Parabeln
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Was ist eine Parabel?
Parabelschar
Scheitelform
Steigungsproblem
Flächenproblem
Figuren im Parabelsegment
Wurzelfunktion
Parabel als Ortslinie
Satz von den Sehnen
Über Tangenten
Parabeln zeichnen
Parabel als Graph einer Relation
Parabel als Kegelschnitt
Delisches Problem
Polargleichung der Parabel
Weitere Parabeln 
Parabeln im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Parabel? 
......... Eine Parabel ist eine mathematische Kurve............................................................................. 


...... Man erhält eine einfache Parabel, die Normalparabel, als Graph der quadratischen Funktion mit f(x)=x². 

Wie alle Parabeln ist sie achsensymmetrisch, hat einen Scheitelpunkt S und einen Brennpunkt F. 


Für diese Seite habe ich Bekanntes zur Parabel ausgewählt und knapp beschrieben. 

Parabelschar    top
...... Man erhält alle Formen der Parabel, wenn die Variable a alle positiven reellen Zahlen in der Funktionsgleichung f(x)=ax² durchläuft. 

In der Zeichnung sind es stellvertretend fünf Zahlen.

So wie die Kreise sind alle Parabeln ähnlich, wenn es auch nicht so aussieht. 

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine einfache Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergeführt werden können. Das erreicht man durch eine Maßstabsänderung. 
Man wählt x=(1/a)X und y=(1/a)Y. Dann wird  y=ax² zu (1/a)Y=a[(1/a)X]² oder Y=X².
Aus jeder Parabel kann also eine Normalparabel werden.
(4)


Scheitelform  top
...... Verallgemeinert man f(x)=ax² zur Gleichung einer quadratischen Funktion f(x)=ax²+bx+c, so liegt der Scheitelpunkt nicht mehr unbedingt im Nullpunkt.

Die nebenstehende Parabel wird durch die Gleichung f(x)=0,5x²-1,5x+2 beschrieben. 


Mit Hilfe der "quadratischen Ergänzung" kann man die Gleichung so umformen, dass man die Lage des Scheitelpunktes erkennt.
f(x)=ax²+bx+c (allgemeine Form)
<=> f(x)=a[x²+(b/a)x]+c
<=> f(x)=a{x²+(b/a)x+[b/(2a)]²}-[b²/(4a)]+c
<=> f(x)=a[x+b/(2a)]²-[b²/(4a)]+c (Scheitelform)

Der Scheitel liegt an der Stelle xs=-b/(2a). Dann ist f(xs)=c-b²/(4a).
Sind a=0,5 und b=-1,5 und c=2, so sind xs=1,5 und ys=0,875. Das bestätigt die Zeichnung oben.


Neben der Scheitelform gibt es noch die Produktform f(x)=a(x-x1)(x-x2), die in dieser Form nur existiert, wenn die Parabel die x-Achse an zwei Stellen schneidet, nämlich in x1 und in x2.

Steigungsproblem top
...... Zeichnet man durch den Punkt P1 der Normalparabel mit f(x)=x² Geraden, so schneiden sie die Parabel im allgemeinen in zwei Punkten. Es gibt aber eine Grenzlage, in der eine Gerade nur einen Punkt mit der Parabel gemeinsam hat. Das ist die rote Gerade, die auf einer Seite der Parabel liegt und die sie im Punkte P1 berührt. Diese Gerade heißt Tangente. 
Es stellt sich die Frage, in welcher Weise die Steigung der Tangente von der Stelle x1 abhängt.
...... Zur Bestimmung betrachtet man einen Punkt Pn, der sich auf P1 zu bewegt, und gleichzeitig die Steigung der Sekante PnP1
In Formelsprache sieht das so aus:
Durch den Trick mit der dritten binomischen Formel kann man ein Produkt erzeugen und dann kürzen, so dass der Grenzwert problemlos gebildet werden kann.
Ergebnis: Die Parabel hat an der Stelle x1 die Steigung 2x1.


In diesen Überlegungen liegt eine Bedeutung der Parabel: Sie gestattet einen einfachen Zugang zur Differentialrechnung.

Flächenproblem top
Es geht um das Problem, den (gelben) Flächeninhalt eines Flächenstückes zu berechnen, das von der Parabel und einer Schnittgeraden begrenzt wird. 
...... Im hier gewählten einfachen Fall ist die Parabel eine Normalparabel mit f(x)=x². 
Die Schnittgerade ist die Horizontale y=x1².
Man bestimmt der Einfachheit halber zunächst den grünen Flächeninhalt unter der Parabel, der rechts von x=x1 begrenzt wird. 


......
Dazu zeichnet man n Streifen der Breite x1/n und zunehmender Höhe, die die Parabel überdecken. 
Der Flächeninhalt dieser Treppenfläche ist 
An=(x1/n)(1*x1/n)²+(x1/n)(2*x1/n)²+(x1/n)(3*x1/n)²+...+(x1/n)[n*x1/n)]²
=[1²+2²+3²+...+n²]/n³*x1³=[(1/6)n(n+1)(2n+1)]/n³*x1³=[(1/6)(1+1/n)(2+1/n)]x1³.
Lässt man die Anzahl n der Streifen gegen Unendlich gehen und somit die Streifenbreite gegen Null, so geht An gegen (1/3)x1³. Das ist der Flächeninhalt unter der Parabel. 

Für das Parabelsegment ist dann A=(2x1)x1²-(2/3)x1³=(4/3)x1³.

In der Rechnung wird die Formel 1²+2²+3²+...+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1) verwendet.

In diesen Überlegungen liegt eine weitere Bedeutung der Parabel: 
Sie gestattet einen einfachen Zugang zur Integralrechnung.

......
Im Bronstein (5) findet man den folgenden Satz.
Der Flächeninhalt des Parabelsegments verhält sich zum Flächeninhalt des Parallelogramms wie 2 zu 3.
Ist das Parallelogramm ein Rechteck wie ganz links, so ist der Satz durch die obige Rechnung erklärt.

Figuren im Parabelsegment top
...... Man erhält ein Parabelsegment wie links, indem man die Normalparabel an der x-Achse spiegelt und um eine Einheit nach oben verschiebt. Das führt zur Funktionsgleichung mit f(x)=-x²+1.
Es soll untersucht werden, welche Abmessungen einige Figuren im Parabelsegment mit einem festen oder maximalen Flächeninhalt.



Gleichseitiges Dreieck
a=sqrt(7)-sqrt(3)

Kreis
 r=1/2

Halbkreis
r=(1/2)[sqrt(5)-1] 

Die roten Figuren haben einen maximalen Flächeninhalt.
Rechteck
Ansatz: A=2xy
Nebenbedingung: y=-x²+1
Zielfunktion: A(x)=2x(-x²+1)=-2x³+2x
A'(x)=-6x²+2, A''(x)=-12x. A'(x)=0 führt zu -6x²+2=0 oder x²=1/3 oder x=(1/3)sqrt(3) und y=2/3.
Das maximale Rechteck hat die Maße 2x=(2/3)sqrt(3) LE und y=2/3 LE.

Gleichschenkliges Dreieck
Ansatz: A=(1/2)2xy=xy 
Rechnung wie beim Rechteck
Lösung: x=(1/3)sqrt(3) und y=2/3
Das maximale Dreieck hat die Maße 2x=(2/3)sqrt(3) LE und y=2/3 LE.

Gleichschenkliges Trapez
Ansatz: A=(1/2)(2+2x)y=(1+x)y 
Nebenbedingung: y=-x²+1
Zielfunktion: A(x)=(x+1)(-x²+1) oder A(x)==-x³+x-x²+1
A'(x)=-3x²-2x+1. A'(x)=0 führt zu x²+(2/3)x-1/3=0 oder x=1/3 und dann y=8/9.
Das maximale Trapez hat die Grundseiten 2 LE, 2/3 LE und die Höhe 8/9 LE.

Rechtwinkliges Dreieck
Ansatz: A=(1/2)(1+x)y
Rechnung wie beim gleichschenkligen Trapez.
Lösung: x=1/3 und y=8/9
Das maximale Dreieck hat die Katheten 4/3 LE und 8/9 LE.

Parabelsegment
Für welchen Parameter a ist der Flächeninhalt des rot gekennzeichneten Parabelsegments maximal?
Schnittpunkt der beiden Parabeln
Ansatz: ax²=-x²+1
Dann ist (a+1)x²=1 oder x²=1/(a+1) und xs=sqrt[1/(a+1)]=(a+1)-1/2.
Weiter ist ys=1-1/(a+1)=a/(a+1). 

Für die Fläche (1/2)A(a) gilt


Dann ist nach der Produktregel die Ableitung (3/4)A'(a) wie folgt.

[(3/4)A]'=0 führt zu 1-(3/2)a/(a+1)=0 oder 2(a+1)=3a oder a=2.
Lösung: Die Fläche ist maximal für a=2.

Wurzelfunktion   top
...... Spiegelt man den roten Parabel-Ast an der ersten Winkelhalbierenden, so ergibt sich der Graph einer Wurzelfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion von f(x)=x² für x>=0.
Aus y=x²folgt nämlich x=sqrt(y) oder nach Vertauschen von x und y die Gleichung der Wurzelfunktion y=sqrt(x).


Parabel als Ortslinie top
...... Gegeben sind die Gerade l und der Punkt F. 
Dann gilt: 
Alle Punkte, die den gleichen Abstand von der Gerade l und die gleiche Entfernung vom Punkt F haben, liegen auf einer Parabel. Die Gerade heißt Leitlinie und der Punkt Brennpunkt (Fokus).


Beweis:
......
Die Kurve ist wirklich eine Parabel, wie die folgende Rechnung zeigt. 
Vorweg: Es sei LS=SF=p/2.
Dann gilt FP=PQ oder sqrt[(y-p/2)²+x²]=y+p/2 oder x²=2py oder y=[1/(2p)]x². 
Die Gleichung  y=[1/(2p)]x² beschreibt eine Parabel.

...... Die Strecke LF=p heißt Parameter. 
Die horizontal liegende Sehne QP durch den Brennpunkt hat die Länge 2p und gibt die "Breite" der Parabel an. 

Satz von den Sehnen top
...... Zeichnet man parallele Sehnen der Parabel und ermittelt deren Mittelpunkte, so liegen sie auf einer Parallelen zur y-Achse. 
Diese Parallele heißt auch Durchmesser der Parabel.


Beweis:
Man bestimmt die Schnittpunkte der Parabel y=[1/(2p)]x² mit einer Geraden y=mx+b.
Aus [1/(2p)]x² = mx+b folgt die quadratische Gleichung x²-2pmx-2pb=0 mit den Lösungen x1=pm+sqrt(p²m²+2pb) und x2=pm-sqrt(p²m²+2pb). Es gilt dann (x1+x2)/2=pm. Der Term pm ist konstant. Die Gerade x=pm ist eine Parallele zur y-Achse. 

Über Tangenten  top
Gleichung der Tangente
Die Tangente durch den Punkt P1(x1|y1) der Parabel mit f(x)=1/(2p)x² hat die Steigung f '(x1)=(1/p)x1
Die Punktsteigungsform der Geradengleichung lautet (y-y1)/(x-x1)=f '(x1).
Dann ist die Gleichung der Tangente y=(x1/p)x+y1.


Raute
...... Greift man die Figur der Parabel als Ortslinie noch einmal auf, so kann man sie so ergänzen, dass eine Raute entsteht. 
Es gilt PQ parallel FT. Dann gilt weiter neben PQ=FP auch FT=PQ. Nach der Tangentengleichung ist nämlich FT=y1+p/2. Das gilt auch für PQ. Damit ist das Viereck TQPF eine Raute.
Die Raute führt zu folgenden Aussagen.
>Die Parabeltangente halbiert den Winkel zwischen Brennstrahl PF und Leitstrahl PQ.
>Die Tangente liegt in Richtung der Diagonale einer Raute. Die andere Diagonale verläuft durch den Brennpunkt. Das führt zur Hüllkonstruktion der Parabel im nächsten Kapitel. 

Parabolspiegel
...... Die eingezeichnete Senkrechte zur Tangente kann als Einfallslot eines Lichtstrahls gedeutet werde, der vom Brennpunkt F ausgeht und in P unter dem gleichen Winkel reflektiert wird. Stellt man sich die Figur noch dreidimensional vor, hat man einen Parabolspiegel vor sich. Da der Lichtweg umkehrbar ist, zeigt die Figur auch, dass achsenparallele Strahlen im Brennpunkt zusammentreffen. So erklärt sich der Name Brennpunkt.

Parabeln zeichnen  top
Schablone
...... Man verwendet zum schnellen Zeichnen der Normalparabel eine Schablone, die meist praktischerweise auch die Sinuskurve enthält. Die Einheit ist 1cm. 


Fadenkonstruktion
...... In dieser Fadenkonstruktion wird die Definition der Parabel als Ortslinie verwendet. Man stellt ein Reißbrett und eine Reißschiene bereit. Ein Faden der Länge AB wird an einem Ende an der Schiene in A befestigt, am anderen Ende in Punkt F. Fährt man eine Bleistiftspitze an der Reißschiene entlang bei gespanntem Faden, so entsteht eine Parabel. 
Es gilt AP+PB=PF+PA. Daraus folgt PF=PB. Die linke Kante des Reißbrettes ist die Leitlinie, der Punkt F Brennpunkt.

Hüllkonstruktion
...... ...... Die Parabel kann als Einhüllende von Tangenten ermittelt werden.
Das ergibt sich aus den Diagonalen der Raute (s.o.)

Parabel als Graph einer Relation     top
...... Bei dieser Lage der Normalparabel ist die x-Achse jetzt ihre Symmetrieachse. 
Die y- und die x-Achse sind ausgetauscht. Die Gleichung ist jetzt y²=x.
Die Parabel ist jetzt nicht mehr der Graph einer Funktion, sondern einer Relation. Bei einer Funktion  verlangt man, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist. Hier gehören zu jedem x-Wert zwei y-Werte. Diese Relation ist nur noch für positive reelle Zahlen einschließlich 0 erklärt.
Die Gleichung kann zu y²=2px (Scheitelgleichung) und weiter zu ay²+by+c=x verallgemeinert werden.

In dieser Form wird die Parabel in der Analytischen Geometrie als Kegelschnitt behandelt.


Parabel als Kegelschnitt top
Kegelschnitte
...... Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen, so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien. 
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel  erreicht, erzeugt eine Hyperbel
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel

Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem.


Parabel als Kegelschnitt
Die Parabel wird etwas genauer untersucht.
......
Schrägbild eines parabolischen Kegelschnitts.

Die Schnittebene liegt parallel zu einer Mantellinie s.

Legt die Schnittebene etwas flacher, ergibt sich eine Ellipse. So kann die Parabel als Grenzlinie einer Ellipse angesehen werde. Der eine Scheitel ist sichtbar, der andere liegt "im Unendlichen". 


Zum Beweis
...... Zum Nachweis, dass die Schnittlinie eine Parabel ist, legt man in den Kegel eine sogenannte Dandelinsche Kugel so, dass sie den Kegel im roten Kreis  und die Ebene in Punkt F berührt. Die Ebene, in der der rote Kreis liegt, schneidet die Ebene, in der die Parabel liegt, in der Geraden l.

Ist P ein beliebiger Punkt der Parabel, so kann gezeigt werden, dass er gleich weit von Punkt F und von der Schnittgeraden l entfernt ist.

Nach einer oben dargestellten Überlegung ist das eine kennzeichnende Eigenschaft der Parabel. Die Gerade heißt wie oben Leitlinie l und der Punkt Brennpunkt F.

Links der Aufriss des Kegelschnitts. Er ist so angelegt, dass PL=P''L'' gilt.

Es gilt der Reihe nach
1. PF=PQ 
2. PQ=AB 
3. A''B''=P''L''=PL
4. PQ=AB=A''B''
Danach ist PL=PF, wzbw.

(1)

Scheitelgleichungen der Kegelschnitte
Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²

Es ergeben sich 
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2.


Quadratische Gleichung in zwei Variablen
......
Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0. 
Eine Parabel liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²=0 ist (3).
Die nebenstehende Parabel ist der Graph der Relation x²-2xy+y²-4x-4y+4=0. Offensichtlich bewirkt der Term xy eine Neigung der Symmetrieachse.

Delisches Problem  (Problem der Würfelverdoppelung)   top
Der Sage nach sollten die Griechen nach einer Antwort des Orakels auf  Delos von der Pest befreit werden, wenn sie den würfelförmigen Altar des Apollo doppelt so groß machten. (Dieses ist eine Version der Geschichte.)
...... Das Problem der Würfelverdoppelung führt mit dem Ansatz 2a³=x³ zur Lösung x=a*2^(1/3). Für die Griechen galt dies nicht als Lösung, denn die Strecke x musste nur mit Zirkel und Lineal aus der Strecke a ermittelt werden. Man weiß heute, dass diese Aufgabe unlösbar ist, denn nur Terme mit Quadratwurzeln sind konstruierbar. Kreise und Geraden führen nämlich zu linearen und quadratischen Gleichungen, zu denen x³=2a³ nicht gehört.


...... Der griechische Mathematiker Menaechmus (um 380–ca. 320 v. Chr., er lebte unter Alexander dem Großen) beschäftigte sich mit  Kegelschnitten. 

In diesem Zusammenhang gab er eine Lösung des Delischen Problems mit Hilfe des Schnittpunktes zweier Parabeln an.

Wählt man y² = 2x and y = x², so hat der Schnittpunkt die Abszisse  x=2^(1/3).


Polargleichung der Parabel top
An Stelle der Koordinaten x und y wird die Lage eines Punktes durch die Entfernung r vom Nullpunkt und dem Winkel zwischen r und der positiven Richtung der x-Achse beschrieben. Es gilt x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi).
...... Die Polargleichung wird einfach, wenn man den Brennpunkt als Nullpunkt des Koordinatensystems wählt. Die Parabelgleichung heißt dann y²=2p(x+p/2). Man ersetzt x und y und erhält r²*sin²(phi)=2p[r*cos(phi)+p/2]. Das ist eine quadratische Gleichung in r. Löst man sie in einer längeren Rechnung, so ist die positive Lösung r=p/[1-cos(phi)] die gesuchte Polargleichung. 
Der Definitionsbereich ist D={phi| 0<phi<360°}.


Weitere Parabeln  top
Potenzfunktionen
...... Bisher waren Parabeln immer das Bild quadratischer Gleichungen. 

Man bezeichnet die Graphen von Potenzfunktionen n-ter Ordnung mit f(x)=xn (n ist eine natürliche Zahl) auch als Parabeln, und zwar als Parabeln n-ter Ordnung.

Links Graphen für n=1, 2, 3, 5, 8, 21.

Für n=3 ergeben sich kubische Parabeln, die allgemeiner durch y=ax³ (a ungleich 0) beschrieben werden.

Nur die Parabeln zweiter Ordnung haben einen Brennpunkt und eine Leitlinie.


Neilsche Parabeln (Semikubische Parabeln)
Die Gleichung y²-ax³=0 ( a ungleich 0) beschreibt die Neilschen Parabeln. 

Das Aussehen links erhält man für a=1.
 

Im ersten Quadranten ähnelt sie dem Parabel-Ast der Normalparabel. 
Darauf weist die Umwandlung der Gleichung y²=x³ in y=x1,5 hin. 


Kettenlinie (Katenoide)
Die Kettenlinie wird leicht mit der Parabel verwechselt. Zum Beispiel das halbe Logo von McDonald's , viele Brückenbögen und der Gateway Arch von St. Louis sind Kettenlinien und keine Parabeln.
...... Man erhält eine Kettenlinie, wenn man zum Beispiel wie links eine Uhrenkette an den Enden aufhängt und frei hängen lässt.

Dahinter steht die Funktionsgleichung f(x)=(ex+e-x)/2 oder f(x)=cosh(x).

......
Es gibt bei mir eine Webseite über die Kettenlinie

Ich verweise noch auf zwei weitere Webseiten.

Paraboloid

Schwerpunktberechnungen durch Integrale



Parabeln im Internet top

Deutsch

Arndt  Brünner 
Quadratische Funktion durch 3 Punkte finden

Klaus Rottbrand
Vertikale Parabeln und Quadratische Gleichungen

Matroids Matheplanet
Zur Scheitelbestimmung bei quadratischen Funktionen

Wikipedia
Parabel (Mathematik)Quadratische Funktion, Quadratische GleichungParabelschablone

www.schulphysik.de
Parabel- Graphik- Rechner


Englisch

Alexander Bogomolny  (Cut-the-Knot)
Two Tangents to ParabolaParabolic MirrorParabola as envelope of linesReflective properties of parabola
The Parabola

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Parabola, Conic Section, Parabola Evolute, Paraboloid, Semicubical Parabola 

Gary S. Stoudt (The Mathematical Association of America)
Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? (Apollonius, Conics, Book I, Proposition 11)

JOC/EFR/BS (The MacTutor History of Mathematics archive)
Parabola

Rick Parris
Winplot

Wikipedia
Parabola, Parabolic reflector, Conic section

Xah Lee
Parabola, Conic SectionsConic Sections - Related Web Sites


Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve)
Parabole, CHAÎNETTE


Referenzen   top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch für höhere Lehranstalten, Oberstufe, Braunschweig 1940
(2) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel 1997
(3) Autorengemeinschaft:  Algebra und Geometrie für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 [ISBN 978-3-87144-107-3] 
(4) Rademacher Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Berlin Heidelberg New York, 1968 [ISBN 3-540-04190-7]
(5) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 


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©  2007 Jürgen Köller

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