Dreistrahlige Figuren

Inhalt dieser Seite

Was ist eine dreistrahlige Figur?
Beispiele dreistrahliger Figuren
Zykloiden
Besondere Zykloiden

Figuren aus Gleichungen mit Polarkoordinaten
Dreistrahlige Körper
Dreistrahlige Figuren im Internet
Referenzen.

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Was ist eine dreistrahlige Figur?

...... Eine dreistrahlige Figur ist eine drehsymmetrische oder kreissymmetrische Figur von der Ordnung drei.
Das heißt, dass sie ein Drehzentrum hat und dass sie bei jeder Dritteldrehung um dieses Zentrum in sich selbst übergeht. ......

...

Auch das gleichseitige Dreieck ist dreistrahlig.

Bei ihm kommt noch Achsensymmetrie mit drei Symmetrieachsen hinzu.

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Diese Seite hat den gleichen Aufbau wie meine Seite Vierstrahlige Figuren.

Beispiele dreistrahliger Figuren top

Gleichseitige Dreiecke
Quadrate
Rauten
30-60-90-Dreiecke

Drei Kreise

Vier Kreise

60°-Kreisausschnitte

Drei Figuren

Vorsicht radioaktiv

Kreisverkehr

Triskele

Dreifachspirale

Dreifachknoten

Maßwerk (Dreipass)

Zykloiden top
Eine Herausforderung liegt darin, dreistrahlige Figuren mit Hilfe von Formeln zu zeichnen. Da bieten sich die Zykloiden an.
Epizykloide

...... Man stelle sich vor, ein Kreis liege fest und ein zweiter Kreis mit einem dreimal so kleinen Radius rolle um einen großen Kreis (Leitkreis) herum. Verfolgt man dabei einen Punkt auf der Kreislinie des beweglichen Kreises, so beschreibt er eine geschlossene Linie mit drei Einkerbungen. Diese Linie heißt Zykloide, genauer Epizykloide. Diese Figur ist dreistrahlig.

Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich:

Epipozykloide, allgemein

Dabei sind R und r die Radien der Kreise.

Epizykloide für R=3r

x(t)=4r*cos(t/3)-a*cos(4t/3)
y(t)=4r*sin(t/3)-a*sin(4t/3)

Oben in der Zeichnung ist a=r.

Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an.

Es folgen Epizykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a.

Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)

Hypozykloide

....

Rollt man den kleinen Kreis innen ab, so entsteht eine Figur mit drei Spitzen, die Hypozykloide.

Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich:

Hypozykloide, allgemein

Dabei sind R und r die Radien der Kreise.

Hypozykloide für R=3r

x(t)=2r*cos(t/3)+a*cos(2t/3)
y(t)=2r*sin(t/3)-a*sin(2t/3)

Oben in der Zeichnung ist a=r.

Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an.

Es folgen Hypozykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a.

Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)

Besondere Zykloiden top
Von den oben vorgestellten Zykloiden mit R=3r sind drei hervorzuheben.
Trifolium (Hypozykloide, a=2r)

...... In Polar-Koordinatensystem hat das Trifolium eine besonders einfache Darstellung:
r=a*sin(3t) [0<t<2*pi].
Die Länge ist 16,68a und der Flächeninhalt (1/4)*pi*a².
Die Länge kann nur angenähert angegeben werden, da die Rechnung auf ein elliptisches Integral führt.
Quelle: MathWorld (URL unten)

Deltoid (Hypozykloide, a=r)

Es gilt 0<t<6*pi.

Der Umfang ist 16a und der Flächeninhalt 2*pi*a².
Quelle: (1) Seite 93

Dreistrahlige Epizykloide

Figuren aus Gleichungen mit Polarkoordinaten top
Es ist eine schöne Spielerei, die Formel r'=sin(3t) des Trifoliums z.B.abzuändern und so zu neuen dreistrahligen Figuren zu gelangen. Es gilt für alle Kurven 0<t<2*pi.

Den linken Graphen unten des Kleeblatts fand ich bei Robert Ferreol (URL unten)

Dreistrahlige Körper top
Zur Definition

Verschiebt man eine Figur in Normalenrichtung, so entsteht ein Prisma.
Ist die Figur dreistrahlig, so ist auch das Prisma dreistrahlig.
Dabei wird der Drehpunkt durch eine Drehachse ersetzt.
Außerdem hat dieser Körper an Stelle dreier Symmetrieachsen drei Symmetrieebenen.