Exponentialfunktion
Inhalt dieser Webseite
Was ist die Exponentialfunktion?
Graph
Eulersche Zahl
Ableitung
Taylor-Reihe
Stammfunktion
Bekannte Funktionen
Umkehrfunktion
Allgemeine Exponentialfunktion
Steiners Problem
Zerfallsgesetz
Exponentialfunktion im Internet
Schlussbemerkung
Referenzen.
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Was ist die Exponentialfunktion?
Die Exponentialfunktion ist die Funktion f mit f(x)=ax, wobei a eine positive reelle Zahl ist. 
Der größtmögliche Definitionsbereich ist D=|R.


Im engeren Sinne ist die Exponentialfunktion die Funktion f mit f(x)=ex, wobei e die eulersche Zahl e=2,71828... ist. Sie heißt auch e-Funktion und der Funktionsterm auch exp(x).

Die Funktion mit f(x)=ex ist Thema dieser Webseite.

Graph   top
...... Der Graph geht durch den Punkt P(0|1).

Er verläuft für x gegen Unendlich über alle Grenzen und für x gegen minus Unendlich gegen Null. 
Die x-Achse ist Asymptote.

Er ist echt monoton steigend.

Ein zweiter, markanter Punkt ist Q(1|e).


Eulersche Zahl  top
Eulersche Zahl als Grenzwert
Die Zahl e ist der Grenzwert der Folge mit a(n)=(1+1/n)n für n gegen Unendlich.


...... Man kann sich e nähern, wenn man den Graphen der Funktion a(x)= (1+1/x)x mit D=|R+ zu Hilfe nimmt.

Die Glieder der Folge scheinen sich allmählich der Zahl e zu nähern.


Deutlicher wird dieses Verhalten, wenn man die ersten Glieder  der Folge a(n)=(1+1/n)n ausrechnet. 
...n...
2
3
4
5
6
10
100
1.000
10.000
...a(n)...
2
2,25 
2,370
 2,441
2,488
2,521
2,594
2,705
2,717
2,718
Die Zahlen sind auf drei Dezimalen gerundet. 

Beweis
Trotz dieser Überlegungen muss die Existenz der Zahl e bewiesen werden. Geeignet dazu ist das erste Konvergenzkriterium "Jede beschränkte und monotone Zahlenfolge ist konvergent". Es muss also bewiesen werden, dass die Folge a(n)=(1+1/n)n für n gegen Unendlich nach oben und unten beschränkt und monoton (steigend) ist.

Binomische Formel
Ausgangspunkt ist die binomische Formel. Sie lautet:
(a+b)n=C(n,0)anb0+C(n,1)an-1b1+C(n,2)an-2b2+...+C(n,n-2)a2bn-2+C(n,n-1)a1bn-1+C(n,n)a0bn
mit 
.
Für a=1 und b=1/n ist 
(1+1/n)n =C(n,0)*1+C(n,1)(1/n)+C(n,2)(1/n²)+...+C(n,n-2)/(1/nn-2)+C(n,n-1)/(1/nn-1)+C(n,n)/(1/nn).

Untere Schranke
Da jeder Summand positiv ist, gilt a(n)>0.

Obere Schranke
Zur Bestimmung einer oberen Schranke muss man etwas weiter ausholen.
Die binomische Formel lautet in der vertrauten Schreibweise "n über k" und mit dem Summensymbol 
.
Den k-ten Summanden formt man um.
...
Dann gilt
....
Man schätzt die Summe ab. Ersetzt man jeden Klammerterm durch 1, so vergrößert man die Summe.
Es gilt dann (1+1/n)n
.
Wird jeder Faktor im Nenner, der größer als 2 ist, noch durch die kleinere Zahl 2 ersetzt, so ist 
.
Es entsteht eine geometrische Reihe, deren Summe man bestimmt und abschätzt.
Ergebnis: Die Zahl 3 ist eine obere Schranke. Es gilt a(n)<3 für hinreichend große Zahlen n.

Monotonie
Zu zeigen ist a(n+1)>a(n).
Dazu berechnet man analog zu a(n) die Summe für a(n+1). 
Es gilt 
....
Dann  ist in Analogie dazu
....
Zuerst stellt man fest, dass a(n+1) einen Summanden mehr hat. Außerdem ist in den Klammern der Nenner n+1 jeweils kleiner der Nenner n. Es wird also in der Summe von a(n+1) von 1 weniger subtrahiert. Daraus folgt, dass a(n+1)>a(n) gilt.

Quelle: (2), Seite 98ff.

Eulersche Zahl als Dezimalzahl
Die eulersche Zahl ist eine transzendente Zahl und kann nur näherungsweise als Dezimalzahl angegeben werden, dann aber in gewünschter Genauigkeit. 

Der Taschenrechner TI 30 zeigt e=2.718281828. 

Auf einer Webseite der Universität von Utah (URL unten) wird die Zahl e auf 10.000 Ziffern genau angezeigt. Das sind die ersten 50 Dezimalen. 
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... 


Ableitung   top
Die Funktion f(x)=ex stimmt mit ihrer Ableitung überein. Es gilt also f '(x)=ex  oder (ex)' = ex.


Zum Beweis
...... Es wird zunächst gezeigt, dass die Gerade g mit y=x+1 die Exponentialkurve in P(0|1) berührt, dass also die Steigung in A auch 1 ist.

 
...... Dazu werden die Zahlenfolge 1, 1/2, 1/3, ...1/n und auf der Geraden g die Punktfolge P1(1|1+1), P2(1/2|1+1/2), P3(1/3|1+1/3), ..., Pn(1/n+1/n) vorgegeben.
Man stelle sich nun eine Folge von Funktionen vor, deren Graphen nacheinander durch die Punkte P1, P2, P3, ..., Pn  verlaufen: y=a1x, y=a2x, y=a3x,  ... , y=anx
Die erste Kurve durch P1 ist rot dargestellt.
Der Graph von y=a1x verläuft durch P1(1|1+1); das bedeutet a1 =1+1=(1+1/1)1
Der Graph von y=a2x verläuft durch P2(1/2|1+1/2); das bedeutet a2 =(1+1/2)2
...
Der Graph von y=anx verläuft durch Pn(1/n|1+1/n); das bedeutet an =(1+1/n)n
Daraus folgt: Geht n gegen Unendlich, so geht Pn gegen A(0|1) und an  gegen e.
Ergebnis: Die Gerade berührt die Kurve in A(0|1) und damit ist die Steigung im Punkte A(0|1) gleich 1. 

Das kann man mit dem Differentialquotienten so ausdrücken.

Damit ist die Hauptarbeit getan. Ein letzter Schritt folgt.
...
Das war zu beweisen.
(1)

Taylor-Reihe  top
Es ist möglich, Funktionen in der Umgebung bestimmter Stellen durch Potenzreihen darzustellen.
Die Taylorreihe, entwickelt um x=0,  lautet: 
f(x)=f(0)+[f '(0)/1!]x+[f ''(0)/2!]x²+[f '''(0)/3!]x³+ ... .


Für die Exponentialfunktion gilt f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)= ... = 1
Dann ist  ex= 1 + x/(1!) + x2/(2!) + x3/(3!) + x4/(4!) + ...
oder ex = 1+x+(1/2)x2+(1/6)x3+(1/24)x4+(1/120)x5+(1/720)x6+(1/5040)x7+  ... .
Setzt man x=1, so erhält man die Darstellung der Zahl e durch die Reihe 
e==1+1+(1/2)+(1/6)+(1/24)+(1/120)+(1/720)+(1/5040)+  ... .

...... Die Reihe konvergiert schnell, wie das kurze BASIC-Programm demonstriert.

Der Tabellenwert ist e = 2.71828 18... .


Stammfunktion  top
Die Stammfunktion von f(x)=ex ist F(x)=ex +C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.
Die Stammfunktion ermöglicht die beiden folgenden Flächenberechnungen. 


Und das ist eine Veranschaulichung der Ergebnisse.

Und das ist eine kleine Spielerei.

Bekannte Funktionen  top
Fallende Exponentialkurve
...... Spiegelt man den Graphen der Funktion mit f(x)=ex  an der y-Achse, so entsteht die Funktion mit g(x)=e-x.

Der Graph geht durch den Punkt P(0|1).

Er verläuft für x gegen Unendlich gegen Null und für x gegen minus Unendlich über alle Grenzen. Die x-Achse ist Asymptote.

Sie ist echt monoton fallend.


Hyperbelfunktionen

cosh(x)=(1/2)(ex +e-x)
Cosinus Hyperbolicus

sinh(x)=(1/2)(ex-e-x)
Sinus Hyperbolicus
 


tanh(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)
Tangens Hyperbolicus

sig(t)=1/(1+e-t)
=(1/2)[1+tanh(t/2)]

Sigmoidfunktion


Mehr über die Funktion Cosinus Hyperbolicus findet man auf meiner Webseite Kettenlinie.


Gedämpfte Schwingung f(x)=10e-(1/8)xsin(x)

Gaußsche Fehlerkurve f(x)=exp(-x²)


Es gilt...


Umkehrfunktion   top
...... Da der Graph der Exponentialfunktion monoton steigend ist, ist die Funktion als Ganzes umkehrbar. 
Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man die Exponentialkurve an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt. 
Für den Funktionsterm der Umkehrfunktion gibt es die Symbole loge(x) oder ln(x). Der Definitionsbereich ist D=|R+, der Wertebereich W=|R.
Ableitung
Behauptung: Die Ableitung der Funktion g(x)=ln(x) ist g'(x)=1/x.
Herleitung
Es gilt y=ln(x) oder x=ey
Für die Ableitung gilt allgemein g'(x)=1/f'(y), hier also [ln(x)]'=1/(ey)=1/x, wzbw..


Allgemeine Exponentialfunktion     top
Die Verallgemeinerung von f(x)=ex ist f(x)=c*ekx. Dabei sind c und k reelle Zahlen.
Die Wirkungen der Konstanten c und k erkennt man an den folgenden Kurvenscharen.

 f(x)=ekx

f(x)=cex

f(x)=2e(1/2)x


Oben wurde die Funktion mit f(x)=ax (a>0) als allgemeine Exponentialfunktion vorgestellt. 
Sie ist auch eine Exponentialfunktion, denn es gilt f(x)=ekx mit k=ln(a).
Zum Beweis
Es ist zu zeigen: eln(a)x =ax oder [eln(a)]x =ax.
Diese Gleichung ist richtig, weil eln(a)=a ist. 
Ergebnis: Man kann die Funktion f(x)=ax (a>0) als f(x)=eln(a)x schreiben.

Steiners Problem   top
...... Die Frage heißt: 
An welcher Stelle x hat die Funktion f(x)=x(1/x) ein Maximum?
Antwort: Die Maximalstelle ist x=e mit f(e)=e(1/e) =1,44... 
(Gefunden bei MathWorld)
Zum Beweis
Es gilt f(x)=x(1/x)=e(1/x)ln(x).
Dann ist f '(x)=[(1/x)ln(x)]'*e(1/x)ln(x)=[(1/x²)-(1/x²)ln(x)]e(1/x)ln(x)=(1/x²)[1-ln(x)]e(1/x)ln(x).
Dann ist f '(x)= 0 für ln(x)=1 oder x=e, wzbw..


Es gilt ferner lim[n(1/n)]=1 für n gegen Unendlich. (3) Seite 421.f

Zerfallsgesetz   top
Die Exponentialfunktion beschreibt viele Vorgänge, bei denen es um Zu- und Abnahmen geht. 
Ein typisches Beispiel ist ein Gesetz aus der Kernphysik, in dem es um den Zerfall instabiler Kerne geht, das Zerfallsgesetz. 


Betrachtet man eine Probe mit N instabilen Kernen, so hängt die Abnahme dN/dt instabiler Kerne im statistischen Mittel von der Anzahl N ab, und zwar ist dN/dt~N. 
Das führt zum Ansatz dN/dt= -kN(t) oder N'(t)= -kN(t). Die Variable k ist eine Konstante.
Diese Differentialgleichung wird gelöst von der Exponentialfunkton N(t)=N0e-kt
Die Variable N0 wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Zum Zeitpunkt t=0 ist N=N0.

Setzt man N(t)=(1/2)N0 in die Gleichung N(t)=N0e-kt, so ist (1/2)N0=N0e-kT1/2.
Das führt nach Logarithmieren der Gleichung zu ln(1)-ln(2)= -k T1/2 oder k==ln(2)/T1/2  oder k=0,693/T1/2.
Das ist so zu deuten: Ist im Mittel die Hälfte der instabilen Kerne zerfallen, so ist die "Halbwertszeit" T1/2 verstrichen. Die Halbwertszeit ist eine kennzeichnende Größe radioaktiver Stoffe.
Ergebnis: Das Zerfallsgesetz ist N(t)=N0e -(0,693/T1/2)*t.


Gerne würde ich an dieser Stelle eine Abbildung aus dem Computermagazin 64'er aus den 1980er Jahren zeigen. Wächter über das Atomkraftwerk Grohnde bei Hameln verfolgten über Monate die radioaktive Strahlung in der Nähe. Mit einem Geigerzähler und dem Homecomputer C64 registrierten sie sie und erfassten auch zufällig den dramatischen Anstieg nach der Tschernobyl-Katastrophe von 1986.

...... Leider habe ich das Diagramm nicht aufbewahrt. So muss ich mich mit einer Skizze aus dem Gedächtnis begnügen. Sie zeigt das Plateau mit der natürlichen Strahlung, dann das starke Ansteigen unmittelbar nach dem Unfall, den relativ schnellen, exponentiellen Abfall und schließlich die Einstellung auf ein höheres Niveau. 
Mit dieser zusätzlichen Strahlung müssen wir seitdem leben.

Schlussbemerkung  top
In der Schule kombiniert man gerne die Exponentialfunktion mit einer ganzrationalen Funktion.

f(x)=(x²-3x+2)ex

f(x)=(x²-3x+2)e-x

f(x)=(4x-4)ex-1
f(x)=(x²-x)e(x²-x)


So wird die Routine der Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen verlassen. Die Schüler lernen mit der Exponentialfunktion eine weitere Klasse von Funktionen mit vielen Anwendungen kennen. 

Exponentialfunktion im Internet       top

Deutsch

Matroids Matheplanet
Die unbezwingbare e-Funktion

Wikipedia
Exponentialfunktion, Exponentielles WachstumEulersche ZahlLogarithmus, Eulersche Formel
Bernoullische Ungleichung, Sigmoidfunktion

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Exponential Functione, e ApproximationsSteiner's Problem, Euler FormulaEinstein FunctionsGudermannian functionTractrix, Hyperbolic SecantGaussian Function

Peter Alfeld  (Department of Mathematics, University of Utah) 
Euler's number to 10,000 digits

Rick Parris
Winplot

Wikipedia
Exponential functionExponential growth, E (mathematical constant)Logarithm, Euler's formula, Steiner's problemSigmoid functionEinstein function


Referenzen   top
(1) Lambacher/Schweizer: Analysis, Stuttgart, 1954 
(2) Heinz Nickel (Hrsg.): Analysis für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M und Zürich, 1965
(3) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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©  September 2012 Jürgen Köller

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