Großes Rhombenikosidodekaeder
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Was ist das große Rhombenikosidodekaeder?
Beschreibung
Besondere Ansichten
Abgestumpftes Ikosidodekaeder?		 Größen
Rhombenikosidodekaeder im Internet 
Referenzen
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Was ist das große Rhombenikosidodekaeder?
......
 Das große Rhombenikosidodekaeder ist ein Körper, der von 30 Quadraten, 20 regelmäßigen Sechsecken und 12 regelmäßigen Zehnecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch nach einer möglichen Entstehung "abgestumpftes Ikosidodekaeder". 
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen Körpern. 

Neben den 30+20+12=62 Seitenflächen hat das große Rhombenikosidodekaeder 180 Kanten und 120 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.

undurchsichtig:

durchsichtig:

Beschreibung   top

Jedes Quadrat ist von zwei Sechsecken und zwei Zehnecken umgeben.

Jedes Sechseck ist von drei Quadraten und drei Zehnecken umgeben.

Jedes Zehneck ist von fünf Quadraten und fünf Sechsecken umgeben.

Umläuft man längs einer Halbierungslinie den Körper, so folgen Zehneck/Quadrat/Zehneck und Sechseck/Quadrat/Sechseck abwechselnd aufeinander.
Wie viele Ringe dieser Art gibt es?

Besondere Ansichten  top

Ein Quadrat liegt vorne.

Ein Sechseck liegt vorne.

Ein Zehneck liegt vorne.


Die gemeinsame Kante 
Quadrat/Achteck liegt vorne.

Die gemeinsame Kante 
Quadrat/Sechseck liegt vorne.

Die gemeinsame Kante 
Quadrat/Zehneck liegt vorne.

Eine Eckpunkt liegt vorne.

Abgestumpftes Ikosidodekaeder?    top
...... Verbindet man die Kantenmitten eines Ikosaeders und entfernt die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht ein Ikosidodekaeder. 

...... Man kann vom Ikosidodekaeder wiederum Eckpyramiden entfernen. Dann werden aus den Fünfecken Zehnecke, aus den Dreiecken Sechsecke und die entfernte Pyramide hinterlässt scheinbar ein Quadrat. 

Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenikosidodekaeder aus einem Ikosidodekaeder gewinnen könne.
Betrachtet man dieses Vorgehen genauer, so ergibt sich ein Widerspruch. 
Wenn das Fünfeck zu einem regelmäßigen Zehneck mit der Seite a werden soll, muss man die Ecken abschneiden. 
Das blaue Dreieck kann aber nicht auch die Grundseite a haben. Da es gleichseitig ist, müssten die vier Seitenlängen der Pyramide auch gleich a sein. Das ist nicht möglich.
Die Grundfläche der Pyramide kann also kein Quadrat werden, sondern sie ist ein Rechteck mit den Seiten a und a'.
Der Name abgestumpftes Ikosidodekaeder ist also missverständlich. 
...... Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten) wird demonstriert, dass man das große Rhombenikosidodekaeder als abgeschrägtes Ikosidodekaeder verstehen kann. 

Das werde ich an dieser Stelle später einmal weiter ausführen. 

Größen  top
Das große Rhombenikosidodekaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O , Abstand der Quadrate d4, Abstand der Sechsecke d6 und Abstand der Zehnecke d10 berechnen.

Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Quadrat
Flächeninhalt A4=a² 
R4=(1/2)sqrt(2)a		 Regelmäßiges Sechseck
A6=(3/2)sqrt(3)a² 
R6=a 		 Regelmäßiges Zehneck
A10=(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²
R10=(1/2)[sqrt(5)+1]a. 

Ich setze voraus, dass der Radius der Umkugel R mit R=(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a gegeben ist. (einfache Herleitung?)
Oberfläche O
O=30*A4+20*A6+12*A10=30*a² + 20*(3/2)sqrt(3)a² +12*(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a² 
=30a²+30sqrt(3)a²+30sqrt[5+2sqrt(5)]a²
=30{1+sqrt(3)+sqrt[5+2sqrt(5)]}a², wzbw.

Abstand der Dreiecke d4
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d4/2)²=R²-R4² und weiter 
(d4/2)²=R²-R4²={(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-[(1/2)sqrt(2)a]²=...=[29/4+3sqrt(5)]a²
Weiter ist d4/2=(1/2)sqrt[29+12sqrt(5)]a oder dank Derive d4/2=(1/2)[3+2sqrt(5)]a
Abstand der Quadrate d6
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d6/2)²=R²-R6² und weiter 
(d6/2)²=R²-R6²={(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-a²=[27/4+3sqrt(5)]a² 
Weiter ist d6/2=(1/2)sqrt[27+12sqrt(5)]a oder dank Derive d6/2=(1/2)[2sqrt(3)+sqrt(15)]a
Abstand der Fünfecke d10
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d5/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d10/2)²=R²-R10² und weiter 

(d10/2)²=R²-R10²={(1/2)sqrt[31+12sqrt(5)]a}²-{(1/2)[sqrt(5)+1]a}²=[25/4+(5/2)sqrt(5)]a² 
Weiter ist d6/2=(1/2)sqrt[25+10sqrt(5)]a, wzbw..
Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenikosidodekaeders mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der Einzelpyramiden.
V=30*(1/3)A4(d4/2) + 20*(1/3)A6(d6/2) + 12*(1/3)A10(d10/2)
=30*(1/3)a²(1/2)[3+2sqrt(5)]a
...+20*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²](1/2)[2sqrt(3)+sqrt(15)]a 
...+12*(1/3){(5/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a²}(1/2)sqrt[25+10sqrt(5)]a
=...
=5[3+2sqrt(5)]a³+5[6+3sqrt(5)]a³+5[5sqrt5)+10]a³
=...
=[95+50sqrt(5)]a³, wzbw.

Eine Übersicht über alle 13 archimedischen Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage. 

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Deutsch

Wikipedia
Archimedischer Körper,  Catalanischer Körper


Englisch

Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Great Rhombicosidodecahedron,  Dual: Disdyakis Triacontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Truncated Icosahedron and the Truncated Icosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Icosidodecahedron

Wikipedia
Truncated icosidodecahedron, Archimedean solid, Catalan solid
Dualer Körper: Disdyakis triacontahedron

Referenzen    top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 113)

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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2008 Jürgen Köller

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