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Was sind Kolams, was sind Sona?
Kolams sind indische Bodenmalereien; Sona (Einzahl Lusona)
sind afrikanische Sandmalereien.
Ihnen ist nur gemeinsam, dass man Punktmuster als Merkhilfe
vorgibt und dann um die Punkte herum Linien zieht, so dass jeder Punkt
eingekreist wird. Es entstehen ansehnliche symmetrische Figuren in großer
Vielfalt.
Kolams und Sona sind Gegenstand
der Ethnomathematik. Am Ende dieser Webseite gibt es dazu Links.
Beispiel eines Kolams, Beispiel
eines Lusona
Kolams top
Hintergrund
Ein Kolam ist eine südindische Bodenmalerei.
In bestimmten Regionen in Südindien schmücken
Frauen täglich die Böden vor den Häusern mit kunstvollen,
drehsymmetrischen Figuren. Sie zeichnen dazu mit Reismehl Punktmuster als
Merkhilfe und dann Linien um die Punkte herum. Dazu lassen sie mit Geschick
Pulver zwischen Zeigefinger und Mittelfinger rieseln und portionieren mit
dem Daumen.
Die oft komplizierten Muster werden in einer Familie
von Generation zu Generation weiter gegeben und haben einen religiösen
Hintergrund.
Diese "Linien-Kolams" heißen auf der englischen
Wikipedia-Seite stroke kolams, in Tamil neli kolam, kambi kolam oder sikku
kolam.
In anderen Regionen verzichtet
man meist auf Punktgitter und Linien. Stattdessen werden farbige Flächen
oder Blumenteppiche angelegt. Reismehl wird durch Steinpulver oder Kreidepulver
ersetzt, oft zusammen mit natürlichen oder synthetischen Farbpulvern.
Die immer drehsymmetrischen Bilder werden zusammen mit den Linien-Kolams
auf Feiern, auf Festivals, in Wettbewerben und im Internet dargeboten.
Diese Kolams haben oft den Namen Rangoli.
Einfaches Beispiel
... ... |
Gibt man neun Punkte in Quadratform vor, könnte
ein 3x3-Kolam so aussehen. |
... ... |
Kolams werden durch geschlossene, übergreifende
Linien erzeugt.
In diesem Falle entsteht die Figur aus den drei Randkurven
der gelben Flächenstücke. |
Beispiel
eines Kolams
Den Aufbau eines Kolams versteht
man, indem man nach geschlossenen Linien sucht. Sie werden durch eine Gelbfärbung
sichtbar.
- Da sind vier Außen-Figuren und ein zentraler
Kreis.
- In der Mitte liegt ein abgerundetes Kreuz.
- Ein Quadrat mit Zipfeln umschließt die Figur.
Das Kolam entsteht, indem die geschlossenen Linien gezeichnet
werden. - Mehrere geschlossene Linien, das ist typisch für Kolams.
Zeichenübungen
So wie die Mandalas fernöstlicher
Kulturen bieten sich auch die Linien-Kolams für eigene Tätigkeiten
an.
Ich zeige als Anregung einige Bilder,
die mit MSPaint gezeichnet wurden. Das Programm steht jedem zur Verfügung,
der Windows benutzt.
| Die folgenden Bilder entstanden aus fünf Zellen
wie fast alle Zeichnungen auf dieser Seite. |
 .................................................. |
1
2
...
3
...
4
Natürlich geht
es auch ohne Computer, es genügen ein Bleistift mit Radiergummi oder
ein Kugelschreiber und Papier.
- Man zeichnet wie oben einen quadratischen Rahmen und
entwirft im Inneren ein Muster.
- Man zeichnet ein einfaches Punktmuster und versucht,
dazu möglichst viele Figuren zu finden.
- Man schaut sich ein Video eines einfachen Kolams an,
hält es an, zeichnet die halbfertige Figur ab und dann ohne Video
zu Ende.
- Man gibt ein einfaches Kolam vor und verändert
es.
_ ...
Sona top
Hintergrund
Sona sind traditionelle Zeichnungen mancher Bantu-Völker
wie der Chokwe in einem Gebiet von Angola und Sambia im südlichen
Afrika.
Erzähler zeichnen Sona mit den Fingern in den glatt
gestrichenen Sand, während sie dazu eine Geschichte erzählen.
Ohne den Finger abzusetzen wird eine geschlossene Linie gezogen.
Die Linie führt um Punkte eines vorher festgelegten Musters herum,
kreuzt sich immer wieder und kehrt schließlich zum Anfangspunkt zurück.
Die Zeichnungen illustrieren die Geschichten.
Einfaches
Beispiel
Die Figur zu einem 4x3-Gitter ist ein Lusona. Sie besteht
also aus einer geschlossenen Linie ohne Anfang und Ende.
... ... |
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Da die Sona Geschichten ergänzen,
stellen sie oft Tiere dar.
Antilope
... ... |
Das kompakte Lusona wird zur einer Antilope ergänzt.
Die Zeichnung ist nicht ohne Ironie. |
Leopard
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Das Bild zeigt einen Leoparden mit ausgesteckten Tatzen,
links der kleine Kopf, rechts das Schwänzchen.
Genauer: In der Zeichnung sind auch zwei Junge zu erkennen.
Sie liegen nebenander und entgegengesetzt.
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Quelle (1)
Drei
Vögel
... ... |
Es gibt auch Sona, bei denen eine Figur mehrmals auftritt.
Sie werden so verbunden, dass eine geschlossene Linie beibehalten wird.
Hier sind es drei Vögel, in meiner Vorlage sind es
zehn (!). |
Quelle (2)
Eine
Fabel
... ... |
Das nebenstehende Lusona wird auch mit einer geschlossene
Linie gezeichnet.
Vier fast gleiche Figuren werden miteinander verknüpft.
Die abstrakte Figur wird lebendig, wenn man die Fabel
kennt, die während des Zeichnens erzählt wird. |
... ... |
"Sambálu, das Kaninchen
(Punkt B), entdeckt eine Salzmine (Punkt A). Sofort fordern der Löwe
(Punkt C), der Jaguar (Punkt D) und die Hyäne (Punkt E) den Besitz,
indem sie die Rechte des Stärkeren geltend machen. Das Kaninchen,
das die unantastbaren Rechte der Schwachen bekräftigt, baut daraufhin
schnell einen Zaun, um die Mine vor allen Eindringlingen fern zu halten.
Man beachte, dass man nur von B
aus zu Punkt A gelangen kann, ohne die Linie, die den Zaun darstellt, zu
überschreiten." |
Quelle (3)
Zeichenübungen
Sona zu zeichnen ist wegen der
geschlossenen Linie schwierig.
Im nächsten Kapitel wird darauf
eingegangen.
Etwas Mathematiktop
Spiegelmodell
| ... |
An Hand dieses 4x3-Lusona soll beschrieben werden,
wie die Figur an Hand einer Modellvorstellung "mathematisiert"
wird. .................... |
... ... |
Man legt ein Rechteck um die 4x3 Punkte und stellt sich
vor, dass das Rechteck innen verspiegelt ist. Schickt man z.B. von oben
links einen Lichtstrahl in das Rechteck, so wird er vielfach reflektiert
und beschreibt einen Weg wie links angefangen.
Der eingezeichnete Strahl ist nicht erlaubt. Durch Gitter
wird der Weg gesteuert. |
... ... |
Es wird ein Gitter in das Rechteck gelegt.................................................................................. |
 ... |
Dann wird ein Lichtstrahl so in das Rechteck geschickt,
dass er sich seinen Weg genau zwischen den vorgebenen Punkten bahnt. |
... ... |
Schließlich gelangt er zum Ausgangspunkt zurück;
er durchquert alle Quadrate auf Diagonalen.
Zurück bleibt ein Gitter aus auf der Spitze stehenden
Quadraten. |
... ... |
Das schwarze Gittter wird gelöscht........................................................................................... |
... ... |
Man erkennt in dem roten Gitter aus Lichtstrahlen unschwer
das 4x3-Lusona.
Die Rundungen der Begrenzungslinie kann man dadurch erklären,
dass die Wände des Rechtecks als Spiegel so wirken........................................................ |
Auf
der Suche nach Sona
Es stellt sich die Frage, welche rechteckigen Figuren
m*n ein Lusona sind.
Dazu vier Beispiele:
Nicht alle rechteckigen Figuren sind also ein Lusona.
Diese vier Beispiele veranschaulichen
folgende Regeln.
- Eine geschlossene Linie ergibt sich nur, wenn
m und n teilerfremd sind.
- Sind mehrere geschlossenen Linien nötig, um die
Figur zu erzeugen, so ist die Anzahl der Kurven gleich dem größten,
gemeinsamen Teiler.
Die Rechtecke zur Leopardenfamilie
haben die Daten 3x10 und 2x3, ihre Maßzahlen sind teilerfremd.
... |
... ... |
Die Rechtecke überlappen sich so, dass sie zusammen
weiter durch eine geschlossene Linie erzeugt werden. |
Innere
zweiseitige Spiegel
| ... |
Die kompakten Sona werden interessanter, wenn man im
Inneren Muster erzeugt. |
... ... |
Im einfachsten Fall löst man eine Kreuzung auf und
ersetzt die Ecken durch Rundungen.
Das kann man im Spiegelmodell so erklären, dass man
auf eine Kreuzung einen zweiseitigen Spiegel stellt.
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Mit dem Einsetzen eines Spiegels
ist eine Figur entstanden, die nicht mehr durch eine geschlossene Linie
entsteht.
... ... |
Man benötigt zwei geschlossene Linien, um die Figur
zu erfassen. |
... ... |
Man kann auch mehrere Spiegel ins Innere stellen.
Die rechte Figur ist ein Lusona. |
Es stellt sich die Frage,
wo die Spiegel stehen müssen, damit die Figur ein Lusona bleibt.
Dazu werden alle möglichen Positionen von bis zu
fünf Spiegeln durchgespielt.
...
Ergebnis: Unter den 42 untersuchten Figuren sind acht
ein Lusona.
... ... |
Es gibt übrigens weitere Sona, wenn man zweiseitige
Spiegel auch am Rand zulässt. |
Im Falle eines Innenspiegels
gibt es eine einfache Regel.
Dazu muss zum 4x3-Lusona ein Muster aus dunklen
und hellen Feldern ermittelt werden.
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Man legt auf das 4x3-Lusona das Gitter.................................................................. |
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Man kommt zu einem Muster, wenn man die Linie verfolgt
und dabei jedes zweite Quadrat grau färbt.
Färbt man die linke obere Ecke grau, dann geht man
zwei Quadrate nach rechts und ein Quadrat nach unten. Dieses Quadrat wird
wieder grau und so fort. |
... ... |
Die Regel besagt, dass immer da, wo 2x2-Quadrate aneinanderstoßen,
ein Spiegel stehen kann.
Das sind die drei oben eingezeichneten Einzelspiegel und
aus Symmetriegründen kommen noch vier dazu.
Das wird durch die Untersuchung der 36 Figuren oben bestätigt. |
... ... |
Schreibt an Stelle der dunklen Felder eine Eins und der
hellen Felder eine Null, so erhält man eine Matrix aus Nullen und
Einsen.
Sie kann einer 4x3-Figur zugeordnet werden und sie wird
durch die Matrix eindeutig beschrieben.
Umgekehrt kann man neue Muster aus 0 und 1 entwerfen und
zu neuen Sona gelangen.
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Offenbar gilt die Regel nicht
für kompakte Figuren, die nicht aus einer geschlossenen Linie gezeichnet
werden können. Das beweist das folgende Gegenbeispiel. - Die Färbung
ist auch nicht mehr eindeutig.
...
Paulus Gerdes
Beim Recherchieren im Internet erkennt man, dass die
Lusona-Forschung durch den Wissenschaftler Paul Gerdes begründet und
vorangetrieben wurde. Er verfasste zu diesem Thema zahlreiche Schriften
und sammelte um sich viele Schüler, die sich mit Lusona befassten.
Er war Holländer, ab 1976 Professor der Mathematik
in Mosambik und nahm dort auch die Staatsbürgerschaft an.
Verschiedenes
top
Keltische Knoten
Aus dem 3x3-Kolam und dem 4x3-Lusona
werden keltische Knoten, wenn man die Linien dicker wählt und längs
einer Linie abwechselnd Unterführungen und Brücken setzt.
Indianisches
Sandbild
... ... |
Sandbild der Nordamerikanischen Ureinwohner,
fixiert mit Haarfestiger,
außerhalb des Kreises vierstrahlig,
hergestellt für Touristen,
kauften wir irgendwo in der Nähe des Grand Canyon,
USA. |
Deutsche
S(tr)andmalerei
... |
 .......................... |
Springertour
... ... |
Bei der Springertour geht es darum, dass der Springer
sich so auf dem Schachbrett bewegen soll, dass er (auch) eine geschlossenen
Linie beschreibt. Links steht eine Lösung für das kleinere 6*5-Feld.
Mehr auf meiner Seite Haus
des Nikolaus. |
Referenzen top
(1) South African History Online (www.sahistory.org.za)
(2) https://www.zukunft-irular.de/neue-seite/ (Sona-Geometrie:
Zehn Vögel)
(3) http://www.math.buffalo.edu/mad/special/african-geometry.html
(4) https://www.researchgate.net/publication/256932750_Sona_drawings_mirror_curves_and_pattern_designs
Kolams und
Sona im Internet top
Deutsch
arte.tv
Kolam:
Die flüchtige Kunst der Inderinnen
Henning Krause (Spektrum)
Ethnomathematik
- dargestellt am Beispiel der Sona Geometrie
Labbé
pulli-kolams,
Was
sind Sona?
M.
Weber, A. Mischau (Mathematisches Panorama)
Mathematik
und (bzw. in) andere(n) Kulturtechniken (.pdf-Datei)
Wikipedia
Kolam,
Sona
(Mathematik), Paulus
Gerdes,
Ethnomathematik,
Sandbild,
Sandanimation
Englisch
Darrah Chavey
Mathematical
Experiments with African Sona Designs
Darrah Chavey
Constructing
Symmetric Chokwe Sand Drawings
Forkphorus
Drawing
program
Ljiljana Radovic
MIRROR
CURVES
Marcia Ascher (spektrum.de)
Ethnomathematik:
Die Kolam-Figuren Südindiens
Mattia De’ Michieli Vitturi
Sona
drawings, mirror curves and pattern designs
NN
Sona
- Sand Drawings from Africa
Paulus Gerdes
m-Canonic
mirror curves
Paulus Gerdes
Geometria
Sona de Angola Matemática duma Tradição Africana
Portugiesisch, 191 Seiten, 342 Abbildungen
Slavik Jablan, Ljiljana Radovi,
Radmila Sazdanovi Ana Zekovi
Knots
in Art
South African History Online
Sona
Patterns - Revisiting the Contributions of the People in Sub-Saharan Africa
to Modern Mathematics
Wikipedia
Kolam,
Rangoli,
Lusona,
Sandpainting,
Sand
animation, Sand
mandala,
Ethnomathematics,
Zenigata_Sunae
Youtube
Pongal'
theme for Chennai's Kolam and Rangoli competition
Ein Treffen der Künstlerinnen
Youtube
Angolan
Sand Drawings
Einige Zeichnungen und Geschichten
Youtube
CHIKKU
KOLAM WITH 10-2 DOTS | HOW TO DRAW A SIKKU KOLAM | NELI KOLAM
Beispiel einer indischen Bodenmalerei
Youtube
Kolam
designs
Riesensammlung von Videos
Schlussbemerkung top
Ein Besucher meiner Seiten, Volker Sayn, hat mich auf
die Kolams und Sona hingewiesen, die ich vorher zu meiner eigenen Verwunderung
nicht kannte. Ich habe für diese Webseite seine umfangreichen Unterlagen
vewendet und bedanke mich.
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vorhanden.
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https://www.mathematische-basteleien.de/
© März 2023 Jürgen
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