Regelmäßiges Zwölfeck
Inhalt dieser Seite
Was ist das regelmäßiges Zwölfeck?
Größen des Zwölfecks
Konstruktion eines Zwölfecks
Diagonalen
Parkettierung und Zwölfeck
Unregelmäßige Zwölfecke
Ein zwölfeckiger Turm
Zwölfeck im Internet
Referenzen
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Was ist das regelmäßiges Zwölfeck?
Das regelmäßige Zwölfeck ist ein Vieleck mit

    12 gleich langen Seiten,
    12 gleich großen Innenwinkeln. 

Das Zwölfeck heißt auch Dodekagon.
Im Englischen ist der Name Dodecagon üblich. Man findet auch 12 sided figure


Auf dieser Seite wird das regelmäßige Zwölfeck meist einfach Zwölfeck genannt. 

Größen des Zwölfecks top
Winkel im Zwölfeck


Formeln

Fünf Diagonalen

Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe

Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d2 ,d3 , d4 , d5 und d6, die Höhe h,der Flächeninhalt A  und der Umfang U errechnen.

Es gilt weiter d6=2R und h=2r. Ferner ist d2=R.

Zur Herleitung der Formeln
Auf meiner Seite Regelmäßiges Vieleck werden die folgenden Formeln besprochen.

Setzt man n=12, so ergeben sich die oben stehenden Formeln. 
Unter anderem werden die weniger bekannten Beziehungen sin15°=[sqrt(6)-sqrt(2)]/4 und cos15°=[sqrt(6)+sqrt(2)]/4 verwendet. 


Eine einfache Flächenformel
...... Die Fläche eines Kreises kann man bei einem Fehler von 4,5% mit der Fläche von drei Quadraten veranschaulichen. Die Quadrate haben den Umkreisradius als Seitenlänge. 

Für das Zwölfeck gilt die Beziehung exakt. 

Zum Nachweis berechnet man 3R² und gelangt zu A.

Kürschak's Tile
Das ist ein eleganterer Weg um A=3R² einzusehen. 

Konstruktion eines Zwölfecks top
Man zeichnet zuerst ein Sechseck.
...... Man zeichnet einen Kreis und trägt auf dem Kreisbogen sechsmal den gleichen Radius ab. 
Die Verbindungslinien der Schnittpunkte bilden ein Sechseck. 


...... Dann zeichnet man vom Mittelpunkt aus die Senkrechten zu den Sechseckseiten. 
Links wird eine der sechs Senkrechten konstruiert.
Man erhält die Eckpunkte des Zwölfecks. 

Diagonalen   top
Das regelmäßige Vieleck hat n(n-3)/2 Diagonalen.

Dann hat das Zwölfeck 54 Diagonalen.


>6 Diagonalen verbinden gegenüberliegende Eckpunkte.
>12 Diagonalen verbinden jeden zweiten, 12 jeden dritten, 12 jeden vierten und 12 jeden fünften Eckpunkt. 
>Die Diagonalen bilden vier voneinander unabhängige Sterne, die Dodekagramme.
>Der Stern 1 besteht aus zwei regelmäßigen Sechsecken, die mit der Drehung eines Sechsecks um 30° zur Deckung gebracht werden können.
>Der Stern 2 besteht aus drei Quadraten, die mit Drehungen eines Quadrats um jeweils 30° zur Deckung gebracht werden können.
>Der Stern 3 besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken, die mit Drehungen eines Dreiecks um jeweils 30° zur Deckung gebracht werden können.
>Der Stern 4 kann in einem Zug gezeichnet werden.

>Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 120°, 60°, 90° und 30°.


Parkettierung und Zwölfeck top
Man kann die Ebene mit Zwölfecken überdecken. 
Gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke füllen die Lücken. 


......
Bei der Parkettierung der Ebene mit Dreiecken, Quadraten und Sechsecken entstehen Zwölfecke.

Man kann die letzte Zeichnung auch anders deuten.
......
Greift man ein Zwölfeck heraus und zeichnet Diagonalen in das Quadrat und Sechseck ein, kann man 12 Vierecke aus einem halben Quadrat und gleichseitigen Dreieck erkennen. 
Diese kongruenten Vierecke bilden einen Stern und parkettieren das Zwölfeck. 

Parkettierung eines Zwölfecks
© Corinna Beuermann-Kulp


Unregelmäßige Zwölfecke     top
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GriechischesKreuz

Hexagramm

333445


Ein zwölfeckiger Turm top
......
Ein berühmter Turm ist der Torre del Oro in Sevilla (Spanien).
Er hat als Grundriss ein regelmäßiges Zwölfeck. 

Ein besseres Urlaubsphoto habe ich nicht gefunden. 
Damals - 1998 - fand ich die Fluchtlinien im Parkett interessanter als den Turm. 


Zwölfeck im Internet     top

Deutsch

Hans Walser
Zerlegungen des Zwölfeckes (.pdf-Datei)

Werner Brefeld
Regelmäßiges Vieleck und Zerschneiden

Wikipedia
Zwölfeck, Torre del Oro



Englisch

Alexander Bogomolny (cut-the-knot)
Kürschak's Tile and Theorem

Antonio Gutierrez
Kürschak's Tile and Theorem

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Dodecagon, Dodecagram

John Page
Dodecagon

Michael S. Schneider
Chartres Rose Window Geometry

Wikipedia
Dodecagon, Torre del Oro


Referenzen   top
H.Martyn Cundy, A.P.Rollet: Mathematical Models, Oxford 1961, Seite 25f.


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©  2005 Jürgen Köller

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