Was ist Hüpfer?
Hüpfer ist eine Computergraphik, genauer ein Fraktal.

Bei Vorgabe eines Anfangspunktes werden mit Hilfe zweier Formeln nacheinander die Koordinaten immer weiterer Punkte berechnet und sofort gezeichnet. Die Punkte schließen sich zu Figuren zusammen. Das Besondere ist und so kommt der Name Hüpfer zustande, dass die Punkte um den Anfangspunkt herum in immer meist größeren Abständen springen. Das konnte man in den achtziger Jahren, als diese Grafiken aufkamen, bei den damals langsameren Computern gut erkennen. Heute sind die Bereiche, in denen gerade gezeichnet wird, vergleichbar mit pulsierenden Ringen, in die sich Kaskaden von Punkten ergießen. 

Hüpfer ist die deutsche Bezeichnung von Hopalong (hop-along, weiterhüpfen).

Der Erfinder von Hopalong ist Barry Martin von der Aston University in Birmingham/England. A. K. Dewdney beschrieb diese Fraktale im Magazin Scientific American im September 1986 und machte sie so bekannt. Die deutsche Ausgabe Spektrum der Wissenschaft verbreitete Hopalong in Deutschland in der Novemberausgabe 1986 mit einer Übersetzung dieses Artikels in der Rubrik Computer-Kurzweil . 

Es folgen drei typische Hüpfer-Bilder.

a=0.4, b=1, c=0

a=0.7, b=1, c=0

a=0.01, b= -0.3, c=0.003

Algorithmus    top
In Dewdneys Aufsatz findet man das folgende Programm.

......

Erklärung: Der Ausgangspunkt der Grafik ist der Punkt (x,y)=(0,0).  Nach zwei getrennten Formeln werden xx und yy berechnet. Dabei tauschen sich x und y aus. Dann wird zum Plotten "umgeladen". Das wiederholt sich bis num erreicht wird. Die Variable i steht für einen Punkt, num ist die Anzahl der Punkte.  Die Vorzeichenfunktion SIGN(x) ist gleich 1, wenn x>0, -1 wenn x<0 ist; SIGN(0)=0.  ABS(x) ist die Betragsfunktion und ermöglicht ein Wurzelziehen.

Es gibt im Programm vier Variable, die eine Figur bestimmen. Das sind die Parameter (a, b, c) und die Anzahl der Punkte num. 
Wer sich mit Hüpfer beschäftigen will, sollte - in welcher Programmiersprache auch immer - dieses einfache Programm ausprobieren. 

Fractint    top
Die drei Bilder oben wurden mit dem Programm Fractint erzeugt. Fractint ist ein Programm, das der Mandelbrotmenge (Apfelmännchen) gewidmet ist. Man kann das Freeware-Programm aus dem Internet (URL unten) holen. Auf meiner Seite Apfelmännchen habe ich die Version 18.21 beschrieben.
So nebenbei kann man auch Hopalongs erzeugen. Man markiert unter Fractals/Fractal Formula...Hopalong und erhält ein Fenster mit den eingestellten Parametern a=0.4, b=1 und c=0 und dem Bereich ist -2<x<3 und -1.625<y<2.625. Mit OK bestätigt man die eingestellten Werte und es entsteht ein Hopalong. Das Programm verwendet eine Endlosschleife und man hat damit keine Informationen über die Anzahl der bereits gezeichneten Punkte. 

......

Wenn man den Entstehungsvorgang früh genug abbricht, erhält man abgeschlossene Figuren wie oben.  Mit der Zeit wachsen die Figuren jedoch über den Bilderrahmen hinaus (links). Für die Parameter a=0.01, b=0.3 und c=0.0003 ergab sich nach einer halben Stunde das nebenstehende Bild.

Wie man sieht, sind die Punkte nach bestimmten Regeln gefärbt. Jedoch sind Hüpfer eher wegen der Formen interessant. 

Experimente    top
Wie viele Leser von Spektrum der Wissenschaft habe ich damals dieses kleine Programm sofort ausprobiert. In den 90iger Jahren benutzte ich dann ein Programm in Visual Basic 3, das ich jetzt wieder ausgegraben habe. Es soll gleich vorweg angemerkt werden, dass es ein "Arbeitsprogramm" ist. 

(500, 0.21, 100,150000)

(150, 0.22761, 100, 300000)

(300, 0.21, 50, 750000)

(366, 0.07, 50,1000000)

(500, 0.833, 120, 40000)

(150, 0.033, -80, 2000000)

(300, 0.405, 150, 600000)

Tipps    top
>Es soll noch einmal hervorgehoben werden, dass man am besten ein eigenes Programm schreibt um Hüpfer zu studieren. Dann kann man auch leicht Abänderungen des Programms vornehmen und lernt die große Vielfalt der Formen kennen.

Einige Tipps:
>Probiere alle möglichen Zahlen (auch negative Zahlen) für a,b,c,num aus.
>Lasse die Funktion INT(x) weg. Es zeigt sich, wie wichtig diese "Sprungfunktion" für einen Muster-Reichtum ist.
>Lasse die Funktionen SQR(x) und dann auch ABS(x) weg. 
>Ersetze x durch 0.9999*x. Es ist erstaunlich, dass trotz der Nähe zu 1 wegen der vielen Iterationen die Grafiken klein bleiben.
>Ändere die Vorzeichen. Es wird deutlich, wie bestimmend sie sind. 
>Bringe Farbe in den Hüpfer.
>Verwende statt des Standardterms Sgn(x) * Sqrt((Abs(b * x - c)) andere Terme.
Beispiel:

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Hüpfer im Internet  top

Deutsch:

Georg Wengler
Punktmengen durch Iteration  (Hüpfer), Applet

Englisch:

David Imai
Hopalong Image Generator an interactive Java applet

James Henstridge
Hopalong Orbit Fractal  (Applet)

Po Shan Cheah  (Java Programs) 
The "hopalong" strange attractor  (Run it. Get the source code.)

NN ("Fluxury") 
Hopalong Fractals   (Applet) 

Paul Bourke
Fractals and Computer Graphics

Referenzen    top
A.K.Dewdney: Computer-Kurzweil, Spektrum der Wissenschaft, November 1986