Zweiersystem
Inhalt dieser Seite
Was ist das Zweiersystem?
Erklärung des Zweiersystems
Umrechnungen
Fünfersystem
Verknüpfungen
Bruchzahlen
Logikus
Zählspiel
Dualzahlen?
Graphen
Zweiersystem im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist das Zweiersystem?
Das Zweiersystem ist eine Stellenschreibweise der Zahlen, bei der nur die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet werden. 


Das sind die ersten 15 Zahlen:
0

0
-

 1

1
I

10

2
II

 11

3
III

100

4
IV

101

5
V

110

6
VI

0111

7
VII

1000

8
VIII

1001

9
IX

1010

10
X

1011

11
XI

1100

12
XII

1101

13
XIII

1110

14
XIV

1111

15
XV

Darunter stehen dieselben Zahlen, geschrieben im Zehnersystem und mit römischen Ziffern.

Die Darstellung im Zweiersystem ist zwar umständlich, schon weil die Anzahl der Stellen schnell wächst, aber im Zeitalter der Informationstechnik hat sie eine große Bedeutung erlangt. 
1 und 0 können gedeutet werden als an-aus, wahr-falsch, ja-nein, geschlossen-offen.

Das Zweiersystem heißt auch Dualsystem, Binärsystem oder binäres System.
Ich füge noch für den Gebrauch von Suchmaschinen die englischen Bezeichnungen binary numeral system, kürzer binary system oder ganz kurz binary hinzu.


Erklärung des Zweiersystems top
Die Zweiersystems ist im Prinzip wie das Zehner- oder Dezimalsystem aufgebaut.

Das Zehnersystem ist eine Stellenwertsystem. In einer Zahl wie 10110 haben die drei Einsen unterschiedliche Bedeutung. Es kommt darauf an, wo sie stehen. Diese unterschiedlichen Bewertungen zeigt die Tabelle.

...
...
10000er
1
1000er
0
100er
1
10er
1
Einer
0
Die "Stufenzahlen" 10, 100, 1000, ... der Tabelle sind Potenzen von 10.

Im Zweiersystem nimmt die Tabelle folgende Form an. 
... 256er 128er 64er 32er 16er 8er 4er 2er Einer
Hier heißen also die Stufenzahlen 2,4,8,16,... und sind Potenzen von 2. 

Es sei die Zahl 10110 im Zweiersystem gegeben. Sie wird in die Tabelle eingetragen: 
...
...
256er
0
128er
0
64er
0
32er
0
16er
1
8er
0
4er
1
2er
1
Einer
0
Man liest ab: 10110=2+4+16=22. Nur wenn in der Tabelle eine 1 steht, wird die Stufenzahl berücksichtigt. 
Diese Schreibweise ist missverständlich. Man schreibt besser (10110)2, damit keine Verwechslung mit der Zehnerdarstellung (10110)10  auftritt. Man hat vereinbart, dass nicht gekennzeichnete Zahlen dem Zehnersystem angehören. 

Es ist günstig, für (10110)2 eine einfachere Schreibweise zu verwenden. Man schreibt in vielen Schulbüchern die 1 als Strich und erhält dann 
.
Diese Darstellung kann ich auf dieser Seite nur in .gif-Bildern verwenden, da der einfache Strich im normalen Zeichensatz nicht vorkommt. Die Ersatzzeichen |, I oder l sind nicht zu gebrauchen. 
Die Zahl (10110)2 wird gelesen als "Eins, Null, Eins, Eins, Null" oder "Strich, Null, Strich, Strich, Null".

Umrechnungen     top
Vom Zweiersystem zum Zehnersystem
Es stellt sich die Aufgabe, eine Zahl wie (100111)2 ins Zehnersystem zu übertragen, schon damit man eine Vorstellung von der Größe hat. Der Weg wurde oben schon dargestellt.

...
...
256er
0
128er
0
64er
0
32er
1
16er
0
8er
0
4er
1
2er
1
Einer
1
Man trägt die Zahl in die Tabelle ein und liest (100111)2 =1+2 +4+32=39 ab. Man beginnt bei der Summenbildung auf der rechten Seite. Das ist praktischer.
Hier sind noch drei Beispiele:
(111000)2 =8+16+32=56, (110011)2 =1+2+16+32=51, (11111111)2 =1+2+4+8+16+32+64+128=255.

Vom Zehnersystem zum Zweiersystem
Das umgekehrte Problem, zu einer Zahl wie 38 die Schreibweise im Zweiersystem zu finden, erfordert eine Vorbereitung:
Man muss 38 in eine Summe von Zweierpotenzen zerlegen. Dabei beginnt man mit der größten Potenz, die kleiner ist als die gegeben Zahl, und zerlegt dann weiter. 
38=32+6=32+4+2. Das führt in der Tabelle zu folgendem Eintrag
...
...
256er
0
128er
0
64er
0
32er
1
16er
0
8er
0
4er
1
2er
1
Einer
0
Die Zahl 38 hat also die Darstellung 38=(100110)2 .
Hier werden die drei Beispiele von oben entsprechend umgeformt. 
56=32+16+8=(111000)2 , 51=32+16+2+1=(110011)2, 255=128+64+32+16+8+4+2+1=(11111111)2

Halbierungsverfahren
Es gibt einen anderen Weg, eine Zahl vom Zehnersystem ins Zweiersystem zu übertragen. 
Das wird am Beispiel der Zahl 116 erklärt:
 
116...58...0
058...29...0
029...14...1
014...07...0
007...03...1
003...01...1
001...00...1
..... Stelle drei Spalten bereit. 
Schreibe oben links in die erste Spalte die gegebene Zahl 116.
Dividiere sie durch 2 und schreibe die halbe Zahl 58 in die zweite Spalte und in die dritte Spalte den Rest 0.
Schreibe die mittlere Zahl 58 in die nächste Zeile und wiederhole das Halbieren.
Führe das Halbieren fort, bis in der mittleren Spalte Null steht.

Notiere die Reste von unten nach oben. Das ist in diesem Falle 1110100. Das ist die Darstellung im Zweiersystem.

Erklärung:
Die Zeilen kann man schreiben als 116=58*2, 58=29*2, 29=14*2+1, 14=7*2, 7=3*2+1, 3=1*2+1
Man ersetzt die halben Zahlen nacheinander: 116=58*2=(29*2)*2= ... =(((((1*2+1)*2+1)*2)*2+1)*2)*2
Im Term steckt die dritte Spalte: ((((((0*2+1)*2+1)*2+1)*2+0)*2+1)*2+0)*2+0
Multipliziert man diesen Term aus, so erhält man 116=26 +25 +24 +22.

Fünfersystem    top
Das Zweiersystem benötigt zur Darstellung einer Zahl nur zwei Ziffern und ist wegen dieser Einfachheit gewohnheitsbedürftig. Deshalb ist es vielleicht hilfreich, wenn man ein weiteres Zahlensystem vorstellt mit mehr Ziffern. Das soll das Fünfersystem sein, bei dem man mit 0, 1, 2, 3 und 4 auskommt.
Das Fünfersystem hat die Stufenzahlen 5, 5²=25, 5³=125,..., die zu folgender Tabelle führen.

3125
1
625
4
125
4
25
1
5
2
1
3
Die Zahl 144123 ist eingetragen. Man liest ab: (144123)5=1*3125+4*625+4*125+1*25+2*5+3=6163.

Wie im Fünfersystem gezählt wird, steht in der zweiten Zeile der folgenden Tabelle.
0
0
0
-
 1
1
1
I
10
2
2
II
 11
3
3
III
100
4
4
IV
101
10
5
V
110
11
6
VI
0111
12
7
VII
1000
13
8
VIII
1001
14
9
IX
1010
20
10
X
1011
21
11
XI
1100
22
12
XII
1101
23
13
XIII
1110
24
14
XIV
1111
30
15
XV

Verknüpfungen   top
Unter Verknüpfungen versteht man die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. 


1+1=10  Das ist wohl die berühmteste Verknüpfung. Liest sie ein Mensch mit einem gesundem Menschenverstand, so reagiert er mit Kopfschütteln. Vielleicht wird er hellhörig. Ein Eingeweihter denkt an 1+1=(10)2,
Deshalb war "1+1=10" einmal ein raffiniert abgefasster Buchtitel. 

Beim schriftlichen Addieren braucht man im Zehnersystem das kleine Einsundeins, beim Multiplizieren das kleine Einmaleins. Das sind die Summen und Produkte einstelliger Zahlen, die man auswendig lernen muss. 
Im Zweiersystem sind das nur die vier Summen 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und 1+1=(10)2 und die Produkte 0*0=0, 0*1=0, 1*0=0 und 1*1=1. Also muss man sich nur 1+1=(10)2 merken. Im diesem Kapitel heißt es einfacher 10 anstatt (10)2 .

An Hand der beiden Zahlen (100011)2  und (111)2  werden die schriftlichen Rechenverfahren erklärt.
Addition
...... Man schreibt die Zahlen untereinander und addiert stellenweise von rechts nach links. Man beginnt mit 1+1=2=10. Die Ziffer 0 schreibt man hin und 1 als Übertrag (Wie heißt es so schön? Null hin, Eins im Sinn.). Dann folgt 1+1+1=3=11. Man schreibt 1 hin und notiert den Übertrag 1.
Jetzt sollte klar sein, wie man weiter verfährt.

Subtraktion
...... Wieder schreibt man die beiden Zahlen untereinander. Die ersten beiden Einsen führen unten zu 0. Dann muss man 1+x=10 lösen. Es ist 1+1=10. Man schreibt 1 hin und vermerkt den Übertrag 1. Die gleiche Überlegung erfordern die nächsten beiden Spalten. 

Multiplikation
...... Nach dem üblichen Verfahren schreibt man die Faktoren nebeneinander und beginnt mit der Viererstelle ("Hunderter"): 100011 *1=100011. 
Dann folgt die gleiche Zeile noch zweimal, wird aber nach rechts verschoben. 
Die spaltenweise Addition schließt sich an. 

Division
...... Die erste Division ist 1000:111="1". Die zweite Zeile heißt dann 111. Die Differenz ist 1. Holt man die nächste 1 herunter, so ist 11:111 nicht möglich. Also steht oben rechts die Zahl 0. Die nächste Stelle, die man herunterholt, führt zu 111:111=1. Also ist 101 der gesuchte Quotient. 

Andere Rechnung
Man kann die beiden gegebenen Zahlen auch ins Zehnersystem übertragen, rechnen und wieder zurück ins Zweiersystem gehen.
Die Zahlen sind (100011)2 = 1+2+32 = 35 und (111)2 = 1+2+4 = 7. 
Damit handelt es sich oben um die Terme
35+7=42=32+8+2=(101010)2 35-7=28=16+8+4=(11100)2 35*7=245=(11110101)2 35:7=5=4+1=(101)2
Wer das schriftliche Rechnen im Zweiersystem üben will, kann so leicht weitere Beispiele finden.

Bruchzahlen 
Es ist üblich, eine rationale Zahl als Bruch oder als Summe aus einer ganzen Zahl und Bruch (früher gemischte Zahl genannt) darzustellen. 
Beispiele sind 7/20, 12/33 oder 7 5/12.
Um ins Zweiersystem zu gelangen, ersetzt man jede Zahl durch eine Darstellung im Zweiersystem. Das ist nicht mehr als eine Schreibübung und soll nicht weiter verfolgt werden.

Interessanter ist die Übertragung  der Dezimalbruchdarstellung. 
Ein Dezimalbruch hat einen Vorteil: Er ergibt eine gute Vorstellung von der Größe des Bruches. Der Nachteil ist, dass die Darstellung wegen der Periode umständlich ist.
Drei Beispiele: 7/20=0,35     12/33=0,713636...    7 5/12=7,41666... 
Die Zahlen repräsentieren die drei möglichen Darstellungen eines Dezimalbruches, die endliche, die rein-periodische und die gemischt-periodische. Man kann sich überlegen, dass allein der Nenner bestimmt, welche Klasse vorliegt.
Im ersten Fall ist der Nenner eine Zahl, die nur 2 und 5 als Teiler hat (20=2*2*5).
Im zweiten Falle hat der Nenner weder 2 noch 5 (33=3*11) als Teiler.
Im dritten Fall hat der Nenner mindestens eine 2 oder 5, aber auch mindestens einen von 2 und 5 verschiedenen Teiler (12=2*2*3).


Es macht keine Mühe, Zahlen mit Nachkommastellen im Zweiersystem zu konstruieren. 
Eine endliche Darstellung ist (0,011)2 , eine rein-periodische ist (0,011011011...)2  und eine gemischt-periodische ist (0,10010101...)2 .
Die Bedeutung der Nachkommastellen entnimmt man der folgenden Tabelle. 
Einer ( 20 )
0
"2-tel" ( 2-1 )
0
4-tel ( 2-2 )
1
8-tel ( 2-3 )
1
16-stel ( 2-4 )
.
32-stel ( 2-5 )
.

Die Zahl (0,011)2 ist eingetragen. Es ist 1/4+1/8=3/8.
Nun benötigt man ein Verfahren, um auch die beiden anderen Zahlen mit einer Periode ins Zehnersystem zu übertragen, schon damit man weiß, mit welchen Zahlen man es zu tun hat.


Umwandlungen
Da gibt es das "x-Verfahren". Es wird auf  (0,011011011...)2  und (0,10010101...)2 angewandt.
...... ...... Man multipliziert die gegebene Zahl zweimal so, dass rechts des Kommas gleiche Ziffern untereinander stehen. 
Beim Subtrahieren fallen die Nachkommastellen dann weg. 
Die x-Methode ist aus den Lehrbüchern der Schule verschwunden. Die Methode ist umstritten, weil die Subtraktion von unendlichen Reihen ohne Kenntnis der Grenzwertsätze problematisch ist. Mein Argument: Es funktioniert. 


Ergebnis: Für die drei Zahlen vom Anfang dieses Kapitels gilt also: (0,011)2=3/8,  (0,011...)2 =3/7 und (0,10010101...)2 =7/12.

...... Will man zu einem beliebigen Bruch die Darstellung im Zweiersystem bestimmen, kann man das normale Divisionsverfahren verwenden. 
Das wird demonstriert am Beispiel 1/5=(0,0011)2
Die Periode wird auf dieser Seite blau gekennzeichnet. 
Normalerweise setzt man einen Strich über die Periode.


Beispiele
Das sind die ersten Stammbrüche:
1/2=(0,1)2 1/3=(0,01)2 1/4=(0,01)2 1/5=(0,0011)2 1/6=(0,001)2 1/7=(0,001)2
1/8=(0,001)2 1/9=(0,000111)2 1/10=(0,0011)2 1/11=(0,0001011101)2 1/12=(0,0001)2

Der Bruch 1/7 hat die Darstellung 1/7=(0,001)2 . Die Periodenlänge ist drei und muss es auch für die Brüche 2/7, 3/7, ... sein.
Es gilt tatsächlich:
1/7=(0,001)2 2/7=(0,010)2 3/7=(0,011)2 4/7=(0,100)2 5/7=(0,101)2 6/7=(0,110)2

Periode
Schwierig ist das Problem der Periode und der Periodenlänge. Es folgt ein kleiner Einblick.

Die Periode steht im Zusammenhang mit der Eulerschen Funktion phi(n). Da wird jeder natürlichen Zahl n  (n>1) die Anzahl aller natürlichen Zahlen <n , die zu n teilerfremd sind, zugeordnet. 
Ist zum Beispiel n eine Primzahl p, so ist phi(p)= p-1. 
Für die ersten Zahlen gilt:

Der folgende Satz gilt für alle Ziffernsysteme.
Die Periodenlänge k ist für eine reinperiodische Entwicklung von a/b ein Teiler von phi(b). Es gilt insbesondere k<=phi(b).
Quelle: (1), Seite 368

Unter dem Gesichtspunkt der Periodenlänge kann man sich noch einmal die Tabelle der Stammbrüche ansehen. 
1/2=(0,1)2 1/3=(0,01)2 1/4=(0,01)2 1/5=(0,0011)2 1/6=(0,001)2 1/7=(0,001)2
1/8=(0,001)2 1/9=(0,000111)2 1/10=(0,0011)2 1/11=(0,0001011101)2 1/12=(0,0001)2


Die Periode 9 bzw. 1
Eine Merkwürdigkeit der Dezimalbruchdarstellung ist, dass man die Zahl 1 auch durch  0,9999... darstellen kann. 
Die Erklärung liefert der Grenzwert s der geometrischen Reihe 9/10+9/10²+9/10³+... 
Er ist s=a/(1-q)=(9/10)/(1-1/10)=(9/10)/(9/10)=1.
Entsprechend ist (0,1...)2=1. Grund:  1/2+1/2²+1/2³+... hat den Grenzwert (1/2)/(1-1/2)=1.
Man lässt im Zehnersystem ganz allgemein die Periode 9 nicht zu, denn eine nichtperiodische Zahl wie 1 soll keine periodische Darstellung haben. Entsprechend ist im Zweiersystem die Periode 1 nicht zulässig. 

Logikus    top
Als sich in den 1960er Jahren abzeichnete, dass der Computer in unserem täglichen Leben eine immer größere Rolle spielen  würde, gab der Kosmos Spielcomputer Logikus (1969) vielen einen kleinen Einblick, "wie das so mit Null und Eins funktioniert". 
Ich besitze ihn noch und habe ihn für diese Seite noch einmal "programmiert". Dazu wurde ein Geflecht aus blauen Drähten gesteckt. 
...... Bewegt man nacheinander die roten Schieber nach oben, so zeigen die vier mittleren Glühlämpchen die Zahlen 0 bis 9 im binären System an. 
Damit man hier die Glühlämpchen besser sieht, wurde die Abdeckung abgenommen und mit Gelb und Weiß etwas nachgeholfen. So erkennt man, dass dem roten Schieber 5 unten die Zahl 0101 oben zugeordnet ist.
Die folgende logische Schaltung wurde beim Logikus umgesetzt.
Später konnte die Schaltung mit mehr Komfort mit dem Simulog der Firma Leybold aufgebaut werden. 
Dann denke ich noch an die Basteleien mit dem 7474 :-).


Zählspiel   top
Das Zweiersystem ist Unterrichtsstoff der Klasse 5. 
Da empfehle ich ein Zählspiel, das dem Bewegungsdrang der Schüler in diesem Alter entgegen kommt.
...... Fünf Schüler dürfen nach vorne kommen, vier Schüler bringen zur Anzeige von 0 und 1 ein Heft mit, ein Schüler zählt laut. Haben die Schüler die ersten 15 Zahlen in Dualschreibweise vor sich, so ist das Zählen einfach. Sie heben das Heft bei 1 und halten es waagerecht bei 0. Das ist aber nur eine Vorübung.
Sie können auch rein mechanisch vorgehen. 
>Der Schüler auf dem Einerplatz rechts hebt und senkt sein Heft gleichmäßig. 
>Der Zweier daneben achtet nur auf den Einer. Wenn dieser sein Heft senkt, muss er aktiv werden. Entweder hebt er sein Heft oder senkt es.
>Der Vierer achtet wieder nur auf den Zweier und folgt ihm wie der Zweier dem Einer. Wenn der Zweier sein Heft senkt, hebt oder senkt er sein Heft. 
>Der Achter achtet auf den Vierer.

Betrachtet man einen Schüler isoliert, so hebt jeder sein Heft in gleichen Zeitabständen, allerdings mit unterschiedlicher Frequenz. 

Mit diesem Spiel gewinnt man eine neue Sicht des Zweiersystems.


Dualzahlen?   top
Ich hatte die Absicht, diese Seite "Dualzahlen" zu nennen. In den Schullehrbüchern der Mathematik wird dieser Name schon seit längerer Zeit nicht mehr verwendet. Der Hintergrund ist, dass die Lehrbuchverfasser streng  zwischen einer Zahl und der Darstellung einer Zahl unterscheiden. Somit sind Ausdrücke wie Dezimalzahl, römische Zahl, gemischte Zahl und eben Dualzahl getilgt. Unter einer Zahl versteht man nur die Zahl an sich wie die natürliche Zahl, die rationale Zahl, die negative Zahl usw..
Daran möchte ich mich halten, auch wenn ich persönlich das nicht so eng sehe. Leider gibt es an Stelle der Dualzahl oder Computerzahl keinen ebenso griffigen Namen. 


Graphen     top









Weitere Informationen über Zahlen im Zweiersystem findet man auf meiner Seite Tetraden.
Die Abessinische Bauernmultiplikation wird auf meiner Seite Multiplikation mehrstelliger Zahlen besprochen.

Zweiersystem im Internet top

Deutsch

Arndt Brünner
Das BinärsystemUmrechnung von Zahlensystemen

Wikipedia
Dualsystem, Dezimalsystem, Stellenwertsystem, Zahlbasiswechsel, Rationale Zahl


Englisch

Alexander Bogomolny (Cut The Knot)
History of the Binary System

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Binary

Wikipedia
Binary numeral system


Referenzen    top
(1) Heinrich Behnke (u.a.): Mathematik 1, DAS FISCHER LEXIKON, Frankfurt am Main, 1964
(2) Werner Burau: Elementare Zahlentheorie, Stuttgart 
(3) LS 5, Ernst Klett Schulbuchverlag 1993 [ISBN 3-12-730700-4]
(4) LS 6, Ernst Klett Schulbuchverlag 1994 [ISBN 3-12-730710-1]
(5) D.E. Knuth: Volume 2 Seminumerical Algorithms, Third Edition (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1997), xiv+762pp [ISBN 0-201-89684-] Chapter 4: Arithmetic


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

Diese Seite ist bald auch in Englisch vorhanden.

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2006 Jürgen Köller

top