Was ist der Goldene Schnitt?

......

Eine Strecke wird s=AB wird im goldenen Schnitt durch den Punkt T geteilt, wenn die gesamte Strecke sich zum größeren Abschnitt so verhält wie diese zum kleineren.

In Formelsprache heißt das AB:AT=AT:TB. 
Man sagt auch: 
"Die Strecke AB wird durch T stetig geteilt" oder 
"Die Strecke AT ist die mittlere Proportionale zu AB und TB". 
Aus der Proportion AB:AT=AT:TB folgt die Produktgleichung AT²=AB*TB oder auch AT=sqrt(AB*TB). 
Dann ist auch die Deutung möglich: "Die Strecke AT ist das geometrische Mittel von AB und TB".

Das Teilverhältnis Phi  top

......

Führt man die Variablen s=AB und x=AT ein, so heißt die Proportion s:x=x:(s-x).

Die Länge der Strecke s sei gegeben. Dann lässt sich die Teilstrecke x wie folgt berechnen.
Die Proportion ist s:x=x:(s-x), die Produktgleichung s(s-x)=x². 
Das ist die quadratische Gleichung x²+sx-s²=0 mit den Lösungen x₁=(1/2)[sqrt(5)-1]s und x₂=(1/2)[-sqrt(5)-1]s.
Es gilt x>0. Somit ist x=x₁ die einzige Lösung. Es gibt also genau einen Teilpunkt.
Das führt zum Verhältnis s/x=s/{(1/2)[sqrt(5)-1]}=(1/2)[sqrt(5)+1] oder gerundet s/x=1,618.
Man bezeichnet dieses Verhältnis oft mit dem großen griechischen Buchstaben Phi.

Die stetige Teilung     top
Der Goldene Schnitt heißt auch stetige Teilung. Der Name ergibt sich aus der folgenden Eigenschaft.
Trägt man den kleineren Abschnitt s-x  auf der größeren Teilstrecke x ab, so wird diese Strecke x durch den neuen Teilpunkt ebenfalls stetig geteilt. 
Nachweis:
Es gilt x:(s-x)=(s-x):[x-(s-x)] oder x:(s-x)=(s-x):[2x-s]. 
Daraus folgt die Produktgleichung x(2x-s)=(s-x)² oder 2x²-sx=s²-2sx+x² oder x²+sx-s²=0. Das ist die quadratische Gleichung von oben. Somit ist es die gleiche Teilung.

Die Teilung kann beliebig oft wiederholt werden. 

Konstruktion des Goldenen Schnitts     top
Das ist die Standard-Konstruktion.

Äußere Teilung    top
Der Vollständigkeit halber soll noch gezeigt werden, dass es allgemein - unabhängig vom Goldenen Schnitt - neben einem inneren Teilpunkt T auch einen äußeren Teilpunkt U gibt. Es sei denn, die Strecke AB wird halbiert.

......

Das ist die bekannte Konstruktion eines Teilpunktes T, der die Strecke AB im Verhältnis AC zu DB teilt.

......

Man zeichnet die Gerade DB und trägt auf ihr von B aus die Strecke DB nach oben hin ab. Man erhält Punkt D'. Man zeichnet die Gerade CD'. Sie schneidet die Gerade AB in Punkt U.  Punkt U ist der gesuchte äußere Teilpunkt.

Darstellungen von Phi und phi     top
Für die Zahlen phi=(1/2)[sqrt(5)-1] und Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] gibt es u.a. drei bemerkenswerte Grenzwert-Darstellungen.

Für die Fibonacci-Folge [a1=1, a2=1, an=an-1+an-2, n>2] gilt

Herleitungen (Sie bleiben nur formal.)
Die Zahl phi erfüllt die quadratische Gleichung  x²+sx-s²=0 für s=1. Das heißt (phi)²+(phi)-1= 0.
Die Zahl phi erfüllt also die quadratische Gleichung x²+x-1=0.
Dann ist x(1+x)=1 oder x=1/(1+x). Für das rote x kann man wieder x=1/(1+x) setzen usw.. So entsteht der Kettenbruch.

Das goldene Dreieck und Rechteck     top

......

....

Das goldene Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem das Seitenverhältnis von Schenkel zu Grundseite Phi ist. Nachweis: Zeichnet man eine Winkelhalbierende ein, entsteht ein zum Dreieck ähnliches Teildreieck. Es gilt a:x=x:(a-x). Das ist das Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Die Zeichnung ist nur möglich, wenn man ein Dreieck mit den Innenwinkeln 72°, 72° und 36° vorgibt.
Mehr über dieses goldene Dreieck und den Goldenen Schnitt findet man auf meinen Seiten Zehneck, Fünfeck, Doppelquadrat und Sterne.

......

......

Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis Phi. Zeichnet man ein Quadrat ein, so entsteht wieder ein goldenes Rechteck. Es gilt nämlich a:x=x:(a-x). Das ist die Proportion des Goldenen Schnitts.

Noch mehr über dieses Rechteck findet man auf meiner Seite Ikosaeder.

Ein Maß für die Schönheit?    top
Bisher habe ich grundlegende Tatsachen zum Goldenen Schnitt dargestellt. Sie sind bemerkenswert. Trotzdem ist erstaunlich, dass es im Internet zu kaum einem anderen mathematischen Thema so viele Seiten gibt wie zum Goldenen Schnitt. Dabei ist die Zahl Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] eine schlichte irrationale Zahl, nicht zu vergleichen mit den transzendenten Zahlen Pi oder e, die einen umfangreichen mathematischen Hintergrund haben. Mathematische Lexika z.B., die die gängige Mathematik umfassen, erwähnen den Goldenen Schnitt meist gar nicht oder nur mit einer kurzen Bemerkung. Nach längerem Suchen fand ich im Bronstein (1) eine kurze Bemerkung von acht Zeilen. 
Gerne beschäftigen sich mit diesem Thema Liebhaber der Unterhaltungsmathematik (so wie ich hier tue). 
Er verführt zum Spekulieren.
Das aber ist wahr: Der Goldene Schnitt spielte in der Kunstgeschichte eine Rolle. 

......

Gegeben sind in einem Versuchsraum nur ein niedriger Schrank und eine Blumenvase mit Blumen. Versuchspersonen sollen auf den Schrank eine Blumenvase so hinstellen, dass es "schön" aussieht. Die wenigsten stellen die Vase in die Mitte. Das sieht langweilig aus. Die meisten stellen die Vase ein wenig rechts oder links von der Mitte, wie es die Skizze zeigt. Es stellt sich heraus, dass die Vase die Schrankbreite etwa im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Dieses Empfinden ist uns wohl anerzogen und ist Teil unserer westlichen Kultur.

......

Muss man das A4-Format nicht schöner finden, nicht zuletzt deshalb, weil es uns vertraut ist?

Ausklang     top
Zum Schluss zwei kleine Schlenker mit persönlichem Bezug. 
Besuch in Leipzig
Im vorigen Monat März 2008 besuchten wir Leipzig und bewunderten auch das alte Leipziger Rathaus. Es wurde 1556 von dem regierenden Bürgermeister und Großkaufmann Hieronymus Lotter errichtet und gehört heute wohl zu den bedeutenden Bauten aus der Zeit der Renaissance. 
Der Turm teilt das Gebäude im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Ich nehme an, es gibt entsprechende Baupläne, die das belegen. 
Man kann in einer Frontalaufnahme das Teilverhältnis nachmessen.
Leider konnte ich kein entsprechendes Fotos machen. Der Bau ist sehr breit und der Vorplatz kurz. Man benötigt ein Weitwinkelobjektiv. Dann ist der Vorplatz im Moment eine Baustelle. Der Blick auf das Gebäude wird zum Teil zugestellt. So biete ich hier eine Sicht vom Dach des City-Hochhauses an. 

......

Das ist die Silhouette eines Mannes. Der weiße Fleck kennzeichnet die Lage des Bauchnabels. Der Bauchnabel teilt seine Größe im Verhältnis 159 Pixel:102 Pixel=1,6 (auf 2 Stellen gerundet). Darf man daraus folgern, dass der Bauchnabel die Höhe einer Person im Goldenen Schnitt teilt? Das wäre unwissenschaftlich. Man müsste viele Personen ausmessen und einen Mittelwert bilden.  Es hat sich wohl herausgestellt, dass er tatsächlich 1,6 ist. Na und? Das ist doch Zufall! Es wäre mehr als verwegen, diese Zahl 1,6 als Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] zu deuten. Es gibt keinen Hinweis darauf, dass eine so ungewöhnliche Zahl wie sqrt(5) im Bauchnabel versteckt ist.  ;-)

Goldener Schnitt im Internet top

Deutsch

Christian Strutz
Über die Eigenschaften der Zahlen Phi und phi

Herbert Henning & Christian Harfeldt
Goldener Schnitt in der Mathematik  (.pdf-Datei)

Michael Holzapfel
Goldener Schnitt

Bernhard Peter 
Der Goldene Schnitt - Mathematik und Bedeutung

Helmut Kramer
Der goldene Schnitt

Wolfgang Georg Scheibenzuber (Maximilian-von-Montgelas-Gymnasium Vilsbiburg)
Facharbeit Der Goldene Schnitt

Wikipedia
Goldener Schnitt, Harmonische Teilung, Fibonacci-Folge
Altes Rathaus (Leipzig)

Antonio Gutierrez
Le Garcon a la Pipe (Boy with a Pipe), Pablo Picasso 1905 and the Golden Rectangle

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Golden Ratio, Golden Angle, Golden Rectangle, Golden Triangle, Fibonacci Number, Golden Spiral, 

Keith Devlin (Devlin's Angle) MAA
Good stories, pity they're not true

George Markowsky
Misconceptions About the Golden Ratio  (.pdf file)

Wikipedia
Golden ratio, Golden ratio base, Golden angle, Golden rectangle, Golden triangle (mathematics),  Kepler triangle, Fibonacci number,  Golden spiral,  Square root of 5, 

Referenzen    top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 (Seite 115)