x)*sqrt(1-x²/a²) beschreibt die rote Eilinie
Dabei ist b(x)=[b1(a-x)+b2(a+x)]/2a. 
In der Zeichnung ist a=1, b1=0,7 und b2=0,4.
Andere Parameter sind möglich, z.B. b1=0,8 und b2=0,6.

Der Term b(x)=[b1(a-x)+b2(a+x)]/2a wird umgeformt:
Man erkennt, dass der Mittelwert von x-a und x+a gebildet wird, wobei mit b1 und b2 unterschiedlich gewichtet wird.

Diese Methode teilte mir Jirka Landa aus Tschechien mit. 
Er erklärt sie auf seiner Webseite ausführlicher (URL unten).

Inversion einer Ellipse am Kreis 
...
Spiegelt man eine Ellipse an einer Geraden (links), so entsteht als Bild eine kongruente Ellipse.

Spiegelt man sie an einer Kreislinie (rechts), so entsteht eine Eilinie.

Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der komplexen Ebene in sich durch reziproke Radien oder eine Spiegelung (=Inversion) an einem Kreis mit dem Radius R. Mittelpunkt der Spiegelung ist der Nullpunkt (0|0). Die Funktionsgleichung heißt z'=R²/z. 

Weitere Ortslinien top
Cassinische Kurven
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1 und F2 ein konstantes Produkt haben, bilden die Cassinische Kurve. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die Gleichung 
(x²+y²)² - 2e² (x²-y²) - (a²)² + (e²)²=0. Dabei ist 2e die Entfernung der beiden festen Punkte, a² ist das konstante Produkt.
......

Die nebenstehende Kurve hat die Gleichung 
(x²+y²)² - 72(x²-y²) - 2800 = 0.

Es sind e=6 und a=8.
 

Die nebenstehenden Cassinischen Kurven sind  dadurch entstanden, dass man e=6 festhält und für a die Werte 10 (blau), 8.5 (grau), 7 ( rot), 6 (schwarz) und 4 (grün) einsetzt.
Allgemein gilt:
Ist a>[e mal Wurzel2], so ergibt sich ein eiförmige Figur.
Ist a=[e mal Wurzel2], so ergibt sich auch eine eiförmige Figur, allerdings ist die Krümmung auf der Vertikalachse gleich 0.
Ist e<a<[e mal Wurzel2], so ergibt sich eine eiförmige Figur mit einer Einschnürung.
Ist a=e, so ergibt sich eine Lemniskate.
Ist a<e, so ergeben sich zwei ovale Figuren.
Die inneren ovalen Figuren mit a<e nehmen eine interessante Eiform an, wenn a der Zahl e=6 nahekommt.


Kartesianische Ovale
Die Punkte P bilden ein kartesianisches Oval, wenn die Summe aus der Entfernung des Punktes von einem Fixpunkt und der doppelten Entfernung von einem zweiten  Fixpunkt konstant ist. Die Punkte werden durch die Gleichung
4a²m²((c-x)²+y²)-(a²+m²c²-2cm²x+(m²-1)(x²+y²))²=0 beschrieben.
c ist die Entfernung der Fixpunkte, a ist die konstante Summe und m=2 ("doppelte" Entfernung). Der linke Fixpunkt liegt im Ursprung.
Diese (unhandliche) Gleichung leitet man mit dem Ansatz s1+2*s2=a und einer zweimaligen Anwendung des Satzes des Pythagoras her. 
...... In der nebenstehenden Zeichung ist die Entfernung der Fixpunkte c=5 und die gemeinsame Summe ist a=12.

Die allgemeine Gleichung von oben lautet dann 
2304((5-x)²+y²) - (3x²+3y² -40x+44)²=0

..............
Der eben dargestellte Graph ist unvollständig. 
Die Relationsgleichung 2304((5-x)²+y²)-(3x²+3y²-40x+44)²=0 
liefert überraschenderweise außerhalb der Eilinie noch eine zweite geschlossene Linie. 
........... Ersetzt man m=2 durch m=2.2, so ergibt sich eine neue Eiform. Die Variablen c=5 und a=12 werden beibehalten.
Diese Eilinien gehen auf Renatus Cartesius alias René Descartes (1596-1650)  zurück, daher der Name.

Kurven aus Schleifen
Szegö-Kurve

x²+y²=e2x-2

x²+y²+0,02=e2x-2
Kartesisches Blatt

x³+y³=3xy

x³+y³+0,06=3xy


(x²+y²)³-4x²y²

(x²+y²)³+0,001-4x²y²
Weitere Eiformen auf diesem Wege:

>Trisextrix of MacLaurin y²(1+x)+0,01=x²(3-x)
>Lemniskate des Bernoulli (x²+y²)²-(x²-y²)+0,01=0
>Conchoid of de Sluze 0,5(x+0,5)(x²+y²)-x²+0,02=0

...
(Nach einer Idee von Torsten Sillke)

Konstruktion von Fritz Hügelschäffer 
Man überträgt die bekannte Ellipsenkonstruktion mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise auf  eine Zweikreisfigur.
Die Konstruktion erfolgt in der Reihenfolge M1, M2, P1, P2 und P.
In der Zeichnung sind a und b die Radien der Kreise. d ist rechts die Entfernung der Mittelpunkte. 
Die Parameter a,b und d sind gut geeignet, eine Eiform zu kennzeichnen. 2a ist ihre Länge, 2b ihre größte Breite und um d seitlich von der Mitte aus verschoben liegt die breiteste Stelle. 

Die Gleichung der Eilinie ist eine Gleichung dritten Grades: 
x²/a² + y²/b²[1 + (2dx+d²)/a²] = 1 
oder b²x²+a²y²+2dxy²+d²y²-a²b²=0
Herleitung:
...... P1(x1|y1) ist ein Kreispunkt. Es gilt im grünen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(1) (x1-d)²+ y1²=a² 
P2(x2|y2) ist ein Kreispunkt. Es gilt im gelben Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(2) x2²+ y2²=b² 
Da die Punkte M2, P1 und P2 auf einer Nullpunktsgeraden liegen, gilt (3) y1/x1 = y2/x2.

Punkt P(x1|y2) liegt auf der Eilinie. Also muss eine Beziehung zwischen den beiden Variablen x1 und y2 gefunden werden. Die Variablen  x2 und  y1 sind zu ersetzen.

Aus (1) folgt die Gleichung (1')  x2²=b²-y2²
Aus (2) folgt die Gleichung (2') y1²==a²-(x1-d)² 
Aus (3) folgt die Gleichung (3') x2²y1² = x1²y2² .
Man setzt (1') und (2') in (3') ein und erhält nach längerer Rechnung
-a²b²+b²x1²-2b²dx1+b²d²+a²y2²+2dx1y2²-d²y2²=0
Die Gleichung wird einfacher, wenn man den Nullpunkt des Achsenkreuzes von M2 nach M1 verschiebt. 
Man setzt dazu x1=x und y2=y und vereinfacht.
Ergebnis:
-a²b²+b²x²+a²y²+2dy²x+d²y²=0 wzbw.

Für die oben gezeichnete Eilinie gilt a=4, b=2 und d=1. Das führt zur Gleichung 4x²+16y²+2xy²+y²-64=0.

Zweites Beispiel:
Für die hier gezeichnete Eilinie ist a=4, b=3 und d=1. 

Dazu gehört die Gleichung 9x²+16y²+2xy²+y²-144=0.

Quelle: (11), Seite 67/68 


Granvillesches Ei
>Gegeben ist eine Halbgerade, die von A ausgeht und waagerecht verläuft. In der Entfernung a liegt eine Vertikale und im Abstand a+b symmetrisch zur Horizontalen ein Kreis mit dem Radius r (linke Zeichnung). 
>Zieht man von Punkt A aus eine Gerade (rot), so schneidet sie die Vertikale in B und die Kreislinie in C. Zeichnet man durch C eine Vertikale und durch B eine Horizontale (grün), so schneiden sich diese in Punkt P. 
>Bewegt sich Punkt C auf dem Kreis, so liegen die Punkte P auf einer Eilinie (rechts). 
Quellen: (13),  Jan Wassenaar (URL unten), Torsten Sillke (URL unten)

Ein mechanisch erzeugtes Ei 
Gegeben sei ein fester Punkt P und ein beweglicher Punkt A, der sich um P mit dem Radius r=PA bewegt. 
An Punkt A wird eine Strecke a=AQ gehängt, deren freier Endpunkt Q sich auf einer Horizontalen durch P  hin und her bewegt. Ein Punkt B auf der Strecke mit BQ=b beschreibt eine Eikurve. 
Quellen: (12), (www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/), Jan Wassenaar (quartic egg curve, URL unten)

Eierketten   top
Ein Doppel-Ei 
...
Die Polargleichung r(t)=cos²t erzeugt ein Doppelei
(Münger 1894). 
Eine zweite Gleichung ist r(t)=exp(cos(2t))*cos²(t) 
(Hortsch 1990).


Zweites Doppelei
Die Gleichung x4+2x²y²+4y4-x³-6x²-xy²=0 erzeugt ein Doppelei.

Hier ist ein weites Feld zum Experimentieren.

Ketten
Man kann Sinuskurven so verändern und kombinieren, dass man eine Kette von Eiern erhält.
Auch Polynome können Ketten erzeugen (siehe bei Torsten Sillke, URL unten).

Eleganter ist die Darstellung einer Kette durch y² = abs[sin(x)+0,1sin(2x)]:

(Torsten Sillke)

Eilinien aus Kreisbögen top
...
... Das Oval setzt sich zusammen aus zwei kleinen Viertelkreisen (rot) und zwei großen Viertelkreisen (grau), die ein Quadrat gemeinsam haben. (Die Winkel der Kreisausschnitte müssen nicht 90° betragen.)


...... Die zweite Figur setzt sich zusammen aus einem Halbkreis (grün), einem Viertelkreis (rot) und zwei Achtelkreisen (grau), die ein Dreieck  gemeinsam haben. Zerschneidet man das Ei in neun Teile, so entsteht das Tangram-Puzzle "Das magische Ei" oder "Das Ei des Kolumbus".

...... Man kann die obige Figur verallgemeinern, indem man das dunkelgraue Dreieck verkleinert. 

... Aufgeteilt und wieder zusammengesetzt

...... Aufgeteilt und wieder zusammengesetzt

(14), Seite 122


Linien aus Kreisbögen heißen auch Korbbögen.

Schnitte durch Rotationskörper top
Legt man einen schrägen Schnitt durch einen Kegel oder Zylinder, so entsteht als Schnittlinie u.a. eine Ellipse. Wählt man einen hyperbolischen Trichter, so gelangt man zu Eilinien nach Art des Hühnereies. Hyperbolische Trichter sind Körper, die durch Rotation einer Hyberbel um die Symmetrieachse entstehen. 
... Links ist der hyperbolische Trichter zu f(x) =1/x² dargestellt. - Die y-Achse ist  senkrecht zur Zeichenebene nach hinten gerichtet. 

Die Gerade stellt eine Schnittebene dar, die senkrecht auf der Zeichenebene steht.

... Die Ebene schneidet den hyperbolischen Trichter in der z-x-Ebene in drei Punkten.

Projeziert man die Schnittlinien in die x-y-Ebene, so erhält man die roten Linien.

...
In der Schnittebene erscheint die Schnittlinie als Eilinie.
Die Rechnung dazu sieht so aus.
Auch andere Körper können schräg geschnitten werden und liefern Eilinien.


Verschiedenes   top
Weitere Gleichungen 3. und 4. Grades 
......
Gleichungen der Form y²=(x-a)(x-b)(x-c)... liefern Eilinien. 

Links zwei Beispiele:
2y²=(x-1)(x-2)(x-3)  und  y²=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 
 


Das Folium
...
Die Polargleichung r(t)=cos³t erzeugt das Folium oder das falsche Kepler-Ei.

Ein krummes Ei 
"Jedes legt noch schnell ein Ei und dann kommt der Tod herbei."
......
Die Polargleichung r(t)=sin³t+cos³t liefert ein krummes Ei.

Stehendes Ei
... y4+10x2y2++5x4=y.....................................................................
Torsten Sillkes Ei des Kolumbus

Referenzen   top
(1) Lockwood, E. H.: A Book of Curves. 
Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157, 1967. 
(2) Martin Gardner: The Last Recreations, Hydras, Eggs, and Other Math.Mystifications, Springer,  New York  1997
(3) Sz.-Nagy, Gyula: Tschirnhaussche Eiflaechen und Eikurven. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1, 36-45 (1950). Zbl 040.38402
(4) Ulrich/Hoffman: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld 1975
(5) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1977
(6) Gellert...: Kleine Enzyklopädie - Mathematik, Leipzig 1986
(7) Wolfgang Hortsch: Alte und neue Eiformeln in der Geschichte der Mathematik, München, Selbstverlag 1990, 30S
(8) Gebel und Seifert: Das Ei einmal anders betrachtet, Junge Wissenschaft 7 (1992) 
(9) Hans Schupp, Heinz Dabrock:  Höhere Kurven,  BI Wissenschaftsverlag 1995
(10) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel 1997, Deutsche Ausgabe von (2)
(11) Elemente der Mathematik 3 (1948)
(12) Karl Mocnik: Ellipse, Ei-Kurve und Apollonius-Kreis, Praxis der Mathematik. (1998) v. 40(4) p. 165-167
(13)W. A. Granville: Elements of the differential and integral calculus, Boston, (1929) 
(14) Heinz Haber (Hrsg.): Mathematisches Kabinett, München 1983 [ISBN 3-423-10121-0]


Eilinien im Internet top

Deutsch

Herbert Möller
Das 2:3-Ei - ein praktikables Eimodell (.pdf Datei)

Michael Hinterseher 
Eilinien (mit Klotoiden)

Projekt der Universität Würzburg
Mathematik rund ums Ei"

Wikipedia
Oval (Geometrie), Ei-Kurve, Ellipse, Superellipse, Cassinische Kurve, Ei des Kolumbus


Englisch

CARLOS CALVIMONTES ROJAS
GEOMETRY OF THE PARABOLA ACCORDING TO THE GOLDEN NUMBER

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Oval, Cartesian Ovals, Cassini Ovals, Ellipse, Cundy and Rollett's EggMosss EggLemon, Superellipse

Michael Hvidsten
Constructing an Oval (Eggs)

Chickscope project at the Beckman Institute
Eggmath

Jan Wassenaar
2dcurves
Apollonian cubic,
Cubic egg
Cartesian oval
Cassini(an) oval
Ellipse
Folium
Granville's egg,
.
Newton's egg curve
Quartic egg curve
Wassenaar (egg) curve
.

Nick C. Thomas
Eggs with path curves 

Richard Parris  (peanut Software)
Programm WINPLOT 

Satire Software (Geometry Gallery)
The Shape of Birds Eggs (applet)

The MacTutor History of Mathematics archive  (Created by John J O'Connor and Edmund F Robertson) 
Cassinian OvalFolium, Cartesian Oval

Torsten Sillke
Egg shaped curves
Granville's egg - quartic [Granville 1929] 
Cubic curves as perturbated ellipse
Mechanical egg curve construction by a two bar linkage - a quartic 
Polynomials making chains of eggs
Newton's cubic: Elliptic curve 
Apollonian cubic
Transforming the ellipse
Limacon Graphics Gallery
Toric sections - hippopede of Proclus: analyzed by Perseus 
The Family   r = cos^p(phi) or  [Münger Eggs] 
Multifocal Curves - Tschirnhaussche Eikurven 
Pivot transform construction of Path-curves
Bezier Curve
References

Wikipedia
Oval, Crooked egg curve, Cassini oval, Superellipse, Peter the Great (Fabergé egg)
Fabergé egg, Egg decorating, Columbus Egg


Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve)
COURBES 2DOVALE DE DESCARTES, ELLIPSE, FOLIUM SIMPLE, OEUF DOUBLE,
Oeuf d'Ehrhart, ŒUF DE GRANVILLECOURBE DE ROSILLO

Serge MEHL
Ovale, Ovales de Cassini


Holländisch

NN (published in: Pythagoras, wiskundetijdschrift voor jongeren, december 2000)
Een eitje, zo'n eitje


Usbekistanisch

admin @ arbuz.uz 
u_cassini.html


Dänisch

Erik Vestergaard
Ellipser og æg, Piet Heins Superellipse


Japanisch

Nobuo YAMAMOTO
Equation of Egg Shaped Curves, Egg Shaped Curve II, Egg Shaped Curve III, Egg Shaped Curve IV


Tschechisch

Jirka Landa
Rovnice vají?ka - jednoduchá jako Kolumbovo vejce :-)


Ich bedanke mich für Anregungen und/oder Unterstützung bei A.Gärtl, Willi Jeschke und vor allem bei Torsten Sillke.

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©  2000 Jürgen Köller

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