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Was ist eine Parabel?
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Die Parabel ist eine mathematische Kurve.
Man erhält eine einfache Parabel, die Normalparabel, als Graph
der quadratischen Funktion mit f(x)=x². Wie alle Parabeln ist sie
achsensymmetrisch, hat einen Scheitelpunkt S und einen Brennpunkt F. |
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Für diese Seite habe ich Bekanntes zur Parabel ausgewählt
und knapp beschrieben.
Parabelschar top
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Man erhält alle Formen der Parabel, wenn in der Funktionsgleichung
f(x)=ax² die Variable a alle positiven reellen Zahlen durchläuft.
In der Parabelschar sind es stellvertretend fünf Zahlen. |
So wie die Kreise sind alle Parabeln ähnlich, wenn es auch nicht so
aussieht.
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine einfache Verkleinerung
oder Vergrößerung ineinander übergeführt werden können.
Das erreicht man durch eine Maßstabsänderung.
Man wählt x=(1/a)X und y=(1/a)Y. Dann wird y=ax² zu
(1/a)Y=a[(1/a)X]² oder Y=X².
Aus jeder Parabel wird also eine Normalparabel.
(4)
Scheitelform top
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Verallgemeinert man f(x)=ax² zur Gleichung einer quadratischen
Funktion f(x)=ax²+bx+c, so liegt der Scheitelpunkt nicht mehr unbedingt
im Nullpunkt.
Die nebenstehende Parabel wird durch die Gleichung f(x)=0,5x²-1,5x+2
beschrieben. |
Mit Hilfe der "quadratischen Ergänzung"
kann man allgemein die Gleichung so umformen, dass man die Lage des Scheitelpunktes
erkennt.
f(x)=ax²+bx+c (allgemeine Form)
<=> f(x)=a[x²+(b/a)x]+c
<=> f(x)=a[x²+(b/a)x+(b/{2a})²]-[b²/(4a)]+c
<=> f(x)=a[x+b/(2a)]²-[b²/(4a)]+c (Scheitelform)
Der Scheitel liegt an der Stelle xs=-b/(2a). Dann ist f(xs)=c-b²/(4a).
Ist a=0,5 und b=-1,5 und c=2, so sind xs=1,5 und ys=0,875.
Das bestätigt die Zeichnung oben.
Neben der Scheitelform gibt es noch die
Produktform f(x)=a(x-x1)(x-x2), die in dieser Form
nur existiert, wenn die Parabel die x-Achse an zwei Stellen schneidet,
nämlich in x1 und in x2.
Steigungsproblem
top
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Zeichnet man durch den Punkt P1 der Normalparabel zu f(x)=x²
Geraden, so schneiden sie die Parabel im allgemeinen in zwei Punkten.
Es gibt neben der Parallelen zur y-Achse nur eine zweite Gerade, die
mit der Parabel einen Punkt gemeinsam hat. Das ist die rote Gerade, die
auf einer Seite der Parabel liegt und die sie im Punkte P1 berührt.
Diese Gerade heißt Tangente. |
Es stellt sich die Frage, in welcher Weise die Steigung der Tangente von
der Stelle x1 abhängt.
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Zur Bestimmung betrachtet man einen Punkt Pn, der sich auf
P1 zu bewegt, und gleichzeitig die Steigung der Sekante PnP1.
| In Formelsprache sieht das so aus: |
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Durch den Trick mit der dritten binomischen Formel und durch Kürzen
erreicht man, dass der Grenzwert problemlos gebildet werden kann.
Ergebnis: Die Parabel hat an der Stelle x1 die Steigung
2x1.
In diesen Überlegungen liegt eine
Bedeutung der Parabel: Sie gestattet einen einfachen Zugang zur Differentialrechnung.
Flächenproblem
top
Es geht um das Problem, den (gelben) Flächeninhalt eines Flächenstückes
zu berechnen, das von der Parabel und einer Schnittgeraden begrenzt wird.
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Im hier gewählten einfachen Fall ist die Parabel eine Normalparabel
mit f(x)=x².
Die Schnittgerade ist die Horizontale y=x1².
Man bestimmt der Einfachheit halber zunächst den grünen Flächeninhalt
unter der Parabel, der rechts von x=x1 begrenzt wird. |
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Dazu zeichnet man n Streifen der Breite x1/n und zunehmender
Höhe, die die Parabel überdecken.
Der Flächeninhalt dieser Treppenfläche ist
An=(x1/n)(1*x1/n)²+(x1/n)(2*x1/n)²+(x1/n)(3*x1/n)²+...+(x1/n)[(n+1)*x1/n)]²
=[1²+2²+3²+...+(n+1)²]/n³*x1³=[(1/6)n(n+1)(2n+1)]/n³*x1³=[(n+1)(2n+1)/(6n²)]x1³ |
Lässt man die Anzahl n der Streifen gegen Unendlich gehen und so die
Streifenbreite gegen Null, so geht An gegen (1/3)x1³.
Das ist der Flächeninhalt unter der Parabel.
Für das Parabelsegment ist dann A=(2x1)x1²-(2/3)x1³=(4/3)x1³.
In diesen Überlegungen liegt eine
weitere Bedeutung der Parabel: Sie gestattet einen einfachen Zugang zur
Integralrechnung.
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Im Bronstein (5) findet man den folgenden Satz.
Der Flächeninhalt des Parabelsegments verhält sich zum Flächeninhalt
des Parallelogramms wie 2 zu 3.
Ist das Parallelogramm ein Rechteck wie ganz links, so ist der Satz
durch die obige Rechnung erklärt. |
Figuren im Parabelsegment
top
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Man erhält ein Parabelsegment wie links, wenn man die Normalparabel
an der x-Achse spiegelt und um eine Einheit nach oben verschiebt. Das führt
zur Funktionsgleichung f(x)=-x²+1
Es soll untersucht werden, welche Abmessungen einige Figuren im Parabelsegment
mit einem festen oder maximalen oder festen Flächeninhalt. |
Feste Figuren
Gleichseitiges Dreieck
a=sqrt(7)-sqrt(3)
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Kreis
r=1/2
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Halbkreis
r=(1/2)[sqrt(5)-1]
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Die roten Figuren
haben einen maximalen Flächeninhalt.
Rechteck
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Ansatz: A=2xy
Nebenbedingung: y=-x²+1
Zielfunktion: A(x)=2x(-x²+1)=-2x³+2x
A'(x)=-6x²+2, A''(x)=-12x. A'(x)=0 führt zu -6x²+2 oder
x²=1/3 oder x=(1/3)sqrt(3) und y=2/3. |
Das maximale Rechteck hat die Maße x=(2/3)sqrt(3) LE und y=2/3 LE.
Gleichschenkliges Dreieck
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Ansatz: A=(1/2)2xy=xy
Rechnung wie beim Rechteck
Lösung: x=(1/3)sqrt(3) und y=2/3 |
Das maximale Dreieck hat die Maße x=(2/3)sqrt(3) LE und y=2/3 LE.
Gleichschenkliges Trapez
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Ansatz: A=(1/2)(2+2x)y=(1+x)y
Nebenbedingung: y=-x²+1
Zielfunktion: A(x)=(x+1)(-x²+1) oder A(x)==-x³+x-x²+1
A'(x)=-3x²-2x+1. A'(x)=0 führt zu x²+(2/3)x-1/3=0 oder
x=1/3 und y=8/9. |
Das maximale Trapez hat die Grundseiten 2 LE, 1/3 LE und die Höhe
8/9 LE.
Rechtwinkliges Dreieck
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Ansatz: A=(1/2)(1+x)y
Rechnung wie beim gleichschenkligen Trapez.
Lösung: x=1/3 und y=8/9 |
Das maximale Dreieck hat die Grundseiten 2 LE, 1/3 LE und die Höhe
8/9 LE.
Parabelsegment
Für welchen Parameter a ist der Flächeninhalt des rot gekennzeichneten
Parabelsegments maximal?
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Schnittpunkt der beiden Parabeln:
Ansatz: ax²=-x²+1
Dann ist (a+1)x²=1 oder x²=1/(a+1) und xs=sqrt[1/(a+1)]=(a+1)-1/2
Weiter ist ys=-1/(a+1)+1=a/(a+1) |
Für die Fläche (1/2)A(a) gilt
Dann ist nach der Produktregel die Ableitung (3/4)A'(a)
wie folgt.
[(3/4)A]'=0 führt zu 1-(3/2)a/(a+1)=0 oder 2(a+1)=3a oder a=2.
Lösung: Die Fläche ist maximal für a=2.
Wurzelfunktion top
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Spiegelt man den roten Parabel-Ast an der ersten Winkelhalbierenden,
so ergibt sich der Graph einer Wurzelfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion
von f(x)=x² für x>=0.
Aus y=x² folgt
nämlich x=sqrt(y) oder nach Vertauschen
von x und y die Gleichung der Wurzelfunktion y=sqrt(x). |
Parabel als Ortslinie top
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Gegeben sind die Gerade l und der Punkt F.
Dann gilt:
Alle Punkte, die den gleichen Abstand von der Gerade l und die gleiche
Entfernung vom Punkt F haben, liegen auf einer Parabel. Die Gerade heißt
Leitlinie und der Punkt Brennpunkt (Fokus). |
Beweis:
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Die Kurve ist wirklich eine Parabel, wie die folgende Rechnung zeigt.
Vorweg: Es sei LS=SF=p/2.
Dann gilt FP=PQ oder sqrt[(y-p/2)²+x²]=y+p/2 oder x²=2py
oder y=(1/2p)x².
Die Gleichung y=1/(2p)x² beschreibt eine Parabel. |
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Die Strecke LF=p heißt Parameter.
Die horizontal liegende Sehne QP durch den Brennpunkt hat die Länge
2p und gibt die "Breite" der Parabel an. |
Satz von den Sehnen top
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Zeichnet man parallele Sehnen der Parabel und ermittelt deren Mittelpunkte,
so liegen sie auf einer Parallelen zur y-Achse.
Diese Parallele heißt auch Durchmesser der Parabel. |
Beweis:
Man bestimmt die Schnittpunkte der Parabel y=1/(2p))x² mit einer
Geraden y=mx+b.
Aus 1/(2p)x² = mx+b folgt die quadratische Gleichung x²-2pmx-2pb=0
mit den Lösungen x1=pm+sqrt(p²m²+2pb) und x2=pm-sqrt(p²m²+2pb).
Es gilt dann (x1+x2)/2=pm. Der Term pm ist konstant.
Die Gerade x=pm ist eine Parallele zur y-Achse.
Über Tangenten top
Gleichung der Tangente
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Die Tangente durch den Punkt P1(x1|y1)
der Parabel mit f(x)=1/(2p)x² hat die Steigung f '(x1)=(1/p)x1.
Die Punktsteigungsform der Geradengleichung lautet (y-y1)/(x-x1)=f
'(x1).
Dann ist die Gleichung der Tangente y=(x1/p)x+y1. |
Raute
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Greift man die Figur der Parabel als Ortslinie noch einmal auf, so
kann man sie so ergänzen, dass eine Raute entsteht.
Es gilt PQ parallel FT. Dann gilt weiter neben PQ=FP
auch FT=PQ. Nach der Tangentengleichung ist nämlich FT=y1+p/2.
Das gilt auch für PQ. Damit ist das Viereck TQPF eine Raute. |
Die Raute führt zu folgenden Aussagen.
>Die Parabeltangente halbiert den Winkel zwischen Brennstrahl PF und
Leitstrahl PQ.
>Die Tangente liegt in Richtung der Diagonale einer Raute. Die andere
Diagonale verläuft durch den Brennpunkt. Das führt zur Hüllkonstruktion
der Parabel im nächsten Kapitel.
Parabolspiegel
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Die eingezeichnete Senkrechte zur Tangente kann als Einfallslot eines
Lichtstrahls gedeutet werde, der vom Brennpunkt F ausgeht und in P unter
dem gleichen Winkel reflektiert wird. Stellt man sich die Figur noch dreidimensional
vor, hat man einen Parabolspiegel vor sich. Da der Lichtweg umkehrbar ist,
zeigt die Figur auch, dass achsenparallele Strahlen im Brennpunkt zusammentreffen.
So erklärt sich der Name Brennpunkt. |
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Parabeln zeichnen top
Schablone
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Man verwendet zum schnellen Zeichnen der Normalparabel eine Schablone,
die meist praktischerweise auch die Sinuskurve enthält. Die Einheit
ist 1cm. |
Fadenkonstruktion
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In dieser Fadenkonstruktion wird die Definition als Ortslinie verwendet.
Man stellt ein Reißbrett und eine Reißschiene bereit. Ein Faden
der Länge AB wird an einem Ende an der Schiene in A befestigt, am
anderen Ende in Punkt F. Fährt man eine Bleistiftspitze an der Reißschiene
entlang bei gespanntem Faden, so entsteht eine Parabel. |
Es gilt AP+PB=PF+PA. Daraus folgt PF=PB. Die linke Kante des Reißbrettes
ist die Leitlinie, der Punkt F Brennpunkt.
Hüllkonstruktion
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Die Parabel kann als Einhüllende von Tangenten ermittelt werden.
Das ergibt sich aus den Diagonalen der Raute (s.o.) |
Parabel als Graph
einer Relation top
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Bei dieser Lage der Normalparabel ist die x-Achse jetzt ihre Symmetrieachse.
Die y- und die x-Achse sind austauscht. Die Gleichung ist jetzt y²=x.
Die Parabel ist jetzt nicht mehr der Graph einer Funktion, sondern
einer Relation. Bei ihr verlangt man nicht, dass jedem x-Wert genau ein
y-Wert zugeordnet ist. Hier gehören zu jedem x-Wert zwei y-Werte.
Diese Relation ist nur noch für positive reelle Zahlen einschließlich
0 erklärt. |
Die Gleichung kann zu y²=2px (Scheitelgleichung) und weiter zu ay²+by+c=x
verallgemeinert werden.
In dieser Form wird die Parabel in der Analytischen Geometrie als Kegelschnitt
behandelt.
Parabel als Kegelschnitt top
Kegelschnitte
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Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen,
so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien.
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt
eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel erreicht, erzeugt
eine Hyperbel.
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel.
Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem. |
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Parabel als Kegelschnitt
Die Parabel wird etwas genauer untersucht.
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Schrägbild eines parabolischen Kegelschnitts.
Die Schnittebene liegt parallel zu einer Mantellinie s.
Legt die Schnittebene etwas flacher, ergibt sich eine Ellipse. So kann
die Parabel als Grenzlinie einer Ellipse angesehen werde. Der eine Scheitel
ist sichtbar, der andere liegt "im Unendlichen". |
Zum Beweis
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Zum Nachweis, dass die Schnittlinie eine Parabel ist, legt man in den
Kegel eine sogenannte Dandelinsche Kugel so, dass sie den Kegel im roten
Kreis und die Ebene in Punkt F berührt. Die Ebene, in der der
rote Kreis liegt, schneidet die Ebene, in der die Parabel liegt, in der
Geraden l.
Ist P ein beliebiger Punkt der Parabel, so kann gezeigt werden, dass
er gleich weit von Punkt F und von der Schnittgeraden l entfernt ist.
Nach einer oben dargestellten Überlegung ist das eine kennzeichnende
Eigenschaft der Parabel. Die Gerade heißt wie oben Leitlinie l und
der Punkt Brennpunkt F. |
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Links der Aufriss des Kegelschnitts. Er ist so angelegt, dass PL=P''L''
gilt.
Es gilt der Reihe nach
1. PF=PQ
2. PQ=AB
3. A''B''=P''L''=PL
4. PQ=AB=A''B''
Danach ist PL=PF, wzbw. |
(1)
Scheitelgleichungen der Kegelschnitte
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Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²
Es ergeben sich
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2. |
Quadratische Gleichung
in zwei Variablen
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Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.
Eine Parabel liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²=0 ist (3).
Die nebenstehende Parabel ist der Graph der Relation x²-2xy+y²-4x-4y+4=0.
Offensichtlich bewirkt der Term xy eine Neigung der Symmetrieachse. |
Delisches Problem
(Problem der Würfelverdoppelung) top
Der Sage nach sollten die Griechen nach einer
Antwort des Orakels auf Delos von der Pest befreit werden, wenn sie
den würfelförmigen Altar des Apollo doppelt so groß machten.
(Dieses ist eine Version der Geschichte.)
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Das Problem der Würfelverdoppelung führt
mit dem Ansatz 2a³=x³ zur Lösung x=a*2^(1/3). Für die
Griechen galt dies nicht als Lösung, denn die Strecke x musste nur
mit Zirkel und Lineal aus der Strecke a ermittelt werden. Man weiß
heute, dass diese Aufgabe unlösbar ist, denn nur Terme mit Quadratwurzeln
sind konstruierbar. Kreise und Geraden führen nämlich zu linearen
und quadratischen Gleichungen, zu denen x³=2a³ nicht gehört. |
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Der griechische Mathematiker Menaechmus (um 380–ca. 320 v. Chr., er
lebte unter Alexander dem Großen) beschäftigte sich mit
Kegelschnitten.
In diesem Zusammenhang gab er eine Lösung des Delischen Problems
mit Hilfe des Schnittpunktes zweier Parabeln an.
Wählt man y² = x and x² = 2y, so hat der Schnittpunkt
die Abszisse x=2^(1/3). |
Polargleichung der Parabel
top
An Stelle der Koordinaten x und y wird die Lage eines Punktes durch
die Entfernung r vom Nullpunkt und dem Winkel zwischen r und der positiven
Richtung der x-Achse beschrieben. Es gilt x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi).
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Die Polargleichung wird einfach, wenn man den Brennpunkt als Nullpunkt
des Koordinatensystems wählt. Die Parabelgleichung heißt dann
y²=2p(x+p/2). Man ersetzt x und y und erhält r²*sin²(phi)=2p[r*cos(phi)+p/2].
Das ist eine quadratische Gleichung in r. Löst man sie in einer längeren
Rechnung, so ist die positive Lösung r=p/[1-cos(phi)] die gesuchte
Polargleichung.
Der Definitionsbereich ist D={phi| 0<phi<360°}. |
Weitere Parabeln top
Potenzfunktionen
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Bisher waren Parabeln immer das Bild quadratischer Gleichungen.
Man bezeichnet die Graphen von Potenzfunktionen n-ter Ordnung mit f(x)=xn
(n
ist eine natürliche Zahl) auch als Parabeln, und zwar als Parabeln
n-ter Ordnung.
Für n=3 ergeben sich kubische Parabeln, die allgemeiner durch y=ax³
(a ungleich 0) beschrieben werden.
Nur die Parabeln zweiter Ordnung haben einen Brennpunkt und eine Leitlinie. |
Neilsche Parabeln
(Semikubische Parabeln)
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Die Gleichung y²-ax³=0 ( a ungleich 0) beschreibt die Neilschen
Parabeln.
Das Aussehen links erhält man für a=1.
Im ersten Quadranten ähnelt sie dem Parabel-Ast der Normalparabel.
Das bestätigt die Umwandlung von y²=x³ in y=x1,5.
Die Normalparabel gehorcht y=x2,0. |
Kettenlinie (Katenoide)
Die Kettenlinie wird leicht mit der Parabel verwechselt. Zum Beispiel
das halbe Logo von McDonald's , viele Brückenbögen und der Gateway
Arch von St. Louis sind Kettenlinien statt Parabeln.
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Man erhält eine Kettenlinie, wenn man zum Beispiel meine Uhrenkette
bzw. die Halskette meiner Frau ;-) an den Enden aufhängt und frei
hängen lässt.
Dahinter steht die Funktionsgleichung f(x)=(ex+e-x)/2
oder f(x)=cosh(x). |
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Inzwischen gibt es bei mir eine Webseite über die Kettenlinie.
Parabeln werden auch auf anderen Seiten meiner Homepage angesprochen.
Quadratzahlen, Binomische
Formeln, Schwerpunkt einer Figur
Parabeln im Internet top
Deutsch
Arndt Brünner
Quadratische
Funktion durch 3 Punkte finden
Hubert Massin (Mathe-Kiste)
Parabel als Brückenkonstruktion
Klaus Rottbrand
Vertikale
Parabeln und Quadratische Gleichungen
Matroids Matheplanet
Zur
Scheitelbestimmung bei quadratischen Funktionen
Wikipedia
Parabel
(Mathematik), Quadratische
Funktion, Quadratische
Gleichung, Parabelschablone
www.schulphysik.de
Parabel-
Graphik- Rechner
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut-the-Knot)
Two
Tangents to Parabola, Parabolic
Mirror, Parabola
as envelope of lines, Reflective
properties of parabola,
The Parabola
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Parabola,
Conic
Section,
Parabola
Evolute,
Paraboloid,
Semicubical
Parabola
Gary S. Stoudt (The Mathematical Association of America)
Can
You Really Derive Conic Formulae from a Cone? (Apollonius, Conics,
Book I, Proposition 11)
JOC/EFR/BS (The MacTutor History of Mathematics archive)
Parabola
Rick Parris
Winplot
Wikipedia
Parabola, Parabolic
reflector, Conic
section
Xah Lee
Parabola,
Conic
Sections, Conic
Sections - Related Web Sites
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
Parabole,
CHAÎNETTE
Referenzen top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch für höhere
Lehranstalten, Oberstufe, Braunschweig 1940
(2) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere
mathematische Spielereien, Basel 1997
(3) Autorengemeinschaft: Algebra und Geometrie für Ingenieure,
Frankfurt/M Zürich 1966 [ISBN 978-3-87144-107-3]
(4) Rademacher Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Berlin Heidelberg
New York, 1968 [ISBN 3-540-04190-7]
(5) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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