Großes Rhombenikosidodekaeder
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Was ist das große Rhombenikosidodekaeder?
Abgestumpftes Ikosidodekaeder?
Beschreibungen
Größen
Dualer Körper
Rhombenikosidodekaeder im Internet
Referenzen
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Was ist das große Rhombenikosidodekaeder?
......
Das große Rhombenikosidodekaeder ist ein Körper, der von 30 Quadraten, 20 regelmäßigen Sechsecken und 12 regelmäßigen Zehnecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch nach einer möglichen Entstehung "abgestumpftes Ikosidodekaeder". 


Neben den 30+20+12=62 Seitenflächen hat das große Rhombenikosidodekaeder 180 Kanten und 120 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
 

durchsichtig

undurchsichtig


Da beim großen Rhombenikosidodekaeder (7) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Abgestumpftes Ikosidodekaeder?    top
...... Verbindet man die Kantenmitten eines Ikosaeders und entfernt die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht ein Ikosidodekaeder


...... Man kann vom Ikosidodekaeder wiederum Eckpyramiden entfernen. Dann werden aus den Fünfecken Zehnecke, aus den Dreiecken Sechsecke und die entfernte Pyramide hinterlässt scheinbar ein Quadrat. 
Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenikosidodekaeder aus einem Ikosidodekaeder gewinnen könne.
Betrachtet man dieses Vorgehen genauer, so ergibt sich ein Widerspruch. 
Wenn das Fünfeck zu einem regelmäßigen Zehneck mit der Seite a werden soll, muss man die Ecken abschneiden. 
Das blaue Dreieck kann aber nicht auch die Grundseite a haben. Da es gleichseitig ist, müssten die vier Seitenlängen der Pyramide auch gleich a sein. Das ist nicht möglich.
Die Grundfläche der Pyramide kann also kein Quadrat werden, sondern sie ist ein Rechteck mit den Seiten a und a'.
Der Name abgestumpftes Ikosidodekaeder ist also missverständlich. 

.......
abgestumpft und abgeschrägt..
Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten) wird demonstriert, dass man das große Rhombenikosidodekaeder als abgeschrägtes Pentagondodekaeder ansehen kann. 

..... Auf der Webseite wird das in einem Applet dargestellt.

Das Pentagondodekaeder wird so weit abgeschrägt, dass aus den Fünfecken regelmäßige Zehnecke und dazwischen Quadrate und regelmäßige Sechsecke entstehen. 


Beschreibungen    top
Umgebung der Vielecke
Jedes Quadrat ist von zwei Sechsecken und zwei Zehnecken umgeben.


Jedes Sechseck ist von drei Quadraten und drei Zehnecken umgeben.

Jedes Zehneck ist von fünf Quadraten und fünf Sechsecken umgeben.

Parallele Seitenflächen
Gleiche Vielecke liegen paarweise parallel zueinander.

Halbierung
Umläuft man längs einer Halbierungslinie den Körper, so folgen Zehneck/Quadrat/Zehneck und Sechseck/Quadrat/Sechseck abwechselnd aufeinander.

Parallelprojektionen
Das Quadrat, das Sechseck, das Zehneck, die Kanten 4/10, 4/6 und 4/10 und der Eckpunkt liegen vorne.

Ein Netz und ein Schlegel-Diagramm

Diagonalen
660 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Zehnecke, der Sechsecke und der Quadrate sind die Flächendiagonalen des Rhombenikosidodekaeder
Das Zehneck hat 35, das Sechseck 9 und das Quadrat hat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 12*35+20*9+30*2=660 Flächendiagonalen.

6300 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 120 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 11 Flächendiagonalen und 3 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 120-14=106 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*120*105=6300 Raumdiagonalen des Rhombenikosidodekaeder.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das große Rhombenikosidodekaeder bedeutet das, dass es (1/2)*120*119=7140 Verbindungslinien gibt. Das sind die 180 Kanten, 660 Flächendiagonalen und 6300 Raumdiagonalen.

Größen     top
Das große Rhombenikosidodekaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O , Abstand der Quadrate d4, Abstand der Sechsecke d6 und Abstand der Zehnecke d10 berechnen.


Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Im regelmäßigen Fünfeck mit der Seitenlänge a ist die Diagonale d=(1/2)[sqrt(5)+1]a.
Im Pentagondodekaeder ist der Radius der Inkugel r=(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a.
Quadrat
Flächeninhalt A4 = a² 
r4 = (1/2)sqrt(2)a
Regelmäßiges Sechseck
A6 = (3/2)sqrt(3)a² 
r6 = a 
Regelmäßiges Zehneck
A10 = (5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²
r10 = (1/2)[sqrt(5)+1]a. 

Radius der Umkugel
...... Oben wird dargestellt, dass man das große Rhombenikosidodekaeder aus dem Pentagondodekaeder gewinnen kann, indem man die Kanten abschrägt. 
Genauer muss man die Seiten eines Fünfecks des Dodekaeders in fünf gleiche Teile teilen und durch die Teilpunkte zu den Seiten Parallelen zeichnen. Verbindet man bestimmte Schnittpunkte wie links, entsteht das Zehneck des großen Rhombenikosidodekaeders.

...... Man beschriftet die Zeichnung und liest folgende Formeln ab.
Es ergibt sich nach dem 2.Strahlensatz a:d'=1:5 oder a=(1/5)d'.
Für die Diagonale des Fünfecks gilt d'=(1/2)[sqrt(5)+1]a'.
Dann ist a=(1/5)d'=(1/5)(1/2)[sqrt(5)+1]a' oder a=(1/10)[sqrt(5)+1]a'. 
Daraus ergibt sich a'=10a/[sqrt(5)+1] oder a'=(10/4)[sqrt(5)-1]a oder a'=(5/2)[sqrt(5)-1]a.

...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem R als Hypotenuse erscheint.
r=(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a' ist der Radius der Inkugel des Pentagondodekaeders.
r10 = (1/2)[sqrt(5)+1]a ist der Radius des Umkreises des Zehnecks.
Es gilt R²=r²+r10² oder R²=(1/400)[250+110sqrt(5)]a'²+(1/4)[sqrt(5)+1]²a² oder 
Setzt man a'=(5/2)[sqrt(5)-1]a ein und vereinfacht, so erhält man R²=(1/4)[31+12sqrt(5)]a².
Dann  ist R=(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a, wzbw.

Oberfläche O
O = 30*A4+20*A6+12*A10 
O = 30*a² + 20*(3/2)sqrt(3)a² +12*(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a² 
O = 30a²+30sqrt(3)a²+30sqrt[5+2sqrt(5)]a²
O = 30*{1+sqrt(3)+sqrt[5+2sqrt(5)]}a², wzbw.

Abstand der Quadrate d4
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d4/2)² = R²-r4² und weiter 
(d4/2)² = R²-r4² = {(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-[(1/2)sqrt(2)a]² =...
= [29/4+3sqrt(5)]a².
Weiter ist d4/2 = (1/2)sqrt[29+12sqrt(5)]a oder dank Derive d4/2 = (1/2)[3+2sqrt(5)]a.
Dann ist d4 = [3+2sqrt(5)]a, wzbw.

Abstand der Sechsecke d6
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d6/2)² = R²-r6² und weiter 
(d6/2)² = R²-R6² = {(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-a² = [27/4+3sqrt(5)]a². 
Weiter ist d6/2 = (1/2)sqrt[27+12sqrt(5)]a oder dank Derive d6/2 = (1/2)[2sqrt(3)+sqrt(15)]a.
Dann ist d6 = [2sqrt(3)+sqrt(15)]a, wzbw.

Abstand der Zehnecke d10
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers.
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d10/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d10/2)² = R²-r10² und weiter (d10/2)² = R²-R10²
= {(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-{(1/2)[sqrt(5)+1]a}² = [25/4+(5/2)sqrt(5)]a². 
Weiter ist d10/2 = (1/2)sqrt[25+10sqrt(5)]a.
Schließlich ist  d10 = sqrt[25+10sqrt(5)]a, wzbw.

Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenikosidodekaeders mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der Einzelpyramiden.
V = 30*(1/3)A4(d4/2) + 20*(1/3)A6(d6/2) + 12*(1/3)A10(d10/2)
V = 30*(1/3)a²(1/2)[3+2sqrt(5)]a
...+20*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²](1/2)[2sqrt(3)+sqrt(15)]a 
...+12*(1/3){(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²}(1/2)sqrt[25+10sqrt(5)]a
V = ...
V = 5[3+2sqrt(5)]a³+5[6+3sqrt(5)]a³+5[5sqrt5)+10]a³
V =...
V = [95+50sqrt(5)]a³, wzbw.

Dualer Körper top
Hexakisikosaeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des großen Rhombenikosidodekaeders, so entsteht der duale Körper, das Hexakisikosaeder oder das Disdyakistriakontaeder. 


Rhombenikosidodekaeder im Internet      top

Deutsch

Wikipedia
Ikosidodekaederstumpf, Archimedischer KörperCatalanischer KörperHexakisikosaeder



Englisch

Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Great Rhombicosidodecahedron,  Dual: Disdyakis Triacontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Truncated Icosahedron and the Truncated Icosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Icosidodecahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Truncated icosidodecahedron, Archimedean solid, Catalan solidDisdyakis triacontahedron


Referenzen     top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 113)


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©  2008, erweitert 2/2014, Jürgen Köller

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