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Was sind das Oval und die Eilinie?
Es gibt keine eindeutige Definion. Man definiert meist:
... ... |
Ein Oval ist eine in sich geschlossene ebene Linie, die ellipsenförmig
ist oder die Form eines Hühnereis hat.
Eine Eilinie oder Eikurve ist der Umriss des Hühnereies.
Das Hühnerei wird an einem Ende schmaler und hat nur eine Symmetrieachse. |
Die Kurven sind konvex, sind stückweise zweimal stetig differenzierbar
ist und haben eine echt positive Krümmung.
.. ....
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Man unterscheidet zwischen der Eilinie, der Eifigur (Ovoid) und dem
Eikörper so wie man zwischen der Kreislinie, der Kreisfläche
und der Kugel unterscheidet. |
Ellipse und ihre Abkömmlinge
top
Ellipse
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1
und F2 eine konstante Summe haben, bilden eine
Ellipse. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die
Bestimmungsgleichung
Die Parameter a und b sind die beiden Halbachsen, F1
und F2 die Brennpunkte.
Die Ellipse ist der Graph einer Relation.
... ...
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Die nebenstehende Ellipse hat die Gleichung
Die konstante Summe ist 2a=6. |
 ...
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Aus zwei Ellipsenhälften kann man ein Ei in der Form eines
Hühnereies zusammensetzen. |
Gärtnerkonstruktion
Man kann ein Ei zeichnen, indem man um drei Punkte, die ein gleichschenkliges
Dreieck bilden, nach der Gärtnermethode ein Seil (grün) schlingt,
das etwas länger als der Umfang des Dreiecks ist, und bei gespannten
Seil eine geschlossene Linie zeichnet (1). Es entstehen Ellipsenbögen,
die zusammen ein Ei (2) bilden.
In einer Computersimulation werden die drei Hauptellipsen (2) (schwarz,
rot, blau) vollständig darstellt (nach Buch 9).
Ist man genauer, so kommen im Bereich der Scheitelwinkel der Innenwinkel
des Dreiecks ABC noch drei weitere Ellipsen hinzu (4). Das sind Ellipsen
um die Seiten AB, AC und BC (3).
Superellipse top
... ... |
Ersetzt man in der Ellipsengleichung (x/a)²+(y/b)²=1 die
Hochzahl 2 durch 2.5, so erhält man die Gleichung einer Superellipse.
Sie heißt:
Die Betragsstriche stellen sicher, dass die nun auftretenden Wurzeln definiert
sind.
Es gilt im nebenstehenden Graph a=3 und b=2. |
Der dänische Schriftsteller und Erfinder Piet Hein hat sich ausgiebig
mit der Superellipse beschäftigt (Buch 4). Eine Besonderheit besteht
darin, dass der dazugehörige Rotationskörper, als Holzkörper
ausgeführt, auf einer Spitze stehen kann. Im Gegensatz zum Ei des
Kolumbus braucht man keine Gewalt.
Die Superellipse gehört zu den Lamékurven. Sie haben die
Parametergleichung
.. .... |
In der Darstellung einiger Lamékurven setzt man a=3, b=2 und
für n die Zahlen
1(Parallelogramm, blau), 1.5(grün), 2(Ellipse, hellrot), 2.5 (Superellipse,
rot) und 3 (schwarz) ein. |
Von der Ellipse zur
Hühnerei-Form
Man kann eine Hühnereiform aus einem Oval erzeugen, indem man
die Ovalgleichung leicht abändert. Man multipliziert y oder y²
mit einem Term t(x), so dass bei der Eilinie die y-Werte rechts der y-Achse
kleiner und links größer werden und der y-Achsenabschnitt bleibt.
Auf diese Weise wird z.B. die Ellipsengleichung x²/9+y²/4=1
zu x²/9+y²/4*t(x)=1. Man multipliziert also hier y² mit
t(x).
Drei Beispiele:
Zur roten Eilinie:
Die Ellipse ist schwarz. Die Eilinie ist rot. Rechts der y-Achse liegt
die Eilinie unter der Ellipse. Der Term t1(x) ist dort größer
als 1. Durch die Multiplikation von y²/4 wird die Zahl 4 (=b²)
kleiner. Die Kurve gehört also zu "Ellipsen" mit kleinerer Halbachse,
sie ist also flacher als die gegebene Ellipse. Entsprechend erklärt
man, warum links der y-Achse die rote Kurve oberhalb der Ellipse liegt.
(Man multipliziert mit einer Zahl kleiner als 1...)
Zur blauen und grünen Eilinien: Die drei farbigen Eilinien haben
etwa die gleiche gewünschte Form, obwohl die Gleichungen auf den ersten
Blick sehr verschieden sind.
Aber:
t2(x)=1/(1-0,2x) kann als geometrische Reihe geschrieben werden.
Allgemein ist 1/(1-q) = 1+q+q²+..., hier ist 1/(1-0,2x) = 1+0,2x+0,04x²+...
t3(x)=exp(0.2x) kann als Taylorreihe entwickelt werden.
Allgemeien ist f(x) = f(0)+x*f'(0)+x²*f''(0)+..., hier ist exp(0.2x)
= 1+0,2x+0,02x²+...
Zum Vergleich ist t1(x)=1+0,2*x+0*x²
Die drei Terme t1, t2 und t3 unterscheiden sich in der Reihenentwicklung
erst im quadratischen Glied.
| Man kann ablesen: t1(x) < t3(x) < t2(x)
Zeichnet man die drei zugehörigen Eilinien in ein Koordinatensystem,
so liegt die rote Eilinie außen, die grüne in der Mitte und
die blaue innen.
Warum liegt die blaue Eilinie innerhalb der roten?
Zu t2 gehören kleinere vertikale Halbachsen und damit ist die
Eilinie flacher.
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... ... |
Vom Ei zum Dreieck
... ... |
Setzt man in die Gleichnung x²/9+y²/4*t(x)=1 den Term t(x)=(1+kx)/(1-kx)
so ergibt sich die nebenstehende Kurvenschar für verschiedene Zahlen
k.
schwarz: k=0,1 rot: k=0,2
grün: k=0,3 blau k=1/3.
Aus dem schwarzen Ei wird also ein blaues Dreieck.
Das schwarze Ei ist von der Art t1(x), t2(x) oder t3(x) oben., denn
die Reihenentwicklung (1+0,1x)/(1-0,1x)=1+0.2x+0.02x²+... zeigt
in den ersten Gliedern Übereinstimmung.
Es ergibt sich ein Dreieck, wenn k=1/3 ist. 3 ist die große Halbachse.
Begründung:
Die Gleichungen x²/a²+y²/b²*(1+x/a)/(1-x/a)=1 und
(x/a+y/b-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 sind gleichwertig, denn multipliziert man
beide aus, ergibt sich
-b²x³+ab²x²+a²b²x+a²xy²+a³y²-a³b²=0. |
Mit (x/a+y/a-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 werden die drei Geraden beschrieben,
die das Dreieck bilden.
Eine Zuschrift
... ... |
Don M. Jacobs, M.D., aus Daly City, USA, entwickelte eine schöne
Eiform, indem er die Kreisgleichung x²+y²=1 leicht abänderte:
x² + [1,4^x*1.6y]² = 1.
Die Ei-Gleichung ist eine Exponentialgleichung vom Typ t3 oben, wie
eine Umrechnung zeigt:
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Inversion einer Ellipse
am Kreis
 ...
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Spiegelt man eine Ellipse an einer Geraden (links), so entsteht als
Bild eine kongruente Ellipse.
Spiegelt man sie an einer Kreislinie (rechts), so entsteht eine Eilinie. |
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Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der komplexen Ebene in
sich durch reziproke Radien oder eine Spiegelung (=Inversion) an einem
Kreis mit dem Radius R. Mittelpunkt der Spiegelung ist der Nullpunkt (0|0).
Die Funktionsgleichung heißt z'=R²/z.
Weitere Ortslinien
top
Cassinische Kurven
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F1
und F2 ein konstantes Produkt haben,
bilden die Cassinische Kurve. In einem Koordinatensystem hat sie in der
Mittelpunktslage die Gleichung
(x²+y²)² - 2e² (x²-y²) - (a²)²
+ (e²)²=0. Dabei ist 2e die Entfernung der beiden festen Punkte,
a² ist das konstante Produkt.
... ...
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Die nebenstehende Kurve hat die Gleichung
(x²+y²)² - 72(x²-y²) - 2800 = 0.
Es sind e=6 und a=8.
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Die nebenstehenden Cassinischen Kurven sind dadurch entstanden,
dass man e=6 festhält und für a die Werte 10 (blau), 8.5 (grau),
7 ( rot), 6 (schwarz) und 4 (grün) einsetzt. |
Allgemein gilt:
Ist a>[e mal Wurzel2], so ergibt sich ein eiförmige Figur.
Ist a=[e mal Wurzel2], so ergibt sich auch eine eiförmige Figur,
allerdings ist die Krümmung auf der Vertikalachse gleich 0.
Ist e<a<[e mal Wurzel2], so ergibt sich eine eiförmige Figur
mit einer Einschnürung.
Ist a=e, so ergibt sich eine Lemniskate.
Ist a<e, so ergeben sich zwei ovale Figuren.
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Die inneren ovalen Figuren mit a<e nehmen eine interessante Eiform
an, wenn a der Zahl e=6 nahekommt. |
Kartesianische Ovale
Die Punkte P bilden ein kartesianisches Oval, wenn die Summe
aus der Entfernung des Punktes von einem Fixpunkt und der doppelten
Entfernung von einem zweiten Fixpunkt konstant ist. Die Punkte werden
durch die Gleichung
4a²m²((c-x)²+y²)-(a²+m²c²-2cm²x+(m²-1)(x²+y²))²=0
beschrieben.
c ist die Entfernung der Fixpunkte, a ist die konstante Summe und m=2
("doppelte" Entfernung). Der linke Fixpunkt liegt im Ursprung.
Diese (unhandliche) Gleichung leitet man mit dem Ansatz s1+2*s2=a
und einer zweimaligen Anwendung des Satzes des Pythagoras her.
... ... |
In der nebenstehenden Zeichung ist die Entfernung der Fixpunkte c=5
und die gemeinsame Summe ist a=12.
Die allgemeine Gleichung von oben lautet dann
2304((5-x)²+y²) - (3x²+3y² -40x+44)²=0 |
...... ........
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Der eben dargestellte Graph ist unvollständig.
Die Relationsgleichung 2304((5-x)²+y²)-(3x²+3y²-40x+44)²=0
liefert überraschenderweise außerhalb der Eilinie noch eine
zweite geschlossene Linie. |
...... ..... |
Ersetzt man m=2 durch m=2.2, so ergibt sich eine neue Eiform. Die Variablen
c=5 und a=12 werden beibehalten. |
Diese Eilinien gehen auf Renatus Cartesius alias René Descartes
(1596-1650) zurück, daher der Name.
Kurven aus Schleifen
Szegö-Kurve
x²+y²=e2x-2
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x²+y²+0,02=e2x-2
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Kartesisches Blatt
x³+y³=3xy
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x³+y³+0,06=3xy
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(x²+y²)³-4x²y²
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(x²+y²)³+0,001-4x²y²
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Weitere Eiformen auf diesem Wege:
>Trisextrix of MacLaurin y²(1+x)+0,01=x²(3-x)
>Lemniskate des Bernoulli (x²+y²)²-(x²-y²)+0,01=0
>Conchoid of de Sluze 0,5(x+0,5)(x²+y²)-x²+0,02=0
...
|
(Nach einer Idee von Torsten Sillke)
Konstruktion von
Fritz Hügelschäffer
Man überträgt die bekannte Ellipsenkonstruktion mit Hilfe
zweier konzentrischer Kreise auf eine Zweikreisfigur.
Die Konstruktion erfolgt in der Reihenfolge M1,
M2, P1,
P2
und P.
In der Zeichnung sind a und b die Radien der Kreise. d ist rechts die
Entfernung der Mittelpunkte.
Die Parameter a,b und d sind gut geeignet, eine Eiform zu kennzeichnen.
2a ist ihre Länge, 2b ihre größte Breite und um d seitlich
von der Mitte aus verschoben liegt die breiteste Stelle.
Die Gleichung der Eilinie ist eine Gleichung
dritten Grades:
x²/a² + y²/b²[1 + (2dx+d²)/a²] =
1
oder b²x²+a²y²+2dxy²+d²y²-a²b²=0
Herleitung:
... ... |
P1(x1|y1) ist ein Kreispunkt. Es gilt
im grünen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(1) (x1-d)²+ y1²=a²
P2(x2|y2) ist ein Kreispunkt. Es gilt
im gelben Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(2) x2²+ y2²=b²
Da die Punkte M2, P1 und P2 auf einer
Nullpunktsgeraden liegen, gilt (3) y1/x1 = y2/x2.
Punkt P(x1|y2) liegt auf der Eilinie. Also muss
eine Beziehung zwischen den beiden Variablen x1 und y2
gefunden
werden. Die Variablen x2 und y1 sind
zu ersetzen. |
Aus (1) folgt die Gleichung (1') x2²=b²-y2²
Aus (2) folgt die Gleichung (2') y1²==a²-(x1-d)²
Aus (3) folgt die Gleichung (3') x2²y1²
= x1²y2² .
Man setzt (1') und (2') in (3') ein und erhält nach längerer
Rechnung
-a²b²+b²x1²-2b²dx1+b²d²+a²y2²+2dx1y2²-d²y2²=0
Die Gleichung wird einfacher, wenn man den Nullpunkt des Achsenkreuzes
von M2 nach M1 verschiebt.
Man setzt dazu x1=x und y2=y und vereinfacht.
Ergebnis:
-a²b²+b²x²+a²y²+2dy²x+d²y²=0
wzbw.
Für die oben gezeichnete Eilinie gilt
a=4, b=2 und d=1. Das führt zur Gleichung 4x²+16y²+2xy²+y²-64=0.
Zweites Beispiel:
|
Für die hier gezeichnete Eilinie ist a=4, b=3 und d=1.
Dazu gehört die Gleichung 9x²+16y²+2xy²+y²-144=0. |
Quelle: (11), Seite 67/68
Granvillesches Ei
>Gegeben ist eine Halbgerade, die von A ausgeht und waagerecht verläuft.
In der Entfernung a liegt eine Vertikale und im Abstand a+b symmetrisch
zur Horizontalen ein Kreis mit dem Radius r (linke Zeichnung).
>Zieht man von Punkt A aus eine Gerade (rot), so schneidet sie die
Vertikale in B und die Kreislinie in C. Zeichnet man durch C eine Vertikale
und durch B eine Horizontale (grün), so schneiden sich diese in Punkt
P.
>Bewegt sich Punkt C auf dem Kreis, so liegen die Punkte P auf einer
Eilinie (rechts).
Quellen: (13), Jan Wassenaar (URL unten), Torsten Sillke (URL
unten)
Ein mechanisch erzeugtes
Ei
 |
Gegeben sei ein fester Punkt P und ein beweglicher Punkt A, der sich
um P mit dem Radius r=PA bewegt.
An Punkt A wird eine Strecke a=AQ gehängt, deren freier Endpunkt
Q sich auf einer Horizontalen durch P hin und her bewegt. Ein Punkt
B auf der Strecke mit BQ=b beschreibt eine Eikurve. |
 |
Quellen: (12), (www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/), Jan Wassenaar (quartic
egg curve, URL unten)
Eierketten top
Ein Doppel-Ei
 ...
|
Die Polargleichung r(t)=cos²t erzeugt ein Doppelei
(Münger 1894).
Eine zweite Gleichung ist r(t)=exp(cos(2t))*cos²(t)
(Hortsch 1990). |
Zweites Doppelei
|
Die Gleichung x4+2x²y²+4y4-x³-6x²-xy²=0
erzeugt ein Doppelei. |
Hier ist ein weites
Feld zum Experimentieren.
Ketten
Man kann Sinuskurven so verändern und kombinieren,
dass man eine Kette von Eiern erhält.
Auch Polynome können Ketten erzeugen (siehe bei Torsten Sillke, URL
unten).
Eleganter ist die Darstellung einer Kette
durch y² = abs[sin(x)+0,1sin(2x)]:
(Torsten Sillke)
Eilinien aus Kreisbögen
top
 ...
|
 ... |
Das Oval setzt sich zusammen aus zwei kleinen Viertelkreisen (rot)
und zwei großen Viertelkreisen (grau), die ein Quadrat gemeinsam
haben. (Die Winkel der Kreisausschnitte müssen nicht 90° betragen.) |
... ... |
Die zweite Figur setzt sich zusammen aus einem Halbkreis (grün),
einem Viertelkreis (rot) und zwei Achtelkreisen (grau), die ein Dreieck
gemeinsam haben. Zerschneidet man das Ei in 10 Teile, so entsteht das Tangram-Puzzle
"Das magische Ei". |
... ... |
Man kann die obige Figur verallgemeinern, indem man das dunkelgraue
Dreieck verkleinert. |
... |
Aufgeteilt und wieder zusammengesetzt |
Linien aus Kreisbögen heißen
auch Korbbögen.
Schnitte durch Rotationskörper
top
Legt man einen schrägen Schnitt durch einen
Kegel oder Zylinder, so entsteht als Schnittlinie u.a. eine Ellipse. Wählt
man einen hyperbolischen Trichter, so gelangt man zu Eilinien nach Art
des Hühnereies. Hyperbolische Trichter sind Körper, die durch
Rotation einer Hyberbel um die Symmetrieachse entstehen.
 ... |
Links ist der hyperbolische Trichter zu f(x)
=1/x² dargestellt. - Die y-Achse ist senkrecht zur Zeichenebene
nach hinten gerichtet.
Die Gerade stellt eine Schnittebene dar, die senkrecht
auf der Zeichenebene steht. |
 ... |
Die Ebene schneidet den hyperbolischen Trichter in der z-x-Ebene in
drei Punkten.
Projeziert man die Schnittlinien in die x-y-Ebene, so erhält man
die roten Linien. |
 ...
|
In der Schnittebene erscheint die Schnittlinie als Eilinie. |
Die Rechnung dazu sieht so aus.
Auch andere Körper können schräg geschnitten werden und
liefern Eilinien.
Verschiedenes top
Weitere Gleichungen 3. und 4. Grades
... ...
|
Gleichungen der Form y²=(x-a)(x-b)(x-c)... liefern Eilinien.
Links zwei Beispiele:
2y²=(x-1)(x-2)(x-3) und y²=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
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Das Folium
 ...
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Die Polargleichung r(t)=cos³t erzeugt das Folium oder das falsche
Kepler-Ei. |
Ein krummes Ei
"Jedes legt noch schnell ein Ei und dann kommt der Tod herbei."
... ...
|
Die Polargleichung r(t)=sin³t+cos³t liefert ein krummes Ei. |
|
Stehendes Ei
... |
y4+10x2y2++5x4=y..................................................................... |
Torsten Sillkes Ei des Kolumbus
Referenzen top
(1) Lockwood, E. H.: A Book of Curves.
Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157, 1967.
(2) Martin Gardner: The Last Recreations, Hydras,
Eggs, and Other Math.Mystifications, Springer, New York 1997
(3) Sz.-Nagy, Gyula: Tschirnhaussche Eiflaechen und Eikurven. Acta
Math. Acad. Sci. Hung. 1, 36-45 (1950). Zbl 040.38402
(4) Ulrich/Hoffman: Differential- und Integralrechnung
zum Selbstunterricht, Hollfeld 1975
(5) Martin Gardner: Mathematischer Karneval,
Frankfurt/M, Berlin 1977
(6) Gellert...: Kleine Enzyklopädie - Mathematik,
Leipzig 1986
(7) Wolfgang Hortsch: Alte und neue Eiformeln in der Geschichte der
Mathematik, München, Selbstverlag 1990, 30S
(8) Gebel und Seifert: Das Ei einmal anders betrachtet, Junge Wissenschaft
7 (1992)
(9) Hans Schupp, Heinz Dabrock: Höhere
Kurven, BI Wissenschaftsverlag 1995
(10) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis,
die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel 1997,
Deutsche
Ausgabe von (2)
(11) Elemente der Mathematik 3 (1948)
(12) Karl Mocnik: Ellipse, Ei-Kurve und Apollonius-Kreis,
Praxis der Mathematik. (1998) v. 40(4) p. 165-167
(13)W. A. Granville: Elements of the differential
and integral calculus, Boston, (1929)
Eilinien im Internet top
Deutsch
Herbert Möller
Das
2:3-Ei - ein praktikables Eimodell (.pdf Datei)
Michael Hinterseher
Eilinien
(mit Klotoiden)
Universität Würzburg, (Projektverantwortlicher: Prof. Dr.
H.-G. Weigand, Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik)
Entwurf eines Projekts "Mathematik
rund ums Ei" für Schülerinnen und Schüler ab Klasse
10
Wikipedia
Oval (Geometrie),
Ei-Kurve,
Ellipse,
Superellipse,
Cassinische
Kurve,
Ei des
Kolumbus,
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Oval, Cartesian
Ovals, Cassini
Ovals, Ellipse,
Cundy
and Rollett's Egg, Mosss
Egg, Lemon,
Superellipse,
Michael Hvidsten
Constructing
an Oval (Eggs)
Chickscope project
at the Beckman Institute, (>Eggmath)
(pins-and-string constructions, Cassini ovals, Cartesian ovals)
Jan Wassenaar
2dcurves
Apollonian cubic,
Cubic egg,
Cartesian
oval,
Cassini(an)
oval, |
Ellipse,
Folium,
Granville's
egg,
. |
Newton's
egg curve,
Quartic egg
curve,
Wassenaar (egg)
curve,
. |
Nick C. Thomas
Eggs with path curves
Richard Parris
peanut Software (Programm
WINPLOT)
Satire Software (Geometry Gallery)
The Shape of Birds Eggs (applet)
The MacTutor History of Mathematics archive (Created by John J
O'Connor and Edmund F Robertson)
Cassinian
Oval, Folium,
Cartesian
Oval,
Torsten Sillke
Egg
shaped curves
Granville's egg - quartic [Granville 1929]
Cubic curves as perturbated ellipse
Mechanical egg curve construction by a two bar linkage - a quartic
Polynomials making chains of eggs
Newton's cubic: Elliptic curve
Apollonian cubic
Transforming the ellipse |
Limacon Graphics Gallery
Toric sections - hippopede of Proclus: analyzed by Perseus
The Family r = cos^p(phi) or [Münger Eggs]
Multifocal Curves - Tschirnhaussche Eikurven
Pivot transform construction of Path-curves
Bezier Curve
References |
Wikipedia
Oval, Crooked
egg curve, Cassini
oval, Superellipse,
Peter
the Great (Fabergé egg), Fabergé
egg, Egg decorating,
Columbus
Egg,
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
COURBES
2D (OVALE DE DESCARTES, ELLIPSE, ŒUF DE KEPLER, OEUF DOUBLE, ...)
Oeuf
d'Ehrhart, ŒUF
DE GRANVILLE
Serge MEHL
Ovale, Ovales
de Cassini
Holländisch
NN (published in: Pythagoras, wiskundetijdschrift voor jongeren,
december 2000)
Een eitje, zo'n eitje
(ei-vormen) [Constructie driepunts-ei , Een ei-vorm op basis van een 3:4:5-driehoek,
Vijfpunts-ei]
Usbekistanisch
admin @ arbuz.uz
u_cassini.html
Dänisch
Erik Vestergaard
Ellipser og æg,
Piet
Heins Superellipse
Japanisch
Nobuo YAMAMOTO
Equation
of Egg Shaped Curves, SEgg
Shaped Curve II, Egg
Shaped Curve III, Egg
Shaped Curve IV
Ich bedanke mich
für Anregungen und/oder Unterstützung bei
A.Gärtl, Willi Jeschke und vor allem bei
Torsten Sillke.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
Diese
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2000 Jürgen Köller
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