Körper flechten
Inhalt dieser Seite
Was heißt Körper flechten?
Oktaeder-Ball
Ikosidodekaeder-Ball
Kuboktaeder-Ball
Einfacher Würfel
Kleines Rhombenkuboktaeder
Flechtwürfel
Rhombendodekaeder
Gewebter Würfel
Sonobe-Würfel
Körper flechten im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was heißt Körper flechten?
...... Die übliche Art, einen Körper aus Papier zu basteln, ist die Netz-Methode. Man geht vom Netz eines Körpers aus, faltet ihn und stabilisiert die Form mit Klebestreifen.

Das ist bekanntlich die Vorlage für einen Würfel.



Auf dieser Seite soll eine Methode angesprochen werden, bei der Körper aus gleichen Streifen zusammengesteckt, also geflochten werden.
Dabei beachtet man möglichst die Regel, dass zwar während, aber nicht nach Fertigstellung des Bastelns Klammern oder Klebstoff den Körper zusammenhalten dürfen. 
...... Ein Beispiel: Aus den drei Streifen entsteht ein Würfel. 

Weiter unten steht eine Anleitung.


Die Farben helfen, Anleitungen zu verstehen und Strukturen zu durchschauen. 

......
Zum vorläufigen Fixieren der Streifen während des Flechtens benötigt man Hilfsmittel. 
Drei Möglichkeiten stehen u.a. zur Verfügung:
>Büroklammern
>verkleinerte Wäscheklammern  ("Party-Clips") 
>Bostik - englisch: Bluetek 
Ich verwende Bostik zum Schließen von Streifen und  Party-Clips zum Montieren.

Auf dieser Seite werden zuerst Körper mit "Löchern" vorgestellt. Sie bestehen aus Ringen gleicher Breite. - Dann folgen mathematische Körper in Vollständigkeit. Neu (2012) ist das Zusammenstecken eines Würfels aus sechs Modulen.

Oktaeder-Ball top
 
...... Man formt aus drei Streifen Ringe und klebt die Enden zusammen. Dann steckt man sie so ineinander, dass sie in die drei Richtungen des Raumes zeigen. Es entsteht ein Ball.
Hier wird auf ein Flechten verzichtet.


...... Der Name erklärt sich daraus, dass ein Oktaeder aus drei Quadraten besteht, die auch in die drei Richtungen des Raumes zeigen.

Beim Ball werden die Quadrate durch kreisförmige Streifen ersetzt.


...... Der Oktaeder-Ball wird ansehnlicher, wenn man für jede Richtung zwei Streifen verwendet und die noch miteinander verflechtet.


Ikosidodekaeder-Ball top
...... Dieses Foto eines schönen, geflochtenen Balles samt Anleitung sandte mir freundlicherweise Monika Bethke-Bühler.
Sie verwendete sechs Streifen eines Ramiebandes, die zu einem Körper verflochten sind. 
Man erkennt Fünfecke des Pentagondodekaeders. 


...... Es ist genauer ein Ikosidodekaeder. Der Körper entsteht aus einem Pentagondodekaeder, indem man die Ecken so abschneidet, dass 12 regelmäßige Fünfecke und 20 gleichseitige Dreiecke entstehen.
Bestimmte Dreiecksseiten bilden als Umfang des Körpers sechs regelmäßige Zehnecke, die den Körper umschließen. Die Streifen verlaufen in Richtung dieser Zehnecke.
Sind die Streifen hinreichend breit wie oben beim Ramieband, so fallen die Dreiecke weg oder genauer, sie gehen in die Streifenbreite ein.

Das ist die Anleitung von Monika Bethke-Bühler, die ich hier mit ihrer Genehmigung weitergebe. 

1 Man klebt zwei Streifen zu Ringen und hängt sie vorher ineinander. 
Die sechs Streifen haben die Länge 18,5cm. Sie werden, wenn sie verflochten sind, auf einer Strecke von 0,5cm zusammengeklebt. Das Ramie-Band muss vorher gebügelt werden. 
2 Mit dem dritten Streifen bildet man mit einer der Kreuzungen ein Dreieck. Zum Festhalten verwendet man am besten Party-Klammern.
3 Der vierte Streifen wird eingefügt.
4 Man bildet mit dem fünften Streifen ein Fünfeck.
5 Der letzte Streifen wird an einer beliebigen Ecke eingezogen.
6 Er bildet das zweite Fünfeck.
7 Jetzt kann man die meisten Klammern entfernen, denn von nun an ergeben sich, indem man das Werk dreht, immer neue Fünfecke, die man feststeckt.
8 Damit sich nicht sechs lose Enden an einer Stelle treffen, kann man einen Streifen etwas weiterziehen, einen zweiten in die andere Richtung. Falls bis hierher richtig geflochten wurde (immer nach der Regel darüber-darunter-darüber-darunter), ergeben sich die restlichen Fünfecke fast von selbst. 
9 Man klammert die losen Enden erst einmal zusammen, bevor man klebt. Als Klebstoff verwende ich einen Pritt-Klebestift, weil Flüssigklebstoffe das Material aufweichen und Dellen machen.


Der Ikosidodekaeder-Ball heißt auch einfach "Dodekaeder" oder "Griechischer Fußball" (1).

Kuboktaeder-Ball top
Es gibt viele Bälle, die man aus Streifen flechten kann. Die archimedischen Körper als Vorlage sind wegen der Symmetrie besonders geeignet. Als ein Beispiel folgt wegen seiner Einfachheit das Kuboktaeder. 
...... Ein Kuboktaeder entsteht, wenn man die Ecken eines Würfels abschneidet. 



 
...... Es gibt in der Umkugel vier Sechsecke, die man durch Ringe ersetzen kann. 

In Buch 1 sind die Ringe der vorgestellten Körper enger. Das bringt mehr Stabilität. Dann erübrigen sich Klammern.


Kleines Rhombenkuboktaeder  top
Schneidet man von einem Oktaeder oder von einem Würfel passend alle Kanten ab, so entsteht in beiden Fällen ein archimedischer Körper mit acht gleichseitigen Dreiecken und sechs Quadraten. Er heißt Kleines Rhombenkuboktaeder.


 

Die Erzeugung ist kompliziert, der entstehende Körper aber ist leicht herzustellen.
Man formt aus drei Streifen achteckige Ringe und steckt sie ineinander. Dabei richtet man sie nach den drei Richtungen des Raumes aus. Es entsteht das kleine Rhombenkuboktaeder. Die Dreiecke werden zu Löchern.


Einfacher Würfel top
Es folgt der Würfel aus der Einleitung zu dieser Seite. 

Man steckt zwei an zwei Seiten offene Würfel ineinander und hüllt den Würfel mit einem Streifen ein. Die Enden werden weggesteckt.

Die Büroklammern kann man in den geeigneten Momenten entfernen. - Es empfiehlt sich, vor dem Falten die Faltlinien mit einem leeren Kugelschreiber oder der stumpfen Seite der Scherenspitze nachzuziehen.

Das gilt auch für die folgenden Körper.
Es ergibt sich ein Würfel mit den Farben 3x gelb und 3x blau. Die Farbe grün ist verdeckt.

Auf anderen Wegen ist es möglich, die Seitenflächen gelb/gelb, grün/grün und blau/blau zu färben, nebeneinander oder gegenüber. 

Anleitungen dazu findet man auf der Seite von Melanie Kempe (URL unten)

Flechtwürfel top
...... Unter diesem Namen ist ein Würfel bekannt, der aus vier Streifen besteht. Die Flächendiagonalen der Seitenquadrate sind sichtbar. 
Ich verzichte hier auf eine Anleitung und verweise auf die Seite von H. B. Meyer (URL unten). Dort wird ausführlich beschrieben, wie man ihn flechtet. Hilfreich ist dabei der Hinweis, dass man gekennzeichnete Winkel aufeinander legen muss.


Rhombendodekaeder top
H. B. Meyer vom Faust-Gymnasium in Staufen stellt im Internet auf seiner Seite "Polyeder aus Flechtstreifen" Vorlagen für über 20 Körper bereit. 
Die Streifen sind gleich und setzen sich meist aus den entsprechenden Seitenflächen eines Körpers zusammen. Beim Flechten wird immer das gleiche Prinzip verfolgt. Am Beispiel des Deltoid-Ikositetraeders erläutert er die Basteleien.


Ich beschreibe hier das Flechten eines Rhombendodekaeders . Er ist auf dieser Seite das Beispiel eines Körpers, der  Zickzack-Streifen verwendet.
Es besteht aus 12 kongruenten Rauten. Sechs Rauten bilden jeweils einen Ring, der beim Flechten eine Rolle spielt. 
 

Mit dem Stereoblick erscheinen die Bilder dreidimensional.


Anleitung
1 Gehe auf die Hauptseite "Polyeder aus Flechtstreifen" und wähle die Seite Rhombendodekaeder. Es erscheint ein Bild des Körpers mit typischen Daten. Rechts kann man eine Seite mit einer Anleitung (unter Schnittmuster) wählen und daneben eine Vorlage (unter herunterladen). 

2 Speichere die Vorlage (eine .gif-Datei) und drehe sie als Vorbereitung zum Drucken z.B. mit dem Programm mspaint.exe um 90°. Sie hat dann etwa die Form eines A4-Blattes. 

3 Füge dieses Bild in eine leere Seite des Textverarbeitungsprogramms Winword mit Einfügen/Grafik/Aus Datei ein. 

4 Drucke die Seite.

5 Ziehe die vertikalen Faltlinien nach.

6 Schneide die Streifen aus.

7
...... Das ist ein Streifen. Er besteht aus acht Rauten. Die inneren bilden den Körper. Die äußeren, blau gestreiften Rauten dienen dem Stabilisieren des Körpers und schließen Spalten. 
Die Angaben i1, i2 und i3 bedeuten, dass die entsprechenden Rauten innen liegen. Es gibt zwölf Rauten dieser Art.
Die Rückseite der Streifen ist später zum Teil außen.

8
...... Verflechte die vier Streifen mit Hilfe der kleinen Klammern. Der Weg ist richtig, wenn man gegen Ende des Flechtens die blau gestreiften Rauten wegstecken kann. 

9
...... Für das vorliegende Rhombendodekaeder ist es günstig, sich auf eine Ecke aus vier Rauten zu konzentrieren. 
Sie wird gebildet von den Rauten i2.

Stelle die Streifen wie links zusammen. 
So beschreitet man zwangsläufig den Weg zum  Rhombendodekaeder.

......

Die geflochtenen Körper haben eine starke Wirkung bei Übergröße. Davon kann man sich durch einen Besuch der Webseite Ausstellung  der Site "Polyeder aus Flechtstreifen" überzeugen (URL unten).

Gewebter Würfel top
Der folgende oben offene Würfel wird aus sechs Streifen gewebt.

Wählt man längere Streifen, so kann man den Würfel auch schließen und ihn mit Hilfe der überstehenden losen Enden stabilisieren.


Die Herstellung dieses Würfels entspricht dem Weben zur Herstellung von Stoffen. Beim Weben werden zwei Systeme parallel liegender Fäden so miteinander verwoben, dass sie sich senkrecht kreuzen. An den Kreuzungsstellen liegen die Verbindungen. 
Beim Flechten müssen die Fäden, Bänder o.ä. nicht zueinander senkrecht liegen. 
Man spricht von "Zöpfe flechten" oder "Korb flechten", aber vom "Stoff weben".

Sonobe-Würfel    top
Gehe am besten von einem Quadrat aus, das aus einem Blatt A4 entsteht.
1
...... Teile ein quadratisches Blatt durch dreimaliges Falten in vier gleiche Längsstreifen.
Falte horizontal an der roten Linie.


2
...... Falte an der roten Linie und du erhältst die rechte Figur.

3
...... Falte an der roten Linie und du erhältst die rechte Figur.

4
...... Falte an der roten Linie und du erhältst die rechte Figur.

5
...... Drehe das Blatt um 180° und du erhältst die rechte Figur.....


6
...... Führe wieder die Schritte 2, 3 und 4 durch und du erhältst die rechte Figur.

7
...... Falte an der roten Linie und stecke die Spitze in die Tasche. 

Du erhältst die rechte Figur.


8
...... Drehe das Blatt um 180° und du erhältst die rechte Figur.

9
...... Falte an der roten Linie und stecke die Spitze in die Tasche. 

Du erhälst das Modul.


10
...... Falte an den blauen Linien nach hinten und mache die Faltung wieder rückgängig.
Es ist ein Quadrat markiert, das eine Seitenfläche des Würfels werden wird.

11
...... Falte fünf weitere Module auf die gleiche Art.

12
Beginne wie links mit drei Modulen und forme eine Ecke des Würfels.

13
Die weiteren Schritte ergeben sich zwangsläufig, indem man nacheinander die drei übrigen Quadrate dem Würfel hinzufügt und dabei beachtet, dass die glatte Fläche immer innen liegt.
14

Das ist der fertige Würfel aus sechs Modulen.


An zwei Stellen meiner Website findet man weitere Flechtarbeiten, nämlich das Herzkörbchen und den Fröbelstern.

Körper flechten im Internet    top

Deutsch

Hans Walser 
Der Schrägstreifenwürfel

H. B. Meyer 
Polyeder aus Flechtstreifen, Flechtwürfel, Ausstellung

Universität Bayreuth, Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik
Flechten der platonischen Körper

Wikipedia
Origami



Englisch

David Liste (britishorigami.info)
Origins of the Sonobe Module

Camilla Fox  (Camilla's Home Page)
Plaited Polyhedral Models

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Plaited Polyhedron

George W. Hart
Orderly Tangles RevisitedZONISH POLYHEDRA

H. B. Meyer 
Polyhedra plaited with paper strips

NRICH (University of Cambridge)
Plaited Origami Polyhedra

Stephan T. Lavavej (nuwen.net)
Origami Polyhedra

The Historical Society of Pomona Valley
Folding Paper in Half 12 Times

Wikipedia
Mathematics of paper foldingHuzita's axiomsChinese Paper FoldingOrigami, Sonobe


Referenzen   top
(1) Kunihiko Kasahara, Origami ohne Grenzen, München 2001 [ISBN 3-8043-0687-X] 
(2) René Lucio, Jan Spütz: Das große Origamibuch, Berlin 2003 [ISBN 3-332-00914-1]


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

© 2007 Jürgen Köller

top